2024-2025學年山西省晉城市陽城縣八年級（上）期末數學試卷

一、選擇題（本大題共10個小題，每題3分，共30分，在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題

目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）

1.（3分）“數軸上的點并不都表示有理數，如圖所示，數軸上的點P所表示的數是隹"，這種說明問題的

方式體現的數學思想是（）

V22

A.方程思想建模思想

C.數形結合思想分類討論思想

2.（3分）下列運算正確的是（

A.a3,a5=fl15(ab)2—a2b2

C.（滔）3=q：6Q+2Q=3Q

111

3.（3分）已知數據：短,直，TT,其中無理數出現的頻率為（

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

4.（3分）如圖是陽城縣2024年12月1日至12月7日的天氣情況，為了表示這7天的每日最高溫度變化

情況，則最適合使用的統計圖為（）

日期白天/晚上最高最低AQI風向降雨量

12-01晴14℃0℃45西北風3級0

12-02多云11℃-2℃54東南風2級0

12-03晴/多云12℃-3℃79東南風1級0

12-04陰/晴10℃-3℃53西北風2級0

12-05陰/多云9℃-3℃30西北風3級0

12-06多云/晴10℃-4℃33西北風3級0

12-07多云/晴7℃-3℃37西北風3級0

A.條形統計圖B.折線統計圖

C.扇形統計圖D.以上都不是

5.（3分）下列命題是假命題的是（

A.內錯角相等，兩直線平行

B.三角形的內角和等于180°

C.四邊形的外角和等于180。

D.平行于同一條直線的兩條直線平行

6.（3分）如圖，在中，AB=AC,ND_L8c于點。，則下列結論不一定成立的是（）

A.AD=BDB.BD=CDC.N1=N2D.NB=NC

7.（3分）我國古代數學著作《九章算術》記載了一道有趣的問題.原文是：今有池方一丈，葭生其中央,

出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何.譯為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺

的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂

端恰好到達池邊的水面，水的深度與這根蘆葦的長度分別是多少？設蘆葦的長度是x尺.根據題意，可

列方程為（）

A./+1。2=G+1）2B.（x-1）2+52—X2

C.X2+52=（X+1）2D.（x-1）2+102=x2

8.（3分）已知a,b,c為△NBC的三邊長，在下列條件中不能判定△/BC是直角三角形的是（）

A./4+/B=NCB.a=6,b=8,c=10

C.a2+b2=c2D.NN：ZB：/C=3：4：5

9.（3分）從邊長為。的大正方形紙板正中央挖去一個邊長為6的小正方形后，將其裁成四個大小和形狀

完全相同的四邊形（如圖1）,然后拼成一個平行四邊形（如圖2）,那么通過計算兩個圖形陰影部分的

面積，可以驗證成立的等式為（）

ab

圖2

A.a2-b2=(a-6)2B.(a+6)2=a2+2ab+b2

C.(a-b)2=*-2ab+b~D.a2-b2=(a+6)(a-b)

10.（3分）數學活動課上，四位同學圍繞作圖問題“已知直線/和直線/外一點P,用無刻度的直尺和圓

規過點尸作/的平行線”分別作出了下列圖形，其中作法不正確的是（）

二、填空題（本大題共5個小題，每題3分，共15分）

11.（3分）4的平方根是.

12.（3分）計算-14/63+7。2b的結果是.

13.（3分）如圖，OC平分//O8,在OC上取一點尸，作已知。尸=13,OF=12,點￡是射

線OA上一動點，則PE長度的最小值為.

14.（3分）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為

8cm,正方形N,B,C的面積之和為36c加2,則正方形。的面積是cm2.

15.（3分）如圖，過邊長為1的等邊△/8C的邊上一點P,作尸于點E,。為延長線上一

點，當尸N=C0時，連接尸0交/C邊于點。，則DE的長為

A

P/

BcQ

三、解答題（本大題共8個小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

16.（10分）（1）計算：—仔。25+屏—七;

（2）分解因式：4X3J^-4x2j2+xy3.

17.（7分）如圖，某市有一塊長為（30+6）米，寬為（20+6）米的長方形地塊，規劃部門計劃將陰影部分

進行綠化，中間將修建一座雕像.

（1）求綠化的面積是多少平方米？（用代數式表示）

18.（8分）如圖，在△Z2C中，ZC=90°,AC<BC.

（1）作線段的垂直平分線交2C于點。，連接/D;（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）若N8=35°,求/D/C的度數.

1

②分別以D、￡為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在//Q8內交于點C.③作射線

OC,則0c就是//08的平分線.

(1)李老師用尺規作角平分線時，用到的三角形全等的判定方法是.

(2)小聰只帶了一個直角三角板，他發現利用直角三角板也可以作角平分線，方法如下：步驟:

①利用三角板上的長直角邊，在CM和上分別截取(W、0N,則0M=0N.

②分別過M、N作OM、ON的垂線，交于點P

③作射線0P則。尸為N/02的平分線.小聰的作法正確嗎？請說明理由.

20.(8分)新質生產力，是2023年9月習近平總書記在黑龍江考察調研期間首次提到的新詞匯，強調發

展戰略性新興產業，加快形成新質生產力.我國新能源汽車發展迅猛，如圖是我國某區域2024年各季

度新能源汽車銷售量的情況統計圖.

某區域2024年各季度新能源汽車銷售量的情況統計圖

(1)這個區域2024年度共銷售新能源汽車多少萬輛?

(2)將上面的條形統計圖和扇形統計圖補充完整；

(3)根據以上信息，求從第三季度到第四季度該區域新能源汽車銷售量的增長率;

21.(9分)閱讀與思考

配方法

把代數式通過配湊等手段，得到局部完全平方式(兩數和的平方公式或兩數差的平方公式)，再

進行有關運算和解題，這種解題方法叫做配方法.配方法在因式分解、最值問題中都有著廣泛的

應用.

例如：

①用配方法因式分解：次+60+8

原式=。2+60+9-1=(a+3)2-1=(a+3+l)(a+3-1)—(。+4)(a+2)

②求2/+12x+22的最小值.

解：2/+12x+22=2(X2+6X+11)

先求出X2+6X+11的最小值

X2+6X+11=/+6X+9+2=(X+3)2+2；

由于(x+3)2是非負數，所以(x+3)220,可得到(x+3)2+222,即x2+6x+ll的最小值為

2.

進而2X2+12X+22的最小值為4.

請根據上述材料解決下列問題：

(1)在橫線上添上一個常數項使之成為完全平方式：a2+4a+；

(2)用配方法因式分解：*+120+35；

(3)求2/-4x+10的最小值.

22.(10分)如圖所示，在△N2C中，/C=9,BC=12,4B=15,在頂點/處有一點尸，在線段/C上以

每秒1個單位長度的速度向點C勻速運動，在頂點C處有一點Q,以每秒3個單位長度的速度從點C

出發沿C-B-C的路線勻速運動，兩點同時出發，當點。停止運動時，點尸也隨之停止運動.(1)判

斷△NBC的形狀，并說明理由；

(2)若兩點運動4秒時，求此時P。的長；

(3)設兩點運動時間為，秒，當△PC。是一個等腰直角三角形時，求，的值.

A

23.（14分）綜合與實踐

問題情境：“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：如圖1,用紙片制作了△N8C和△DER其中/

ACB=ZDFE=90°,AC=DF,CB=FE,請證明△/BCg/VMF.

圖3圖4

數學思考：（1）請你解答老師提出的問題.

深入探究：（2）老師將兩個三角形的點8和點E重合在一起，將△DAF繞點2進行旋轉，使點/落

在△NBC內部，并讓同學們提出新的問題.

①''智慧小組”提出問題：如圖2,當/尸BC=NA4c時，48與。尸相交于點尸，試猜想△DP5的形

狀，并加以證明；

②“奇想小組”提出問題：如圖3,當N/2尸=/R4C時，過點/作尸交AF的延長線于點

5M與NC交于點N.試猜想線段和8尸的數量關系，并加以證明.

獨立思考：（3）請你參照以上操作，利用圖1中的兩個三角形紙片，拼出新的圖形，在圖4中畫出這

個圖形，標明字母，說明構圖方法，寫出你發現的結論，不必證明.

2024-2025學年山西省晉城市陽城縣八年級（上）期末數學試卷

參考答案與試題解析

題號12345678910

答案CBCBCABDDB

一、選擇題（本大題共10個小題，每題3分，共30分，在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題

目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）

1.（3分）“數軸上的點并不都表示有理數，如圖所示，數軸上的點P所表示的數是隹"，這種說明問題的

C.數形結合思想D.分類討論思想

【解答】解：：數軸上的點并不都表示有理數，如圖中數軸上的點尸所表示的數是隹,

這種利用圖形直觀說明問題的方式N、B、。的說法顯然不正確，

本題是把數與數軸上的點相聯系，是數形結合的思想方法.

故選：C.

2.（3分）下列運算正確的是（）

A.a3'a5=ai5B.（ab）2=a2b2

C.（/）D.6a丁2。^3a

【解答】解：4.?.此選項的計算錯誤，故此選項不符合題意；

8.???（仍）2=/廬，.?.此選項的計算正確，故此選項符合題意；

C.???（層）3=°6,.?.此選項的計算錯誤，故此選項不符合題意；

D.2a=3,.?.此選項的計算錯誤，故此選項不符合題意；

故選：B.

3.（3分）已知數據：1業L，BL11,-2,其中無理數出現的頻率為（）

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

]

【解答】解：???在于隹,B7T,-2中，無理數是隹，B7T,

3

...無理數出現的頻率為：-=0.6,

故選：C.

4.（3分）如圖是陽城縣2024年12月1日至12月7日的天氣情況，為了表示這7天的每日最高溫度變化

情況，則最適合使用的統計圖為（）

日期白天/晚上最高最低AQI風向降雨量

12-01晴14℃0℃45西北風3級0

12-02多云11℃-2℃54東南風2級0

12-03晴/多云12℃-3℃79東南風1級0

12-04陰/晴10℃-3℃53西北風2級0

12-05陰/多云9℃-3℃30西北風3級0

12-06多云/晴10℃-4℃33西北風3級0

12-07多云/晴7℃-3℃37西北風3級0

A.條形統計圖B.折線統計圖

C.扇形統計圖D.以上都不是

【解答】解：如圖是陽城縣2024年12月1日至12月7日的天氣情況，為了表示這7天的每日最高溫

度變化情況，則最適合使用的統計圖為折線統計圖，故選：B.

5.（3分）下列命題是假命題的是（）

A.內錯角相等，兩直線平行

B.三角形的內角和等于180°

C.四邊形的外角和等于180°

D.平行于同一條直線的兩條直線平行

【解答】解：/、內錯角相等，兩直線平行，正確，是真命題，不符合題意；

8、三角形的內角和等于180°,正確，是真命題，不符合題意；

C、四邊形的外角和為360。，錯誤，是假命題，符合題意；

。、平行于同一直線的兩條直線平行，正確，是真命題，不符合題意.

故選：C.

6.（3分）如圖，在中，AB=AC,4D_L8C于點。，則下列結論不一定成立的是（）

BD=CDC.N1=N2D./B=/C

【解答】W：'：AB=AC,ADLBC,

:.BD=CD,N1=N2,NB=NC.

故/錯誤，B,C,D正確.

故選：A.

7.（3分）我國古代數學著作《九章算術》記載了一道有趣的問題.原文是：今有池方一丈，葭生其中央,

出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何.譯為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺

的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂

端恰好到達池邊的水面，水的深度與這根蘆葦的長度分別是多少？設蘆葦的長度是x尺.根據題意，可

列方程為（）

A.x2+102=(x+1)2B.(X-1)2+52=/

C.X2+52=(X+1)2D.(x-1)2+1。2=/

【解答】解：：水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果

把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面，設蘆葦長X尺,

(x-1)2+52=X2,

故選：B.

8.（3分）己知a,6,c為△NBC的三邊長，在下列條件中不能判定△/3C是直角三角形的是（）

A./4+NB=NCB.a=6,6=8,c=10

C.cr+b1=c1D.NN：/B：ZC=3：4：5

【解答】解：/、VZA+AB=ZC,且/4+NB+/C=180°,

AZC=90°,

：.AABC為直角三角形,不符合題意;

B、V62+82=102,

...△/8C為直角三角形,不符合題意;

C、：.a2+b2=c2,

...△N8C為直角三角形,不符合題意,

D、TN力：ZB：NC=3：4：5,且N4+N5+NC=180°,

5

J最大角NC=a二=75°,

s十q十b

△NBC不是直角三角形，符合題意；

故選：D.

9.（3分）從邊長為。的大正方形紙板正中央挖去一個邊長為6的小正方形后，將其裁成四個大小和形狀

完全相同的四邊形（如圖1）,然后拼成一個平行四邊形（如圖2）,那么通過計算兩個圖形陰影部分的

面積，可以驗證成立的等式為（）

ab

圖2

A.a2-b2=（a-6）2B.（a+6）1=cr+2ab+b1

C.（a-b）2=*-2ab+b2D.a2-b2=（a+6）（a-b）

【解答】解：圖1中陰影部分的面積為：a1-b2,圖2中陰影部分的面積為：（.+6）（。-6）,

:兩圖中陰影部分的面積相等，

a2-b2=（a+6）（a-b）,

可以驗證成立的公式為。2-廬=（。+6）Q-b）,

故選：D.

10.（3分）數學活動課上，四位同學圍繞作圖問題“已知直線/和直線/外一點P,用無刻度的直尺和圓

規過點P作/的平行線”分別作出了下列圖形，其中作法不正確的是（）

【解答】解：A.如圖，根據作圖可知，ZEPB=ZEFG,

E

-------M/

F'G

：.AB//l,

故/正確，不符合題意；

B.根據作圖無法判斷所作直線與/平行，

故3不正確，符合題意；

C.如圖，根據作圖可知，F為N8的中點，。為NC的中點,

故C正確，不符合題意；

D.根據作圖可知，BA平分NPBC,PB=PA,

：.ZPAB=ZCBA,

J.PA//BC,

故。正確，不符合題意；

故選：B.

二、填空題（本大題共5個小題，每題3分，共15分）

11.（3分）4的平方根是+2.

【解答】解：V（+2）2=4,

；.4的平方根是±2.

故答案為：±2.

12.（3分）計算-區/廬+7*6的結果是-2戶.

【解答】解：原式=（-14+7）?（層+/）?（63?6）

=-2b2,

故答案為：-2廬.

13.（3分）如圖，OC平分在OC上取一點尸，作刊QLO8,已知。尸=13,OF=U,點E是射

線0A上一動點，則PE長度的最小值為5.

【解答】解：如圖，過P點作于點”,

：0C平分NZOB,PHLOA,PF±OB,

：.PH=PF,ZPFO=90°,

PF=pP2-OF2^132-122=5,

:點￡是射線OA上一動點，

/.當PELOA時，PE的值最小，

，尸￡的最小值為5,

故答案為：5.

14.（3分）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為

8cm,正方形N,B,C的面積之和為36czM2,則正方形止的面積是28cm?.

【解答】解:如圖，

根據勾股定理可知，S1+$2=S大正方形=82=64（cm2）,

s正方形c+S正方形。=$2，

s正方形4+s正方形B=S1，

?'-S大正方形=s正方形c+S正方形Q+S正方形/+S正方形B=64c〃a,

,正方形D的面積=64-36=28(cm2),

15.(3分)如圖，過邊長為1的等邊△/8C的邊48上一點P,作P￡_L/C于點￡,。為3c延長線上一

點，當P4=C0時，連接尸0交/C邊于點。，則DE的長為0.5.

【解答】解：過P作PP〃5c交/C于足

?：PF//BC,△/5C是等邊三角形，

ZPFD=ZQCD,4APF是等邊三角形,

:.AP=PF=AF,

\'PE±AC,

:.AE=EF,

:AP=PF,AP=CQ,

J.PF^CQ.

在4PFD和△℃￡)中，

(/-PFD=4QCD

乙PDF=^QDC,

PF=CQ

:.△PFDQAQCD(AAS\

：.FD=CD,

?：AE=EF,

；?EF+FD=AE+CD,

1

'.AE+CD=DE=~i4C,

\'AC=1,

：.DE=0.5,

故答案為：05

三、解答題（本大題共8個小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

16.（10分）（1）計算：—12。25+再—葛；

（2）分解因式：4x3y-4x2y2+xy\

【解答】解：（1）-i2025+7i6-3—

\27

1

=-1+4--

8

=]

（2）-4x2y2+xy3

=xy（4x2-4xy-hy2）

=xy（2x-y）2.

17.（7分）如圖，某市有一塊長為（3〃+b）米，寬為（2〃+b）米的長方形地塊，規劃部門計劃將陰影部分

進行綠化，中間將修建一座雕像.

（1）求綠化的面積是多少平方米？（用代數式表示）

（2）求出當Q=3,6=2時的綠化面積.

3。+6

2

【解答】解：(1)陰影部分的面積=(3a+6)(2a+b)-(Q+6)

=6a1+5ab+b2-a2-lab-b2

=5。2+3。6；

(2)當a=3,6=2時，原式=5X32+3X3X2=63(平方米).

18.（8分）如圖，在△N2C中，/C=90°,AC<BC.

（1）作線段48的垂直平分線交BC于點D,連接（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）若N2=35°,求/D4C的度數.

(2)VZC=90°,48=35°,

AZCAB=90°-35°=55°,

:點。在AB的垂直平分線上，

：.DA=DB,

:./B=/DAB=35°,

:.NDAC=NCAB-NDAB=55°-35°=20°.

19.（9分）數學課上，探討角平分線的作法時，李老師用無刻度的直尺和圓規作角平分線，方法如下:

作法：

O比D!A

①在OA和OB上分別截取OD、OE,使OD=OE.

1

②分別以D、E為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在NZ02內交于點C.③作射線

OC,則OC就是N/O8的平分線.

(1)李老師用尺規作角平分線時，用到的三角形全等的判定方法是SSS.

(2)小聰只帶了一個直角三角板，他發現利用直角三角板也可以作角平分線，方法如下：步驟:

①利用三角板上的長直角邊，在。/和08上分別截取(W、ON,則0M=ON.

②分別過M、N作(W、ON的垂線，交于點尸.

③作射線0P則。尸為的平分線.小聰的作法正確嗎？請說明理由.

【解答】解：(1)連接C￡,CD.

由作圖可知，OE=OD,CE=CD,

;oc=oc,

^EOC^ADOC(SSS),

ZEOC^ZDOC,

平分//O8.

故答案為：SSS；

(2)作法正確.

理由：由作圖可知：OM=ON,OP=OP,/ONP=/OMP=90°,

:.RtAONP0Rt^OMP(HL),

：./P0N=/P0M,

平分//OB.

20.(8分)新質生產力，是2023年9月習近平總書記在黑龍江考察調研期間首次提到的新詞匯，強調發

展戰略性新興產業，加快形成新質生產力.我國新能源汽車發展迅猛，如圖是我國某區域2024年各季

度新能源汽車銷售量的情況統計圖.

某區墩024年爛度新能源汽車銷售量的情況統計圖

(1)這個區域2024年度共銷售新能源汽車多少萬輛？

(2)將上面的條形統計圖和扇形統計圖補充完整；

(3)根據以上信息，求從第三季度到第四季度該區域新能源汽車銷售量的增長率;

1

【解答】解：(1)20+:=80(萬輛),

4

答：這個區域2024年度共銷售新能源汽車80萬輛.

(2)第一季度銷售新能源汽車為80-20-20-32=8(萬輛),

第一季度銷量占全年的百分比為8?80X100%=10%,

第三季度銷量占全年的百分比為20?80X100%=25%,

第四季度銷量占全年的百分比為32+80X100%=40%,

某區域2024年各季度新能源汽車銷售量的情況統計圖

答：從第三季度到第四季度該區域新能源汽車銷售量的增長率60%.

21.(9分)閱讀與思考

配方法

把代數式通過配湊等手段，得到局部完全平方式(兩數和的平方公式或兩數差的平方公式)，再

進行有關運算和解題，這種解題方法叫做配方法.配方法在因式分解、最值問題中都有著廣泛的

應用.

例如：

①用配方法因式分解：a2+6a+8

原式=。2+60+9-1=(a+3)2-]=(a+3+l)(a+3-1)—(。+4)(a+2)

②求2婷+12》+22的最小值.

解：2/+12x+22=2(X2+6X+11)

先求出X2+6X+11的最小值

X2+6X+11=/+6X+9+2=(X+3)2+2；

由于(x+3)2是非負數，所以(x+3)220,可得到(x+3)2+222,即x2+6x+ll的最小值為

2.

進而2X2+12X+22的最小值為4.

請根據上述材料解決下列問題：

(1)在橫線上添上一個常數項使之成為完全平方式：a2+4a+4；

(2)用配方法因式分解：*+124+35；

(3)求2/-4x+10的最小值.

【解答】解：(1)/+40+4=(。+2)2,

故答案為：4；

(2)a2+12a+35

=a2+12a+36-1

=(a+6)2-1

=(a+6+1)(a+6-1)

—(a+7)(a+5)；

(3)2X2-4x+10

=2(x2-2x+5)

—2(x2-2x+l+4)

=2(x-1)2+8,

因為(x-1)2是非負數，

所以(X-1)220,2(X-1)2+8、8,

所以2x2-4x+10的最小值是8.

22.(10分)如圖所示，在△N2C中，/C=9,BC=12,AB=15,在頂點/處有一點尸，在線段/C上以

每秒1個單位長度的速度向點C勻速運動，在頂點C處有一點Q,以每秒3個單位長度的速度從點C

出發沿C-3-C的路線勻速運動，兩點同時出發，當點。停止運動時，點尸也隨之停止運動.(1)判

斷△NBC的形狀，并說明理由；

(2)若兩點運動4秒時，求此時P0的長；

(3)設兩點運動時間為，秒，當△尸CQ是一個等腰直角三角形時，求才的值.

A

【解答】解：(1)△NBC是直角三角形，

理由："：AC=9,8c=12,AB=15,

：.AC2+BC1=92+U2=152=AB2,

：.ZACB=90°,

：.AABC是直角三角形；

(2)若兩點運動4s時，AP=4cm,CQ=Ucm,

'.PC—9-4=5(cm),

:.PQ=*+CQ2=祖2+122p0=13(cm)；

(3)當△PC0是一個等腰直角三角形時，

VZC=90°,

:.PC=CQ,

兩點運動時間為，秒時，AP=tcm,則PC=(9-/)cm,

①當點。從點C向點2運動時，CQ=3tcm,

.*.9-t=3t,

9

解得t=4;

②當點。從點