2024-2025學年九年級數學下學期開學摸底考01

（人教版）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求

的）

1.下列各數中，屬于有理數的是（）

A.41B.兀C.V5D.-2

2.下列幾何體中，主視圖和左視圖都為矩形的是（）

3.如圖，把一張長方形紙條沿E尸折疊，若2=55。，則/FGE應為（）

A.70°B.35°C.55°D.不能確定

l-x>0

不等式組的解集，在數軸上表示正確的是（)

2x—1>—5

J|4IAB.—】II1—C.—111——i1-^D.-11I

-2-1012-2-102-2-1012-2-102

第1頁共8頁

5.如圖，圓弧形橋拱的跨度4B為24米，拱橋所在圓的半徑為13米，則拱高CD為（）

A.2米B.4米C.8米D.10米

6."白日不到處，青春恰自來.苔花如米小，也學牡丹開.”若苔花的花粉直徑約為0.0000084米，則數據0.0000084

用科學記數法表示為（）

A.8.4x10-6B.8.4x10-5C.8.4*10"D.8.4xl06

7.古代名著《孫子算經》中有一題：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步.問人與車各幾何？其譯文為：

每三人乘一車，最終剩余2輛車，每2人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘，設有車x輛，則根據題意，可列出

方程（）

A.3（x+2）=2x-9B,3（x+2）=2x+9C.3（x-2）=2x+9D.3（x-2）=2x-9

8.某次戶外研學活動中，數學老師給同學們布置了一項測量樹高的任務.如圖，在地面上的點/處測得樹頂8的

仰角a=75。，若ZC=6米，則樹高2c為（）

B

A.6sin75°米B.——--米C.——-——米D.6tan75。米

cos75°tan75°

第2頁共8頁

9.二次函數v=ax~+bx+c（abc^O）的圖象如圖所示，反比例函數了=一與正比例函數尸?在同一坐標系內的大致

x

圖象是（）

10.學校組織學生參加木藝藝術品加工勞動實踐活動，已知某木藝藝術品加工完成共需A、B、C、D、E、F、

G七道工序，加工要求如下：①工序C、。須在工序A完成后進行，工序E須在工序B、。都完成后進行，工序

尸須在工序C、。都完成后進行；②一道工序只能由一名學生完成，此工序完成后該學生才能進行其他工序；

③各道工序所需時間如下表所示：

A.26分鐘B.27分鐘C.28分鐘D.29分鐘

第n卷

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）

11.因式分解：2x3-8x=.

12.設0,6是一元二次方程一+2無一1=0的兩個不相等的實數根，貝心2+必+62的值為.

13.如圖，小明與小敏玩蹺蹺板游戲，支點。是蹺蹺板的中點，兩人分別坐在蹺蹺板兩端（即。尸=OG）,如果點

。至地面的距離是50cm,當小敏從水平位置8下降40cm,這時小明離地面的高度是.

14.為提高學生身體素質，某校舉辦了“陽光體育節”活動，下表是小方同學參加活動的得分情況:

評總分時，按跑步占45%,花樣跳繩占30%,立定跳遠占25%考評，則小方同學的最終得分為分.

第3頁共8頁

15.如圖，四邊形NDBC內接于G＞。，四邊形是平行四邊形，則N4AD的度數是.

16.為解決學生飲水安全問題，某中學在每個班級安裝一臺標價為1800元的飲水機，因購買數量較大，商家給予了

八折優惠，這樣每臺飲水機仍可獲利2。％,則每臺飲水機的進價為元.

三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分，第22、23題每

小題9分，第24、25題每小題10分，共72分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（6分）計算：|-V2|+4cos450-V18+

18.（6分）先化簡三字十]第一x+1],然后從-（逐的范圍內選取一個你喜歡的合適的整數作為x的

值代入求值.

第4頁共8頁

19.（6分）如圖，在△/BC中，ZC=90°.

⑴實踐與操作：用尺規作圖法作NN的平分線/。交8c于點。；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）應用與證明：在（1）的條件下，以點。為圓心，DC長為半徑作。。.求證：與。。相切.

20.（8分）教育部提出了要改進美育教學，某學校準備開設感受美、表現美，鑒賞美，創造美4項藝術課程，為了

解學生的參與情況，該校隨機抽取了部分學生的報名情況（每人選報一個項目），小甬根據調查結果繪制了兩幅不

完整的統計圖，請你根據圖中信息，解答下列問題：

目

⑴本次抽樣調查的總人數為,請將條形統計圖補充完整.

（2）扇形統計圖中"創造美”對應的圓心角的度數為,若該學校共有學生1200名，請估計參加"感受美"有多少

人？

⑶通過課程學習和初選有4名優秀同學（兩男兩女）在“創造美"上表現突出，學校將推薦2名同學到市上參加“創

造美"比賽.請用畫樹狀圖或列表法求出到市上參加比賽的兩人恰為一男一女的概率.

第5頁共8頁

21.(8分)如圖，菱形48CD的對角線/C,BD交于點0,點、E,尸分別在D4,3c的延長線上，且

CF=AE.

(2)若4E=3,tan/03C=；,求菱形N8CD的邊長.

①求證：四邊形班五D是矩形;

22.(9分)2023年9月21日，"天宮課堂”第四課在中國空間站開講了，精彩的直播激發了學生探索科學奧秘的興

趣.某單位為滿足學生的需求，充實物理小組的實驗項目，需要購買甲、乙兩款物理實驗套裝.經了解，每款甲

款實驗套裝的零售價比乙款實驗套裝的零售價多7元，該單位以零售價分別用750元和540元購買了相同數量甲、

乙兩款物理實驗套裝.

(1)甲、乙兩款物理實驗套裝每個的零售價分別為多少元？

(2)由于物理興趣小組人數增加，該單位需再次購買兩款物理實驗套裝共200個，且甲款實驗套裝的個數不少于乙款

實驗套裝的個數的一半，由于購買量大，甲乙兩款物理實驗套裝分別獲得了20元/每個、15元/每個的批發價.求

甲、乙兩款物理實驗套裝分別購買多少個時，所用資金最少.

第6頁共8頁

23.（9分）如圖，在AA8C中，AACB=90°,一比1C的角平分線4。交3c于點。，過點。作。E14D交于點

E,以/E為直徑作O。.

⑴求證：3c溟。。的切線；（2）若/C=3,8c=36，求8E的長；

⑶在（2）的條件下求陰影部分的面積.

24.（10分）新定義：如果實數相，"滿足加-"=-2時，則稱尸（弧〃）為"立足點”,稱。（加T5-〃）為"制高點",例

如,尸。,3）是"立足點〃,。（0,2）是“制高點〃.

⑴求正比例函數y=x圖象上"制高點"的坐標；

（2）若點/是反比例函數>='圖象上唯一的“立足點"，點8,C是反比例函數y=（圖象上的“制高點”，點M是反比

XX

例函數V='圖象上的動點，求當AMBC面積與MBC的面積相等時點M的坐標；

⑶已知點。（%,必），典9，%）是拋物線V=—+（26-l）x+3c+2上的"制高點"，若a+6+c=0,S.a>2b>3c,求

|占-芍|的取值范圍.

第7頁共8頁

25.（10分）【感知】如圖①，。。為等邊三角形N3C的外接圓.ND為OO的直徑，線段力。與8c交于點E,探

究線段/E,BD,DE的數量關系.

小明同學的做法：過點（7作。0的垂線交2。延長線于點尸，連接CO.易證4D人8c.進而得出ABC尸名A/CE,

△CDEmACDF.則線段/E,BD,DE的數量關系是AD+Z）E=4E1；

【探究】如圖②，等腰三角形/3C中.4C=BC,。。為△48C的外接圓，。為弧8c上一點，CELAD于點E,

探究上述結論是否成立，如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由；

【應用】如圖③，。。是△48C的外接圓，48是直徑，/C=5C.點。在OO上，且點。與點C位于線段兩

側，過點C作線段ND的垂線，交線段于點E,若點E為4。的三等分點，則空的值為

第8頁共8頁

2024-2025學年九年級數學下學期開學摸底考01

（人教版）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求

的）

1.下列各數中，屬于有理數的是（）

A.y/2C.^5

【答案】D

【詳解】A、行是無理數，不符合題意；

B、兀是無理數，不符合題意；

C、狗是無理數，符合題意；

D、-2是有理數，符合題意；

故選：D.

2.下列幾何體中，主視圖和左視圖都為矩形的是（）

【答案】A

【詳解】解：A、主視圖和左視圖都為矩形的，故選項符合題意;

B、主視圖和左視圖都為等腰三角形，故選項不符合題意；

C、主視圖和左視圖為圓，故選項不符合題意；

D、主視圖是矩形，左視圖為三角形，故選項不符合題意；

故選：A.

第1頁共19頁

3.如圖，把一張長方形紙條/BCD沿跖折疊，若Nl=55。，則/FGE應為（）

D.不能確定

【答案】A

【詳解】解：；AD〃8C,4=55。，

ZDEF=Z1=55°,NEGF+乙GED=180°

由折疊的性質可知，NDEG=2ZDEF=2x55。=110。，

NEGF=180°-AGED=70°.

故選：A.

fl-x>0

4.不等式組，,〈的解集，在數軸上表示正確的是（）

2x—1〉一5

A.―?1----1------0

-2-1012-2-102

-2-102

【答案】D

fl-x>0

【詳解】解：。,<，

[2x-l>-5

解①得x41,

解②得x>-2,

-2<x<1,

在數軸上表示為：

-2-1012

故選D.

第2頁共19頁

5.如圖，圓弧形橋拱的跨度2B為24米，拱橋所在圓的半徑為13米，則拱高CD為（）

A.2米B.4米C.8米D.10米

【答案】C

【詳解】解：根據題意，ABYCD,

.■.AD=BD=-AB=-x24=nm,且OC=O8=13m,

22

設CD=xm,則=OC-CD=,

在中，BO1=OD-+BD1,

.?.132=（13-X）2+122,解得，x=8,負值舍去,

CD=8m,

故選：C.

6."白日不到處，青春恰自來.苔花如米小，也學牡丹開."若苔花的花粉直徑約為0.0000084米，則數據0.0000084

用科學記數法表示為（）

A.8.4x10-6B.8.4x10-5C.8.4*10,D.8.4xlO6

【答案】A

【詳解】解：數據0.0000084用科學記數法表示為&4X10-6.

故選：A.

7.古代名著《孫子算經》中有一題：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步.問人與車各幾何？其譯文為：

每三人乘一車，最終剩余2輛車，每2人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘，設有車x輛，則根據題意，可列出

方程（）

A.3（x+2）=2x-9B.3（x+2）=2x+9c.3（x-2）=2x+9D.3（x-2）=2x-9

【答案】C

【詳解】解：設共有x輛車，依題意得：3（x-2）=2x+9,

故選：C.

第3頁共19頁

8.某次戶外研學活動中，數學老師給同學們布置了一項測量樹高的任務.如圖，在地面上的點/處測得樹頂8的

仰角a=75。，若/C=6米，則樹高2c為（）

B

A.6sin750米B.―--米C.---米D.6tan750米

cos75°tan75°

【答案】D

【詳解】解：--BC±AC,NC=6米，ABAC=75°,

——=tan75°,

AC

：.5C=^C-tan75°=6tan75°（米）.

故選：D.

9.二次函數>=aY+6x+c（abc。0）的圖象如圖所示，反比例函數〉=必與正比例函數片“v在同一坐標系內的大

致圖象是（）

【答案】B

【詳解】解：,??拋物線的開口向上，與歹軸的交點位于y軸的正半軸,

/.tz>0,c>0,

V拋物線的對稱軸位于歹軸的右側，

x=----->0,

2a

:.b<0,

be<0f

由be<0可知，反比例函數y=g的圖象位于第二、四象限，

X

第4頁共19頁

由a>0可知，正比例函數>="的圖象經過原點，且經過第一、三象限，故選：B.

10.學校組織學生參加木藝藝術品加工勞動實踐活動，已知某木藝藝術品加工完成共需A、B、C、D、E、F、

G七道工序，加工要求如下：①工序C、。須在工序A完成后進行，工序￡須在工序3、。都完成后進行，工序

廠須在工序C、。都完成后進行；②一道工序只能由一名學生完成，此工序完成后該學生才能進行其他工序；

③各道工序所需時間如下表所示：

工序ABCDEFG

所需時間/分鐘99797102

若由兩名學生合作完成此木藝藝術品的加工，則最少需要的時間是()

A.26分鐘B.27分鐘C.28分鐘D.29分鐘

【答案】C

【詳解】解：假設這兩名學生為甲、乙，

???工序C,。須在工序A完成后進行，工序E須在工序。都完成后進行，且工序A,8都需要9分鐘完成,

甲學生做工序A,乙學生同時做工序8,需要9分鐘，

然后甲學生做工序。，乙學生同時做工序C,乙學生工序C完成后接著做工序G,需要9分鐘，

最后甲學生做工序￡,乙學生同時做工序尸，需要10分鐘，

若由兩名學生合作完成此木藝藝術品的加工，最少需要9+9+10=28(分鐘)，

故選：C.

第n卷

二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，滿分18分)

11.因式分解：2/-8;<:=.

【答案】2x(x+2)(x-2)

【詳解】解：-8x=2x(/-4)=2x(x+2)(x-2),

故答案為：2x(x+2)(x-2).

12.設a,6是一元二次方程x2+2xT=0的兩個不相等的實數根，則^+防+^的值為.

【答案】5.

【詳解】6是一元二次方程/+2》-1=0的兩個不相等的實數根，

/.ab=-\,a+b=-2,

?，.Q2+ab+/=/+2ab+b2—ab=(a+b)—ctb—(—2)—(—1)=5,

第5頁共19頁

故答案為：5.

13.如圖，小明與小敏玩蹺蹺板游戲，支點。是蹺蹺板的中點，兩人分別坐在蹺蹺板兩端（即。尸=OG）,如果點

。至地面的距離是50cm,當小敏從水平位置。下降40cm,這時小明離地面的高度是.

【詳解】解：由題意可知，OF=OG,NFOC=/DOG,/FCO=NGDO=90。,

.-.△FCO^AGZ>O（AAS）,

:.FC=DG,

???當小敏從水平位置CD下降40cm,即。G=40cm,

CF=40cm,

又,點。至地面的距離是50ctn,

??.這時小明離地面的高度是50+40=90cm,故答案為：90cm.

14.為提高學生身體素質，某校舉辦了“陽光體育節”活動，下表是小方同學參加活動的得分情況:

項目跑步花樣跳繩立定跳遠

得分908572

評總分時，按跑步占45%,花樣跳繩占30%,立定跳遠占25%考評，則小方同學的最終得分為分.

【答案】84

【詳解】解：???按跑步占50%,花樣跳繩占30%,跳繩占20%考評，

則小紅的最終得分為：90x45%+85x30%+72x25%=40.5+25.5+18=84（分）.

故答案為：84.

15.如圖，四邊形NO2C內接于。。，四邊形是平行四邊形，則的度數是.

【答案】30°

第6頁共19頁

【詳解】解：???四邊形是平行四邊形，OA=OB,

；./D=/AOB=2/C,四邊形是菱形，

???AD=BD,

???/DAB=/ABD,

???四邊形NO2C內接于。。,

.-.ZC+ZD=180°,即NC+2NC=180°,

ZC=60°,則"=120。,

故答案為30。.

16.為解決學生飲水安全問題，某中學在每個班級安裝一臺標價為1800元的飲水機，因購買數量較大，商家給予了

八折優惠，這樣每臺飲水機仍可獲利20%,則每臺飲水機的進價為元.

【答案】1200

【詳解】解：??.商品每件標價為1800元，

二按標價打8折后售價為：1800x0.8=1440（元/件）,

???設該商品每件的進價為x元，

由題意得：1440-%=20%%,

解得：x=1200,

答：該商品每件的進價為1200元，

故答案為：1200.

三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分,第22、23題每

小題9分，第24、25題每小題10分，共72分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（6分）計算：|-V2|+4COS45°-V18+Q^

【答案】4

【詳解】解：|-V2|+4COS45°-A/18+Q

=V2+4x-—―372+4

2

=4.

第7頁共19頁

18.（6分）先化簡三甲++然后從-?<x〈&的范圍內選取一個你喜歡的合適的整數作為x

x-1（X+1）

的值代入求值.

【答案】-,，一!

x2

-1)2:x-1X2-1

【詳解】解：原式=

(X-1)(%+1)(x+lX+1

_x-1X—X2

x+lX+1

_x-lX+1_1

x+1-x(x-1)X'

-V6<X<46,且x為整數,

??.X可取的整數為-2,-1,0,1,2,

???要使分式有意義，

二XH±1,且XW0,

???X只能取±2,

二當x=2時，原式=-；.

19.（6分）如圖，在A45C中，/C=90°.

⑴實踐與操作：用尺規作圖法作//的平分線/。交3C于點。；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

⑵應用與證明：在（1）的條件下，以點。為圓心，DC長為半徑作求證：與。。相切.

【詳解】（1）解：如圖1,即為所作；（2）證明：如圖2,作DE上4B于E,

???40是的平分線，DC1AC,DE.LAB,

：.DE=DC,

第8頁共19頁

????！晔前霃?，DE1AB,

AB與QD相切.

20.（8分）教育部提出了要改進美育教學，某學校準備開設感受美、表現美，鑒賞美，創造美4項藝術課程，為

了解學生的參與情況，該校隨機抽取了部分學生的報名情況（每人選報一個項目），小甬根據調查結果繪制了兩幅

不完整的統計圖，請你根據圖中信息，解答下列問題：

1

1

1

1

1

1

1

1

表

啟

現1

感受美1

35%

鑒

美

Gt美賞

2“

Oy

目

⑴本次抽樣調查的總人數為,請將條形統計圖補充完整.

（2）扇形統計圖中“創造美”對應的圓心角的度數為,若該學校共有學生1200名，請估計參加“感受美”的有多少

人？

⑶通過課程學習和初選有4名優秀同學（兩男兩女）在“創造美"上表現突出，學校將推薦2名同學到市上參加“創

造美"比賽.請用畫樹狀圖或列表法求出到市上參加比賽的兩人恰為一男一女的概率.

【詳解】（1）解：本次抽樣調查的總人數為：8+20%=40（人）,

參加創造美的人數為：40-12-8-14=6（人）,

（2）解：扇形統計圖中，創造美占比為：占xl00%=15%,

40

故參加創造美對應的圓心角的度數為：360°x15%=54°,

扇形統計圖中，感受美占比為：35%,

全校參加感受美的有：1200x35%=420（人）；

（3）解：設4名優秀同學分別為甲（男）、乙（男）、丙（女）、T（女）,

第9頁共19頁

畫樹狀圖如下:

21.(8分)如圖，菱形/BCD的對角線NC,50交于點0,點、E,尸分別在D4,8c的延長線上，且

CF=AE.

------------”廣

(1)求證：四邊形EBRD是矩形；

(2)若/E=3,tanNO8C=；,求菱形/BCD的邊長.

【詳解】(1)證明：???四邊形是菱形，

.'.AD//BC,AB=BC=CD=AD,

■：CF=AE,

：.AE+AD=CF+BC,BPDE=BF,

又DE〃BF,

???四邊形班ED是平行四邊形，

?.，BEVED,

/BED=9。。,

二?四邊形E瓦叨是矩形；

(2)?四邊形￡跳吟是矩形，

/./BFD=90°,

DF1

tanZOBC=——=—,

BF2

設。b=工，貝IJ5b=2x,

/.BC=CD=BF-CF=BF-AE=2x-3,

在RMC尸。中，由勾股定理得：

CF2+DF2=CD2BP9+X2=（2x-3）2,

解得：x=4或x=0（舍去），

BC=CD=2x-3=5,

菱形/BCD的邊長為5.

第10頁共19頁

22.（9分）2023年9月21日，"天宮課堂”第四課在中國空間站開講了，精彩的直播激發了學生探索科學奧秘的興

趣.某單位為滿足學生的需求，充實物理小組的實驗項目，需要購買甲、乙兩款物理實驗套裝.經了解，每款甲

款實驗套裝的零售價比乙款實驗套裝的零售價多7元，該單位以零售價分別用750元和540元購買了相同數量的甲、

乙兩款物理實驗套裝.

⑴甲、乙兩款物理實驗套裝每個的零售價分別為多少元？

⑵由于物理興趣小組人數增加，該單位需再次購買兩款物理實驗套裝共200個，且甲款實驗套裝的個數不少于乙款

實驗套裝的個數的一半，由于購買量大，甲乙兩款物理實驗套裝分別獲得了20元/每個、15元/每個的批發價.求

甲、乙兩款物理實驗套裝分別購買多少個時，所用資金最少.

【答案】⑴甲、乙兩款物理實驗套裝每個的零售價分別為25元，18元

⑵甲、乙兩款物理實驗套裝分別購買67個，133個時，所用資金最少

【詳解】（1）解：設乙款物理實驗套裝的零售價每個為x元，由題意得：

750540

x+1x

解得x=18

經檢驗，x=18是所列方程的根，

二x+7=25

答：甲、乙兩款物理實驗套裝每個的零售價分別為25元，18元.

（2）設購買甲款物理實驗套裝〃z個，則購買乙款物理實驗套裝（200-機）個，所用金額為y元，由題意得：

m>■^-（200-zw）

200

初解汨得：m>、—

y=2Qm+15（200-m）=5m+3000,

5>0,

■■■y隨m的增大而增大，

.?.加=67時,y取最小值,止匕時200-加=200-67=133（個），

答：甲、乙兩款物理實驗套裝分別購買67個，133個時，所用資金最少.

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23.（9分）如圖，在ZUBC中，AACB=90°,/3/C的角平分線交8C于點D,過點。作。E24D交48于

點E,以4E為直徑作。O.

（1）求證：3c溟。。的切線;(2)若/C=3,8c=3百，求BE的長;

⑶在（2）的條件下求陰影部分的面積.

【詳解】(1)證明：連接如圖,

???DE1AD,

ZADE=90°,

V以AE為直徑作OO,

.,.點。在。。上，

/.OD=OA,

NODA=ZOAD,

???AD為NCAB的平分線，

ACAD=ZOAD,

/.ACAD=/ODA,

：.AC//OD9

/.ZODC+ZACB=180%

-ZACB=90°f

ZODC=90°f

ODIBC,

???OD為OO的半徑，

??.BC是O。的切線；

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（2）M：-：AC=?>,8C=3百,

AB=^IAC2+BC2=6，

AT1

cos/CAB=----

AB2

/./CAB=60°,

:.ZCAD=ZBAD=30°.

:.CD=AC?tan/CAD=3x@=5

3

/.AD=2CD=26.

/ADE=90°,

:.DE=AD,t3n/DAB=2Cx±-=2,

3

4E=IDE=4,

:.BE=AB-AC=2.

（3）解：由（2）知：ZE=4,DE=2,BE2,

/.OD=OE=DE=2,

「.△ODE為等邊三角形，

/./DOE=60°,

?：OB=OE+BE=4,ODLBD,

BD=y/OB2-OD2=2A/3，

陰影部分的面積=S&OBD-S扇形ODE

工OD-BD必正

2360

=-X2X2V3~—

23

=2^-—.

3

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24.（10分）新定義：如果實數加，"滿足加-〃=-2時，則稱尸（小川為"立足點如稱。（加-1,5-〃）為“制高點"，例

如，尸。,3）是“立足點”,。（0,2）是“制高點".

（1）求正比例函數》=x圖象上"制高點”的坐標；

⑵若點/是反比例函數y=￡圖象上唯一的“立足點"，點8,C是反比例函數>=土圖象上的"制高點”，點M是反比

k

例函數>=-圖象上的動點，求當4MBe面積與AABC的面積相等時點M的坐標；

x

⑶己知點?！辏ü?，%）是拋物線>=辦，+（26-l）x+3c+2上的"制高點"，若a+6+c=0,S.a>2b>3c,求

|再-々|的取值范圍.

【答案】⑴（1,1）;

（2）點M的坐標為（1,-1）或（2+君,2-碼或（2-技2+碼；

（3）2^^<|xj-%21<y/19■

【詳解】⑴解：設正比例函數>=x圖象上"制高點”的坐標為（加-1,5-"）,

\m—n=—2

根據題意得I<,

[m=2

解得”,

I"=4

???正比例函數〉=x圖象上"制高點”的坐標為（1,1）；

（2）解：設點/的坐標為（私"），

m—n=—2

根據題意得,k，整理得加2+2加一左=0,

n二—

、m

???點N是反比例函數y=幺圖象上唯一的"立足點”,

X

：.A=22—4（—左）=0,

解得上二一1,

???反比例函數的解析式為了=-工,

X

當上=一1時，加2+2加+1=0,

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k

解得m=m=-l,n=—=l,

i2m

?,?點4的坐標為(T/),

設點8(加-是反比例函數y=圖象上的"制高點〃，

X

m-n=-2

根據題意得L,

j-n=----

、m-\

消去〃并整理得m2-4m+2=0,

解得m1=2+V2,m2=2—V2,

???々=4+5/2,4=4-A/2,

.?點B,C的坐標分別為8(1+啦,1-收)，C(l-V2,l+V2),

設直線BC的解析式為y=ax+b,

(1++b=1—V2

(1-碼0+6=1+萬

解得l\ax=—\，

直線BC的解析式為了=-x+2,

???AMBC面積與△N2C的面積相等,

.-.MA//BC,

可設直線的解析式為了=-x+。,

將4(1,1)代入得6=0,

???直線MA的解析式為y=-x,

聯立得=r,

X

解得x=l或x=-l,

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.??^(1,-1),

在y=-x+2中，令x=o,貝l|y=2,

將直線V=一》向上平移4個單位的直線y=-x+4,

直線y=f+4與雙曲線y=的交點為M,

X

此時也滿足△"BC面積與XABC的面積相等，

聯立得-L-x+4,

X

解得x=2+括或x=2-右，

將工=2+退或工=2-百分另ll代入＞=-x+4,

得y=2-0或y=2+逐，

.?.河(2+6,2-近)或河(2-石,2+石)，

綜上，點M的坐標為(1,-1)或(2+技2-碼或(2-技2+石卜

(3)解：?.?a+b+c=O,且。〉26〉3c,

c＜0,b=-(a+c),

ax?+（2b—1）x+3c+2=—x+2,

???ax2