專題28.4解直角三角形的應用中考真題專項訓練(50道)

【人教版】

考卷信息：

本套訓練卷共50題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，涵蓋了解直角三角形的應

用中考真題的綜合問題的所有類型！

一.解答題(共50題)

1.(2022?遼寧阜新?中考真題)如圖，小文在數學綜合實踐活動中，利用所學的數學知識測

量居民樓的高度4B,在居民樓前方有一斜坡，坡長CD=15m,斜坡的傾斜角為a,cosa=

號小文在C點處測得樓頂端4的仰角為60。，在D點處測得樓頂端4的仰角為30。(點4B,C,

。在同一平面內).

□□

□□

□□

□□

□□

□□

(1)求c,。兩點的高度差;

(2)求居民樓的高度48.(結果精確到1m,參考數據：V3?1.7)

【答案】(l)9m

(2)24m

【分析】(1)過點D作DE1BC,交BC的延長線于點E,在RtADCE中，可得CE=CD-cosa=

15x1=12(m),再利用勾股定理可求出DE,即可得出答案.

(2)過點。作￡>F14B于F,^AF=xm,在Rt△4DF中，tcm30。=竺===遺，解得DF=

DFDF3

V3%,在RtAZBC中，AB=(x+9)m,BC=(V3x-12)m,tan60°=—=^+9=V3,

BCV3x_12

求出X的值，即可得出答案.

(1)

解：過點。作DE,BC,交BC的延長線于點E,

□□

□□

□□

□□

□□

□□

??,在Rt

4

CE=CD-coscr=15x-=12(m).

???DE=VCD2-CE2=V152-122=9(m).

答：C,。兩點的高度差為9m.

(2)

過點。作DF_L4B于F,

由題意可得BF=DE,DF=BE,

設4F=xm,

在Rt△4DF中，tanzXDF=tan300=—=—=

DFDF3

解得OF=V3x,

在Rt△ZBC中，AB=AF+FB=AF+DE=(x+9)m,BC=BE-CE=DF-CE=

(V3x—12)m,

tan60°=—==V3,

BCV3X-12

解得％=6A/3+I，

=6V3+1+9?24(m).

答：居民樓的高度48約為24m.

【點睛】本題考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題、坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角

函數的定義是解答本題的關鍵.

2.(2022?山東東營,中考真題)勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔黃河之上,

使黃河南北"天塹變通途".已知主塔垂直于橋面BC于點3,其中兩條斜拉索4。、4C與橋

面8C的夾角分別為60。和45。，兩固定點。、C之間的距離約為33m,求主塔4B的高度(結

果保留整數，參考數據：V2?1.41,V3?1.73)

【答案】主塔4B的高度約為78m.

【分析】在放△A8O中，利用正切的定義求出力8=WBD,然后根據回C=45。得出AB=BC,

列方程求出BZ),即可解決問題.

【詳解】解：^ABSBC,

EHABC=90°,

在RtAABD中，AB=BD-tan60°=V3S￡),

在RfAABC中，EIC=45°,

0A2=2C,

0V3BZ)=BD+33,

即。—=理超％

V3-12

^AB=BC=BD+33=二、回°+33~78m,

2

答：主塔ZB的高度約為78m.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握正切的定義是解題的關鍵.

3.(2022?河南,中考真題)在中俄"海上聯合-2014"反潛演習中，我軍艦A測得潛艇C的

俯角為30。，位于軍艦A正上方1000米的反潛直升機B測得潛艇C的俯角為68。，試根據以

上數據求出潛艇C離開海平面的下潛深度.(結果保留整數，參考數據：sin68、0.9,

【答案】潛艇C離開海平面的下潛深度為308米

【分析】過點C作CD^AB,交BA的延長線于點D,則AD即為潛艇C的下潛深度，分別在

Rt三角形AC。中表示出CD和在Rt三角形中表示出從而利用二者之間的關系列

出方程求解.

【詳解】解：過點C作CD0AB,交的延長線于點D則A。即為潛艇C的下潛深度,

海平面

根據題意得：EIACD=30o,138c￡)=65°,

設AZ)=x,貝ljB/BA+ALHIOOO+x,

ADx

在用三角形ACD中，CD==V3x,

tanz.ACDtan30°

在Rf三角形BCD中，8D=CD?tan68。,

E1000+x=V3x-tan68°,

10001000(米)，

解得：x=V3tan68°-1-1.7X2.5-1~308

團潛艇C離開海平面的下潛深度為308米.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是從題目中抽象出直角三角形并選擇

合適的邊角關系求解.

4.（2022?四川資陽,中考真題）小明學了《解直角三角形》內容后，對一條東西走向的隧道

AB進行實地測量.如圖所示,他在地面上點C處測得隧道一端點A在他的北偏東15。方向上,

他沿西北方向前進100百米后到達點此時測得點A在他的東北方向上，端點B在他的北

偏西60。方向上，（點A、B、C、。在同一平面內）

（1）求點。與點A的距離;

（2）求隧道48的長度.（結果保留根號）

【答案】（1）點。與點A的距離為300米

⑵隧道4B的長為（150a+150n）米

【分析】（1）根據方位角圖，易知乙4c0=60。，/.ADC=90°,解RtAZDC即可求解;

（2）過點D作。E1AB于點E.分另lj解RtAADE,Rt△BDE求出4E和BE,即可求出隧道48

的長

（1）

由題意可知：^ACD=15°+45°=60°,^ADC=180°-45°-45°=90°

在Rt△力DC中，

EL4￡>=DCxtanz?力CD=100V3xtan60°=100^/3xV3=300(米)

答：點。與點A的距離為300米.

(2)

過點。作DE14B于點E.

MB是東西走向

EIZADE=45°,/-BDE=60°

在Rt△力DE中，

WE=AE=ADxsin/-ADE=300xsin45°=300x—=150A/2

2

在Rt△BDE中，

SBE=DExtanz.BDE=150V2xtan60°=150V2xV3=150>/6

EXB=HE+BE=150V2+15076（米）

答：隧道48的長為（150a+150布）米

【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用-方向角問題，掌握方向角的概念、熟記特殊角

的三角函數值是解題的關鍵.

5.（2022?遼寧朝陽?中考真題）某數學興趣小組準備測量校園內旗桿頂端到地面的高度（旗

桿底端有臺階）.該小組在C處安置測角儀C￡>,測得旗桿頂端A的仰角為30。，前進8m

到達E處，安置測角儀ER測得旗桿頂端A的仰角為45。（點8,E,C在同一直線上），

測角儀支架高CO=EP=1.2m,求旗桿頂端A到地面的距離即A2的長度.（結果精確到1m.參

考數據：V3=1.7）

A

【答案】旗桿頂端A到地面的距離即AB的長度約為12m

【分析】延長。尸交A3于點G,根據題意可得：DF=CE=8m,DC=EF=BG=1.2m,0AGF

=90°,然后設AG=xm,在RtHAFG中，利用銳角三角函數的定義求出尸G的長，從而求出

OG的長，再在RtMOG中，利用銳角三角函數的定義列出關于尤的方程，進行計算即可詳

解.

【詳解】解：延長。尸交于點G,

由題意得：

DF=CE=8m,DC=EF=BG=12m,^\AGF=90°,

設AG=xm,

在RtE4尸G中，?4FG=45°,

跖6=熊=工（m）,

0DG=DF+FG=(x+8)m,

在Rt她DG中，她。G=30。,

.”。AGxy[3

團raatn30=—=——=—

DGx+83

取=4百+4,

經檢驗：x=4百+4是原方程的根,

^\AB=AG+BG^12（m）,

國旗桿頂端A到地面的距離即AB的長度約為12m.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，根據題目的已知條件并結合圖形

添加適當的輔助線是解題的關鍵.

6.（2022?湖北襄陽?中考真題）位于岷山的革命烈士紀念塔是襄陽市的標志性建筑，是為紀

念"襄樊戰役"中犧牲的革命烈士及第一、第二次國內革命戰爭時期為襄陽的解放事業獻身的

革命烈士的而興建的，某校數學興趣小組利用無人機測量烈士塔的高度.無人機在點A處

測得烈士塔頂部點B的仰角為45。，烈士塔底部點C的俯角為61。，無人機與烈士塔的水平

距離為10m,求烈士塔的高度.（結果保留整數.參考數據：sin61%0.87,cos61°=0.48,

tan61°=1.80）

B

C

【答案】烈士塔的高度約為28m.

【分析】在RfAABD中，回用4。=45°,A￡）=10m,貝!J5D=AO=10m,在放△ACZ）中，

tanEIDAC-tan61o=—=—=1.80,解得CD=18m,由8C=8Z）+C?？傻贸龃鸢?

AD10

【詳解】解：由題意得，（3541）=45°,EID4c=61°,

在放△ABO中，0BA￡>=45°,AD=10m,

^\BD=AD=10rr\,

在放△ACO中，回￡>AC=61°,

CDCD

tan61°=—=—=1.80,

AD10

解得CD=18,

0BC=BD+CZ）=1O+18=28（m）.

回烈士塔的高度約為28m.

【點睛】本題考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數的定義是解

答本題的關鍵.

7.（2022?貴州安順?中考真題）隨著我國科學技術的不斷發展，5G移動通信技術日趨完善.某

市政府為了實現5G網絡全覆蓋，2021~2025年擬建設5G基站3000個，如圖，在斜坡CB上

有一建成的5G基站塔4B,小明在坡腳C處測得塔頂4的仰角為45。，然后他沿坡面CB行走了

50米到達D處，D處離地平面的距離為30米且在。處測得塔頂4的仰角53。.（點4、B、C、

D、E均在同一平面內，CE為地平線）（參考數據：sin53°?cos53°?tan53°?-）

⑴求坡面CB的坡度；

⑵求基站塔力B的高.

【答案】⑴3:4

(2)基站塔48的高為17.5米

【分析】(1)過點C、。分別作48的垂線，交4B的延長線于點N、F,過點。作DMJ.CE,

垂足為M,利用勾股定理求出CM,然后利用坡度的求解方式求解即可；

(2)設DF=4a米，則MN=4a米，BF=3a米，根據乙4CN=45°,求出力N=CN=(40+

4a)米，4F=(4a+10)米.在RtAADF中，求出a=￡；再根據48=4F—BF(米).

(1)

解：如圖，過點C、D分別作48的垂線，交4B的延長線于點N、F,過點。作。M1CE,垂

足為M.

根據他沿坡面CB行走了50米到達。處，。處離地平面的距離為30米,

???CD=50(米),DM=30(米),

根據勾股定理得：CM=y/CD2-DM2=40(米)

???坡面CB的坡度為；器=券=；

CM404

即坡面CB的坡度比為3:4；

(2)

解：設DF=4a米，則MN=4a米，BF=3a米,

???上ACN=45°,

???4CAN=4ACN=45°,

???AN=CN=（40+4a）米，

4F=AN-FN=AN-DM=40+4a-30=（4a+10）米.

在RtAZDF,

DF=4a米，AF=（4a+10）米，^.ADF=53°,

“clAF4a+104

???tan乙40尸=——=----=一，

DF4a3

二解得a=y;

4F=4a+10=4xy+10=40（米），

8F=3a=3x"=史（米），

4B=力F-BF=40-史=歸（米）.

22

答：基站塔4B的高為17.5米.

【點睛】本題考查解直角三角形，通過作垂線構造直角三角形，利用直角三角形的邊角關系

和坡度的意義進行計算是常用的方法.

8.（2022?遼寧鞍山,中考真題）北京時間2022年4月16日9時56分，神舟十三號載人飛

船返回艙成功著陸.為弘揚航天精神，某校在教學樓上懸掛了一幅長為8m的勵志條幅（即

GF=8m）.小亮同學想知道條幅的底端尸到地面的距離，他的測量過程如下：如圖，首先

他站在樓前點B處，在點B正上方點4處測得條幅頂端G的仰角為37。，然后向教學樓條幅方

向前行12m到達點。處（樓底部點E與點B,。在一條直線上），在點。正上方點C處測得條

幅底端F的仰角為45。，若AB,CD均為1.65m（即四邊形ABDC為矩形），請你幫助小亮計

算條幅底端尸到地面的距離FE的長度.（結果精確到0.1m,參考數據:sin37。?0.60,cos37°?

0.80,tan37°~0.75）

BDE

【答案】條幅底端/到地面的距離PE的長度約為5.7米.

【分析】設AC與GE相交于點根據題意可得：AB=CO=HE=1.65米，AC=BD=12

米，0AHG=90。，然后設C〃=x米，則47=（12+x）米，在R/0C”/中，利用銳角三角

函數的定義求出的長，從而求出GH的長，最后再在RZHAHG中，利用銳角三角函數的

定義列出關于無的方程，進行計算即可解答.

【詳解】解：設AC與GE相交于點X,

由題意得：

AB=CD=HE=1.65米,AC=BD=12米，B1AHG=9O°,

設C7/=尤米，

SAH=AC+CH=（12+x）米，

在R愈CH尸中，0FC//=45°,

EFH=C//?tan45°=x（米），

回GB=8米，

SGH=GF+FH=（8+x）米，

在R/fflAHG中，EGAH=37°,

0tan37°=—=—?0.75,

AH12+x

解得：尤=4,

經檢驗：尤=4是原方程的根，

SFE=FH+HE=5.65~5.7（米）,

團條幅底端P到地面的距離FE的長度約為5.7米.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數的定義是

解題的關鍵.

9.（2022?山東荷澤?中考真題）荷澤某超市計劃更換安全性更高的手扶電梯，如圖，把電梯

坡面的坡角由原來的37。減至30。，已知原電梯坡面A8的長為8米，更換后的電梯坡面為

A。，點B延伸至點。，求的長.（結果精確到0.1米.參考數據：sin37°?0.60,cos37°?

0.80,tan37°V0,75,百?1.73)

【分析】根據正弦的定義求出AC,根據余弦的定義求出2C,根據正切的定義求出CD,結

合圖形計算，得到答案.

【詳解】解：在RfMBC中，AB=8米，0ABe=37°,

則AC=A3?sina4BC=8x0.60=4.8（米），

BC=AB?cosEIABC=8x0.80=6.40（米）,

在中，0Aoe=30°,

則CD==卷■=8.30（米），

tan^ADCtan30°叵

3

0BD=Cr>-j3C=8.3O-6.4O=1.9（米），

答：8。的長約為1.9米.

【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用一坡度坡角問題，掌握銳角三角函數的定義是解

題的關鍵.

10.（2022?甘肅蘭州?中考真題）如圖，小睿為測量公園的一涼亭A3的高度，他先在水平

地面點E處用高1.5%的測角儀DE測得乙4DC=31°,然后沿EB方向向前走3機到達點G

處，在點G處用高1.5%的測角儀尸G測得N4FC=42。.求涼亭AB的高度.（A,C,B三

點共線，AB1BE,AC1CD,CD=BE,BC=DE.結果精確至U0.1m）（參考數據：sin31°?

0.52,cos31°?0.86,tan31°?0.60,sin42°?0.67,cos42°?0.74,tan42°?0.90）

【答案】6.9m

【分析】根據題意可得BCMPGUDEMISDF=GE=3,0ACP=9O°,然后設CP=x,則

CD=（x+3）,先在RtEACB中，利用銳角三角函數的定義求出AC的長，再在Rt0AC￡>中,

利用銳角三角函數的定義列出關于x的方程，進行計算即可解答.

【詳解】解：由題意得：

BC=FG=DE=L5,DF=GE=3,EACF=90",

設CF=x,

SCD=CF+DF=(x+3),

在R/SACr中，EAFC=42°,

EIAC=CF?tan42°=0.9x(m),

在RtEIAC。中，EADC=31°,

cAC0.9%c,

0tan31=——=—x0.6,

CDx+3

取=6,

經檢驗：x=6是原方程的根，

0A2=AC+BC=0.9尤+1.5=6.9(m),

國涼亭A3的高約為6.9m.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數的定義是

解題的關鍵.

11.(2022?江蘇鹽城?中考真題)2022年6月5日，"神舟十四號”載人航天飛船搭載"明星”

機械臂成功發射.如圖是處于工作狀態的某型號手臂機器人示意圖，。4是垂直于工作臺的

移動基座，AB.BC為機械臂，。4=Im,AB=5m,BC=2m,zXSC=143°.機械臂端

點C到工作臺的距離CD=6m.

(1)求4、C兩點之間的距離；

⑵求0D長.

(結果精確到0。相,參考數據：sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75,遮"2.24)

【答案】(l)6.7m

(2)4.5m

【分析】(1)連接2C,過點力作4H1BC,交CB的延長線于“，根據銳角三角函數定義和

勾股定理即可解決問題.

(2)過點4作4G10C,垂足為G,根據銳角三角函數定義和勾股定理即可解決問題.

(1)

解：如圖2,連接4C,過點4作交CB的延長線于

圖2

在RtUBH中，^ABH=180°-/.ABC=37°,

sin37°=―,所以4"=4B?sin37023m,

AB

cos37°=—,所以=4B-cos37°=4m,

AB

在RtAACH中，AH=3m,CH=BC+BH=6m,

根據勾股定理得AC=>JCH2+AH2=3V5?6.7m,

答：4、C兩點之間的距離約6.7m.

(2)

如圖2,過點4作4G1DC,垂足為G,

圖2

則四邊形力GDO為矩形，GD=AO=lm,AG=OD,

所以CG=CD-GD=5m,

在RtAACG中，AG=3V5m,CG=5m,

根據勾股定理得AG=VXC2-CG2=2V5?4.5m.

OD=AG=4.5m.

答：。。的長為4.5m.

【點睛】求角的三角畫數值或者求線段的長時，我們經常通過觀察圖形將所求的角成者線段

轉化到直角三角形中(如果沒有直角三角形，設法構造直角三角形)，再利用銳角三角畫數

求解

12.(2022?山東日照?中考真題)2022年北京冬奧會的成功舉辦激發了人們對冰雪運動的熱

情.如圖是某滑雪場的橫截面示意圖，雪道分為AB,兩部分，小明同學在C點測得雪

道的坡度i=l：2.4,在A點測得B點的俯角阻M3=30。.若雪道AB長為270m,雪道8C

長為260m.

(1)求該滑雪場的高度/?；

⑵據了解，該滑雪場要用兩種不同的造雪設備來滿足對于雪量和雪質的不同要求，其中甲

設備每小時造雪量比乙設備少35m3,且甲設備造雪150m3所用的時間與乙設備造雪500m3

所用的時間相等.求甲、乙兩種設備每小時的造雪量.

【答案】(1)235-

(2)甲種設備每小時的造雪量是15m3,則乙種設備每小時的造雪量是50m3

【分析】(1)過B作2附4￡),過。過ARM。，兩直線交于尸，過2作BE垂直地面交地面

于E,根據題知0ABP=EIZMB=30。,可得力F=^AB=135(m),由BC的坡度z=l：2.4,設BE=tm,

貝ljCE=2.4fm,可得產+(2.4f)2=2602,即可得〃=4尸+3￡=235(m)；

(2)設甲種設備每小時的造雪量是xm3,可得：竺2=半，即方程并檢驗可得甲種設備每

xx+35

小時的造雪量是15m3,則乙種設備每小時的造雪量是50m3.

(1)解：過B作8m4。，過A過AM4D,兩直線交于尸，過B作BE垂直地面交地面于E,

如圖:EC根據題知0AB/三EID4B=30°,E4F=

^AB=135(m),回BC的坡度i=l：2.4,EIBE：CE=l：2.4,設BE=fm,貝ijCE=2.4rm,^\BE2+CE2=BC2,

布+(24)2=2602,解得f=100(m),(負值已舍去)，鼬=AF+2E=235(m),答：該滑

雪場的高度〃為235m；

(2)設甲種設備每小時的造雪量是x混，則乙種設備每小時的造雪量是(x+35)m3,根據

題意得：竺2=半，解得彳=15,經檢驗，x=15是原方程的解，也符合題意，取+35=50,答:

甲種設備每小時的造雪量是15m3,則乙種設備每小時的造雪量是50m3.

【點睛】本題考查解直角三角形和分式方程的應用，解題的關鍵是構造直角三角形和列出分

式方程.

13.(2022?遼寧大連?中考真題)如圖，蓮花山是大連著名的景點之一，游客可以從山底乘

坐索道車到達山項，索速車運行的速度是1米/秒，小明要測量蓮花山山頂白塔的高度，他

在索道A處測得白塔底部8的仰角的為30。，測得白塔頂部C的仰角的為37。.索道車從A

處運行到B處所用時間的為5分鐘.

⑵請你利用小明測量的數據，求白塔BC的高度(結果取整數).(參考數據：sin37。、

0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75,V3?1.73)

【答案］⑴300

⑵白塔BC的高度約為45米.

【分析】(1)由路程等于速度乘以時間即可得到答案；

(2)由題意可得：Z.BAD=30°,ACAD=37°,而4B=300,再求解BD=150,AD=150V3,

再利用tan37。=黑=寫震=0.75,再解方程即可.

AD15(Jv3

(1)

解：回索速車運行的速度是1米/秒，索道車從A處運行到2處所用時間的為5分鐘，

BAB=5X60X1=300(米)

故答案為：300

(2)

解：由題意可得：^BAD=30°,ACAD=37°,

而4B=300米

1150「,、

..?BD=-AB=150米,40==1504米）

0tan37°=—=吧a=0,75,

AD150V3

SBC^V3-150?44.625?45（米）

所以白塔BC的高度約為45米.

【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用，熟練的利用三角函數建立方程是解本題的關鍵.

14.（2022?上海?中考真題）我們經常會采用不同方法對某物體進行測量，請測量下列燈桿

⑴如圖1所示，將一個測角儀放置在距離燈桿A8底部。米的點。處，測角儀高為b米，從

C點測得A點的仰角為a,求燈桿AB的高度.（用含a,b,a的代數式表示）

⑵我國古代數學家趙爽利用影子對物體進行測量的方法，在至今仍有借鑒意義圖2所示,

現將一高度為2米的木桿CG放在燈桿AB前，測得其影長CH為1米，再將木桿沿著BC

方向移動1.8米至DE的位置，此時測得其影長。F為3米，求燈桿AB的高度

【答案】⑴atana+6米

（2）3.8米

【分析】（1）由題意得3。=。，CD=b,0ACE=a，根據四邊形CDBE為矩形，得至lj2E=CD=6,

BD=CE=a,在R/ZL4CE中，由正切函數tana=歿,即可得到AB的高度；

CE

⑵根據人肉即，得至UAAB尸/EDR根據相似三角形的對應邊成比例得到=若，又根

DFBF

據ABOGC,得出AABHMGCH,根據相似三角形的對應邊成比例得到黑=若聯立得到二元

BHCH

一次方程組解之即可得；

（1）

解：如圖

A

E\-------------

B'--------------'D

圖1

由題意得3。二〃，CD=b,^\ACE=a

國慶團￡)二團CE5=90°

團四邊形CD3E為矩形，

貝IJ密84，BD=CE二a,

在RtLACE中，tana二一，

CE

得AE=CE=CE"xtana=atana

而AB=AE-^BEf

故AB=atana+b

答：燈桿A5的高度為仇ana+0米

(2)

由題意可得，AB^GC^ED,GC=ED=2,CH=1,DF=3,CD=1.8

由于A施皮)，

⑦MBF~AEDF,

此時也=絲

DFBF

即？=—————①,

3BC+1.8+3^

她應GC

⑦圾BH~AGCH,

此時變=￡￡,

BHCH

2=q②

1BC+1

聯立①②得

答：燈桿A3的高度為3.8米

【點睛】本題考查了相似三角形的應用，銳角三角函數的應用，以及二元一次方程組，解題

的關鍵是讀懂題意，熟悉相似三角形的判定與性質.

15.（2022?湖南郴州?中考真題）如圖是某水庫大壩的橫截面，壩高CD=20m,背水坡BC

的坡度為=為了對水庫大壩進行升級加固，降低背水坡的傾斜程度，設計人員準備

把背水坡的坡度改為％=1：B，求背水坡新起點A與原起點8之間的距離.（參考數據：

V2?1.41,V3?1.73.結果精確到0.1m）

【答案】背水坡新起點A與原起點2之間的距離約為14.6m

【分析】通過解直角三角形Rt△BCD和RtAACD,分另ij求出A。和BD的長，由4B=AD-BD

求出的長.

【詳解】解：在RtABCD中，回背水坡BC的坡度“=1:1,

「CDy

團--=1，

BD

團8。=CD=20（m）.

在Rt△力CD中，回背水坡AC的坡度%=1：8，

“D1

回—=

ADV3

EXD=V3CD=20V3（m）,

0XF=AD-BD=20V3-20?14.6（m）.

答：背水坡新起點A與原起點2之間的距離約為14.6m.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是理解坡度、坡比的含義，構造

直角三角形，利用三角函數表示相關線段的長度.

16.（2022?遼寧錦州,中考真題）某數學小組要測量學校路燈P-M-N的頂部到地面的距

離，他們借助皮尺、測角僅進行測量，測量結果如下：

測量項目測量數據

從A處測得路燈頂部P的仰角aa=58°

從D處測得路燈頂部P的仰角￡S=31°

測角儀到地面的距離AB=DC=1.6m

兩次測量時測角儀之間的水平距離BC=2m

計算路燈頂部到地面的距離PE約為多少米？（結果精確到0.1米.參考數據；cos31。=

0.86,tan31°?0.60,cos58°~0.53,tan58°~1.60)

【答案】3.5米

【分析】延長。A,交PE于點、F,則。地PE,先得到四邊形ABC。、COFE是矩形，然后

由解直角三角形求出AF的長度，再求出尸尸的長度，即可求出答案.

【詳解】解：如圖：延長ZM,交PE于點R則DfBPE,

SAB=DC=1,6,AB//DC

回四邊形A8CD是平行四邊形，

回四邊形ABCD是矩形，

同理：四邊形CDEE是矩形；

EL4D=BC=2,EF=CD=1.6,

在直角EIPZ加中，有PF=DF-tan/?={AD+AF)-tan￡,

在直角即吸尸中，有PF=4F,tana,

0(XD+AF)-tan￡=AF-tana,

即(2+AF)Xtan31°=AFXtan58°,

5\(2+AF)X0.6=AFX1.6,

解得：AF=1.2；

EPF=1.2x1.6~1.9；

SPE=PF+EF=1.9+1.6=3.5（米）；

回路燈頂部到地面的距離PE約為3.5米.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，解直角三角形，矩形的判定和性質，解題的關鍵

是熟練掌握題意，正確的作出輔助線，正確的求出尸尸的長度.

17.（2022,遼寧盤錦,中考真題）如圖，小歡從公共汽車站A出發，沿北偏東30。方向走2000

米到達東湖公園2處，參觀后又從8處沿正南方向行走一段距離，到達位于公共汽車東南

方向的圖書館C處.（參考數據：72=1.414,舊=1.732）

⑴求小歡從東湖公園走到圖書館的途中與公共汽車站之間最短的距離；

（2）若小歡以100米/分的速度從圖書館C沿CA回到公共汽車站A,那么她在15分鐘內能否

到達公共汽車站？

【答案】⑴小歡從東湖公園走到圖書館的途中與公共汽車站之間最短的距離是1000米

⑵小歡15分鐘內能到達公共汽車站

【分析】（1）過點A作于點￡）,根據2位于A的北偏東30。方向和A2=2000米可得

AD的長度；

（2）根據45。角的余弦和AZ）的長可得AC的長度，再結合小歡的速度可得答案.

站之間最短的距離是1000米;

（2）在RtMOC中，甌ZMC=45。，AD=1。。。米，幽C=急;=1。0。/=1414（米），團1414

<15x100,國小歡15分鐘內能到達公共汽車站.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用中的方向角問題，將解直角三角形的相關知識與實

際生活有機結合，體現了數學應用于實際生活的思想.

18.（2022?遼寧遼寧?中考真題）數學活動小組欲測量山坡上一棵大樹CZ）的高度，如圖,

DC14M于點E,在A處測得大樹底端C的仰角為15。，沿水平地面前進30米到達8處,

測得大樹頂端。的仰角為53。，測得山坡坡角NCBM=30。（圖中各點均在同一平面內）.

（1）求斜坡8C的長；

（2）求這棵大樹CD的高度（結果取整數）.

（參考數據：sin53°=|,cos53°=|,tan53°=|,巡=1.73）

【答案】（1）斜坡的長為30米

（2）這棵大樹CD的高度約為20米

【分析】（1）根據題意可得：^CAE=15°,AB=30米，根據三角形的外角性質可求出入4cB=

15°,從而得出AB=BC=30米，即可得出答案.

（2）在RtACBE中，利用銳角三角函數的定義求出CE,8E的長，然后在RtADEB中，利

用銳角三角函數的定義求出的長，最后進行計算即可解答.

（1）

解：由題意得NC4E=15。，AB=30米，

ABC的一個外角,

回N4CB=乙CBE-ACAE=15°,

回N4CB=/.CAE=15°,

SAB—BC—30米，

回斜坡BC的長為30米；

（2）

解：在RtZkCBE中，ZCBF=30°,8c=30米，

0C￡=|SC=15（米），

EIBE=V3C￡=15V3（米）,

在RtADEB中，4DBE=53。,

EDE=BEtan53°A15A/3x[=20/（米），

0￡>C=D￡-CE=20V3-15?20（米），

團這棵大樹CD的高度約為20米.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用中仰角俯角問題，坡度坡角問題，解題關鍵是熟練

掌握銳角三角函數的定義并正確運用.

19.（2022?遼寧錦州?中考真題）如圖，一艘貨輪在海面上航行，準備要停靠到碼頭C,貨

輪航行到A處時，測得碼頭C在北偏東60。方向上.為了躲避A,C之間的暗礁，這艘貨輪

調整航向，沿著北偏東30。方向繼續航行，當它航行到8處后，又沿著南偏東70。方向航行

20海里到達碼頭C.求貨輪從A到8航行的距離（結果精確到0.1海里.參考數據：

sin50°=0.766,cos500=0.643,tan50°=1.192）.

北

【答案】貨輪從A到2航行的距離約為30.6海里.

【分析】過B作BDEIAC于D,在Rt/^BCD中，利用正弦函數求得20=15.32海里,再在放△A3。

中，利用含30度角的直角三角形的性質即可求解.

【詳解】解：過8作BO0AC于。，

北

由題意可知0A8E=3O°,0BAC=3O",貝峋C=180°-30°-30°-70°=50°,

在R/SBCD中，EC=50°,BC=20（海里），

0BD=8Csin50°=20x0.766=15.32（海里），

在R/EL48￡>中，0BAD=3O°,8￡>=15.32（海里），

&42=22￡）=30.64=30.6（海里），

答：貨輪從A到8航行的距離約為30.6海里.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用一方向角問題，正確作出輔助線構造直角三角形是

解題的關鍵.

20.（2022?山東青島?中考真題）如圖，2B為東西走向的濱海大道，小宇沿濱海大道參加"低

碳生活?綠色出行"健步走公益活動.小宇在點A處時，某艘海上觀光船位于小宇北偏東68。的

點C處，觀光船到濱海大道的距離CB為200米.當小宇沿濱海大道向東步行200米到達點

E時，觀光船沿北偏西40。的方向航行至點。處，此時，觀光船恰好在小宇的正北方向，求

觀光船從C處航行到。處的距離.（參考數據:sin40。?0.64,cos40°*0.77,tan40°*0.84,

sin68°?0.93,cos68°?0.37,tan68°?2.48）

【答案】觀光船從C處航行到D處的距離為462.5米

【分析】過點C作CF_LDE于點R根據題意利用正切函數可得4B=496,由矩形的判定

和性質得出CF=BE=296,結合圖形利用銳角三角函數解三角形即可.

【詳解】解：過點C作CF1DE于點F,

由題意得,乙D=40°,乙4cB=68°,

在RtAZBC中，Z.CBA=90°,

AR

^tan^ACB=—

CB

^AB=CBxtan68°=200x2.48=496

團BE=AB-AE=496-200=296

^CFE=乙FEB=乙CBE=90°

團四邊形FEBC為矩形

0CF=BE=296.

在/^△GD尸中，/-DFC=90°

cp

[UsinzD=—

CD

rp296

回⑺=而。笳=462.5

答:觀光船從C處航行到。處的距離為462.5米.

【點睛】題目主要考查解三角形的應用，理解題意，找準各角之間的關系，利用銳角三角函

數解三角形是解題關鍵.

21.（2022?貴州貴陽?中考真題）交通安全心系千萬家.高速公路管理局在某隧道內安裝了

測速儀，如圖所示的是該段隧道的截面示意圖.測速儀C和測速儀E到路面之間的距離CD=

EF=7m,測速儀C和E之間的距離CE=750m,一輛小汽車在水平的公路上由西向東勻速

行駛，在測速儀C處測得小汽車在隧道入口4點的俯角為25。，在測速儀E處測得小汽車在B點

的俯角為60。，小汽車在隧道中從點4行駛到點B所用的時間為38s（圖中所有點都在同一平

面內）.

能道入口

(1)求4B兩點之間的距離(結果精確到1m)；

(2)若該隧道限速22m/s,判斷小汽車從點4行駛到點B是否超速？通過計算說明理由.(參

考數據：V3~1.7,sin25°-0.4,cos25°?0.9,tan25°-0.5,sin65°-0.9,cos65°-0.4)

【答案】(1)760米

(2)未超速，理由見解析

【分析】(1)分別解RtA4CD,RtABEF,求得AD,BF,根據4F—BF即可求解；

(2)根據路程除以速度，進而比較即可求解.

(1)

?-?CDWEF,CD=EF,

.?.四邊形CDFE是平行四邊形

???CDLAF,EF].AF

???四邊形CDFE是矩形，

DF=CE=750

在Rt△ACD中，ACAD=25°,tanzCX￡)=—

AD

CD7

.*.AD=---------?—

tan25°0.5

在Rt△BEF中，乙EBF==言

EF7

.??BF=--------?—

tan601.7

77

AB=AF-BF=AD+DF-BF=—+750-—760

0.51.7

答：A,B兩點之間的距離為760米；

(2)

760

——=20<22,

38

小汽車從點4行駛到點B未超速.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，掌握直角三角形中的邊角關系是解題的關鍵.

22.(2022?四川廣安,中考真題)八年級二班學生到某勞動教育實踐基地開展實踐活動，當

天，他們先從基地門口A處向正北方向走了450米，到達菜園8處鋤草，再從8處沿正西

方向到達果園C處采摘水果，再向南偏東37。方向走了300米，到達手工坊。處進行手工制

作，最后從。處回到門口A處，手工坊在基地門口北偏西65。方向上.求菜園與果園之間的

距離.(結果保留整數)參考數據：sin65%0.91,cos65°=0.42,tan65°=2.14,sin37°=0.60,

cos37°=0.80,tan37°=0.75

【答案】菜園與果園之間的距離為630米

【分析】過點。作EF14B,交4B于點E,則CF1BC,四邊形BCFE是矩形，在RtACDF中,

求得DF=180,C尸=240,進而求得AE=210,在RtAADE中，利用正切進行求解即可.

【詳解】解：如圖，過點。作EF14B,交AB于點E,貝。CF，BC,

c（果園）5（菜園）

038=90°,

四邊形BCFE是矩形，

.-.CF=BE,BC=EF,

在RtACOF中，DF=CD?sinzFCD?300x0.6=180,CF=CD-coszFCD-300x0.8=

240,

副￡=240,

a4E=A2-8E=210,

在RtAADE中，ADAE=65°,tanA=

AE

DE=AE-tanA=210Xtan65°?450米.

EIBC=EB=Z）B+Z）E=180+450=630

答：菜園與果園之間的距離630米.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，掌握直角三角形中的邊角關系是解題的關鍵.

23.（2022?遼寧營口?中考真題）在一次數學課外實踐活動中，某小組要測量一幢大樓MN的

高度，如圖，在山坡的坡腳A處測得大樓頂部M的仰角是58。，沿著山坡向上走75米到達

B處.在8處測得大樓頂部M的仰角是22。，已知斜坡4B的坡度i=3:4（坡度是指坡面的

鉛直高度與水平寬度的比）求大樓MN的高度.（圖中的點A,B,M,N,C均在同一平面

內，N,A,C在同一水平線上，參考數據：tan22°?0.4,tan58°?1.6）

M

【答案】大樓MN的高度為92米

【分析】過點B分別作BH3AC,BF^MN,垂足分別為E、F,通過解直角三角形表示出BR

AN、AE的長度，利用8斤NE進行求解即可.

過點3分別作B￡0AC,B而MN,垂足分別為E、F,

4BEA=乙BFN=4BFM=4MNA=90°

四邊形為矩形，

?-.BE=AN,BF=NE

設MN=x,

在RtAZBE中，

???斜坡4B的坡度i=3:4,即如=

AE4

BE3

???sin/LBAE=——=-

AB5

-AB=75

???BE=45,ZE=60

???FN=45

.?.MF=%—45

在RtA2MN中，VtanzMXW=齡乙MAN=58°

X

???tan58°=—-?1.6

AN

5

AN?-x

8

5

??.NE=AN+AE=-x+60

8

..MP

在RtABMF中，-■?tanzMBF=—.Z.MBF=22°

x—45

???tan22°=———?0.4