第六章B卷

選擇題（共8小題）

1.小花準備將一顆黃色圣女果、一顆紅色圣女果、一顆山楂、一顆草莓、一顆葡萄串起來制作一串冰糖

葫蘆，若要求兩顆圣女果不相鄰，則不同的串法有（）

A.36種B.48種C.72種D.144種

2.若（ax+36的二項展開式中常數項為160,則實數a的值為（）

11

A.2B.-2C.-D.-4

22

3.在以“旅行絲綢路，研學在甘肅”為主題的甘肅研學旅行大會活動中，某學校有10名志愿者參加接待

工作.若每天排早、中、晚三班，每班3人，每人每天最多值一班，則第一天不同的排班種數為（）

A.Co艱短B.此。俏俏蜀

C比。吟篇g33

J人3^10^9

4.現有6個人計劃在暑期前往江西省的南昌、九江、贛州、萍鄉四個城市旅游，每人都要從這四個城市

中選擇一個城市，且每個城市都有人選擇，則至少有2人選擇南昌的選法種數為（）

A.420B.660C.720D.1200

5.某電視臺連續播放4個廣告，現將2個環同的公益廣告插入其中，保持原來的4個廣告播放順序不變，

不同的播放方式有（）

A.10種B.20種C.30種D.60種

6.將98個不同的小球全部放入99個不同的盒子中，共有機種不同的方法，若加=100k+廠，其中依N,0

WrVlOO,貝r=()

A.99B.88C.12D.1

7.在二項式（正-分】。的展開式中，常數項為（）

A.180B.270C.360D.540

8.有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相鄰，不同的站法共有（）

A.24種B.48種C.72種D.144種

二.多選題（共4小題）

（多選）9.在（2代—5）6的展開式中，下列結論正確的是（）

A.二項式系數最大的項是第3項

B.所有的二項式系數和為26

C.系數最小的項是-192%2

D.所有奇數項的系數和為365

（多選）10.已知3名男生和2名女生參加兩項不同的公益活動，下列說法正確的是（

A.活動前5人站成一排，甲在最左邊，乙不在最右邊，有18種不同的方法

B.5人依次進行自我介紹，甲和乙不相鄰做介紹，有72種不同的方法

C.將5人全部分配到兩項活動中，每項活動既有男生又有女生，有24種不同的方法

D.活動后從5人中選出3人介紹活動體會，至少兩名男生，有9種不同的方法

（多選）11.為弘揚我國古代的“六藝文化”，某校計劃在社會實踐中開設“禮”“樂”“射”“御”“書”“數”

六門體驗課程，每天開設一門，連續開設6天，則下列結論正確的是（）

A.從六門課程中選兩門的不同選法共有20種

B.課程“數”不排在最后一天的不同排法共有600種

C.課程“禮”“書”排在相鄰兩天的不同排法共有240種

D.課程“樂”“射”“御”排在都不相鄰的三天的不同排法共有72種

（多選）12.關于（％—勺5的展開式的說法中正確的是（）

A.各項的系數之和為-1B.二項式系數的和為64

C.展開式中無常數項D.第4項的系數最大

三.填空題（共5小題）

13.（1+2久2）（久+白4的展開式中常數項為.（用數字作答）

14.若〃為一組從小到大排列的數1,2,4,6,9,10的第六十百分位數，則二項式（2乂+喪產的展開式

的常數項為.

15.已知（久5一*）（ax+5）5的展開式中各項系數的和是2,則展開式中X的系數為（用數字

作答）.

16.“楊輝三角”是中國古代重要的數學成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是由“楊

輝三角”拓展而成的三角形數陣，記即為圖中虛線上的數1,3,6,10,依次構成的數列的第〃項，則

1111

—+—+—+???+—的值為.

ala2a3a100

1

11.

12V-

131

146.'141

15IO/,-1051

17.己知x8=ao+qi(%-1)+破(x-1)2+…+a8(x-1)8,則。2的值為.

四.解答題(共5小題)

71n

18.(2x—I)=%+a6+a2/+口3久3+—I-anx(neN*),若(2x-I)”的展開式中第4項與第8項

的二項式系數相等.

(1)求〃的值；

(2)求/的系數；

(3)求|。1|+陵|+|。3|+…+|加的值.

19.在(2x+》n的展開式中，.

給出下列條件：①二項式系數和為64；②各項系數之和為729；③第三項的二項式系數為15.試在是

三個條件中任選一個，補充在上面的橫線上，并且完成下列問題：

(1)求"的值并求展開式中的常數項；

(2)求(1+/)(2久展開式中苫2的系數.

20.在(l+2x)8的展開式中，求；

(1)含/的項；

(2)各項系數和(用數字作答)；

(3)系數最大的項是第幾項？

665432

21.設(2%—I)=a6x+a5x+a4x+a3x+a2x+a1x+a0,求：

(I)〃6+〃5+〃4+〃3+42+。1；

(II)Q6+44+〃2+〃0；

(III)64〃6+32。5+16〃4+8〃3+4〃2+2〃1+〃0.

22.(1)用0,1,2,3,4,5可以組成多少個無重復數字的五位數？

(2)用0,1,2,3,4,5這六個數字組成無重復數字的六位數，若所有的六位數按從小到大的順序組

成一個數列｛劭｝,則240135是第幾項.

第六章B卷

參考答案與試題解析

題號12345678

答案CADBCDAC

選擇題（共8小題）

1.小花準備將一顆黃色圣女果、一顆紅色圣女果、一顆山楂、一顆草莓、一顆葡萄串起來制作一串冰糖

葫蘆，若要求兩顆圣女果不相鄰，則不同的串法有（）

A.36種B.48種C.72種D.144種

【考點】部分元素不相鄰的排列問題.

【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運算求解.

【答案】C

【分析】由排列、組合及簡單計數問題，結合插空法求解.

【解答】解：小花準備將一顆黃色圣女果、一顆紅色圣女果、一顆山楂、一顆草莓、一顆葡萄串起來制

作一串冰糖葫蘆，

又要求兩顆圣女果不相鄰，

則不同的串法有心朗=72種.

故選：C.

【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數問題，重點考查了插空法，屬中檔題.

2.若（a久+號）6的二項展開式中常數項為160,則實數a的值為（）

11

A.2B.-2C.-D.—□

22

【考點】二項展開式的通項與項的系數.

【專題】整體思想；綜合法；二項式定理；運算求解.

【答案】A

【分析】由二項式定理的運用，結合二項式展開式的通項公式求解.

【解答】解：若（ax+66的二項展開式中常數項為160,

貝心仙（辦）3.6尸=160,

即a=2,

則實數。的值為2.

故選：A.

【點評】本題考查了二項式定理的運用，重點考查了二項式展開式的通項公式，屬中檔題.

3.在以“旅行絲綢路，研學在甘肅”為主題的甘肅研學旅行大會活動中，某學校有10名志愿者參加接待

工作.若每天排早、中、晚三班，每班3人，每人每天最多值一班，則第一天不同的排班種數為（）

A.C^OAIAIB.遇題

%C“

D.*醫牖

【考點】部分位置的元素有限制的排列問題.

【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運算求解.

【答案】D

【分析】首先從10人中選出3人上早班，從剩下的7人中選出3人上中班，再從剩下的4人中選出3

人上中班，即可得到答案.

【解答】解：已知某學校有10名志愿者參加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班3人，每人每

天最多值一班，

首先從10人中選出3人上早班，共有Cfo種，

從剩下的7人中選出3人上中班，共有小種，

再從剩下的4人中選出3人上晚班，共有盤種，

共有仁。的盤種；

也可以先從10人中選出9人，共有Cfo種，

再從9人中選出3人上早班，共有俏種，

從剩下的6人中選出3人上中班，共有償種，

其余3人上晚班，

則共有Cfo穹/種排法.

故選：D.

【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數問題，重點考查了分步乘法計數原理，屬中檔題.

4.現有6個人計劃在暑期前往江西省的南昌、九江、贛州、萍鄉四個城市旅游，每人都要從這四個城市

中選擇一個城市，且每個城市都有人選擇，則至少有2人選擇南昌的選法種數為（）

A.420B.660C.720D.1200

【考點】排列組合的綜合應用.

【專題】對應思想；定義法；排列組合；運算求解.

【答案】B

【分析】選擇南昌的人數分為2人和3人進行分類討論，按照分步乘法計數原理，根據平均分配和部分

平均分配的方法進行計算.

碧丘?“=120,

【解答】解:當有3人選擇去南昌時，剩余3人的分配方式為1+1+1,選法種數為:C2

rlrlr2

當有2人選擇去南昌時，剩余4人的分配方式為1+1+2,選法種數為：Cl--Al=540,

至少有2人選擇南昌的選法種數為540+120=660.

故選：B.

【點評】本題考查排列組合相關知識，屬于中檔題.

5.某電視臺連續播放4個廣告，現將2個環同的公益廣告插入其中，保持原來的4個廣告播放順序不變，

不同的播放方式有（）

A.10種B.20種C.30種D.60種

【考點】部分位置的元素有限制的排列問題.

【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運算求解.

【答案】C

【分析】根據題意，由分步乘法計數原理，代入計算，即可得到結果.

【解答】解：已知某電視臺連續播放4個廣告，現將2個環同的公益廣告插入其中，保持原來的4個廣

告播放順序不變，

因為原來有4個廣告，

所以這4個廣告之間以及兩端共有5個空位插入第一個公益廣告，

則有5種方法；

插入第一個公益廣告之后，此時包括原來的4個廣告和已經插入的第一個公益廣告，共5個元素，

它們之間以及兩端共有6個空位可以插入第二個公益廣告，

則有6種方法；

由分步乘法計數原理可得，將兩個公益廣告插入的方式有5X6=30種.

故選：C.

【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數問題，重點考查了分步乘法計數原理，屬中檔題.

6.將98個不同的小球全部放入99個不同的盒子中，共有機種不同的方法，若機=100/+廣，其中在N,0

Wr<100,則r=()

A.99B.88C.12D.1

【考點】二項式定理的應用；分步乘法計數原理.

【專題】整體思想；綜合法；排列組合；二項式定理；運算求解.

【答案】D

【分析】由分步乘法計數原理可得加=9998,則機=9998=（100一1）98,再利用二項式定理求解即可.

【解答】解：將98個不同的小球全部放入99個不同的盒子中，則每個小球有99種選擇，

所以"7=9998,

97197

又因為==9998=（100-1）98=喝10（）98X（-1）0+dsX100X（一1）1+…+淄X100X（-1）+

C患x100°x（一1）98

97961

=100[C^8x100x（-1）°+盤8x100x（-1）+???+嘿x（-1）97]+1,

所以r=l.

故選：D.

【點評】本題主要考查了分步乘法計數原理的應用，考查了二項式定理的應用，屬于中檔題.

7.在二項式（《-御。的展開式中，常數項為（）

A.180B.270C.360D.540

【考點】二項展開式的通項與項的系數.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；二項式定理；邏輯思維；運算求解.

【答案】A

【分析】直接利用二項式的展開式以及組合數的應用求出結果.

10-r,

【解答】解：根據二項式的展開式/+1=口0-（-2）「丁—-2『（『=0,1,2,3,10）,

令r=2,故常數項為C備?（-2）2=180.

故選：A.

【點評】本題考查的知識點：二項式的展開式，組合數，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題.

8.有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相鄰，不同的站法共有（）

A.24種B.48種C.72種D.144種

【考點】部分元素相鄰的排列問題.

【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運算求解.

【答案】C

【分析】由排列，組合及簡單計數問題，結合插空法求解.

【解答】解：有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相鄰，

則不同的站法共有蜀幽=6X12=72種.

故選：C.

【點評】本題考查了排列，組合及簡單計數問題，重點考查了插空法，屬中檔題.

二.多選題（共4小題）

（多選）9.在（2五一土＞的展開式中，下列結論正確的是（）

A.二項式系數最大的項是第3項

B.所有的二項式系數和為26

C.系數最小的項是-192?

D.所有奇數項的系數和為365

【考點】二項式定理的應用.

【專題】方程思想；定義法；二項式定理；運算求解.

【答案】BCD

【分析】由二項式系數的性質判定A&展開二項式，即可判斷CZX

【解答】解：（2代-+）6的展開式中有7項，二項式系數最大的項是第4項，故A錯誤；

所有的二項式系數和為26,故8正確；

（2立一%）6=c式2y）6（一專）。+盤（2偽5（一身+一（2⑨好景+一（2份（一命3

+C黃2扃2（一套）4+瑞（2偽1（一意5+-（20。（一專）6

=64彳3-192x^+240%~160+--------d—□.

xX2X3

則系數最小的項是-192/,故C正確；

所有奇數項的系數和為64+240+60+1=365,故D正確.

故選：BCD.

【點評】本題考查二項式定理的應用，考查二項式系數的性質，是基礎題.

（多選）10.已知3名男生和2名女生參加兩項不同的公益活動，下列說法正確的是（）

A.活動前5人站成一排，甲在最左邊，乙不在最右邊，有18種不同的方法

B.5人依次進行自我介紹，甲和乙不相鄰做介紹，有72種不同的方法

C.將5人全部分配到兩項活動中，每項活動既有男生又有女生，有24種不同的方法

D.活動后從5人中選出3人介紹活動體會，至少兩名男生，有9種不同的方法

【考點】部分元素不相鄰的排列問題；部分位置的元素有限制的排列問題.

【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運算求解.

【答案】AB

【分析】由排列、組合及簡單計數問題，結合分類加法計數原理及插空法逐一判斷即可.

【解答】解：已知3名男生和2名女生參加兩項不同的公益活動，

對于A，活動前5人站成一排，甲在最左邊，乙不在最右邊，

有瑪質=18種不同的方法,

即A正確；

對于8,5人依次進行自我介紹，甲和乙不相鄰做介紹，

有否幽=72種不同的方法，

即B正確；

對于C,將5人全部分配到兩項活動中，每項活動既有男生又有女生，

有廢廢+C拇=12種不同的方法，

即C錯誤；

對于。，活動后從5人中選出3人介紹活動體會，至少兩名男生，

有量?+第=7種不同的方法，

即。錯誤.

故選：AB.

【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數問題，重點考查了分類加法計數原理及插空法，屬中檔題.

（多選）11.為弘揚我國古代的“六藝文化”，某校計劃在社會實踐中開設“禮”“樂”“射”“御”“書”“數”

六門體驗課程，每天開設一門，連續開設6天，則下列結論正確的是（）

A.從六門課程中選兩門的不同選法共有20種

B.課程“數”不排在最后一天的不同排法共有600種

C.課程“禮”“書”排在相鄰兩天的不同排法共有240種

D.課程“樂”“射”“御”排在都不相鄰的三天的不同排法共有72種

【考點】排列組合的綜合應用.

【專題】計算題；整體思想；綜合法；排列組合；運算求解.

【答案】BC

【分析】根據給定條件利用排列、組合知識，逐項分析計算判斷作答.

【解答】解：對于A,從六門課程中選兩門的不同選法有盤=15種，A不正確；

對于B,前5天中任取1天排“數”，再排其它五門體驗課程共有5星=600種，B正確；

對于C,“禮”、“書”排在相鄰兩天，可將“禮”、“書”視為一個元素，不同排法共有2鹿=240種，C

正確；

對于D,先排"禮”、“書”、“數”,再用插空法排“樂”、射"、御"，不同排法共有幽幽=144種，D

不正確.

故選：BC.

【點評】本題考查了排列組合的知識，屬于中檔題.

（多選）12.關于（x-1）5的展開式的說法中正確的是（）

A.各項的系數之和為-1B.二項式系數的和為64

C.展開式中無常數項D.第4項的系數最大

【考點】二項式定理.

【專題】整體思想；綜合法；二項式定理；運算求解.

【答案】AC

【分析】由題意，利用二項式系數的性質，二項式展開式的通項公式，逐一判斷各個選項是否正確，從

而得出結論.

【解答】解：對于（久-芻5的展開式，

令x=l,得各項的系數之和為（1-2）5=-I,A正確；

二項式系數的和為25=32/64,B錯誤;

它的通項公式為5+1=CP（-2）r-x5-2r,

令5-2r=0,求得r=2.5￡N,故其展開式中無常數項，C正確；

在（x-35的展開式，第1、3、5項的系數均為正，第4項的系數為/（-2）3=-80<0,。錯誤.

故選：AC.

【點評】本題考查二項式定理及其應用，屬于中檔題.

三.填空題（共5小題）

13.（1+2/）2+§4的展開式中常數項為14.（用數字作答）

【考點】二項展開式的通項與項的系數.

【專題】轉化思想；轉化法；二項式定理；運算求解.

【答案】14.

【分析】結合二項式定理，即可求解.

【解答】解：。+64展開式的通項為圖+1==或/-2乙

故（1+2x2）（x+的展開式中常數項為此+2CI=14.

故答案為：14.

【點評】本題主要考查二項式定理的應用，屬于基礎題.

14.若"為一組從小到大排列的數1,2,4,6,9,10的第六十百分位數，則二項式Qx+5y1的展開式

的常數項為240.

【考點】二項式定理的應用；百分位數.

【專題】轉化思想；綜合法；二項式定理；運算求解.

【答案】240.

【分析】由題意，根據百分位數的定義可得見=6,再寫出二項式的通項，可得常數項.

【解答】解：由6*60%=3.6,可知〃=6,

所以二項式為（2久+5）6.

其展開式的通項為j1=C＞（2x）6-r?（—）r=26r'C^x63r,

令6-3r=0,即r=2,

所以常數項為73=24-C^=240.

故答案為：240.

【點評】本題考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，百分位數的應用，屬于中檔題.

15.己知（必一豕3+與）5的展開式中各項系數的和是2,則展開式中尤的系數為-200（用數字作

答）.

【考點】二項展開式的通項與項的系數.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；二項式定理；邏輯思維；運算求解.

【答案】-200.

【分析】代入尤=1,解出。=-2,再利用二項展開式的通項公式進行合理賦值即可.

【解答】解：令尤=1,得（比5—當3+3）5的展開式中各項系數的和為（-2）X（a+1）5=2,

解得a=-2,

故該展開式的通項為底+1=C《（-2x）5-k久口=（-2）5-上.C&5-3k,

分別令％=3,k=l,可得展開式中x的系數為(一2)2磨一3x(-2＞己=-200.

故答案為：-200.

【點評】本題考查的知識點：二項式的展開式，組合數，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題.

16.“楊輝三角”是中國古代重要的數學成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是由“楊

輝三角”拓展而成的三角形數陣，記期為圖中虛線上的數1,3,6,10,依次構成的數列的第〃項，則

1111200

—+—+—+…+----的值為

ala2a3a100TOT

1

11.

12V

13y1

146/41

1510/1051

【考點】二項式定理的應用.

【專題】計算題；整體思想；綜合法；等差數列與等比數列；運算求解.

200

【答案】

【分析】直接利用疊加法求斯，裂項相消法求出數列的和.

【解答】解：根據題意：。2-。1=2,43-42=3,…，an-an-\=n,

利用疊加法：dn-=2+3+4+~+〃,

由=1,ctn=1+2+3+4+…+九=―（「―

?I111

所以工=2X（￡—Q）,

111111111200

則—+—+—+—F------=2（1一―+一一一+…+---------）=---

。100223100101101

故答案為：職

【點評】本題主要考查數列求和，屬于中檔題.

17.已知工8=40+41（尤-1）+ai（X-1）2+…+48（尤-1）8,則CZ2的值為28

【考點】二項式系數的性質.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；二項式定理；邏輯思維；運算求解.

【答案】28.

【分析】直接利用二項式的展開式以及組合數的應用求出結果.

【解答】解：式8=[(x-1)+l]8=ao+q](%-1)+a2(x-1)?+…+制(無-1)*

根據[（X-1）+1]8的展開式〃+1=eg.（%一1）8-r。=0,1,2,3,4,5,6,7,8）,

當r=6時，a2=CQ=28.

故答案為：28.

【點評】本題考查的知識點：二項式的展開式，組合數，主要考查學生的運算能力，屬于基礎題.

四.解答題(共5小題)

n23n

18.(2x—l)=a0+a1x+a2x+a3x+—I-anx(jieN*),若(2x-I)”的展開式中第4項與第8項

的二項式系數相等.

(1)求”的值；

(2)求/的系數；

(3)求團|+|<72|+|。3|+…+|即|的值.

【考點】二項展開式的通項與項的系數；二項式系數的性質.

【專題】轉化思想；綜合法；二項式定理；運算求解.

【答案】(1)"=10；

(2)180；

(3)310-1.

【分析】(1)應用已知條件利用二項式系數的性質求出加

(2)由(1)的結論，結合二項式定理求出42.

(3)由(1)的結論，利用賦值法求出所求式子的值.

【解答】解:(1)(2x-l)”的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，則第=以，解得〃=10,

所以"=10.

(2)由(1)知，(2x-1)1°的展開式中X2項為：C/o(2久AJIT=180/,所以42=180.

(3)由(1)知，(2x-1)1°的展開式中，

當X=0時，470=1,

因為。2,。4,<76,as,aioG(0,+°°),a\,as,as,ai,age(-°°,0),

所以|。0|+|。1|+|。2|+|。3|+…+|mo|=ao-ai+ai-a3+'+aio,

1010

當x--1時，a0-+a2-a3+—I-a10—(-3)=3,

=10

所以la/+|a2|+I^31+…+|a?il3—1.

【點評】本題主要考查二項式定理的應用，考查計算能力，屬于中檔題.

19.在(2x+1)n的展開式中，.

給出下列條件：①二項式系數和為64；②各項系數之和為729；③第三項的二項式系數為15.試在是

三個條件中任選一個，補充在上面的橫線上，并且完成下列問題:

(1)求”的值并求展開式中的常數項；

(2)求(l+%2)(2x+mn展開式中/的系數.

【考點】二項式定理的應用.

【專題】轉化思想；綜合法；二項式定理；運算求解.

【答案】(1)"=6,展開式常數項為160；

(2)400.

【分析】(1)若選①利用二項式系數和公式先求%結合展開式通項公式可求常數項；若選②利用賦值

法先求”，結合展開式通項公式可求常數項；若選③利用二項式定理先求"，結合展開式通項公式可求

常數項；

(2)利用二項式定理及其展開式通項可求指定項系數.

【解答】解：二項式為：(2x+i)n,

(1)若選①，易知2〃=64,則”=6,此時(2%+》6的常數項為底(》3(2?3=160；

若選②，令x=l,則(2+力n=3皿=729,

則n=6,此時(2x+乎的常數項為碇$3(2X)3=160；

若選③，易知鬃=15,則n=6,此時(2x+J)6的常數項為服?)3(2久)3=160;

(2)由上可知不論選①②③，都有〃=6,

則問題為求(1+X2)(2x+展開式中尤2的系數，

所以(1+*2)(2%+36展開式中含f的項為：*6)2(2尤)4=240/,和160/，

而240尤2+160/=4007,所以其系數為400.

【點評】本題主要考查二項式定理的應用，考查計算能力，屬于中檔題.

20.在(l+2x)8的展開式中，求；

(1)含城的項；

(2)各項系數和(用數字作答)；

(3)系數最大的項是第幾項？

【考點】二項展開式的通項與項的系數.

【專題】整體思想；綜合法；二項式定理；運算求解.

【答案】(1)448?；

(2)6561；

(3)第6項和第7項.

【分析】(1)結合二項式展開式的通項公式求解；

(2)在(l+2r)8的展開式中，令》=1可得解；

「n>r-n-1nn-1

｛然后求解即可.

【解答】解：(1)在(l+2x)8的展開式中，

含d的項為;Cl(2尤)3=448x3；

(2)在(1+2%)8的展開式中，令尤=1,

則各項系數和(1+2X1)8=6561；

(3)設系數最大的項是第"+1項，

Cf-2">睹T-2nT

則

n九+

睹■2>Cj+i,21'

(2-8!、8!

Jn!-(8-n)!-(n-l)!-(9-n)!

人」j8!28!，

(川.(8f)!-(n+l)!-(7-n)!

即5W"W6,

即系數最大的項是第6項和第7項.

【點評】本題考查了二項式定理的運用，屬中檔題.

65432

21.設(2久—1)6=a6x+a5x+a4x+a3x+a2x+aIx+a0,求：

(I)。6+。5+。4+。3+。2+。1;

(II)。6+。4+。2+。0;

(III)64a6+32。5+16。4+8。3+4。2+2。］+ao.

【考點】二項式系數的性質.

【專題】轉化思想；綜合法；二項式定理；運算求解.

【答案】(1)0；

(II)365；

(III)729.

【分析】(I)取X=。算出00=1,取X=1算出所有項的系數和，進而求出。6+々5+。4+。3+。2+。1的值;

(II)分別取X=l、-1,得到關于。5+。3+。1與。6+44+02+0)的方程組，解之即可得到本題的答案.

(III)取x=2并化簡，即可得至U64a6+32o5+16a4+8a3+4a2+2ai+ao的值.

665432

【解答】解：(I)對于(2%—I)=a6x+a5x+a4x+a3x+a2x+atx+a0,

取x=l,可得(2-1)6=a6+as+a4+a3+a2+ai+ao=1,

再取尤=0,可得(-1)6=ao,即ao=l,兩式相減得°6+。5+。4+。3+。2+。1=0;

(II)由(I)得(16+。5+。4+。3+。2+。1+。0=1,即(。6+。4+。2+。0)+(。5+。3+。1)=1…①，

取x=-l,可得(-3)6=。6-。5+。4-。3+。2-。1+。0=729,即(a6+a4+a2+ao)-(a5+a3+ai)=729…

②.

由①②組成方程組，解得。6+。4+。2+。0=365;

665432

(IID對于(2久—I)=a6x+a5x+a4x+a3x+a2x+arx+a0,

取x=2,得(2X2-1)6=a6?26+a5?25+a4?24+a3?23+a2?22+ai?2i+ao=729,

整理得64。6+32。5+16a4+8a3+4a2+2ai+ao=729.

【點評】本題主要考查運用賦值法求系數和、二項式定理等知識，考查了計算能力、邏輯推理能力，屬

于中檔題.

22.(1)用0,1,2,3,4,5可以組成多少個無重復數字的五位數？

(2)用0,1,2,3,4,5這六個數字組成無重復數字的六位數，若所有的六位數按從小到大的順序組

成一個數列｛板｝,則240135是第幾項.

【考點】數字問題.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；排列組合；運算求解.

【答案】(1)600；(2)193.

【分析】(1)根據題意，先排首位，再排其它位置，進而結合分步計數乘法原理得到答案；

(2)根據所給數字，考慮首位數字是1和2兩種情況，當首位數字為1時都比240135小，當首位數字

為2時考慮比240135小的數字，進而根據排列數公式和分類加法計數原理得到答案.

【解答】解：(1)由于是五位數，首位數字不能為0,

首位數字有星=5種排法，

其它位置有盥=120種排法，

所以用0,1,2,3,4,5可以組成5X120=600個無重復數字的五位數.

(2)由于是六位數，首位數字不能為0,

首位數字為1有福個數，

首位數字為2,萬位上為0,1,3中的一個有3題個數，

所以從小到大排列，240135是第福+3能+1=193個，

即所有的六位數按從小到大的順序組成一個數列｛沏｝,240135是數列的第193項.

【點評】本題主要考查排列、組合及簡單計數問題，考查運算求解能力，屬于中檔題.

考點卡片

1.百分位數

【知識點的認識】

百分位數的定義：一般地，當總體是連續變量時，給定一個百分數pe（0,1）,總體的°分位數有這樣的

特點，總體數據中的任意一個數小于或等于它的可能性是p.

四分位數：25%,50%,75%分位數是三個常用的百分位數.把總體數據按照從小到大排列后，這三個百

分位數把總體數據分成了4個部分，在這4個部分取值的可能性都是》因此這三個百分位數也稱為總體

4

的四分位數.

【解題方法點撥】

一般地，一組數據的第p百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有p%的數據小于或等于這個值，

且至少有（100-p）%的數據大于或等于這個值.計算一組"個數據的第p百分位數步驟如下：

①按從小到大排列原始數據；

②計算i="Xp%；

③若i不是整數，而大于，的比鄰整數為則第p百分位數為第，項數據；若，是整數，則第p百分位數

為第i項與第（計1）項數據的平均數.

【命題方向】

理解連續變量的百分位數的統計含義，考察百分位數的計算，學會用樣本估計總體的百分位數.

2.分步乘法計數原理

【知識點的認識】

1.定義：完成一件事需要分成兩個步驟：做第1步有機種不同的方法，做第2步有〃種不同的方法，那

么完成這件事共有：N=mX〃種不同的方法.

2.推廣：完成一件事需要分成幾個步驟：做第1步有的種不同的方法，做第2步有“72種不同的方法，…，

做第〃步有加"種不同的方法，那么完成這件事共有：N=?J1X加2義…義〃譏種不同的方法.

3.特點：完成一件事的"個步驟相互依存，必須依次完成"個步驟才能完成這件事；

4.注意：與分類加法計數原理區別

分類加法計數原理分步乘法計數原理

相同點計算”完成一件事”的方法種數

不同點分類完成，類類相加分步完成，步步相乘

每類方案中的每一種方法都每步依次完成才算完成這件

能獨立完成這件事事情（每步中的每一種方法

不能獨立完成這件事）

注意點類類獨立，不重不漏步步相依，步驟完整

【解題方法點撥】

如果完成一件事情有〃個步驟，各個步驟都是不可缺少的，需要依次完成所有的步驟才能完成這件事，則

可使用分步乘法計數原理.

實現步驟：

（1）分步；

（2）對每一步的方法進行計數；

（3）用分步乘法計數原理求積；

【命題方向】

與實際生活相聯系，以選擇題、填空題的形式出現，并綜合排列組合知識成為能力型題目，主要考查學生

分析問題和解決問題的能力及分類討論思想.

例：從1,2,3,4,5,6,7這七個數字中任取兩個奇數和兩個偶數，組成沒有重復數字的四位數，其中

奇數的個數為（）

A.432及288C.216D.108

分析:本題是一個分步計數原理,先從4個奇數中取2個再從3個偶數中取2個共盤窗，再把4個數排列，

其中是奇數的共用“種，根據分步計數原理得到結果.

解答：?..由題意知本題是一個分步計數原理，

第一步先從4個奇數中取2個再從3個偶數中取2個共立第=18種，

第二步再把4個數排列，其中是奇數的共膽北=12種，

所求奇數的個數共有18X12=216種.

故選C

點評：本題考查分步計數原理，是一個數字問題，數字問題是排列中的一大類問題，把排列問題包含在數

字問題中，解題的關鍵是看清題目的實質，很多題目要分類討論，要做到不重不漏.

3.數字問題

【知識點的認識】

-數字問題涉及數字的排列組合、數字的特性以及數位的安排.例如：求解由數字構成的不同整數的數量、

分析某一數字在特定數位上的可能性、或求解滿足特定條件的整數個數.

-數字問題通常涉及到計數原理在數字排列中的應用，以及整數的分配與組合.

【解題方法點撥】

-首先分析題目中的數字特性，如數字的范圍、允許的重復次數等.

-使用排列數或組合數來計算數字的不同排列組合方式，必要時采用分類討論的方式處理特殊情況.

-在涉及限制條件（如某些數位必須滿足特定要求）時，先處理限制條件，再進行組合計算.

【命題方向】

-典型的數字問題命題包括：計算由給定數字組成的不同整數的數量，或者確定某一數位上特定數字出現

的頻率.

-可能涉及到數字排列的特殊情況，如求解滿足某些數位條件的整數個數，或計算某些數字在排列中的特

定組合數量.

-在更復雜的問題中，可能需要結合多種計數方法，如遞推公式或生成函數來處理數字的排列組合.

4.部分位置的元素有限制的排列問題

【知識點的認識】

-部分位置的元素排列受限是指在排列問題中，某些元素只能出現在特定位置或區域.例如：特定元素只

能出現在排列的前幾位或某些位置.

-這種問題通常要求考生在處理排列時，先考慮限制條件，再進行一般排列.

【解題方法點撥】

-處理此類問題時，首先對有限制的部分進行排列，將有限制的元素排好位置，然后對剩余元素進行排列

組合.

-使用乘法原理，將有限制的排列與剩余元素的排列相乘得到總數.

-對于較復雜的限制條件，可能需要分類討論，并對每種情況進行單獨計算.

【命題方向】

-常考察在特定位置或區域內元素的排列，如規定某些元素必須在前幾位，或必須固定在某些位置的排列

問題.

-命題可能涉及多重限制條件的綜合分析，要求考生靈活運用排列數公式.

5.部分元素不相鄰的排列問題

【知識點的認識】

-部分元素不相鄰的排列問題要求在排列過程中，特定元素必須保持不相鄰.例如：在排列中，兩個特定

元素不能排在一起.

-這類問題通常通過排除法、間隔法或插空法來解決.

【解題方法點撥】

-使用間隔法，首先將不受限制的元素排列，然后在排列間隙中插入受限制的元素，保證其不相鄰.

-排除法是先計算不考慮相鄰條件的排列總數，再減去相鄰元素排列的情況.

-對于更復雜的排列問題，可以結合插空法或利用遞推關系進行解題.

【命題方向】

-命題方向可能要求考生求解特定元素不相鄰的排列總數，或者分析多個元素不相鄰的組合情況.

-題目可能涉及多個不相鄰條件的疊加，要求考生準確處理這些條件.

6.部分元素相鄰的排列問題

【知識點的認識】

-部分元素相鄰的排列問題要求在排列過程中，特定元素必須相鄰排列.例如：在排列中，兩個或多個元

素必須排在一起.

-這類問題通常通過將相鄰元素視為一個整體來簡化排列.

【解題方法點撥】

-通過將相鄰的元素看作一個整體，然后對這個整體和其他元素一起進行排列.最后，再對這個整體內部

的元素進行排列.

-使用乘法原理，將整體的排列與內部元素的排列相乘，得到總的排列數.

-對于涉及多個相鄰元素的問題，可以進行多重整體處理，逐層遞進排列.

【命題方向】

-常見命題方向包括要求特定元素相鄰的排列問題，或多組元素必須相鄰排列的情況.

-題目可能涉及多個相鄰條件的處理，要求考生靈活應用相鄰元素排列的策略.

7.排列組合的綜合應用

【知識點的認識】

1、排列組合問題的一些解題技巧：

①特殊元素優先安排；

②合理分類與準確分步；

③排列、組合混合問題先選后排；

④相鄰問題捆綁處理；

⑤不相鄰問題插空處理；

⑥定序問題除法處理；

⑦分排問題直排處理；

⑧“小集團”排列問題先整體后局部；

⑨構造模型；

⑩正難則反、等價轉化.

對于無限制條件的排列組合問題應遵循兩個原則：一是按元素的性質分類，二是按時間發生的過程進行分

步.對于有限制條件的排列組合問題，通常從以下三個途徑考慮：

①以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；

②以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；

③先不考慮限制條件，計算出排列或組合數，再減去不符合要求的排列或組合數.

2、排列、組合問題幾大解題方法：

（1）直接法；

（2）排除法；

（3）捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個相關元素當作一個元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們

“局部”的排列.它主要用于解決“元素相鄰問題”；

（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元

素不相鄰問題”；

（5）占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應優先排列，然后再排其他一般元素；從位置

的特殊性上講，對問題中的特殊位置應優先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解

題原則；

（6）調序法：當某些元素次序一定時，可用此法；

Jbi~~n

（7）平均法：若把加個不同元素平均分成左組，每組〃個，共有X：；

（8）隔板法：常用于解正整數解組數的問題；

（9）定位問題：從〃個不同元素中每次取出4個不同元素作排列規定某廠個元素都包含在內，并且都排在

某r個指定位置則有幺：幺二:；

（10）指定元素排列組合問題：

①從"個不同元素中每次取出左個不同的元素作排列（或組合），規定某r個元素都包含在內.先C后A

cYck-Yqkr/^tk-r

策略，排列C.Ch,Ng；組合C，Ck,；

②從w個不同元素中每次取出上個不同元素作排列（或組合），規定某廠個元素都不包含在內.先C后A

策略，排列組合。

③從“個不同元素中每次取出上個不同元素作排列（或組合），規定每個排列（或組合）都只包含某r個元

素中的S個元素.先C后A策略，排列C；C*組合。

8.二項式定理

【知識點的認識】

二項式定理又稱牛頓二項式定理.公式Q+6）"=￡之。?從通過這個定理可以把