立體幾何第八章第1講空間幾何體的三視圖、直觀圖、表面積與體積欄目導航01課前基礎診斷03課后感悟提升02課堂考點突破04配套訓練【考綱導學】1．認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構．2．能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖．3．了解球體、柱體、錐體、臺體的表面積和體積計算公式(不要求記憶)．課前基礎診斷11．空間幾何體的結構特征(1)多面體的結構特征：多面體結構特征棱柱有兩個面______，其余各面都是四邊形且每相鄰兩個面的交線都平行且相等棱錐有一個面是多邊形，而其余各面都是有一個__________的三角形棱臺棱錐被平行于______的平面所截，截面和底面之間的部分叫做棱臺平行公共頂點底面

(2)旋轉體的形成：旋轉體旋轉圖形旋轉軸圓柱矩形矩形一邊所在的直線圓錐直角三角形一直角邊所在的直線圓臺直角梯形或等腰梯形直角腰所在的直線或等腰梯形上下底中點連線所在的直線球半圓或圓直徑所在的直線2．空間幾何體的三視圖(1)三視圖的名稱：幾何體的三視圖包括：________、________、________.(2)三視圖的畫法：①在畫三視圖時，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成______．②三視圖的正視圖、側視圖、俯視圖分別是從幾何體的______方、______方、______方觀察幾何體的正投影圖．正視圖側視圖俯視圖虛線正前正左正上3．空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用________畫法來畫，其規則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸，y′軸的夾角為______________，z′軸與x′軸和y′軸所在平面______．(2)原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別______________；平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度______；平行于y軸的線段在直觀圖中長度為____________．斜二測45°或135°

垂直平行于坐標軸不變原來的一半4．空間幾何體的表面積與體積Sh

4πR2

1．如圖所示為，水平放置的三角形的直觀圖，A′C′∥y′軸，則原圖形中△ABC是(

)A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．任意三角形【答案】C2．某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是(

)A．圓柱 B．圓錐C．四面體 D．三棱柱【答案】A【答案】C4．(2017屆長沙校級模擬)棱長為2的正方體外接球的表面積是________．【答案】12π

1．畫三視圖應注意的問題(1)若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實、虛線的畫法．(2)確定正視、側視、俯視的方向，觀察同一物體方向不同，所畫的三視圖也不同．2．求空間幾何體的表面積應注意的問題(1)求組合體的表面積時，要注意各幾何體重疊部分的處理．(2)底面是梯形的四棱柱側放時，容易和四棱臺混淆，在識別時要緊扣定義，以防出錯．判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)：(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．(

)(2)頂點在底面的投影為底面中心的棱錐為正三棱錐．(

)(3)圓錐是直角三角形繞其一邊旋轉而成的旋轉體．(

)(4)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱．(

)(5)斜二測畫法中，原圖形中的平行關系不變，垂直關系在直觀圖中變為原來的一半．(

)(6)棱臺的上下底面一定相似，但側棱長不一定相等．(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)√

(6)√課堂考點突破2空間幾何體的三視圖和直觀圖

(1)一幾何體的直觀圖如圖所示，下列給出的四個俯視圖中正確的是(

)

A

B

C

D

(3)已知三棱錐的俯視圖與側視圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的正三角形，側視圖是有一條直角邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為(

)A

B

C

D

【答案】(1)B

(2)D

(3)C

(4)C【解析】(1)由直觀圖可知，該幾何體由一個長方體和一個截角三棱柱組成．從上往下看，外層輪廓線是一個矩形，矩形內部有一條線段連接的兩個三角形．故選B．(2)A，B的正視圖不符合要求，C的俯視圖顯然不符合要求，故選D．(3)當正視圖為等腰三角形時，則高應為2，且應為虛線，排除A，D；當正視圖是直角三角形時，由條件得一個直觀圖如圖所示，中間的線是看不見的線PA形成的投影，應為虛線，故答案為C．【規律方法】(1)三視圖中，正視圖和側視圖一樣高，正視圖和俯視圖一樣長，側視圖和俯視圖一樣寬．即“長對正，寬相等，高平齊”．(2)解決有關“斜二測畫法”問題時，一般在已知圖形中建立直角坐標系，盡量運用圖形中原有的垂直直線或圖形的對稱軸為坐標軸，圖形的對稱中心為原點，注意兩個圖形中關鍵線段長度的關系．【跟蹤訓練】1．如圖所示為一個簡單幾何體的三視圖，則其對應的幾何體是(

)A

B

C

D

【答案】A

【解析】對于A，該幾何體的三視圖恰好與已知圖形相符，故A符合題意；對于B，該幾何體的正視圖的矩形中，對角線應該是虛線，故不符合題意；對于C，該幾何體的正視圖的矩形中，對角線應該是從左上到右下的方向，故不符合題意；對于D，該幾何體的側視圖的矩形中，對角線應該是虛線，不符合題意，故選A．2．如圖所示，矩形O′A′B′C′是水平放置一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6，O′C′＝2，則原圖形是(

)A．正方形 B．矩形C．菱形 D．一般的平行四邊形求空間幾何體的表面積

(1)(2017年撫順模擬)已知某正三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積為(

)【規律方法】(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關系及數量．(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．(3)旋轉體的表面積問題注意其側面展開圖的應用．空間幾何體的體積【考向分析】空間幾何體的表面積和體積是每年高考的熱點之一，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，多與三視圖相結合命題，也可能單獨命題．常見命題角度有：(1)求以三視圖為背景的幾何體的體積；(2)求簡單幾何體的體積．

(2017年衡陽校級模擬)有一個幾何體的三視圖及其尺寸如圖(單位cm)，則該幾何體的體積為(

)A．12πcm3

B．15πcm2C．36πcm3

D．以上都不正確求以三視圖為背景的幾何體的體積

(2015年山東)已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(

)求簡單幾何體的體積【規律方法】(1)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體等規則幾何體，則可直接利用公式進行求解．其中，等積轉換法多用來求三棱錐的體積．(2)若所給定的幾何體是不規則幾何體，則將不規則的幾何體通過分割或補形轉化為規則幾何體，再利用公式求解．(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據條件求解．與球有關的切、接問題

(1)(2016年撫順模擬)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為(

)【規律方法】空間幾何體與球接、切問題的求解方法：(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找幾何中元素間的關系求解．(2)若球面上四點P，A，B，C構成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關元素“補形”成為一個球內接長方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．【跟蹤訓練】4．如圖所示，網格紙上的小正方形的邊長為l，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，若該幾何體的頂點都在一個球面上，則該球的表面積為(

)A．12π

B．24π

C．36π

D．48π5．(2017年道里區校級模擬)已知一個正四面體的俯視圖如圖所示，其中四邊形ABCD是邊長為3的正方形，則該正四面體的內切球的表面積為(

)A．6π

B．54π

C．12π

D．48π課后感悟提升31個特征——三視圖的長度特征“長對正，寬相等，高平齊”，即正視圖和側視圖一樣高，正視圖和俯視圖一樣長，側視圖和俯視圖一樣寬．2種方法——割補法與等積法(1)割補法：求一些不規則幾何體的體積時，常用割補法轉化成已知體積公式的幾何體進行解決．(2)等積法：等積法包括等面積法和等體積法．等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到．利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時，這一方法回避了通過具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計算得到高