2024年中考數學真題專題分類精選匯

專題13二次函數的綜合題

一、選擇題

1.（2024四川瀘州）已知二次函數丁=依2+（2?！?）x+a—1（尤是自變量）的圖象經過第一、二、

四象限，則實數。的取值范圍為（）

93

A.—B.0<。<—

82

93

C.0<a<—D.1Wa<—

82

【答案】A

【解析】本題考查了二次函數圖象與性質.利用二次函數的性質，拋物線與無軸有2個交點，開口向

上，而且與y軸的交點不在負半軸上，然后解不等式組即可.

【詳解】??,二次函數丁=加+（2?！?）x+a—1圖象經過第一、二、四象限，

設拋物線與x軸兩個交點的橫坐標分別為占，尤,，由題意可得

△二(2a-3『-4a(a-1)〉0

2〃—3八

再+%=------->0

a

"1、八

玉?12=----20

a

a〉。

9

解得

8

故選：A.

"+1

2.（2024四川自貢）一次函數y=%-2〃+4,二次函數y+（〃_］）%_3,反比例函數y=----

x

在同一直角坐標系中圖象如圖所示，則〃的取值范圍是（）

C.-l<n<lD.1<n<2

【解析】本題考查了反比例函數的圖象，一次函數圖象，二次函數的圖象與系數的關系，根據題意列

不等式組，解不等式組即可得到結論，正確地識別圖形是解題的關鍵.

【詳解】解：根據題意得：

-In+4>0

n+1>0

解得：—1<77<1,

的取值范圍是

故選：C.

二、填空題

1.（2024甘肅威武）如圖1為一汽車停車棚，其棚頂的橫截面可以看作是拋物線的一部分，如圖2

是棚頂的豎直高度y（單位：m）與距離停車棚支柱AO的水平距離無（單位：m）近似滿足函數關

系丁=-0.02爐+0.3兀+1.6的圖象，點5（6,2.68）在圖象上.若一輛箱式貨車需在停車棚下避雨，貨

車截面看作長CD=4m,高。E=1.8m的矩形，則可判定貨車________完全停到車棚內（填“能”

或“不能”）.

圖1圖2

【答案】能

【解析】本題主要考查了二次函數的實際應用,根據題意求出當x=2時，y的值，若此時y的值大于

1.8,則貨車能完全停到車棚內，反之，不能，據此求解即可.

【詳解】解：；CD=4m,5(6,2.68),

,,.6-4=2,

y=-0.02—+0.3x+1.6中，當x=2時，y--0.02x22+0.3x2+1.6-2.12,

???2,12>1,8,

；?可判定貨車能完全停到車棚內,

故答案為：能.

7

2.（2024廣西）如圖，壯壯同學投擲實心球，出手（點尸處）的高度OP是一m,出手后實心球沿

4

一段拋物線運行，到達最高點時，水平距離是5m,高度是4m.若實心球落地點為則

【解析】本題考查的是二次函數的實際應用，設拋物線為y=a(x—5『+4,把點［(),5),代入即

可求出解析式；當y=。時，求得x的值，即為實心球被推出的水平距離.

【詳解】以點。為坐標原點，射線方向為x軸正半軸，射線。尸方向為y軸正半軸，建立平面

直角坐標系，

..?出手后實心球沿一段拋物線運行，到達最高點時，水平距離是5m,高度是4nl.

設拋物線解析式為：y=a(x—51+4,

把點代入得：25a+4=:,

9

解得：a=-----，

100

o9

???拋物線解析式為：y=——(x-5)+4；

100v7

o9

當丁=0時，-----(%-5)+4=0,

100v)

535

解得，xx——(舍去)，x2=—，

33

_35

即此次實心球被推出的水平距離OM為—m.

3

35

故答案為：一

3

3.(2024四川德陽)如圖，拋物線y=0?+以+。的頂點A的坐標為1-5九)，與不軸的一個交點

位于。和1之間，則以下結論：?abc>0；?5Z?+2c<0；③若拋物線經過點(—6,%),(5,%)，則

%>%；④若關于x的一元二次方程62+法+°=4無實數根，則〃<4.其中正確結論是

(請填寫序號).

【解析】本題考查了二次函數的圖象與系數的關系，根的判別式，二次函數圖象上點的坐標特征，解

題的關鍵是掌握二次函數的圖象與性質.①利用拋物線的頂點坐標和開口方向即可判斷；②利用拋物

3

線的對稱軸求出。=—匕，根據圖象可得當％=1時，y=a+b+c<0,即可判斷；③利用拋物線的

2

對稱軸，設(-6,%),(5,%)兩點橫坐標與對稱軸的距離為4，d],求出距離，根據圖象可得，距離

對稱軸越近的點的函數值越大，即可判斷；④根據圖象即可判斷.

【詳解】解：①V拋物線y=ax2+bx+c的頂點A的坐標為-1,?

b___l

2a3

7〉。

即必>0,

2a3

由圖可知，拋物線開口方向向下，即〃<0,

.,./?<0,

當％=0時，y=c>0,

abc>0,故①正確，符合題意；

②???直線X=-g是拋物線的對稱軸,

?._?A__—1，

2a3

b1八

??———〉0,

2a3

3

a=—b7

2

由圖象可得：當x=l時，y=a+b+c<G,

：.-b+c<Q,即55+2c<0,故②正確，符合題意;

2

③?..直線x=-§是拋物線的對稱軸，

設(-6,%),(5,y2)兩點橫坐標與對稱軸的距離為4,d2,

a.d2<d[,

根據圖象可得，距離對稱軸越近的點的函數值越大,

；?%<%，故③錯誤，不符合題意；

..?關于X的一元二次方程+法+c=4無實數根,

n<4-,故④正確，符合題意.

故答案為：①②④

三、解答題

1.(2024甘肅臨夏)在平面直角坐標系中，拋物線y=-必+云+。與x軸交于4(-1,0),B(3,0)

(2)如圖1,點P是線段上方的拋物線上一動點，過點尸作垂足為。，請問線段尸。

是否存在最大值？若存在，請求出最大值及此時點尸的坐標；若不存在請說明理由.

(3)如圖2,點M是直線上一動點，過點M作線段MV〃OC(點N在直線下方)，己知

MN=2,若線段MN與拋物線有交點，請直接寫出點M的橫坐標的取值范圍.

【答案】(1)y=-x2+2x+3

(2)存在，最大值是P\—I

8U4J

3-g3+Vn

⑶一--<x“<0或3<%M<---

【解析】【分析】本題考查二次函數的綜合應用，正確的求出函數解析式，利用數形結合和分類討論

的思想進行求解，是解題的關鍵.

(1)兩點式直接求出函數解析式即可；

(2)過點P作PEJ_x軸，交BC于點D,設P(m,一機2+2m+3),根據三角函數得到

PQ=PD-cosZOBC,得到當PD最大時，P。的值最大，轉化為二次函數求最值即可；

(3)設M&T+3),得至求出點N恰好在拋物線上且MN=2時的/值，即可得出結果.

【小問1詳解】

解：；拋物線y=-犬+法+c與x軸交于4(—1,0),5(3,0)兩點，

y——(x+l)(x—3),

?*.y——d+2x+3；

【小問2詳解】

存在；

*.*y=—x2+2%+3,

，當％=0時，y=3,

C(0,3)，

???5(3,0),

:.OC=3=OB,

???NOBC=45°,

設直線的解析式為：y=kx+3,把3(3,0)代入，得：k=-l,

y——x+3,

過點P作軸，交BC于點、D,設尸(機,—n?+2m+3),貝八D(m,-m+3),

y

AO\EB^~x

,T(3Y9

PD=-m2+2m+3+m-3=-m~+3m=-m+一,

I2)4

?:PQ±BC,

：.ZPQD=90°=ZPEB,

?；ZPDQ=ZBDE,

:.NDPQ=NOBC=45°,

PQ=PD-cos45。=彳PD,

，當P￡＞最大時，P。最大，

..pn_r3丫,9

I2)4

399r-

當機=2時，p。的最大值為三，此時尸。最大，為

248

【小問3詳解】

設+3),則：xN—t,

當點N恰好在拋物線上時，貝U：N(t,-t2+2t+3),

：.MN=-t+3+t2-2t-3=t"-3t，

當跖V=2時，貝U：/—3/=2，

.‘口3+7173-717

解得：t=——--或”——--，

22

..?線段與拋物線有交點，

...點M的橫坐標的取值范圍是3-,<X”<0或3<與<3+7.

2.（2024甘肅威武）如圖1,拋物線y=a（x—〃）？+左交x軸于O,4（4,0）兩點,頂點為網2,2百）.點

C為。3的中點.

（1）求拋物線y=a（x-/z）2+上的表達式；

（2）過點C作垂足為H,交拋物線于點E.求線段CE的長.

（3）點O為線段Q4上一動點（。點除外），在OC右側作平行四邊形OCED.

①如圖2,當點尸落在拋物線上時，求點尸的坐標；

②如圖3,連接班），BF，求應）+5尸的最小值.

【答案】（1）>=—咚必+23

⑵B

2

（3）①42+后,G）②2s

【解析】【分析】（1）根據頂點為§（2,26）.設拋物線y=q（x—2>+2若，把4（4,0）代入解

析式，計算求解即可；

（2）根據頂點為3（2,2塔.點、C為OB的中點,得到C0,6）,當x=1時，y=—#+=孚，

得到?。萁Y合CH，Q4,垂足為H,得到。b=孚—G=￥的長.

（3）①根據題意，得。（1,君），結合四邊形OCED是平行四邊形，設尸（私行），結合點尸落在拋

物線上，得到岔=—無機2+26加，解得即可；

2

②過點2作BN，y軸于點N,作點D關于直線BN的對稱點G,過點G作G"_Ly軸于點H,連接

DG,CH,FG,利用平行四邊形的判定和性質，勾股定理，矩形判定和性質，計算解答即可.

【小問1詳解】

..?拋物線的頂點坐標為3（2,2若）.

設拋物線y=a（x-2）2+2A/3,

把A（4,0）代入解析式，得a（4—2）2+2后=0,

解得a=—且，

2

y=-^-（x-2）2+26=-^-x2+2A/3X-

【小問2詳解】

?.?頂點為3（2,26）.點C為03的中點，

'：CHLOA,

：.CH〃,軸，

的橫坐標為1,

設,

當％=1時，=-—+273

m22

CE=^-73=—.

22

【小問3詳解】

①根據題意，得C。,、療），

?/四邊形OCED是平行四邊形,

點C,點F的縱坐標相同，

設川私6）,

:點尸落在拋物線上,

-\/3=，

解得m,=2+J5,wi,=2—J5（舍去）；

故/（2+后,G）.

②過點8作BN軸于點N,作點。關于直線RV的對稱點G,過點G作GH，y軸于點連

接DG,CH,FG,

則四邊形ODGH矩形，

OD=HG,OD\\HG,

?/四邊形OCED是平行四邊形，

OD=CF,OD11CF,

：.GH=CF,GH\\CF,

：.四邊形CFGH是平行四邊形，

FG=CH,

,/BG+BF>FG,

故當3、G、尸三點共線時，BG+BF取得最小值,

；BG=BD,

5G+3尸的最小值，就是5D+5尸的最小值，且最小值就是CH,

延長FC交y軸于點M,

?/OD//CF,

/.ZHMC=ZHOD=90°,

VC（1,V3）,

CM=T,OM=6

?.?3（2,26）,

???ON=NH=26，

；?HM=ON+NH—OM=3瓜

HC=y/CM2+HM2=728=277-

故5。+5歹的最小值是2J7.

【點睛】本題考查了待定系數法求函數的解析式，中點坐標公式，平行四邊形的判定和性質，矩形的

判定和性質，勾股定理，利用軸對稱的性質求線段和的最小值，熟練掌握平行四邊形的性質，軸對稱

的性質是解題的關鍵.

3.(2024深圳)為了測量拋物線的開口大小，某數學興趣小組將兩把含有刻度的直尺垂直放置，并

分別以水平放置的直尺和豎直放置的直尺為無，y軸建立如圖所示平面直角坐標系，該數學小組選擇

不同位置測量數據如下表所示，設5。的讀數為x,CD讀數為y,拋物線的頂點為C.

?②③④⑤⑥

X023456

y012.2546.259

(H)描點：請將表格中的(羽丁)描在圖2中；

(III)連線：請用平滑的曲線在圖2將上述點連接，并求出y與龍的關系式；

(2)如圖3所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=a(x-丸)2+左的頂點為C,該數學興趣小組用

水平和豎直直尺測量其水平跨度為豎直跨度為CD,且=CD=n,為了求出該拋物線

的開口大小，該數學興趣小組有如下兩種方案，請選擇其中一種方案，并完善過程:

方案一：將二次函數y=a(x-左平移，使得頂點C與原點O重合，此時拋物線解析式

y=ax2.

①此時點8'的坐標為；

②將點8'坐標代入y=a/中，解得。=；(用含機，”的式子表示)

方案二：設C點坐標為仇女)

①此時點B的坐標為；

②將點8坐標代入,=a(x-/z)-+左中解得。=；(用含機，〃的式子表示)

(3)【應用】如圖4,已知平面直角坐標系中有A,B兩點，AB=4,且A5〃x軸，二次函

數G:必=2(x+〃y+左和C2：%=。(％+〃)2+6都經過A，8兩點，且C1和。2的頂點P，。距線

段的距離之和為10,求a的值.

【答案】(1)圖見解析，y=-x2；

4

(1、4n(1、4ri

(2)方案一：①彳；②??；方案二：①〃+彳加，左+〃；②一T；

<2JmI2)m-

(3)。的值為；或.

22

【解析】【分析】(1)描點，連線，再利用待定系數法求解即可；

(2)根據圖形寫出點5,或點8的坐標，再代入求解即可；

(3)先求得4(—丸―2,8+左)，5(—場+2,8+4)，G的頂點坐標為？(—〃，k),再求得C1頂點距線

段AB的距離為|(8+左)—川=8,得至ijC2的頂點距線段AB的距離為10-8=2,得到C2的頂點坐

標為。(—始0+左)或。(—46+左)，再分類求解即可.

【小問1詳解】

解：描點，連線，函數圖象如圖所示，

觀察圖象知，函數為二次函數，

設拋物線的解析式為y^ax2+bx+c,

c=0

由題意得＜4〃+2b+c=l,

16〃+4b+c=4

.1

ci———

4

解得2。，

c=0

與x的關系式為y=-；

4

【小問2詳解】

解：方案一：①=CD=n,

：.D'B'=-m,

2

此時點5'的坐標為；

故答案：［gm，”］；

②由題意得a=n,

4n

解得a=--,

m

4〃

故答案為：一7;

m

方案二：①：C點坐標為（丸㈤，AB=m,CD=n,

DB=-m,

2

此時點B的坐標為\ji+-m,k+nj；

故答案為：+1■加，左+〃］；

②由題意得左+〃=—/z）+k，

4n

解得。=F，

m

4n

故答案為：--;

【小問3詳解】

解：根據題意G和。2的對稱軸為x=—丸，

則4（—丸―2,8+左），B（-h+2,S+k）,G的頂點坐標為P（-〃，k）,

AG頂點距線段AB的距離為|（8+左）-引=8,

G的頂點距線段AB的距離為10—8=2,

Q的頂點坐標為Q（-h,10+k）^Q（-h,6+k）,

當C2的頂點坐標為。（―入,10+左）時，y2=Q（X+/Z）2+10+左，

將A（—/z—2,8+人）代入得4。+10+左=8+左，解得a=-g；

當C2的頂點坐標為Q（-h,6+k）時，y2=++6+左，

將4（—〃一2,8+左）代入得4a+6+左=8+左，解得。=（；

綜上，。的值為［或-

【點睛】本題主要考查二次函數的綜合應用，拋物線的平移等，理解題意，綜合運用這些知識點是解

題關鍵.

（1）求y與x的函數表達式;

(2)糖果銷售單價定為多少元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是多少？

(3)若超市決定每銷售一盒糖果向兒童福利院贈送一件價值為加元的禮品，贈送禮品后，為確保該

種糖果日銷售獲得的最大利潤為392元，求m的值.

【答案】(1)y=-2X+80

(2)糖果銷售單價定為25元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是450元

(3)2

【解析】【分析】本題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是:

(1)利用待定系數法求解即可;

(2)設日銷售利潤為w元，根據利潤=單件利潤x銷售量求出w關于x的函數表達式，然后利用二次

函數的性質求解即可;

(3)設日銷售利潤為w元，根據利潤=單件利潤x銷售量-%x銷售量求出w關于無函數表達式，然

后利用二次函數的性質求解即可.

【小問1詳解】

解：設y與X函數表達式為、=履+),

12左+5=56

把x=12,y=56；尤=20,y=40代入，得〈

20左+b=40'

k=-2

解得《

b=80

與x的函數表達式為y=-2x+80；

【小問2詳解】

解：設日銷售利潤為W元，

根據題意，得w=(x—10)-y

=(x-10)(-2x+80)

=-2X2+100X-800

=-2(X-25)2+450,

當x=25時，W有最大值為450,

；?糖果銷售單價定為25元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是450元;

【小問3詳解】

解：設日銷售利潤為w元，

根據題意，得w=-10-m)-丁

=(x-10-m)(-2x+80)

=-2x2+(100+2m)x-800-80m,

100+2m50+m

???當％=_2x(_2)=2時'w有最大值為

_2^50+m^|+(100+2間^212^—800—80"，

,/糖果日銷售獲得的最大利潤為392元，

..._2廣。;"J+(100+2m)-800-80m=392,

化簡得機2_60m+116=0

解得知=2,m2=58

b

當機=58時，x=-----=54,

2a

則每盒的利潤為：54—10—58<0,舍去,

???根的值為2.

5.(2024武漢市)16世紀中葉，我國發明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級火箭的始祖.火

箭第一級運行路徑形如拋物線，當火箭運行一定水平距離時，自動引發火箭第二級，火箭第二級沿直

線運行.某科技小組運用信息技術模擬火箭運行過程.如圖，以發射點為原點，地平線為x軸，垂直

于地面的直線為y軸，建立平面直角坐標系，分別得到拋物線>和直線y=—gx+b.其

中，當火箭運行的水平距離為9km時，自動引發火箭的第二級.

圖1圖2

(1)若火箭第二級的引發點的高度為3.6km.

①直接寫出。，b的值；

②火箭在運行過程中，有兩個位置的高度比火箭運行的最高點低1.35km,求這兩個位置之間的距離.

（2）直接寫出。滿足什么條件時，火箭落地點與發射點的水平距離超過15km.

【答案】（1）①。=一百，6=8.1；@8.4km

2

（2）-----<a<0

27

【解析】【分析】本題考查了二次函數和一次函數的綜合應用，涉及待定系數法求解析式，二次函數

的圖象和性質，一次函數的圖象與性質等知識點，熟練掌握二次函數和一次函數的圖象與性質是解題

的關鍵.

（1）①將（9,3.6）代入即可求解；②將y=—1必+x變為y=—葭）+?,即可確定頂點

坐標，得出y=2.4km,進而求得當y=2.4km時，對應的x的值，然后進行比較再計算即可；

（2）若火箭落地點與發射點的水平距離為15km,求得a=-2，即可求解.

27

【小問1詳解】

解：①：火箭第二級的引發點的高度為3.6km

拋物線y+%和直線丁=—gx+b均經過點（9,3.6）

3.6=81a+9,3.6=——x9+b

2

解得a=—記"，6=8.1.

_11,

②由①知，y=-5%+8.1,丁=一+%

,最大值y=—km

4

當y=9—L35=2.4km時,

1

貝|]---X2?+%=2.4

解得西=12,%=3

又?.?％=9時,y=3.6>2.4

??.當y=2.4km時,

則一工九+8.1=24

2

解得兄=11.4

11.4-3=8.4（km）

???這兩個位置之間的距離8.4km.

【小問2詳解】

解：當水平距離超過15km時，

火箭第二級的引發點為（9,81。+9）,

將(9,81a+9),(15,0)代入丁=一；兀+乩得

81a+9=--x9+b,0=--xl5+Z?

22

,2

解得b=7.5,a=---

27

2

---<〃<€).

27

3兩點（A在B的右邊），交y軸于點C.

（2）如圖（1）,連接AC,BC,過第三象限的拋物線上的點尸作直線尸?！ˋC,交y軸于點Q.若

平分線段尸。，求點P的坐標；

（3）如圖（2）,點O與原點。關于點C對稱，過原點的直線E尸交拋物線于E,尸兩點（點E在

無軸下方），線段。E交拋物線于另一點G,連接FG.若NEG/=90°,求直線OE的解析式.

【答案】⑴A(l,0),6(—5,0),Cl0,-1

⑵P-2,號

(3)y=--%-5

2

【解析】

【分析】（I）分別令x,y=0,解方程，即可求解;

（2）分別求得直線AC,3C,根據尸?！ˋC得出尸。的解析式，設p1,g/2+2f—進而求得

。點的坐標，進而根據平分線段尸。，則PQ的中點在直線上，將點M的坐標代入直線

解析式，即可求解.

（3）過點G作軸，過點瓦尸分別作燈的垂線，垂足分別為T,S,證明△E71C”MGS尸，

得出ET?邠=GS-7G,先求得點。的坐標，設直線所的解析式為％=左科，直線ED的解析式

為%=%2%一5，聯立拋物線解析式，設/=￡,九F=/,%=g，根據一元二次方程根與系數的關

系，得出31=—5,eg=5fe+g=2k2-49進而求得ET,FS,代入石，尸S=GS-7G,化簡后

得出e+g=-5,即2履—4=—5,進而即可求解.

【小問1詳解】

15

解：由y=—x9+2x—，

22

當％=0時，y=-1-,則c[o,—g]

當y=0,-%2+2X--=0

22

解得：苞=—5,x2—1

；A在B的右邊

AA（1,O）,B（-5,0）,

【小問2詳解】

解：設直線AC的解析式為丁=近+人（左00）

將4（1,0），c[o,—g]代入得，

k+b=O

\5

b=——

I2

k=-

解得：]2

b=——

12

直線AC的解析式為y=|x-|

PQ//AC

設直線PQ的解析式為y=^x+b,

???p在第三象限的拋物線上

設p1/,萬/+2/—萬］,（―5</<

,5,12c5

??-t+h=-t+2t—

設尸。的中點為則M

由5(—5,0),C^0,-|j,設直線的解析式為y=《x—

將3(—5,0)代入得，

0=-5^--,

解得：k———

x2

...直線BC的解析式為y=

?e,平分線段尸。,

，M在直線上,

_____V__________—_______~_________

222—2

解得：％=-2/2=0（舍去）

159

當『=一2時，一產9+2/一—=一一

22

【小問3詳解】

解：如圖所示，過點G作7〃x軸，過點E1分別作燈的垂線，垂足分別為T,S,

ZEGT=90°-ZFGS=ZGFS

：.AETU^AGSF

.ETTG

,,瓦一五

即ET?邠=GS-7U

..?點。與原點o關于點cI。,一對稱,

設直線EF的解析式為％=k{x,直線ED的解析式為%="5

y-hx

i」15

聯立直線EF與拋物線解析式＜15可得，k,x=—x2+2%—，

y=-x92+2x——22

22

即gx2+（2-a）x_g=0

y2=k2x-5

二+2二

聯立直線ED與拋物線解析式＜12c5可得,k2九一5二

y=-x2+2x——22

即gx2+（2—&）x+g=0

設砧=6,號=/,%=g，

ef=-5,eg=5,e+g=2k2-4,

???f=-g

+2e_\1；g2+2g_；]=；(e+g+4)(e_g),

乙乙\乙乙J乙

FS=；/2+2/_|_J；g2+2g_[]=；(/+g+4)(/_g)

乙乙\乙乙J乙

,：ETFS=GSTG

???(g_e)(/_g)=g(e+g+4)(e_g)><g(/+g+4)(/_g),

將/=-g代入得：e+g=-5

2&—4=—5,

??,

-2

直線DE解析式為y=——x—5.

【點睛】本題考查了二次函數綜合問題，一次函數與二次函數綜合，中點坐標公式，相似三角形的性

質與判定，一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

7.(2024湖北省)如圖1,二次函數y=—f+法+3交x軸于4(—1,0)和8,交,軸于C.

(2)M為函數圖象上一點，滿足NM45=NACO,求M點的橫坐標.

(3)如圖2,將二次函數沿水平方向平移，新的圖象記為與，軸交于點O,記OC=d,記L頂

點橫坐標為〃.

①求d與九的函數解析式.

②記L與x軸圍成的圖象為。，。與44BC重合部分(不計邊界)記為W,若d隨九增加而增加，且

W內恰有2個橫坐標與縱坐標均為整數的點，直接寫出九的取值范圍.

【答案】(1)b=2-,

(2)m=—或機=一；

33

—1（〃〉<］）

（3）①d=<2:，?八,；②”的取值范圍為后或——

I—n（一1<n<\）

【解析】【分析】（1）利用待定系數法求解即可；

⑵先求得5（3,0）,C（0,3）.作兒尤軸于點N,設M（m,—M+2〃?+3）,分當M點在無軸

上方和M點在x軸下方時，兩種情況討論，利用相似三角形的判定和性質，列式求解即可；

（3）①利用平移的性質得圖象L的解析式為y=—（尤—”了+4,得到圖象L與，軸交于點。的坐標

（0,-“2+4）,據此列式計算即可求解；

②先求得—或n21,AABC中含（0,1）,（0,2）,（1,1）三個整數點（不含邊界），再分三

種情況討論，分別列不等式組，求解即可.

【小問1詳解】

解：?.?二次函數y=-x2+bx+3交無軸于A（-l,0）,

0=—1—b+3,

解得匕=2；

【小問2詳解】

解：,:b=2,

y=一/+2x+3=—（x—1）~+4,

令y=0,則_（x_iy+4=0,

解得％=-1或x=3,

令y=0,貝ljy=3,

AA（-l,0）,3（3,0）,C（0,3），

作軸于點N,

設A/（肛—M+2m+3^,

當M點在x軸上方時，如圖,

y

小、

■：ZMAB=ZACO,

Z\MAN^Z\ACO,

.PCAN印3_7〃+l

OAMN1—m2+2m+3

Q

解得機=1或-1（舍去）；

當M點在x軸下方時，如圖，

AM47Vs△ACO,

.PCAN3=〃+l

"~OA~~MN'1-（-m2+2m+3）'

解得機=W或-i（舍去）；

3

...m=1—0t或機=8一；

33

【小問3詳解】

解：①?.?將二次函數沿水平方向平移，

縱坐標不變是4,

圖象L的解析式為y=一（*一"）~+4=-x2+2nx—rr+4,

_D（0,-a?+4）,

CD=d=|—+4-=卜/+1|,

由題意知：C、。不重合，則八W±l,

*一1(〃〉1或〃<1)

d=

l-n2(-l<n<l)

n2>1或〃<1)

②由①得」=

1-n2(-1<n<1)

則函數圖象如圖,

???d隨〃增加而增加，

.??—1<〃<?；颉?gt;1,AABC中含（0,1）,（0,2）,（1,1）三個整數點（不含邊界），

當W內恰有2個整數點（0,1）,（0,2）時，

當％=0時，yL>2,當％=1時，<1,

-ZZ2+4>2

**-(l-n)2+4<f

,?-MV-\/2,〃N1+y/3或i〃K1-，x/s,

??-5/2<〃《1-y/3；

?.?一1v〃<0或〃>1,

??-1<〃<1-y/3；

當W內恰有2個整數點(0,1),(1,1)Ht,

當x=0時，1<九<2,當％=1時，yL>1,

,1<-H2+4<2

-(l-n)2+4>f

，-6<n<-A/2或0<n<6，1-^3<n<1+y/3，

V2<n<V3；

：或〃>1,

二行。<5

當W內恰有2個整數點(0,2),(1,1)時，

綜上，”的取值范圍為或—1＜附＜1—石.

【點睛】本題主要考查了用待定系數法求二次函數的表達式及二次函數與線段的交點問題，也考查了

二次函數與不等式，相似三角形的判定和性質.熟練掌握二次函數圖象的性質及數形結合法是解題的

關鍵.

8.（2024吉林省）小明利用一次函數和二次函數知識，設計了一個計算程序，其程序框圖如圖（1）

所示，輸入x的值為-2時，輸出y的值為1；輸入尤的值為2時，輸出y的值為3；輸入x的值為3

時，輸出y的值為6.

開始

(S1)(圖2)

(1)直接寫出k,a,6的值.

(2)小明在平面直角坐標系中畫出了關于尤的函數圖像，如圖(2).

I.當y隨x的增大而增大時，求x的取值范圍.

II.若關于尤的方程ax?+云+3一/=。(/為實數)，在0<x<4時無解，求/'的取值范圍.

III.若在函數圖像上有點P,Q(P與。不重合).尸的橫坐標為相，。的橫坐標為-加+l.小明對

P,。之間(含尸，。兩點)的圖像進行研究，當圖像對應函數的最大值與最小值均不隨機的變化而

變化，直接寫出相的取值范圍.

【答案】(1)k=l,a=l,b=-2

(2)I：X<0H￡X>1：II：/<2或/Nil；III：-iWniWO或

【解析】【分析】本題考查了二次函數與一次函數的圖像與性質，待定系數法求函數解析式，一元二

次方程的解，正確理解題意，利用數形結合的思想是解決本題的額關鍵.

(1)先確定輸入無值的范圍，確定好之后將x,y的值代入所給的y關于x的函數解析式種解方程或

方程組即可；

(2)I：可知一次函數解析式為：y=x+3,二次函數解析式為：y=V—2x+3,當x>0時，

y=x?—2x+3,對稱為直線x=l,開口向上，故