數(shù)值分析總復(fù)習(xí)bit數(shù)值分析總復(fù)習(xí)bit數(shù)值分析總復(fù)習(xí)bit代數(shù)精確度設(shè)有求積公式若它對(duì)f(x)=1,x,x2,…,都能精確成立(即上式等號(hào)成立),但對(duì)f(x)1上式等號(hào)不成立,則稱(chēng)該求積公式具有m次代數(shù)精確度.22021/1/4代數(shù)精確度設(shè)有求積公式若它對(duì)f(x)=1,x,x2,…,都能精確成立(即上式等號(hào)成立),但對(duì)f(x)1上式等號(hào)不成立,則稱(chēng)該求積公式具有m次代數(shù)精確度.2021/1/42復(fù)化梯形公式其中截?cái)嗾`差2021/1/43復(fù)化公式區(qū)間[a,b]n等分,2m其中截?cái)嗾`差2021/1/44梯形值序列遞推算法所有新增加節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值之和.其中2021/1/45算法2021/1/46型求積公式:求積系數(shù),{}:求積節(jié)點(diǎn)如果該求積公式具有(21)階代數(shù)精確度,則稱(chēng)其為型求積公式.設(shè)有求積公式2021/1/47區(qū)間[-1,1]上的型求積公式其中求積節(jié)點(diǎn){}為n階多項(xiàng)式的零點(diǎn);,的值可查表得到.一般[a,b]上的型求積公式可用換元法轉(zhuǎn)化成[-1,1]上的型求積公式.2021/1/48第八章非線(xiàn)性方程解法二分法(對(duì)分區(qū)間法)求f(x)=0的根簡(jiǎn)單迭代法(收斂的充分條件)牛頓法割線(xiàn)法2021/1/49設(shè)[a,b]是f(x)=0的有根區(qū)間,用二分法迭代給定精度,迭代次數(shù)k滿(mǎn)足下式,能保證滿(mǎn)足精度二分法(對(duì)分區(qū)間法)2021/1/410簡(jiǎn)單迭代法構(gòu)造遞推公式適當(dāng)選取.以逐次逼近f(x)=0的根.如何構(gòu)造收斂的迭代法?2021/1/411定理考慮方程x=g(x),g(x)C[a,b],若(I)當(dāng)x[a,b]時(shí)，g(x)[a,b]；()0L<1使得|g’(x)|L對(duì)x[a,b]成立。則任取x0[a,b]，由1=g()得到的序列收斂于g(x)在[a,b]上的唯一不動(dòng)點(diǎn)。并且有誤差估計(jì)式：

(k=1,2,…)

k2021/1/412牛頓法原理：將非線(xiàn)性方程線(xiàn)性化(展開(kāi))xyx*xnxn+12021/1/413第九章常微分方程數(shù)值解法構(gòu)造常微分方程離散格式的三種方法單步法常見(jiàn)格式多步法常見(jiàn)格式重要概念:局部截?cái)嗾`差2021/1/414用差商近似導(dǎo)數(shù)數(shù)值積分方法多項(xiàng)式近似方法構(gòu)造常微分方程離散格式的三種方法2021/1/415法改進(jìn)法經(jīng)典四階方法單步法常見(jiàn)格式2021/1/416多步法常見(jiàn)格式公式顯隱公式預(yù)測(cè)校正公式2021/1/417局部截?cái)嗾`差整體截?cái)嗾`差展開(kāi)方法幾個(gè)重要概念數(shù)值方法的階數(shù)2021/1/418數(shù)值分析總復(fù)習(xí)例題2021/1/419分析對(duì)稱(chēng)其中為矩陣L的第i個(gè)行向量.一.用平方根法求線(xiàn)性方程組,其中2021/1/420解:一.用平方根法求線(xiàn)性方程組,其中2021/1/421一.用平方根法求線(xiàn)性方程組,其中解:

2021/1/422解:先解,再解,

一.用平方根法求線(xiàn)性方程組,其中2021/1/423二.設(shè)有方程組寫(xiě)出迭代,迭代的計(jì)算公式,兩種迭代法是否收斂為什么迭代法不收斂,迭代法,=1.2的迭代法收斂.2021/1/424三.按下表求f(x)的四次插值多項(xiàng)式H(x),并寫(xiě)出截?cái)嗾`差R(x)(x)H(x)的表達(dá)式.012121012021/1/425四.(1)求形如的求積公式,使其至少具有兩次代數(shù)精確度,該公式是否具有三次代數(shù)精確度解(1)由已知,當(dāng)f(x)分別為1,x,x2時(shí),求積公式等號(hào)成立.即故該公式具有3次代數(shù)精確度.2021/1/426四.(2)選用合適的數(shù)值積分方法計(jì)算的近似值,要求計(jì)算結(jié)果具有3位有效數(shù)字.解設(shè)f(x)(x2),8(0,1,…,8),(),則f0=1f1=0.999877932f2=0.998047511f3=0.990128588f4=0.968912422f5=0.924671261f6=0.845924499f7=0.720949381f8=0.540302306梯形值序列T1=0.770151152T2=0.869531786T4=0.895758895T8=0.902332842值序列S2=0.902658664S4=0.904501264S8=0.904524157梯形值序列的逐次分半算法故2021/1/427五.設(shè)(1)用迭代公式求方程f(x)=0在x0=2.0附近的一個(gè)根,試問(wèn)此迭代法是否收斂(2)用合適的方法求f(x)=0在x0=2.0附近的根,要求計(jì)算結(jié)果具有4位有效數(shù)字.解(1)迭代函數(shù)為驗(yàn)證g(x)在區(qū)間[1.7,2.0]上滿(mǎn)足壓縮映像定理,故該迭代法收斂.(2)可用迭代法求根,取x0=2.0,寫(xiě)出迭代公式后計(jì)算三次得x1=1.857142857,x2=1.839544514,x3=1.839286811.故x3即為所求方程近似根.2021/1/428六.確定求解初值問(wèn)題的二步隱式方法中的參數(shù),使該方法成為三階方法,并寫(xiě)出其局部截?cái)嗾`差主項(xiàng).可用數(shù)值積分方法或展開(kāi)方法2021/1/429七.據(jù)資料記載,某地某年間間隔30天的日出日落時(shí)間如下5月1日5月31日6月30日4:514:174:1619:3819:50日出日落19:04日出日落時(shí)間表請(qǐng)問(wèn):這一年中哪一天白天最"長(zhǎng)"解用插值公式較為方便,答案為:這一年中以6月22日的白天最"長(zhǎng)".2021/1/430練習(xí)1.第126頁(yè).求解線(xiàn)性方程組,其中A如右圖所示,試構(gòu)造一個(gè)與求解三對(duì)角方程組的追趕法類(lèi)似的直接方法.其中2021/1/4312.確定如下求積公式中的求積系數(shù),使其具有盡可能高的代數(shù)精確度提示:用三次插值多項(xiàng)式來(lái)近似函數(shù)f(x).2021/1/4323.若干年以前,美國(guó)原子能委員會(huì)準(zhǔn)備將濃縮的放射性廢料裝入密封的圓桶內(nèi)沉至海底.但是,當(dāng)時(shí)一些科學(xué)家與生態(tài)學(xué)家都反對(duì)這種作法.科學(xué)家用實(shí)驗(yàn)測(cè)定出圓桶能夠承受的最大撞擊速度為12.2,如果圓桶到達(dá)海底時(shí)的速度超過(guò)這個(gè)速度,將會(huì)因撞擊海底而破裂,從而引起嚴(yán)重的核污染.然而原子能委員會(huì)卻認(rèn)為不存在這種可能性.根據(jù)圓桶的質(zhì)量,體積以及海水的密度與海底的深度,通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型得知圓桶到達(dá)海底時(shí)的速度v()滿(mǎn)足如下方程:則圓桶到達(dá)海底時(shí)的速度究竟會(huì)不會(huì)超過(guò)12.2呢試選用合適的方法求此速度,要求計(jì)算結(jié)果具有5位有效數(shù)字.2021/1/4334.1601年德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒根據(jù)已有的行星觀測(cè)數(shù)據(jù)得出了天文學(xué)上著名的開(kāi)普勒第三定律:

其中T為行星繞太陽(yáng)運(yùn)行的周期(單位天),a為行星橢圓軌道的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)(單位百萬(wàn)公里),C與g均是常數(shù).試根據(jù)以下數(shù)據(jù),用最小二乘法確定上式中的常數(shù)C與g2021/1/4345.傘兵下降的速度滿(mǎn)足如下公式:其中，g是重力加速度(10米/秒2),m是傘兵的質(zhì)量,c是拽拉系數(shù)(14千克/秒).經(jīng)實(shí)際測(cè)量在下落7秒時(shí)速度為35米/秒,試計(jì)算出傘兵的質(zhì)量(誤差不大于0.5千克).2021/1/435完畢2021/1/436