2025屆湘贛粵名校高考熱身訓練數學試題試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直角坐標系中，雙曲線（）與拋物線相交于、兩點，若△是等邊三角形，則該雙曲線的離心率（）A． B． C． D．2．已知函數，為的零點，為圖象的對稱軸，且在區間上單調，則的最大值是（）A． B． C． D．3．已知實數x，y滿足，則的最小值等于（）A． B． C． D．4．已知雙曲線，為坐標原點，、為其左、右焦點，點在的漸近線上，，且，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．5．若復數，，其中是虛數單位，則的最大值為()A． B． C． D．6．已知集合，則集合真子集的個數為（）A．3 B．4 C．7 D．87．在中，，則（）A． B． C． D．8．已知為拋物線的準線，拋物線上的點到的距離為，點的坐標為，則的最小值是（）A． B．4 C．2 D．9．甲、乙兩名學生的六次數學測驗成績(百分制)的莖葉圖如圖所示.①甲同學成績的中位數大于乙同學成績的中位數；②甲同學的平均分比乙同學的平均分高；③甲同學的平均分比乙同學的平均分低；④甲同學成績的方差小于乙同學成績的方差.以上說法正確的是（）A．③④ B．①② C．②④ D．①③④10．已知過點且與曲線相切的直線的條數有（）．A．0 B．1 C．2 D．311．近年來，隨著網絡的普及和智能手機的更新換代，各種方便的相繼出世，其功能也是五花八門.某大學為了調查在校大學生使用的主要用途，隨機抽取了名大學生進行調查，各主要用途與對應人數的結果統計如圖所示，現有如下說法：①可以估計使用主要聽音樂的大學生人數多于主要看社區、新聞、資訊的大學生人數；②可以估計不足的大學生使用主要玩游戲；③可以估計使用主要找人聊天的大學生超過總數的.其中正確的個數為（）A． B． C． D．12．已知點(m,8)在冪函數的圖象上，設，則（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列的前項和為，，且滿足，則數列的前10項的和為______.14．設等比數列的前項和為，若，，則__________．15．已知等比數列滿足，，則該數列的前5項的和為______________.16．已知向量，滿足，，且已知向量，的夾角為，，則的最小值是__．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）車工劉師傅利用數控車床為某公司加工一種高科技易損零件，對之前加工的100個零件的加工時間進行統計，結果如下：加工1個零件用時（分鐘）20253035頻數（個）15304015以加工這100個零件用時的頻率代替概率.（1）求的分布列與數學期望；（2）劉師傅準備給幾個徒弟做一個加工該零件的講座，用時40分鐘，另外他打算在講座前、講座后各加工1個該零件作示范.求劉師傅講座及加工2個零件作示范的總時間不超過100分鐘的概率.18．（12分）如圖中，為的中點，，，.（1）求邊的長；（2）點在邊上，若是的角平分線，求的面積.19．（12分）已知變換將平面上的點，分別變換為點，．設變換對應的矩陣為．（1）求矩陣；（2）求矩陣的特征值．20．（12分）求下列函數的導數：（1）（2）21．（12分）設數列是等比數列，，已知,(1)求數列的首項和公比；（2）求數列的通項公式．22．（10分）已知是各項都為正數的數列，其前項和為，且為與的等差中項．（1）求證：數列為等差數列；（2）設，求的前100項和．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據題干得到點A坐標為，代入拋物線得到坐標為，再將點代入雙曲線得到離心率.【詳解】因為三角形OAB是等邊三角形，設直線OA為，設點A坐標為，代入拋物線得到x=2b,故點A的坐標為，代入雙曲線得到故答案為：D.【點睛】求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于的齊次式，結合轉化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉化為關于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).2、B【解析】

由題意可得，且，故有①，再根據，求得②，由①②可得的最大值，檢驗的這個值滿足條件．【詳解】解：函數，，為的零點，為圖象的對稱軸，，且，、，，即為奇數①．在，單調，，②．由①②可得的最大值為1．當時，由為圖象的對稱軸，可得，，故有，，滿足為的零點，同時也滿足滿足在上單調，故為的最大值，故選：B．【點睛】本題主要考查正弦函數的圖象的特征，正弦函數的周期性以及它的圖象的對稱性，屬于中檔題．3、D【解析】

設，，去絕對值，根據余弦函數的性質即可求出．【詳解】因為實數，滿足，設，，，恒成立，，故則的最小值等于.故選：．【點睛】本題考查了橢圓的參數方程、三角函數的圖象和性質，考查了運算能力和轉化能力，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．4、D【解析】

根據，先確定出的長度，然后利用雙曲線定義將轉化為的關系式，化簡后可得到的值，即可求漸近線方程.【詳解】如圖所示：因為，所以，又因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以漸近線方程為.故選：D.【點睛】本題考查根據雙曲線中的長度關系求解漸近線方程，難度一般.注意雙曲線的焦點到漸近線的距離等于虛軸長度的一半.5、C【解析】

由復數的幾何意義可得表示復數，對應的兩點間的距離，由兩點間距離公式即可求解.【詳解】由復數的幾何意義可得，復數對應的點為，復數對應的點為，所以，其中，故選C【點睛】本題主要考查復數的幾何意義，由復數的幾何意義，將轉化為兩復數所對應點的距離求值即可，屬于基礎題型.6、C【解析】

解出集合，再由含有個元素的集合，其真子集的個數為個可得答案.【詳解】解：由，得所以集合的真子集個數為個.故選：C【點睛】此題考查利用集合子集個數判斷集合元素個數的應用，含有個元素的集合，其真子集的個數為個，屬于基礎題.7、A【解析】

先根據得到為的重心，從而，故可得，利用可得，故可計算的值．【詳解】因為所以為的重心，所以,所以,所以，因為，所以，故選A．【點睛】對于，一般地，如果為的重心，那么，反之，如果為平面上一點，且滿足，那么為的重心．8、B【解析】

設拋物線焦點為，由題意利用拋物線的定義可得，當共線時，取得最小值，由此求得答案.【詳解】解：拋物線焦點，準線，過作交于點，連接由拋物線定義，

，

當且僅當三點共線時，取“＝”號，∴的最小值為.

故選：B.【點睛】本題主要考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題.9、A【解析】

由莖葉圖中數據可求得中位數和平均數,即可判斷①②③,再根據數據集中程度判斷④.【詳解】由莖葉圖可得甲同學成績的中位數為,乙同學成績的中位數為,故①錯誤；,,則,故②錯誤,③正確；顯然甲同學的成績更集中,即波動性更小,所以方差更小,故④正確,故選:A【點睛】本題考查由莖葉圖分析數據特征,考查由莖葉圖求中位數、平均數.10、C【解析】

設切點為，則，由于直線經過點，可得切線的斜率，再根據導數的幾何意義求出曲線在點處的切線斜率，建立關于的方程，從而可求方程．【詳解】若直線與曲線切于點，則，又∵，∴，∴，解得，，∴過點與曲線相切的直線方程為或，故選C．【點睛】本題主要考查了利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，求解曲線的切線的方程，其中解答中熟記利用導數的幾何意義求解切線的方程是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．11、C【解析】

根據利用主要聽音樂的人數和使用主要看社區、新聞、資訊的人數作大小比較，可判斷①的正誤；計算使用主要玩游戲的大學生所占的比例，可判斷②的正誤；計算使用主要找人聊天的大學生所占的比例，可判斷③的正誤.綜合得出結論.【詳解】使用主要聽音樂的人數為，使用主要看社區、新聞、資訊的人數為，所以①正確；使用主要玩游戲的人數為，而調查的總人數為，，故超過的大學生使用主要玩游戲，所以②錯誤；使用主要找人聊天的大學生人數為，因為，所以③正確.故選：C.【點睛】本題考查統計中相關命題真假的判斷，計算出相應的頻數與頻率是關鍵，考查數據處理能力，屬于基礎題.12、B【解析】

先利用冪函數的定義求出m的值，得到冪函數解析式為f（x）＝x3，在R上單調遞增，再利用冪函數f（x）的單調性，即可得到a，b，c的大小關系.【詳解】由冪函數的定義可知，m﹣1＝1，∴m＝2，∴點（2，8）在冪函數f（x）＝xn上，∴2n＝8，∴n＝3，∴冪函數解析式為f（x）＝x3，在R上單調遞增，∵，1＜lnπ＜3，n＝3，∴，∴a＜b＜c，故選：B.【點睛】本題主要考查了冪函數的性質，以及利用函數的單調性比較函數值大小，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

由得時，，兩式作差，可求得數列的通項公式，進一步求出數列的和．【詳解】解：數列的前項和為，，且滿足，①當時，，②①-②得：，整理得：（常數），故數列是以為首項，2為公比的等比數列，所以（首項不符合通項），故，所以：，故答案為：1．【點睛】本題主要考查數列的通項公式的求法及應用，數列的前項和的公式，屬于基礎題．14、【解析】

由題意，設等比數列的公比為，根據已知條件，列出方程組，求得的值，利用求和公式，即可求解．【詳解】由題意，設等比數列的公比為，因為，即，解得，，所以.【點睛】本題主要考查了等比數列的通項公式，及前n項和公式的應用，其中解答中根據等比數列的通項公式，正確求解首項和公比是解答本題的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題．15、31【解析】設，可化為，得，，，16、【解析】

求的最小值可以轉化為求以AB為直徑的圓到點O的最小距離，由此即可得到本題答案.【詳解】如圖所示，設，由題，得，又，所以，則點C在以AB為直徑的圓上，取AB的中點為M，則，設以AB為直徑的圓與線段OM的交點為E，則的最小值是，因為，又，所以的最小值是.故答案為：【點睛】本題主要考查向量的綜合應用問題，涉及到圓的相關知識與余弦定理，考查學生的分析問題和解決問題的能力，體現了數形結合的數學思想.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）分布列見解析，；（2）0.8575【解析】

（1）根據題目所給數據求得分布列，并計算出數學期望.（2）根據對立事件概率計算公式、相互獨立事件概率計算公式，計算出劉師傅講座及加工個零件作示范的總時間不超過分鐘的概率.【詳解】（1）的分布列如下：202530350.150.300.400.15.（2）設，分別表示講座前、講座后加工該零件所需時間，事件表示“留師傅講座及加工兩個零件示范的總時間不超過100分鐘”，則.【點睛】本小題主要考查隨機變量分布列和數學期望的求法，考查對立事件概率計算，考查相互獨立事件概率計算，屬于中檔題.18、（1）10；（2）.【解析】

（1）由題意可得cos∠ADB＝﹣cos∠ADC，由已知利用余弦定理可得：9+BD2﹣52+9+BD2﹣16＝0，進而解得BC的值．（2）由（1）可知△ADC為直角三角形，可求S△ADC6，S△ABC＝2S△ADC＝12，利用角平分線的性質可得，根據S△ABC＝S△BCE+S△ACE可求S△BCE的值．【詳解】（1）因為在邊上，所以，在和中由余弦定理，得，因為，，，，所以，所以，.所以邊的長為10.（2）由（1）知為直角三角形，所以，.因為是的角平分線，所以.所以，所以.即的面積為.【點睛】本題主要考查了余弦定理，三角形的面積公式，角平分線的性質在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想和數形結合思想，屬于中檔題．19、（1）（2）1或6【解析】

（1）設，根據變換可得關于的方程，解方程即可得到答案；（2）求出特征多項式，再解方程，即可得答案；【詳解】（1）設，則，，即，解得，則．（2）設矩陣的特征多項式為，可得，令，可得或．【點睛】本題考查矩陣的求解、矩陣的特征值，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查運算求解能力.20、（1）；（2）.【解析】

（1）根據復合函數的求導法則可得結果.（2）同樣根據復合函數的求導法則可得結果.【詳解】（1）令，，則，而，，故.（2）令，，則，而，，故，化簡得到.【點睛】本題考查復合函數的導數，此類問題一般是先把函數分解為簡單函數的復合，再根據復合函數的求導法則可得所求的導數，本題屬于容易題.21、(1)（2）【解析】

本題主要考查了等比數列的通項公式的求解，數列求和的錯位相減求和是數列求和中的重點與難點，要注意掌握．（1）設等比數列{an}的公比為q，則q+q2=6，解方程可求q（2）由（1）可求an=a1?qn-1=2