高考數學高考數學勤思篤學勤思篤學勤思篤學勤思篤學專題02函數與導數新定義問題函數中的新定義型問題是高考中常見的問題，它綜合考查學生分析問題、解決問題的能力，考查學生探索、創新的能力，這類題目起點不高，難度也不大，只要學生認真理解新定義，利用所學的知識是可以解決的.高考命題方向:1.函數是高中數學的主線，有著十分重要的地位，知識的綜合性強，解決時常用到數形結合、分類討論等數學思想.2.函數中的新定義問題重點圍繞函數的定義及單調性、奇偶性、對稱性等性質進行考查.題型一：曲率與曲率半徑問題【例1】用數學的眼光看世界就能發現很多數學之“美”.現代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導函數，是的導函數，則曲線在點處的曲率(1)求曲線在的曲率；(2)已知函數，求曲率的平方的最大值；(3)函數，若在兩個不同的點處曲率為0，求實數m的取值范圍.【解】（1）因為，則，，所以.（2）因為（），則，，所以，則，令，則，，設，則，顯然當時，，單調遞減，所以，所以最大值為1.（3）∵，，∴，∴，，因為在兩個不同的點處曲率為0，所以有兩個大于0的不同實數解，即有兩個不同的零點.令，∵，∴在上單調遞增，且值域為R，所以有兩個大于0的實數解，等價于，有兩個不同的實數解.令，，則，令得，時，，即單調遞增；時，，即單調遞減；所以，又因為當時，；當時，；的圖象如下所示：又因為有兩個實數解，所以.所以m的取值范圍為.【解題技法】本題可從以下方面入手：（1）根據曲率公式求解即可；（2）將函數在不同點的曲率問題，通過同構將原問題轉換為有兩個實數解，通過導數判斷單調性，從而確定圖象的變化趨勢即可.【跟蹤訓練】函數圖像上不同兩點，處的切線的斜率分別是，，為兩點間距離，定義為曲線在點與點之間的“曲率”，給出以下命題：①存在這樣的函數，該函數圖像上任意兩點之間的“曲率”為常數；②函數圖像上兩點與的橫坐標分別為1,2，則“曲率”；③函數圖像上任意兩點之間的“曲率”；④設，是曲線上不同兩點，且，若恒成立，則實數的取值范圍是．其中正確命題的序號為(填上所有正確命題的序號)．【答案】①③．【解析】因當時，，曲率為，是常數,故①是正確的；又因當時,,故,所以②是錯誤的；因，令故所以,故③正確成立；，因,故,所以,所以④是錯誤的.故選：①③．題型二：曼哈頓距離與折線距離【例2】“曼哈頓距離”是人臉識別中一種重要的測距方式．其定義為:如果在平面直角坐標系中，點的坐標分別為，那么稱為兩點間的曼哈頓距離．(1)已知點分別在直線上，點與點的曼哈頓距離分別為，求和的最小值;(2)已知點是曲線上的動點，其中，點與點的曼哈頓距離記為，求的最大值．參考數據【解】（1）由題可設，又，所以，所以在上單調遞減，在上單調遞增，且當時，，故，即的最小值為2；因為在直線上，故可設，所以，所以在上單調遞減，在上單調遞增，且當時，，則，即的最小值為1．（2）因為是曲線上的動點，故設，所以當時，，，所以在上單調遞減，故；當時，，，所以在上單調遞增，故；當時，，所以在上單調遞增，故；又，所以，，綜上，的最大值為.【解題技法】本題考查了新概念問題，解決新概念問題首先要讀懂新概念的定義或公式，將其當做一種規則和要求嚴格按照新概念的定義要求研究，再結合所學知識處理即可.【跟蹤訓練】“曼哈頓距離”是十九世紀的赫爾曼?閔可夫斯基所創詞匯，定義如下：在直角坐標平面上任意兩點的曼哈頓距離為：.已知點在圓上，點在直線上，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，過點作平行于軸的直線交直線于點，過點作于點表示的長度，因為直線的方程為，所以，即，當固定點時，為定值，此時為零時，最小，即與重合（平行于軸）時，最小，如圖所示，設，，則，，由三角函數知識可知，其中，則其最大值是，所以，故D正確.故選D.

題型三：雙曲正余弦函數問題【例3】懸鏈線的原理運用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程.通過適當建立坐標系，懸鏈線可為雙曲余弦函數的圖像，定義雙曲正弦函數.類比三角函數的性質:①平方關系:，②導數關系:.(1)直接寫出具有的類似①、②的性質（不需要證明）：(2)證明:當時，;(3)求的最小值.【解】（1）平方關系：；導數關系：；（2）構造函數，，可知，由，故恒成立，故單調遞增，則，故對任意，恒成立，滿足題意；（3），，令，則，令，則，當時，由（2）可知，，則，令，則，故在內單調遞增，則，故在內單調遞增，則，故在內單調遞增，則，故在內單調遞增，因為，即為偶函數，故在內單調遞減，則，故當且僅當時，取得最小值0.【解題技法】對于求不等式成立時的參數范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數法,使不等式一端是含有參數的式子，另一端是一個區間上具體的函數，通過對具體函數的研究確定含參式子滿足的條件；二是討論分析法，根據參數取值情況分類討論；三是數形結合法，將不等式轉化為兩個函數，通過兩個函數圖像確定條件.【跟蹤訓練】定義：雙曲余弦函數，雙曲正弦函數．(1)求函數的最小值；(2)若函數在上的最小值為，求正實數的值；(3)求證：對任意實數，關于的方程總有實根．【解】（1）依題意有，令，則.因為在R上單調遞增，當趨近于時，趨近于，當趨近于時，趨近于，所以，所以當時，即時，函數有最小值．（2）函數在上的最小值為，即函數有最小值．因為令，則，因為最小值為，所以，解得，所以正實數的值為．（3）證明：令，定義域為，則，又，所以是奇函數，因為是上的增函數，所以在上單調遞增，且當趨近于時，趨近于1，所以函數在上的值域為，直線過定點，如圖所示：無論取任何實數，直線與函數的圖象都有交點，即對任意實數，關于的方程總有實根．題型四：凹凸函數【例4】函數的凹凸性的定義是由丹麥著名的數學家兼工程師JohanJensen在1905年提出來的．其中對于凸函數的定義如下：設連續函數的定義域為（或開區間或，或都可以），若對于區間上任意兩個數，均有成立，則稱為區間上的凸函數．容易證明譬如都是凸函數．JohanJensen在1906年將上述不等式推廣到了個變量的情形，即著名的Jensen不等式：若函數為其定義域上的凸函數，則對其定義域內任意個數，均有成立，當且僅當時等號成立．(1)若函數為上的凸函數，求的取值范圍：(2)在中，求的最小值；(3)若連續函數的定義域和值域都是，且對于任意均滿足下述兩個不等式：，證明：函數為上的凸函數．（注：）【解】（1）由凸函數的定義有，故．（2）由基本不等式有，當且僅當時取等號．由Jensen不等式有，從而有，即，當且僅當時取等號．故的最小值為．（3）證明：，從而，進而有，所以函數為上的凸函數．【解題技法】本題求解的關鍵有兩個：一是理解凸函數的定義，抓住凸函數的核心特征來進行證明；二是理解Jensen不等式的結構特點.【跟蹤訓練】設連續函數的定義域為，如果對于內任意兩數，都有，則稱為上的凹函數；若，則稱為凸函數.若是區間上的凹函數，則對任意的，有琴生不等式恒成立（當且僅當時等號成立）.(1)證明：在上為凹函數；(2)設，且，求的最小值；(3)設為大于或等于1的實數，證明：.（提示：可設）【解】（1）設，則，所以在上為凹函數.（2）令，由（1）知在上為凹函數，所以函數在上也為凹函數.由琴生不等式，得，即，所以，當且僅當時取等號，故的最小值為.（3）設，因為，所以，要證，只需證，由琴生不等式，只需證在上為凹函數.設，則，下證，即證，即證，化簡得，即證又式顯然成立，所以成立，在上為凹函數，則得證.題型五：切線函數新定義【例5】定義：若函數圖象上恰好存在相異的兩點滿足曲線在和處的切線重合，則稱為曲線的“雙重切點”，直線為曲線的“雙重切線”.(1)直線是否為曲線的“雙重切線”，請說明理由；(2)已知函數求曲線的“雙重切線”的方程；(3)已知函數，直線為曲線的“雙重切線”，記直線的斜率所有可能的取值為，若，證明：.【解】（1）不是，理由如下：由已知，由解得，，又，，不妨設切點為，，在點處的切線的方程為，即，在點的切線方程為，即與直線不重合，所以直線不是曲線的“雙重切線”．（2）由題意，函數和都是單調函數，則可設切點為，且，所以在點處的切線的方程為，在點的切線方程為，所以，消去得，設（），則，所以是減函數，又，所以在時只有一解，所以方程的解是，從而，在點處切線方程為，即，在點處的切線方程為，即，所以“雙重切線”方程為；（3）證明：設對應的切點為，，對應的切點為，，由于，所以，，由余弦函數的周期性，只要考慮的情形，又由余弦函數的圖象，只需考慮，情形，則，，其中，所以，又，，即，，時，，，令（），則，，在上單調遞減，又，所以，所以，此時，則，所以．【解題技法】本題考查新定義，考查導數的幾何意義．解題關鍵是正確理解新定義，并利用新定義進行問題的轉化，轉化為求函數圖象的導數．新定義實際上函數圖象在兩個不同點處的切線重合，這種問題常常設出切點為，由導數幾何意義，應用求出切點坐標或者分別寫出過兩點的切線方程，由斜率相等和縱截距相等求切點坐標．從而合問題獲得解決．【跟蹤訓練】已知函數，設函數的導函數為，若函數和的圖象在處的兩條切線和平行，則稱為函數和的“關聯切點”．(1)證明：對于任意的正實數a，函數和的“關聯切點”有且只有一個；(2)若兩條切線和之間的距離為1，證明：（其中e為自然對數的底數）．【解析】（1），，則，．設為函數和的一個“關聯切點”，則，即

①，則有，，．令，，因為，所以在上單調遞增．當時，，，所以在上有且僅有一個零點；當時，，，所以在上有且僅有一個零點．所以當a為正實數時，在上有且僅有一個零點．即方程有且僅有一個正根．所以對于任意的正實數a，函數和的“關聯切點”有且只有一個．（2）易知，又，即，切線，即．由題意知，化簡得．令，，因為恒成立，所以在上單調遞增，且，，所以．由①式知，所以．由的單調性可得在上單調遞減，所以，再由函數在單調遞增，即可得，得證.題型六：非典型新定義函數【例6】已知函數，若對于任意的實數都能構成三角形的三條邊長，則稱函數為上的“完美三角形函數”.(1)記在上的最大值、最小值分別為，試判斷“”是“為上的“完美三角形函數”的什么條件？不需要證明；(2)設向量，若函數為上的“完美三角形函數”，求實數的取值范圍；(3)已知函數為（為正的實常數）上的“完美三角形函數”.函數的圖象上，是否存在不同的三個點，它們在以軸為實軸，軸為虛軸的復平面上所對應的復數分別為，滿足，且？若存在，請求出相應的復數，若不存在，請說明理由.【解】（1）根據“完美三角形函數”的定義可得充要條件.（2），，①當時，，由，得，②當時，，滿足題意，③當時，，由，得，綜上，實數的取值范圍是.（3）由題可得，，由，得，故，假設存在滿足題意的點，且，則，而，故，事實上，由，得，從而，矛盾，故不存在點滿足題意.【解題技法】本題第三問解題的關鍵是由，變換得到，結合，分析得到矛盾.【跟蹤訓練】若對實數，函數、滿足，且，則稱為“平滑函數”，為該函數的“平滑點”已知，．(1)若1是平滑函數的“平滑點”，（ⅰ）求實數a，b的值；（ⅱ）若過點可作三條不同的直線與函數的圖象相切，求實數t的取值范圍；(2)判斷是否存在，使得對任意，函數存在正的“平滑點”，并說明理由．【解析】（1）（ⅰ）由，，得，，因為1是平滑函數的“平滑點”，則，解得．（ⅱ）由題意，，過點作的切線，設切點，則切線方程：，故題意等價于方程：有3個不同根，設，則，令，得；令，得或，所以函數在上單調遞增，在和上單調遞減，又因為，，，且當時，，如圖所示所以．（2）題意等價于：是否，使得對，有解，消去a，得，，由，可得，故題意等價于是否，使得時，成立，又∵當時，，故題意等價于當時，是否有解，設，，則，當時，，當時，,∴在上單調遞減，在上單調遞增，故，∴有解，即存在滿足題意的a．1．（2024·上海·高考真題）已知函數的定義域為R，定義集合，在使得的所有中，下列成立的是（

）A．存在是偶函數 B．存在在處取最大值C．存在是嚴格增函數 D．存在在處取到極小值【答案】B【解析】對于A，若存在是偶函數,取,則對于任意,而,矛盾,故A錯誤；對于B，可構造函數滿足集合，當時，則，當時，，當時，，則該函數的最大值是，則B正確；對C，假設存在，使得嚴格遞增，則，與已知矛盾，則C錯誤；對D，假設存在，使得在處取極小值，則在的左側附近存在，使得，這與已知集合的定義矛盾，故D錯誤；故選：B.2．（22-23高二上·四川遂寧·期末）“曼哈頓距離”是十九世紀的赫爾曼?閔可夫斯基所創詞匯，其定義如下：在直角坐標平面上任意兩點的曼哈頓距離，則下列結論正確的是（）A．若點，則B．若點，則在軸上存在點，使得C．若點，點在直線上，則的最小值是5D．若點在圓上，點在直線上，則的值可能是4【答案】D【解析】A選項，，A錯誤；B選項，設，則，當且僅當時，等號成立，故在軸上不存在點，使得，B錯誤；C選項，點在直線上，設，則，當時，單調遞減，當時，單調遞增，故當時，取得最小值，最小值為，C錯誤；D選項，設，此時，故的值可能為4，D正確.故選：D3．（多選題）意大利畫家列奧納多·達·芬奇(1452.4—1519.5)的畫作《抱銀貂的女人》中，女士脖頸上懸掛的黑色珍珠項鏈與主人相互映襯呈現出不一樣的美與光澤，達·芬奇提出固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，項鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”，后人給出了懸鏈線的函數解析式：，其中a為懸鏈線系數，稱為雙曲余弦函數，其表達式為，相應地，雙曲正弦函數的函數表達式為.則下列關于雙曲正?余弦函數結論中正確的是（

）A．B．C．D．為偶函數，且存在最小值【答案】ACD【解析】對于A：，故A正確；對于B：，故B錯誤；對于C：，故C正確；對于D：，故函數為偶函數，由于，故(當且僅當時，等號成立)，故D正確.故選：ACD.4．（多選題）若實數m的取值使函數在定義域上有兩個極值點，則稱函數具有“凹凸趨向性”，已知是函數的導數，且，當函數具有“凹凸趨向性”時，m的取值范圍的子集有（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】依題意得，若函數具有“凹凸趨向性”，則在上有2個不同的實數根，令，則，令，解得；令，解得，∴在上單調遞減，在上單調遞增，故的最小值是，當時，，故，故選：BD．5．（多選題）英國著名物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數零點.已知二次函數有兩個不相等的實根，其中.在函數圖象上橫坐標為的點處作曲線的切線，切線與軸交點的橫坐標為；用代替，重復以上的過程得到；一直下去，得到數列.記，且，，下列說法正確的是（）A．（其中） B．數列是遞減數列C． D．數列的前n項和【答案】AD【解析】對于A選項，由得，所以，故A正確.二次函數有兩個不等式實根，，不妨設，因為，所以，在橫坐標為的點處的切線方程為：，令，則，因為所以，即所以為公比是2，首項為1的等比數列.所以，故BC錯.對于D選項，，得，故D正確.故選：AD.6．（2023高三·全國·專題練習）我們通常用曲率來衡量曲線彎曲的程度，它表明曲線偏離直線的程度曲率的倒數就是曲率半徑，即，曲率半徑等于最接近該點處曲線的圓弧的半徑根據微積分推導，對于可導函數，在點處的曲率半徑，其中是的導函數那么對于橢圓：，點在曲線上任意移動，則在點處的曲率半徑最小值為．【答案】【解析】對于橢圓：，它關于軸對稱，則點在軸上方，與在軸下方的曲率半徑是相等的，不妨設點在軸上方，則，則，得，而，則曲率半徑，∵，則當或時，取最小，則曲率半徑最小值為．7．用數學的眼光看世界就能發現很多數學之“美”．現代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導函數，是的導函數，則曲線在點處的曲率．(1)求曲線在處的曲率的平方；(2)求余弦曲線曲率的最大值；【解】（1）因為，則，，所以，故.（2）因為，則，，所以，則，令，則，，設，則，顯然當時，，單調遞減，所以，則最大值為1，所以的最大值為1．8．（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，兩點的“曼哈頓距離”定義為，記為，如點的“曼哈頓距離”為5，記為.(1)若點是滿足的動點的集合，求點集所占區域的面積；(2)若動點在直線上，動點在函數的圖象上，求的最小值；(3)設點，動點在函數的圖象上，的最大值記為，求的最小值.【解】（1）設點，由，得，的圖象是以原點為中心，順次連接四點所形成的正方形，將其上移2個單位長度即得的圖象，所以點集所占區域是：以四點為頂點的正方形及其內部，面積為8.（2）設，則，將看成關于的函數，則在或時取得最小值，即，令，則，當時，；當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，則，此時，所以的最小值為3.（3）設點，則，若存在實數，使，則對任意的成立，令，則，令，則，所以：，所以，令，則是上的偶函數，當時，若，即，則，當且僅當時等號成立；若，則，當且僅當時等號成立，所以存在實數且，使得的最小值為.9．固定項鏈的兩端，在重力的作用下項鏈所形成的曲線是懸鏈線．1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程為，其中為參數．當時，就是雙曲余弦函數，類似地我們可以定義雙曲正弦函數．它們與正、余弦函數有許多類似的性質．(1)類比正、余弦函數導數之間的關系，，，請寫出，具有的類似的性質（不需要證明）；(2)當時，恒成立，求實數的取值范圍；(3)求的最小值．【解】（1）求導易知,.（2）構造函數，，由（1）可知，①當時，由,可知，，故單調遞增，此時，故對任意，恒成立，滿足題意；②當時，令，，則，可知單調遞增，由與可知，存在唯一，使得，故當時，，則在內單調遞減，故對任意，，即，矛盾；綜上所述，實數的取值范圍為．（3），，令，則；令，則，當時，由（2）可知，，則，令，則，故在內單調遞增，則，故在內單調遞增，則，故在內單調遞增，則，故在內單調遞增，因為，即為偶函數，故在內單調遞減，則，故當且僅當時，取得最小值0．10．（23-24高二下·重慶銅梁·階段練習）拐點，又稱反曲點，指改變曲線向上或向下的點（即曲線的凹凸分界點）.設是函數的導函數，是函數的導函數，若方程有實數解，并且在點左右兩側二階導數符號相反，則稱為函數的“拐點”.(1)經研究發現所有的三次函數都有“拐點”，且該“拐點”也是函數的圖象的對稱中心.已知函數的圖象的對稱中心為，討論函數的單調性并求極值.(2)已知函數，其中.求的拐點.【解】（1），，由題意得，即，解得，且，即，解得，故，所以，令得或，令得，故在上單調遞增，在上單調遞減，故在處取得極大值