熱傳導和擴散方程熱傳導方程熱傳導：當物體內各處溫度分布不均勻時，就會有熱量從溫度高地方流向溫度低地方，這就是熱傳導。熱量傳遞又會引發溫度分布改變。處理熱傳導問題，歸結為求溫度分布與改變。推導均勻且各向同性導熱體在傳熱過程中溫度所滿足微分方程采取微元法，在物體中任取一個閉曲面S,它所包圍區域記作V假設在時刻t區域V內點處溫度為,

為曲面元素法向（從V內指向V外）第1頁傅里葉（Fourier）定律：物體在無窮小時間段內，流過一個無窮小面積熱量與時間，曲面面積，以及物體溫度沿曲面法線方向方向導數三者成正比，即其中k稱為物體熱傳導系數，當物體為均勻且各向同性導熱體時，k為常數。負號是因為熱量流向和溫度梯度正向方向相反而產生。從時刻到,經過曲面S流入區域V全部熱量為第2頁流入熱量使V內溫度發生了改變，在時間間隔內區域V內各點溫度從改變到，則在內V內溫度升高所需要熱量為其中，c為物體比熱，為物體密度，對各向同性物體來說，它們都是常數。因為熱量守恒，流入熱量應等于物體溫度升高所需吸收熱量，即第3頁此式左端曲面積分中S是閉曲面，利用Gauss公式將它化為三重積分，即同時，右端體積分能夠寫成所以有第4頁因為時間間隔及區域V都是任意取，而且被積函數是連續，所以上式左右恒等條件是它們被積函數恒等，即其中——三維熱傳導方程若物體內有熱源，其強度為,則對應熱傳導方程為其中第5頁作為特例，假如所考慮物體是一根細桿（或一塊薄板），或者即使不是細桿（或薄板），而其中溫度只與x，t（或x，y，t）相關，則三維熱傳導方程就變成一維熱傳導方程和二維熱傳導方程第6頁擴散方程擴散：描寫擴散現象特征物理量應選物質濃度u(x,y,z,t)。濃度不均勻可用濃度梯度表征。擴散現象強弱用擴散流強度q（單位時間、穿過單位截面物質流量）來描述。擴散定律：濃度不均勻程度和引發擴散現象強弱之間關系滿足擴散定律其中，k稱為擴散系數。物質因空間濃度不均勻而引發從濃度高處到低處運動，稱為擴散。負號表示擴散轉移方向（濃度降低方向）與濃度梯度（濃度增大方向）相反。第7頁在空間任取一個微小六面體，如圖所表示。這個平行六面體內濃度改變取決于穿過它表面流量。x方向：設從左面流入，從右面流出，所以單位時間經過左右兩面流入凈流量是：將代入，得：第8頁假如六面體中沒有源和匯，則濃度對時間改變率為：如擴散系數在空間是均勻，則方程可化為：——一維擴散方程令，則方程寫為：如考慮x，y，z三個方向，則方程為：如擴散系數在空間是均勻，則方程可化為：類似，若物體內存在生成該物質源，其強度（單位時間、單位體積產生之質量）為f(x,y,z,t），則得非齊次擴散方程第9頁泊松方程和拉普拉斯方程靜電場電勢靜電場中，電荷分布與電場強度滿足方程因為靜電場是保守場，存在勢函數，設電勢為u，則代入方程式（*）中，即得靜電勢滿足方程它稱為泊松方程，是非齊次。對于不存在電荷區域，，靜電勢滿足方程此方程稱為拉普拉斯方程。是齊次。（*）由和可得：第10頁穩定溫度場在熱傳導問題中，假如物體內不存在熱源，物體周圍環境溫度不隨時間改變，則經過相當長時間后，物體各處溫度將不再隨時間而改變，趨向于穩定狀態。這時，，齊次熱傳導方程便化為穩定溫度場拉普拉斯方程。熱傳導方程：變為：第11頁亥姆霍茲方程方程形式為：在討論用分離變量法求解波動方程、熱傳導方程時會用到這個方程。薛定諤方程：其中，是粒子勢能，是描述微觀粒子運動狀態波函數。用來代替，方程可化為：當，亥姆霍茲方程就退化為拉普拉斯方程。第12頁總結波動方程熱傳導方程拉普拉斯方程齊次、非齊次（右端+自由項f(M,t)）一維、二維、三維第13頁§1-2定解條件作為完整定解問題，除了給出對應問題泛定方程外，還應給出定解條件。定解條件說明系統初始狀態——初始條件說明邊界上物理情況——邊界條件第14頁初始條件對于伴隨時間改變問題，必須考慮研究對象初始時刻狀態，即“初始條件”。1.熱傳導方程對熱傳導問題，初始狀態指是物理量u初始分布，即初始溫度分布。所以初始條件為：其中，是一個已知函數。2.波動方程波動問題既要給出初始位移分布，還要給出初始時刻速率分布。從數學角度看，熱傳導方程中只出現時間t一階導數，所以只需要一個初始條件，而波動方程中出現時間t二階導數，所以需要兩個初始條件。第15頁3.穩定分布問題對于穩定分布問題，比如穩定溫度場，靜電場等，不隨時間而改變，所以不需要給出初始條件。如靜電場方程4.有源問題在周期性外源引發傳導和周期性外力作用下振動問題中，經過很多周期后，初始條件引發自由傳導或自由振動能夠認為已經消失。這時傳導或振動能夠認為完全是由周期性外源或外力引發。處理這類問題時，完全能夠忽略初始條件影響，將其看成無初始條件問題。第16頁邊界條件物理量在其所占范圍（即區域）邊界上分布總是比內部分布直觀得多，因為邊界上情況總能夠經過觀察、測量甚至要求得出，經過邊界上條件來探索物理量在區域內部分布，實際上是處理數學物理問題主要方法，所以給出邊界條件非常主要。所謂邊界，即區域邊界點所組成集合，一維區域（比如弦）邊界，即兩個端點：x=0，x=l；二維區域邊界為曲線或折線；三維區域邊界為曲面。一維區域，A和B為邊界點二維區域D，邊界為曲線和三維區域，邊界為曲面第17頁1.第一類邊界條件直接給出物理量在邊界上分布條件比如，弦橫振動問題中，若其一端x=0處被固定，任何時候也不能產生位移，則該點邊界條件就是對熱傳導問題，假如在導熱過程中，物體邊界上溫度為已知，則邊界條件為也為第一類邊界條件。第一類邊界條件又稱為Dirichlet條件以下我們將區域通記為，將其邊界記為，則邊界條件主要有以下三種類型：第18頁2.第二類邊界條件給出物理量梯度在邊界上分布（即物理量在邊界處法向微商）法向正向為指向系統外比如：桿熱傳導問題中，若桿一端x=a處，是絕熱，沒有熱流經過，那里邊界條件就是又如：均勻弦橫振動問題中，假如在其一端x=L處，是未加固定自由端，弦在自由端處不受位移方向外力，從而在這個端點上弦在位移方向張力應該為零，即所以邊界條件是：其中為邊界法線方向第二類邊界條件又稱為Neuman條件。第19頁3.第三類邊界條件給出物理量及其邊界上法線方向導數線性關系其中為常數。弦振動問題彈性支承，即是這類邊界條件。在彈性支承時，由Hooke定律可知：即其中為彈性體彈性系數。第20頁在桿熱傳導問題中，x=L一端既不固定為某一溫度，又不是處于絕熱狀態，而是處于一個自由冷卻情況下。這么狀態由牛頓冷卻定律反應其規律：若周圍媒質溫度為，則物體和媒質在邊界上交換熱量，其沿外法線方向熱流強度與物體和媒質溫差成正比：令，上式化為：4.齊次邊界條件上面三類邊界條件，可用統一線性關系式表示：假如，則：，稱為齊次邊界條件，不然稱為非齊次邊界條件。第三類邊界條件（混合邊界條件）又稱為Robin條件。第21頁5.自然邊界條件和周期邊界條件自然邊界條件：只要求邊界上保持有限值周期邊界條件：如圓柱系統。取柱坐標對坐標而言，相差整數倍，仍表示同一點。因為要求解有唯一性，自然要滿足：對坐標而言