空間幾何解答題鞏固練習一1．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預測）如圖，四棱錐中，，，，，與交于點，過點作平行于平面的平面.

(1)若平面分別交，于點，，求的周長；(2)當時，求平面與平面夾角的正弦值.【答案】(1)4；(2).【解析】（1）由題意可知，四邊形是直角梯形，∴與相似，又，∴，，因為過點作平行于平面的面分別交，于點，，即平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性質定理得，，，所以與相似，相似比為，即，因為的周長為6，所以的周長為.

（2）∵平面平面，∴平面與平面的夾角與平面與平面的夾角相等，∵，，，∴，∴，又，，平面，∴平面，平面，∴平面平面，取的中點，因為為等邊三角形，∴，平面平面，平面，∴平面，以點為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，過點與平行的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，

則，，，，，，，設平面的法向量，則，即，取，則，∵平面，∴是平面的一個法向量，設平面與平面夾角為，則，所以，所以平面與平面夾角的正弦值為.2．（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）如圖，直角梯形中，，，，，將沿翻折至的位置，使得，為的中點．

(1)求證：平面平面；(2)為線段上一點（端點除外），若二面角的余弦值為，求線段的長．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）易知，，，平面，平面，又平面，所以由直角梯形，，，，可得，又，得；又，平面，所以平面又平面，可得平面平面（2）取的中點，連接，，

，，又平面平面，平面平面，平面，為的中點，為的中點，可得，又，故以所在的直線分別為軸，建立如圖空間直角坐標系，則，，，，，設，則設平面的一個法向量為，，，所以，令，得，，即平面的一個法向量為可得，解得或(舍)即為的中點，易知，故線段的長為.3．（2023·廣西南寧·南寧二中校聯(lián)考模擬預測）如圖所示，在多面體中，底面為直角梯形，，，側面為菱形，平面平面，M為棱的中點．

(1)若點N為的中點，求證：平面；(2)若，，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)．【解析】（1）證明：連接，，因為M，N分別為，的中點，所以為的中位線，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：取的中點O，連接，因為側面為菱形，且，所以在中，，解得，所以'，即，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，過O作的垂線，交于H并延長，分別以，，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，設，則，故，，，，，則，，，，，設平面的法向量為，則，即，取，可得，設平面的法向量為，，即，令，則，所以，則，故平面與平面夾角的余弦值為．

4．（2023·新疆·統(tǒng)考三模）如圖，在圓柱體中，，，劣弧的長為，AB為圓O的直徑．

(1)在弧上是否存在點C（C，在平面同側），使，若存在，確定其位置，若不存在，說明理由；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)存在，為圓柱的母線(2)【解析】（1）存在，當為圓柱的母線時，．證明如下：連接BC，AC，，因為為圓柱的母線，所以平面ABC，又因為平面ABC，所以．因為AB為圓O的直徑，所以．又，平面，所以平面，因為平面，所以．（2）以為原點，OA，分別為y，z軸，垂直于y，z軸的直線為x軸建立空間直角坐標系，如圖所示，

則，，，因為劣弧的長為，所以，，則，．設平面的法向量，則，令，解得，，所以．因為x軸垂直平面，所以平面的一個法向量．所以，又二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為．5．（2023·四川成都·模擬預測）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，側面底面，側面底面，點F是PB的中點，動點E在邊BC上移動，且.

(1)證明：垂直于底面.(2)當點E在BC邊上移動，使二面角為時，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）因為側面底面，側面底面，而底面是矩形，故,底面，故平面，而平面，故;同理側面底面，側面底面，而底面是矩形，故,底面，故平面，而平面，故，又底面，故垂直于底面（2）由（1）知底面，底面，故，點F是PB的中點，且，故，；又平面，,故平面，平面，故，而平面，故平面，故即為二面角的平面角，即；而,以A為坐標原