期末復習（三）——平行四邊形

知識點1平行四邊形的性質和判定

1.平行四邊形不一定具有的性質是（）

A.對邊平行B.鄰邊相等C.對角相等D.對角線互相平

2.如圖1,在o/BCD中，DE平分/4DC,AD=8,BE=3,則CD=(

圖1

A.4B.5C.6D.7

3.如圖2,四邊形N5CD的對角線NC,AD相交于點0,下列條件不能判定四邊形/BCD

是平行四邊形的是（）

圖2

A.OA^OC,OB=ODB.AB=CD,AD=BC

C.ZBAD=ZBCD,AB//CDD.AB^CD,40=C0

4.如圖3,4D〃2C,/2〃CD,E是直線BC上一點，若的面積為6,則四邊形4BCD

的面積為.

圖3

5.如圖4,在O4BCD中，AE,CF分別平分/24D和/BCD,交對角線AD于點E,

F.

（1）若/2CF=75。，求//2C的度數.

（2）連接CE,/F.求證：四邊形NECF是平行四邊形.

圖4

知識點2矩形的性質和判定

6.如圖5,要使O/8CD為矩形，可以添加的條件是()

A.AC±BDB.AC=BDC.ZAOB=6Q°D.AB=BC

7.如圖6,將矩形/BCD沿對角線BD折疊，記點C的對應點為點C.若乙4〃(7=20。,

則NADC的度數為()

A.50°B.550C.60°D.650

8.如圖7,在矩形/BCD中，對角線/C,50相交于點O,若。8=2,ZACB=3Q°,

則BC的長度為.

9.如圖8,在矩形/BCD中，E,尸分別是CD的中點，連接DE,BF,分別取

DE,"的中點M,N,連接/M,CN,MN.若AB=2梃,BC=4,則圖中陰影部分的面積

為.

圖8

10.如圖9,在△/BC中，/￡是邊8c上的高，過點/作且NO=￡C,連接C

D.

(1)求證：四邊形NECD是矩形；

(2)若NC平分/D/8,AB=5,EC=2,求CD的長.

AD

EC

□知識點3菱形的性質和判定

11.如圖10,O/8CZ）的對角線4C,5。相交于點O,則添加下列條件后，能判定四邊

形ABCD是菱形的是（）

圖10

A.AB=ACB.AC-LBDC.AB=CDD.AC=BD

12.如圖11,在菱形45CZ）中，過點。作C￡_L5C,交對角線5。于點E,若NBAD=

118°,則NC￡5=（）

C

圖11

A.590D.720

13.如圖12,在菱形45CQ中，對角線3。，ZC的長分別為6cm和8cm,則邊上

的高。￡的長為（）

B

圖12

A.2.4cmB.4.8cmC.5cmD.9.6cm

14.如圖13,在平面直角坐標系中，菱形45CZ）的頂點Z在歹軸上，頂點3,。的

坐標分別為（一3,0）,（2,0）,則頂點。的坐標為（）

A.(4,5)B.(5,4)C.(5,3)D.(4,3)

15.如圖14,在oNBCD中，BE_LCD于點E,_L8C于點憶BE與。尸相交于點P,

且BE=DF.

(1)求證：四邊形/BCD是菱形；

(2)若/4=45。，△8"的周長為4,則N8的長為.

知識點4正方形的性質和判定

16.下列性質中，正方形具有而矩形不具有的是()

A.相鄰兩內角互補B.兩組對角分別相等

C.兩條對角線互相垂直D.兩組對邊分別平行且相等

17.如圖15,在正方形中,E是對角線NC上一點，^.AE=AB,則NE3C的度

數是()

A.2O0B.22.50C.3O0D.450

18.如圖16,在菱形N8CD中,對角線NC,8。相交于點。，請添加一個條件:

—,使菱形/BCD是正方形.

圖16

19.如圖17,在正方形N8CD中,對角線/C,8。相交于點O,M是邊/。上一點，連

接OM,過點0作ON1OM,交于點N.若四邊形MQVD的面積是1,則的長為

AD

N

BC

圖17

20.如圖18,已知菱形/BCD,E,尸是對角線8。所在直線上的兩點，連接NE,CE,

AF,CE已知8￡=。尸，ZAED=45°.

（1）求證：四邊形NEW是正方形；

（2）若8。=4,BE=3,求△8CE的周長.

圖18

知識點5三角形中的重要線段

21.如圖19,在△48C中，E,尸分別是邊NC的中點.若△，￡廠的周長為5,則△NBC

的周長為（）

R

圖19

A.8B.10C.12D.14

22.如圖20,在中，CD是斜邊N8上的中線，若//=26。，則的度數

為（）

CA

圖20

A.260B.480C.52°D,640

23.如圖21,D,E,尸分別是A/BC各邊的中點，下列說法正確的是（）

圖21

N.DE=DFB.EF=%BCS&ABD=S^ACDD.4D平分/R4c

24.如圖22,線段DE與/尸分別是△48C的中位線與中線，連接。FEF.

（1）求證：四邊形4DFE是平行四邊形.

（2）當線段N尸與3C滿足怎樣的數量關系時，四邊形NOEE是矩形？并說明理由.

圖22

聞曾硼綴

基礎題

1.在O/8CD中，Z^+ZC=200°,則N3的度數為（）

A.13O0B.1OO0C.8O0D.7O0

2.下列條件中，不能判定一個四邊形是平行四邊形的是（）

A.兩組對角分別相等B.兩組對邊分別平行

C.兩條對角線相等D.一組對邊平行且相等

3.如圖23,在菱形/BCD中，//3C=120。,對角線3。=4,則菱形/BCD的面積是（）

圖23

A.16B.8gC.8亞D.4g

4.在木藝活動課上，老師拿出了一塊平行四邊形木板，以下測量方案中，能確定這塊木

板是矩形的是（）

A.測量兩組對邊相等B.測量一組鄰邊相等

C.測量對角線相等D.測量對角線互相垂直

5.如圖24,在周長為10cm的o/BCD中，AB<AD,AC,8。相交于點O,過點O作

OELBD交AD于點E,連接則△48E的周長為（）

AED

圖24

A.4cmB.5cmC.8cmD.10cm

6.有一架豎直靠在與地面垂直的墻上的梯子正在下滑，在墻角有一只貓緊緊盯住位于梯

子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉.將梯子、貓和老鼠看作同一平面內的線或點,

其示意圖如圖25所示.已知N/O8=90。，點8分別在射線ON,OM1.,48的長度始終

保持不變，P為的中點，梯子N端沿墻向下滑行，同時，梯子8端沿地面向右滑行.在

此滑動過程中，貓與老鼠之間的距離。尸的變化情況是（）

A不變B.變小D.無法判斷

7.如圖26,在平面直角坐標系中，四邊形是正方形，點/的坐標為（1,0）,點、B

的坐標為（一2,4）,點。在第一象限，則點C的坐標為.

8.如圖27,在o/BCD中，對角線NC,8。相交于點E,ZCBD=90°,BC=4,AC=

10,則o/BCD的面積為.

9.如圖28,在矩形N3CD中，對角線NC,8。相交于點O,過點。作交

于點￡,相交于點e已知/8=4,的面積為5,則的長為

AED

B/FC

圖28

10.如圖29,菱形/BCD的對角線/C和8。相交于點O,BE//AC,CE//BD.

(1)求證：四邊形O8￡C是矩形；

⑵連接若/N8C=120。，AD=2,求的長.

BE

圖29

11.如圖30,在矩形/BCD中，M,N分別是邊NO,8c的中點，E,尸分別是線段

BM,CM的中點，連接NE,NF.

(1)求證：四邊形AffiNF是菱形；

(2)當N8：：2時，求證：四邊形MENF是正方形.

圖30

提升題

12.如圖31,已知正方形/BCD的邊長為4,P是對角線8。上一點，PE1.BC于點E,

PFLCD于點、F,連接NP,EE下列結論?PD=y[2DF,②四邊形PECF的周長為8；③EF

的最小值為2；④/尸，￡尸.其中正確結論的序號有()

圖31

A.①②B.①②④C.②③④D.①②③

13.如圖32,在矩形/BCD中，AB=3cm,8C=6cm.點尸從點。出發沿ZM向點/運

動，運動到點/停止；同時，點。從點8出發沿3C向點C運動，運動到點C停止，點尸，Q

的速度均是1cm/s.連接PQ,AQ,CP.設點尸，。運動的時間為ts.

(1)當/=時，四邊形/8QP是矩形；

(2)當t為何值時，四邊形AQCP是菱形；

(3)求(2)中菱形NQCP的周長.

BQfC

圖32

14.如圖33,G是正方形N8CD的對角線C4的延長線上的一點，以/G為邊作正方形

AEFG,連接GD,￡8與GZ)相交于點"

(1)求證：GD=EB；

(2)判斷E8與GD的位置關系，并說明理由；

(3)若N8=2,AG=@求￡8的長.

圖33

期末復習(三)—平行四邊形

1.B2.B3.D4.12

5.(1)解：:CF平分/BCD,/BCF=75。,

：.ZBCD=2ZBCF=2X15o=l50°.

:四邊形/BCD是平行四邊形，CD

NABC=180°-ZBCD=180°-150°=30°.

(2)證明：二?四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB=CD,AB//CD,ZBAD=ZBCD.：.ZABE=ZCDF.

'：AE,CF分別平分/胡。和/BCD,

11

/./BAE=-/BAD,ZDCF^-ZBCD.：.NB4E=ZDCF.

22

QBE=NCDF,

在AABE和△CDF中，“8=CD

I/BAE二NDCF,

：.△/3￡gZ\CDF(ASA).；.ZAEB=ZCFD,AE=CF.

/.180°-ZAEB=180°—/CFD,即/AEF=ZCFE.

CE.?.四邊形AECF是平行四邊形.

6.B7.B8.2A/39.4也

10.⑴證明：'：AD=EC,AD//BC,即/Z)〃￡C,

.??四邊形/ECO是平行四邊形.

?是邊3c上的高，AZAEC^90°.

.??四邊形NEC。是矩形.

(2)解：：/C平分：./BAC=NDAC.

'JAD//BC,：.ADAC=ZBCA.

：.NBCA=NBAC.；.CB=AB=5.

"：EC=2,：,BE=CB~EC=5~2=3.

在RtZ\48E中，由勾股定理，WAE=^AB2_BE1^2_32=4.

?四邊形/ECO是矩形，；.CD=/E=4.

11.B12.A13.B14.B

15.(1)證明："：BE±CD,DFLBC,:.NCEB=NCFD=9。。.

zZC=ZC

在△CFO和△CE3中,JZCFD=2CEB

、DF=BE,,

：.ACFDqACEB(AAS).：.CD=CB.

又四邊形/BCD是平行四邊形，.?.四邊形/BCD是菱形.

(或：2E_LCD,DF±BC,

：.SnABCD=BE-CD=DFBC.

又BE=DF,：.CD=BC.：.口ABCD是菱形.)

⑵解：4.

16.C17.B18.48J_8c(答案不唯一)19.2

20.(1)證明：如答圖1,連接NC交AD于點Q

答圖1

:四邊形48co是菱形，

：.AO=CO,BO=DO,ACLBD.

,:BE=DF,

：.BE+BO^DF+DO,即E0=F0.

下與NC互相垂直平分.

四邊形NEC尸是菱形.

；.EF平分N4EC.

：.ZAEC=2AAED=2X45°=90°.

.??四邊形/ECF是正方形.

(2)解：：四邊形/BCD是菱形，.?.5O=；8O=；X4=2.

：.EO=BO+BE=5.

.四邊形是正方形，

：.ZCOE=90°,CO=EO=5.

：.CE=?EO2+。。2=袍2+52=5啦,

BC=ylBO2+(%>2=、22+52=回.

/kBCE1的周長為BC+CE+BE^yl29+5y[2+3.

21.B22.C23.C

24.(1)證明：由題意，得。是48的中點，￡是/C的中點，廠是3C的中點，

：.AD=-AB,E尸是△48C的中位線.

2

1

：.EF//AB,EF=-AB.：.EF//AD,EF=AD.

2

.??四邊形NDFE是平行四邊形.

(2)解：當/尸=/c時，四邊形40尸￡是矩形.理由如下：

?.,線段DE是△/BC的中位線，

2

1

?；AF=-BC,；.AF=DE.

2

又四邊形ADFE是平行四邊形，

.??四邊形/。底￡是矩形.

常考訓練l.C2.C3.B4.C5.B6.A7.(2,7)8.249.3

10.(1)證明：\'BE//AC,CE//BD,

：.四邊形OBEC是平行四邊形.

?四邊形/BCD是菱形，；./C_L3D

ZBOC=90°.：.四邊形OBEC是矩形.

(2)解：：四邊形48。是菱形，

11

:.BC=AD=2,NCBD=-NABC=-X120°=60°,OB=OD,4CLBD,即/5OC=90°.

22

NOCB=180°-NBOC—ZCBD=30°.

1

：.OB=OD=-BC=\.：.BD=2.

2

在RtZXBOC中，OC&BC12_。必=也2_

,四邊形。AEC是矩形，，2E=0C=g,/DBE=90。.

2

在中，DE=^BD^+BE^=^+(V3)=^7.

11.證明：(1)：N,E,尸分別是8C,BM,CM的中點，

11

:.NE〃MF,NF//EM,ME=-BM,MF=-CM.

22

四邊形MENF是平行四邊形.

:四邊形/BCD是矩形，：.AB=DC,ZA=ZD=90°.

：M是/。的中點，；.AM=DM.

1AM=DM

在和中，IZA=ZD

(AB=DC'

AABM沿AZ)CM(SAS).；.BM=CM.

：.兒出=〃R；.四邊形MENF是菱形.

(2)：四邊形/BCD是矩形，：.AB=DC,ZA=ZD=90°.

：M是的中點，；.AM=DM=-AD.

2

1

\"AB：^￡>=1：2,：.AB=-AD.

2

；.4B=AM=DM=DC.

1