重難點(diǎn)突破03二次函數(shù)中的線段、周長(zhǎng)與面積的最值問(wèn)題及定值問(wèn)題目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型01利用二次函數(shù)解決單線段的最值問(wèn)題題型02利用二次函數(shù)解決兩條線段之和的最值問(wèn)題題型03利用二次函數(shù)解決兩條線段之差的最值問(wèn)題題型04利用二次函數(shù)解決三條線段之和的最值問(wèn)題題型05利用二次函數(shù)解決三角形周長(zhǎng)的最值問(wèn)題題型06利用二次函數(shù)解決四邊形周長(zhǎng)的最值問(wèn)題題型07利用二次函數(shù)解決圖形面積的最值問(wèn)題類型一利用割補(bǔ)、拼接法解決面積最值問(wèn)題類型二利用用鉛垂定理巧求斜三角形面積最值問(wèn)題類型三構(gòu)建平行線，利用同底等高解決面積最值問(wèn)題題型08利用二次函數(shù)解決定值問(wèn)題題型01利用二次函數(shù)解決單線段的最值問(wèn)題【解題思路】拋物線中的線段最值問(wèn)題有三種形式：1．平行于坐標(biāo)軸的線段的最值問(wèn)題：常通過(guò)線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)差表示線段長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系式，運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)求解．求最值時(shí)應(yīng)注意：①當(dāng)線段平行于y軸時(shí)，用上端點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去下端點(diǎn)的縱坐標(biāo)；②當(dāng)線段平行于x軸時(shí)，用右端點(diǎn)的橫坐標(biāo)減去左端點(diǎn)的橫坐標(biāo)．在確定最值時(shí)，函數(shù)自變量的取值范圍應(yīng)確定正確．1．（2022·遼寧朝陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸分別交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)．(2)如圖，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ長(zhǎng)度的最大值．(3)動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段BC上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段BO上由點(diǎn)B向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)P，M，B，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2021·西藏·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c與x軸交于A，B兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)C．且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5）．（1）求該拋物線的解析式；（2）如圖（甲）．若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P到直線BC的距離最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）圖（乙）中，若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M使得以B，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2021·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）二次函數(shù)y=ax2+bx+4(a≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(?4,0)，B(1,0)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接BP、AC，交于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）連接BC，當(dāng)∠DPB=2∠BCO時(shí)，求直線BP的表達(dá)式；（3）請(qǐng)判斷：PQQB是否有最大值，如有請(qǐng)求出有最大值時(shí)點(diǎn)P4．（2020·遼寧阜新·中考真題）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A?3,0，B1,0，交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)P

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）①若點(diǎn)P僅在線段AO上運(yùn)動(dòng)，如圖1．求線段MN的最大值；②若點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，則在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M，N，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．（2020·天津·中考真題）已知點(diǎn)A(1,0)是拋物線y=ax2+bx+m（a,b,m為常數(shù)，a≠0,m<0（1）當(dāng)a=1,m=?3時(shí)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為M(m,0)，與y軸的交點(diǎn)為C，過(guò)點(diǎn)C作直線l平行于x軸，E是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，EF=22①當(dāng)點(diǎn)E落在拋物線上（不與點(diǎn)C重合），且AE=EF時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；②取EF的中點(diǎn)N，當(dāng)m為何值時(shí)，MN的最小值是226．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=14x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C

(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D，求PD的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，將該拋物線向右平移5個(gè)單位，點(diǎn)E為點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與y軸交于點(diǎn)F，Q為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)．寫出所有使得以QF為腰的△QEF是等腰三角形的點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)的過(guò)程寫出來(lái)．題型02利用二次函數(shù)解決兩條線段之和的最值問(wèn)題【解題思路】拋物線中的線段最值問(wèn)題有三種形式：2.兩條線段和的最值問(wèn)題：解決這類問(wèn)題最基本的定理就是“兩點(diǎn)之間線段最短”，解決這類問(wèn)題的方法是：作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于已知直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)定點(diǎn)，它們與已知直線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn).其變形問(wèn)題有三角形周長(zhǎng)最小或四邊形周長(zhǎng)最小等.【常見(jiàn)模型一】（兩點(diǎn)在河的異側(cè)）：在直線L上找一點(diǎn)M，使PA+PB的值最小.方法：如右圖，連接AB，與直線L交于點(diǎn)M,在M處渡河距離最短，最短距離為線段AB的長(zhǎng)。【常見(jiàn)模型二】（兩點(diǎn)在河的同側(cè)）：在直線L上找一點(diǎn)M，使PA+PB的值最小.方法：如右圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)B’，連接AB’,與直線L的交點(diǎn)即為所求的渡河點(diǎn)，最短距離為線段AB’的長(zhǎng)。7．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y=?x2+bx+c經(jīng)過(guò)A(?1,0),C(0,3)兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM

(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)H是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MH，DH，求MH+DH的最小值；(3)若點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．（2015·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x=?1，且拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，其中A(1,0)（1）若直線y=mx+n經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，求直線BC和拋物線的解析式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸x=?1上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x=?1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使ΔBPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo).9．（2021·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y=?12x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y=?12（1）求拋物線的解析式；（2）求證：△AOC∽△ACB；（3）點(diǎn)M3,2是拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線上位于直線BC上方的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸交直線BC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段DE的長(zhǎng)度最大時(shí)，求PD+PM10．（2023·山東德州·校考一模）如圖，已知拋物線y=ax2?32x+c與x軸交于點(diǎn)A(?4,0)，(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q使QB+QC最小？若存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)點(diǎn)P為AC上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC，垂足為點(diǎn)D，連接PC，當(dāng)△PCD與△ACO相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．11．（2021·廣東東莞·校考一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸l與x軸交于M點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，求PA+PC長(zhǎng)；(3)已知點(diǎn)N（0，﹣1），在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M、N、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BCM相似？若存在；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，二次函數(shù)y=?14x2+12m?1x+m（m是常數(shù)，且m>0）的圖象與x軸相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸l(1)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)（用數(shù)字或含m的式子表示）；(2)當(dāng)PA+PC的最小值等于45時(shí)，求m的值及此時(shí)點(diǎn)P(3)當(dāng)m取（2）中的值時(shí)，若∠APC=2∠ABC，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．題型03利用二次函數(shù)解決兩條線段之差的最值問(wèn)題【解題思路】拋物線中的線段最值問(wèn)題有三種形式：3.兩條線段差的最值問(wèn)題：解決這類問(wèn)題最基本的定理就是“三角形任何兩邊之差小于第三邊”，解決這類問(wèn)題的方法是：求解時(shí),先根據(jù)原理確定線段差取最值時(shí)的圖形,再根據(jù)已知條件求解。【常見(jiàn)模型一】（兩點(diǎn)在同側(cè)）：在直線L上求一點(diǎn)P,求|PA-PB|的最大值方法：如右圖，延長(zhǎng)射線AB，與直線L交于點(diǎn)P，|PA-PB|最大值為AB【常見(jiàn)模型二】（兩點(diǎn)在異側(cè)）：在直線L上求一點(diǎn)P,求|PA-PB|的最大值。方法：如右圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)B’，延長(zhǎng)射線AB’，與直線L交于點(diǎn)P，|PA-PB|最大值為AB’13．（2023·江西九江·校考模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c中，x，x…-1013…y…03m0…(1)表格中m=______，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出該二次函數(shù)的圖象；

(2)若二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖象與y軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為(3)設(shè)Q(0，2t)是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若線段PQ與函數(shù)y=ax14．（2022·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，已經(jīng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)O(0,0)，A(5,5)，且它的對(duì)稱軸為x=2．(1)求此拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)B是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)B在第一象限，當(dāng)△OAB的面積為15時(shí)，求B的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA?PB的值最大時(shí)，求P的坐標(biāo)以及PA?PB的最大值15．（2022上·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為E1，4的拋物線y=ax2+bx+c與x軸從左到右依次交于A，B兩點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)為(1)求此拋物線的解析式；(2)若直線BP與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)D，當(dāng)BD?CD取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若直線BC與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)F，連接PC，PE，PF，記△PCF，△PEF的面積分別為S1，S2，判斷16．（2020上·廣東惠州·九年級(jí)惠州一中校考階段練習(xí)）如圖，拋物線y=ax2?2ax?3a與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別位于原點(diǎn)的左、右兩側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C，D為拋物線的頂點(diǎn)，已知△ABC(1)求拋物線的解析式．(2)P為拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，當(dāng)PA?PC取最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)在（2）的條件下，E為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若S△BDE:S17．（2019·云南紅河·統(tǒng)考一模）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)B，且對(duì)稱軸為x＝1．（1）求該拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|PA﹣PB|取最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．題型04利用二次函數(shù)解決三條線段之和的最值問(wèn)題18．（2021·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)A，B在x軸上，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，D?4,5兩點(diǎn)，且與直線（1）求拋物線的解析式；（2）F為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，Q為平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)Q，F(xiàn)，E，B為頂點(diǎn)的四邊形是以BE為邊的菱形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）P為y軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為M，連接ME，BP．探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B在x軸上，拋物線y=?x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，C4,?5兩點(diǎn)，且與直線(1)求拋物線的解析式：(2)P為y軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為Q，連接EQ，AP．試求EQ+PQ+AP的最小值；(3)N為平面內(nèi)一點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，N，E，A為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（2022·湖北恩施·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知拋物線y=14x+?2+k．點(diǎn)A?1,2在拋物線的對(duì)稱軸上，B0,54是拋物線與y(1)直接寫出?，k的值；(2)如圖，若點(diǎn)D的坐標(biāo)為3,m，點(diǎn)Q為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，直線QK與拋物線對(duì)稱軸垂直，垂足為點(diǎn)K．探求DK+KQ+QC的值是否存在最小值，若存在，求出這個(gè)最小值及點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖，連接AD，AC，若∠DAC=60°，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．題型05利用二次函數(shù)解決三角形周長(zhǎng)的最值問(wèn)題21．（2023·廣東湛江·校考一模）拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于點(diǎn)A?3,0,B

(1)(2)求拋物線的解析式(3)在拋物線對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使△MBC的周長(zhǎng)最小，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)和△MBC的周長(zhǎng)(4)若點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥BC交拋物線于點(diǎn)Q，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)22．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線y=ax2+bx+4與x軸相交于點(diǎn)A1,0，B4,0(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求PAPC(3)如圖2，取線段OC的中點(diǎn)D，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使tan∠QDB=1223．（2023·四川資陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，直線y=?43x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=?43

(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)D為拋物線上位于AB上方的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，作DF∥y軸交AB于點(diǎn)F，當(dāng)△DEF的周長(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)G是平面內(nèi)的一點(diǎn)，在（2）的條件下，將△DEF繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到△D'E'F'，當(dāng)24．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考一模）已知直線y=x?1與x軸交于點(diǎn)A，過(guò)x軸上A，C兩點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+3與y軸交于點(diǎn)B，與直線y=x?1交于D(1)直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求拋物線的解析式；(3)若點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸l上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CDM的周長(zhǎng)最小時(shí)，求△CDM的面積；(4)點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，C重合），連接AP，DP，若△ADP的面積等于3，求點(diǎn)25．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+ca≠0與x軸交于點(diǎn)A?1，0(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)Q，使△AQC的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)△AQC和△AQP面積相等時(shí)，請(qǐng)求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)．題型06利用二次函數(shù)解決四邊形周長(zhǎng)的最值問(wèn)題26．（2023·遼寧丹東·校考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx+5與x軸交于A?1,0，B5,0

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是位于直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△BPC面積的最大值；(3)若點(diǎn)D是y軸上的一點(diǎn)，且以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(4)若點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)F3,a是該拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)M在x軸、點(diǎn)N在y軸上，是否存在點(diǎn)M、N使四邊形EFMN的周長(zhǎng)最小，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M、點(diǎn)N27．（2022·廣東東莞·東莞市光明中學(xué)校考一模）二次函數(shù)y=ax2+bx+3a≠0的圖像與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)(1)求a、b的值；(2)P是二次函數(shù)圖像在第一象限部分上一點(diǎn)，且∠PAB=∠OCA，求P點(diǎn)坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，有一條長(zhǎng)度為1的線段EF落在OA上（E與點(diǎn)O重合，F(xiàn)與點(diǎn)A重合），將線段EF沿x軸正方向以每秒613個(gè)單位向右平移，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)四邊形CEFP周長(zhǎng)最小時(shí)，求t28．（2022·安徽六安·校考一模）如圖，直線AB∶y=x-3與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，與直線AB交于點(diǎn)N，頂點(diǎn)為C(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)M在線段BN上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)M作線段EF平行于y軸，分別交拋物線于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)E，作FG⊥CD于點(diǎn)G；①若設(shè)E（t，0），試用含t的式子表示DE的長(zhǎng)度；②試求四邊形EFGD的周長(zhǎng)取得最大值．題型07利用二次函數(shù)解決圖形面積的最值問(wèn)題【解題思路】拋物線中的面積最值問(wèn)題通常有以下3種解題方法：1）當(dāng)所求圖形的面積沒(méi)有辦法直接求出時(shí)，通常采用分割或補(bǔ)全圖形的方法表示所求圖形的面積，如下：一般步驟為：①設(shè)出要求的點(diǎn)的坐標(biāo)；②通過(guò)割補(bǔ)將要求的圖形轉(zhuǎn)化成通過(guò)條件可以表示的圖形面積和或差；③列出關(guān)系式求解；④檢驗(yàn)是否每個(gè)坐標(biāo)都符合題意．2）用鉛垂定理巧求斜三角形面積的計(jì)算公式：三角形面積等于水平寬和鉛錘高乘積的一半.3）利用平行線間的距離處處相等，根據(jù)同底等高，將所求圖形的面積轉(zhuǎn)移到另一個(gè)圖形中，如圖所示：一般步驟為：①設(shè)出直線解析式，兩條平行直線k值相等；②通過(guò)已知點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線解析式；③求出題意中要求點(diǎn)的坐標(biāo)；④檢驗(yàn)是否每個(gè)坐標(biāo)都符合題意．類型一利用割補(bǔ)、拼接法解決面積最值問(wèn)題29．（2022·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y=x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A1,0，AB=4，點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PQ//BC交(1)求該拋物線的解析式；(2)求△CPQ面積的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．30．（2012下·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)A?4,0，B0,?4，(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△AMB的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；(3)若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y=?x上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能使以點(diǎn)P，Q，B，O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形（要求PQ∥OB），直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)31．（2021·河南駐馬店·校聯(lián)考二模）如圖所示，拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=3，拋物線與x軸交于A?2,0、B兩點(diǎn)，與（1）求拋物線的解析式；（2）連結(jié)BC，在第一象限內(nèi)的拋物線上，是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大？最大面積是多少？32．（2022·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c+a<0與x軸分則點(diǎn)A和點(diǎn)B1,0，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x=?1(1)直接寫出拋物線的解析式；(2)如圖2，連接AC，當(dāng)點(diǎn)P在直線AC上方時(shí)，求四邊形PABC面積的最大值，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)M為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P，M運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)N，使四邊形PMCN為矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)P及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．類型二利用用鉛垂定理巧求斜三角形面積最值問(wèn)題33．（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知直線y＝43x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，對(duì)稱軸為直線x(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)D是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，Q，使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為對(duì)角線的菱形？若存在，請(qǐng)求出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．34．（2019·湖南婁底·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(?1,0)，點(diǎn)B(3,0)，與y軸交于點(diǎn)C，且過(guò)點(diǎn)D(2,?3)．點(diǎn)P、Q(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線OD下方時(shí)，求ΔPOD(3)直線OQ與線段BC相交于點(diǎn)E，當(dāng)ΔOBE與ΔABC相似時(shí)，求點(diǎn)35．（2018·遼寧阜新·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象交x軸于點(diǎn)A（1，0），B（3，0），交y軸于點(diǎn)C．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，求△BCP面積的最大值；（3）直線x=m分別交直線BC和拋物線于點(diǎn)M，N，當(dāng)△BMN是等腰三角形時(shí)，直接寫出m的值．36．（2021·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx?3交x軸于點(diǎn)A(?1,0)，B(3,0)，過(guò)點(diǎn)B（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P不與點(diǎn)B，C重合），求△PBC面積的最大值；（3）若點(diǎn)M在拋物線上，將線段OM繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°，得到線段ON，是否存在點(diǎn)M，使點(diǎn)N恰好落在直線BC上？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．37．（2020·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A,B，與y軸交于點(diǎn)C，且直線y=x?6過(guò)點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱．點(diǎn)P是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M，交直線BD

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)△MDB的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以Q,M,N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．38．（2022·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y=12x2?2x?6與x軸相交于點(diǎn)A、點(diǎn)B(1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)Pm,n0<m<6在拋物線上，當(dāng)m取何值時(shí)，△PBC的面積最大？并求出(3)點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，作FE//AC交x軸于點(diǎn)E，是否存在點(diǎn)F，使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．39．（2021·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A(?1,0)，B(3,0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C(0,?3)，點(diǎn)Q（1）求拋物線的解析式；（2）求|QO|+|QA|的最小值；（3）過(guò)點(diǎn)Q作PQ//AC交拋物線的第四象限部分于點(diǎn)P，連接PA，PB，記△PAQ與△PBQ的面積分別為S1，S2，設(shè)S=S1+類型三構(gòu)建平行線，利用同底等高解決面積最值問(wèn)題40．（2021·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y=mx2+m2+3x?(6m+9)與x軸交于點(diǎn)A、B（1）求m的值和直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）P為拋物線上一點(diǎn)，若S△PBC=S（3）Q為拋物線上一點(diǎn)，若∠ACQ=45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．41．（2021·天津北辰·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，拋物線y＝12x2＋bx＋c（b，c為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0）和點(diǎn)B(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)點(diǎn)M為直線AB下方拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N為y軸上一點(diǎn)，當(dāng)△MAB的面積最大時(shí)，直接寫出2MN＋ON的最小值．題型08利用二次函數(shù)解決定值問(wèn)題42．（2023·四川成都·校考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx?32與x軸交于A?1,0，B3,0兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為M．直線y=kx?k與拋物線相交于E

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)當(dāng)線段EF被拋物線的對(duì)稱軸分成長(zhǎng)度比為1:4的兩部分時(shí)，求k的值；(3)連接EM，F(xiàn)M，試探究∠EMF的大小是否為定值．若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．13．（2023·安徽合肥·校考一模）已知拋物線y=x2與直線l:y=kx+8相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)M為線段AB下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MG∥y軸交AB于點(diǎn)(1)當(dāng)AB∥x軸時(shí)，①求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；②求MGGA?GB(2)當(dāng)k=2時(shí)，MGGA?GB44．（2023·福建莆田·統(tǒng)考二模）已知拋物線y=x+t2+t+2(1)已知三個(gè)點(diǎn)1,0，2,0，2,4，其中有一個(gè)點(diǎn)可以是拋物線的頂點(diǎn)，請(qǐng)選出該點(diǎn)并求拋物線的解析式；(2)在（1）的條件下，點(diǎn)A在拋物線上且其橫坐標(biāo)為4，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B．點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)，連接PA．點(diǎn)Q為拋物線對(duì)稱軸左側(cè)上一點(diǎn)，AQ延長(zhǎng)線交x軸于點(diǎn)C，QP延長(zhǎng)線交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接CD．①若PA平分∠CAB時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；②設(shè)S△PAC=S1，45．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A?2,0，B4,0

(1)求拋物線的解析式；(2)已知E為拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線對(duì)稱軸l上一點(diǎn)，以B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE=90°，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；(3)如圖2，P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接AP交y軸于點(diǎn)M，連接BP并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)N，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，OM+146．（2022上·廣東韶關(guān)·九年級(jí)校考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOv中，一次函數(shù)y=54x+m（m為常數(shù)）的圖象與x軸交于點(diǎn)A(?3,0)，與y軸交于點(diǎn)C，以直線x=1為對(duì)稱軸的拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，并與x軸的正半軸交于點(diǎn)B．（參考公式：在平面直角坐標(biāo)之中，若A(x(1)求m的值及拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)是否存在拋物線上一動(dòng)點(diǎn)Q，使得△ACQ是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若P是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，且使△ACP周長(zhǎng)最小，過(guò)點(diǎn)P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于M1(x

重難點(diǎn)突破03二次函數(shù)中的線段、周長(zhǎng)與面積的最值問(wèn)題及定值問(wèn)題目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型01利用二次函數(shù)解決單線段的最值問(wèn)題題型02利用二次函數(shù)解決兩條線段之和的最值問(wèn)題題型03利用二次函數(shù)解決兩條線段之差的最值問(wèn)題題型04利用二次函數(shù)解決三條線段之和的最值問(wèn)題題型05利用二次函數(shù)解決三角形周長(zhǎng)的最值問(wèn)題題型06利用二次函數(shù)解決四邊形周長(zhǎng)的最值問(wèn)題題型07利用二次函數(shù)解決圖形面積的最值問(wèn)題類型一利用割補(bǔ)、拼接法解決面積最值問(wèn)題類型二利用用鉛垂定理巧求斜三角形面積最值問(wèn)題類型三構(gòu)建平行線，利用同底等高解決面積最值問(wèn)題題型08利用二次函數(shù)解決定值問(wèn)題題型01利用二次函數(shù)解決單線段的最值問(wèn)題【解題思路】拋物線中的線段最值問(wèn)題有三種形式：1．平行于坐標(biāo)軸的線段的最值問(wèn)題：常通過(guò)線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)差表示線段長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系式，運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)求解．求最值時(shí)應(yīng)注意：①當(dāng)線段平行于y軸時(shí)，用上端點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去下端點(diǎn)的縱坐標(biāo)；②當(dāng)線段平行于x軸時(shí)，用右端點(diǎn)的橫坐標(biāo)減去左端點(diǎn)的橫坐標(biāo)．在確定最值時(shí)，函數(shù)自變量的取值范圍應(yīng)確定正確．1．（2022·遼寧朝陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸分別交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)．(2)如圖，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ長(zhǎng)度的最大值．(3)動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段BC上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段BO上由點(diǎn)B向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)P，M，B，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)y=x(2)9(3)?3,?32【分析】（1）將A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式求得a，c的值，進(jìn)而得出解析式，當(dāng)y=0時(shí)，求出方程的解，進(jìn)而求得B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由B，C兩點(diǎn)求出BC的解析式，進(jìn)而設(shè)出點(diǎn)P和點(diǎn)Q坐標(biāo)，表示出PQ的長(zhǎng)，進(jìn)一步得出結(jié)果；（3）要使以點(diǎn)P，M，B，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，只需△PMB是等腰三角形，所以分為PM=BM，PM=PB和BP=BM，結(jié)合圖象，進(jìn)一步得出結(jié)果．【詳解】（1）解：把點(diǎn)A(1，0)，C(0，﹣3)代入y=axc=?3a+2×1+c=0，解得：c=?3∴拋物線解析式為y=x令y=0，則x2解得：x1∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，0）；（2）解：設(shè)直線BC的解析式為y=kx+bk≠0把點(diǎn)B（-3，0），C(0，﹣3)代入得：b=?3?3k+b=0，解得：k=?1∴直線BC的解析式為y=?x?3，設(shè)點(diǎn)Pm,?m+3，則Q∴PQ=?m?3∴當(dāng)m=?32時(shí)，PQ最大，最大值為（3）解：存在，根據(jù)題意得：PC=2t,BM=t，則如圖，當(dāng)BM=PM時(shí)，∵B（-3，0），C（0，-3），∴OB=OC=3，∴∠OCB=∠OBC=45°，延長(zhǎng)NP交y軸于點(diǎn)D，∵點(diǎn)P，M，B，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，∴PN∥x軸，BN∥PM，即DN⊥y軸，∴△CDP為等腰直角三角形，∴CD=PD=PC?sin∵BM=PM，∴∠MPB=∠OBC=45°，∴∠PMO=∠PDO=∠MOD=90°，∴四邊形OMPD是矩形，∴OM=PD=t，MP⊥x軸，∴BN⊥x軸，∵BM+OM=OB，∴t+t=3，解得t=3∴P?∴N?3,?如圖，當(dāng)PM=PB時(shí)，作PD⊥y軸于D，連接PN，∵點(diǎn)P，M，B，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，∴PN⊥BM，NE=PE，∴BM=2BE，∴∠OEP=∠DOE=∠ODP=90°，∴四邊形PDOE是矩形，∴OE=PD=t，∴BE=3-t，∴t=2（3-t），解得：t=2，∴P（-2，-1），∴N（-2，1）；如圖，當(dāng)PB=MB時(shí)，32?2∴PN=BP=BM=6?32過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，∴PE⊥PM，∴∠EON=∠OEP=∠EPN=90°，∴四邊形OEPN為矩形，∴PN=OE，PN⊥y軸，∵∠OBC=45°，∴BE=PE=PB?sin∴OE=OB?BE=3?3∴點(diǎn)N在y軸上，∴N0,3?3綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為?3,?32或（-2，1）或【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，等腰三角形的分類和等腰三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是正確分類，畫出符合條件的圖形．2．（2021·西藏·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c與x軸交于A，B兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)C．且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5）．（1）求該拋物線的解析式；（2）如圖（甲）．若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P到直線BC的距離最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）圖（乙）中，若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M使得以B，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）y＝﹣x2＋4x＋5；（2）P（52，354）；（3）存在，【分析】（1）將A的坐標(biāo)（﹣1，0），點(diǎn)C的坐（0，5）代入y＝﹣x2＋bx＋c，即可得拋物線的解析式為y＝﹣x2＋4x＋5；（2）過(guò)P作PD⊥x軸于D，交BC于Q，過(guò)P作PH⊥BC于H，由y＝﹣x2＋4x＋5可得B（5，0），故OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形，可證明△PHQ是等腰直角三角形，即知PH＝PQ2，當(dāng)PQ最大時(shí)，PH最大，設(shè)直線BC解析式為y＝kx＋5，將B（5，0）代入得直線BC解析式為y＝﹣x＋5，設(shè)P（m，﹣m2＋4m＋5），（0＜m＜5），則Q（m，﹣m＋5），PQ＝﹣（m﹣52）2＋254，故當(dāng)m＝52時(shí)，PH最大，即點(diǎn)P到直線BC的距離最大，此時(shí)P（（3）拋物線y＝﹣x2＋4x＋5對(duì)稱軸為直線x＝2，設(shè)M（s，﹣s2＋4s＋5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），①以MN、BC為對(duì)角線，則MN、BC的中點(diǎn)重合，可列方程組s+22=5+02?s2+4s+5+t2=0+52，即可解得M（3，8），②以MB、NC為對(duì)角線，則MB、NC的中點(diǎn)重合，同理可得s+52=2+0【詳解】解：（1）將A的坐標(biāo)（﹣1，0），點(diǎn)C的坐（0，5）代入y＝﹣x2＋bx＋c得：0=?1?b+c5=c，解得b=4∴拋物線的解析式為y＝﹣x2＋4x＋5；（2）過(guò)P作PD⊥x軸于D，交BC于Q，過(guò)P作PH⊥BC于H，如圖：在y＝﹣x2＋4x＋5中，令y＝0得﹣x2＋4x＋5＝0，解得x＝5或x＝﹣1，∴B（5，0），∴OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形，∴∠CBO＝45°，∵PD⊥x軸，∴∠BQD＝45°＝∠PQH，∴△PHQ是等腰直角三角形，∴PH＝PQ2∴當(dāng)PQ最大時(shí)，PH最大，設(shè)直線BC解析式為y＝kx＋5，將B（5，0）代入得0＝5k＋5，∴k＝﹣1，∴直線BC解析式為y＝﹣x＋5，設(shè)P（m，﹣m2＋4m＋5），（0＜m＜5），則Q（m，﹣m＋5），∴PQ＝（﹣m2＋4m＋5）﹣（﹣m＋5）＝﹣m2＋5m＝﹣（m﹣52）2＋25∵a＝﹣1＜0，∴當(dāng)m＝52時(shí)，PQ最大為25∴m＝52時(shí)，PH最大，即點(diǎn)P到直線BC的距離最大，此時(shí)P（52，（3）存在，理由如下：拋物線y＝﹣x2＋4x＋5對(duì)稱軸為直線x＝2，設(shè)M（s，﹣s2＋4s＋5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），①以MN、BC為對(duì)角線，則MN、BC的中點(diǎn)重合，如圖：∴s+22=5+0∴M（3，8），②以MB、NC為對(duì)角線，則MB、NC的中點(diǎn)重合，如圖：∴s+52=2+0∴M（﹣3，﹣16），③以MC、NB為對(duì)角線，則MC、NB中點(diǎn)重合，如圖：s+02=2+5∴M（7，﹣16）；綜上所述，M的坐標(biāo)為：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征、等腰直角三角形、平行四邊形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)線段的長(zhǎng)度．3．（2021·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）二次函數(shù)y=ax2+bx+4(a≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(?4,0)，B(1,0)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接BP、AC，交于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）連接BC，當(dāng)∠DPB=2∠BCO時(shí)，求直線BP的表達(dá)式；（3）請(qǐng)判斷：PQQB是否有最大值，如有請(qǐng)求出有最大值時(shí)點(diǎn)P【答案】（1）y=?x2?3x+4；（2）y=?158x+158【分析】（1）將A(?4,0)，B(1,0)代入y=ax2+bx+4(a≠0)中，列出關(guān)于a、b的二元一次方程組，求出a（2）設(shè)BP與y軸交于點(diǎn)E，根據(jù)PD//y軸可知，∠DPB=∠OEB，當(dāng)∠DPB=2∠BCO，即∠OEB=2∠BCO，由此推斷△OEB為等腰三角形，設(shè)OE=a，則CE=4?a，所以BE=4?a，由勾股定理得BE2=OE2（3）設(shè)PD與AC交于點(diǎn)N，過(guò)B作y軸的平行線與AC相交于點(diǎn)M．由A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)可得AC所在直線表達(dá)式，求得M點(diǎn)坐標(biāo)，則BM=5，由BM//PN，可得△PNQ∽△BMQ，PQQB=PNBM=PN5【詳解】解：（1）由題意可得：a?解得：a=?1b=?3∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=?x（2）設(shè)BP與y軸交于點(diǎn)E，∵PD//y軸，∴∠DPB=∠OEB，∵∠DPB=2∠BCO，∴∠OEB=2∠BCO，∴∠ECB=∠EBC，∴BE=CE，設(shè)OE=a，則CE=4?a，∴BE=4?a，在Rt△BOE中，由勾股定理得B∴解得a=15∴E0,設(shè)BE所在直線表達(dá)式為y=kx+e(k≠0)∴k?0+e=15∴直線BP的表達(dá)式為y=?15（3）設(shè)PD與AC交于點(diǎn)N．過(guò)B作y軸的平行線與AC相交于點(diǎn)M．由A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(?4,0)，(0,4)可得AC所在直線表達(dá)式為y=x+4∴M點(diǎn)坐標(biāo)為(1,5)，BM=5由BM//PN，可得△PNQ∽△BMQ，∴設(shè)P(a0∴PQ∴當(dāng)a0=?2時(shí)，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(?2,6)．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)以及一次函數(shù)解析式的確定，函數(shù)圖像的性質(zhì)，相似三角形，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵，本題綜合性強(qiáng)，涉及知識(shí)面廣，難度較大，屬于中考?jí)狠S題．4．（2020·遼寧阜新·中考真題）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A?3,0，B1,0，交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)P

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）①若點(diǎn)P僅在線段AO上運(yùn)動(dòng)，如圖1．求線段MN的最大值；②若點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，則在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M，N，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）y=x2+2x?3；（2）①【分析】（1）把A(?3,0),B(1,0)代入y=x（2）①由點(diǎn)Pm,0得M(m,?m?3),Nm,m②分MN=MC和MC=2【詳解】解：（1）把A(?3,0),B(1,0)代入y=x0=9?3b+c,0=1+x+c.解得b=2,∴y=x（2）設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=kx+b，把A(?3,0),C(0,?3)代入y=kx+b．得，0=?3k+b,?3=b.解這個(gè)方程組，得∴y=?x?3．

∵點(diǎn)Pm,0是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，且PM⊥x∴M(m,?m?3),Nm,m∴MN=(?m?3)?=?=?m+3∵a=?1<0，∴此函數(shù)有最大值．又∵點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)，且?3<?∴當(dāng)m=?32時(shí)，MN有最大值9②∵點(diǎn)Pm,0是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，且PM⊥x∴M(m,?m?3),Nm,m∴MN=(?m?3)?m2（i）當(dāng)以M，N，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則有MN=MC，如圖，∵C（0，-3）∴MC=(m?0)2∴?整理得，m4∵m2∴m2解得，m1=?3+∴當(dāng)m=?3+2時(shí)，CQ=MN=3∴OQ=-3-(32?2∴Q(0，?32當(dāng)m=?3?2時(shí)，CQ=MN=-3∴OQ=-3-(-32?2∴Q(0，32(ii)若MC=2則有?整理得，m2解得，m1=?4，綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是利用線段的和差得出二次函數(shù)，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì)，解（3）的關(guān)鍵是利用菱形的性質(zhì)得出關(guān)于m的方程，要分類討論，以防遺漏．5．（2020·天津·中考真題）已知點(diǎn)A(1,0)是拋物線y=ax2+bx+m（a,b,m為常數(shù)，a≠0,m<0（1）當(dāng)a=1,m=?3時(shí)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為M(m,0)，與y軸的交點(diǎn)為C，過(guò)點(diǎn)C作直線l平行于x軸，E是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，EF=22①當(dāng)點(diǎn)E落在拋物線上（不與點(diǎn)C重合），且AE=EF時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；②取EF的中點(diǎn)N，當(dāng)m為何值時(shí)，MN的最小值是22【答案】（1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,?4)；（2）①點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,?2?7)或(0,?2+7)；②當(dāng)m的值為?32或【分析】（1）根據(jù)a=1,m=?3，則拋物線的解析式為y=x2+bx?3（2）①首先用含有m的代數(shù)式表示出拋物線的解析式，求出C(0,m)，點(diǎn)E(m+1,m).過(guò)點(diǎn)A作AH⊥l于點(diǎn)H,在Rt△EAH中，利用勾股定理求出AE的值，再根據(jù)AE=EF，EF=22②首先用含m的代數(shù)式表示出MC的長(zhǎng)，然后分情況討論MN什么時(shí)候有最值.【詳解】解：（1）當(dāng)a=1，m=?3時(shí)，拋物線的解析式為y=x∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)，∴0=1+b?3．解得b=2．∴拋物線的解析式為y=x∵y=x∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,?4)．（2）①∵拋物線y=ax2+bx+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)和M(m,0)∴0=a+b+m，0=am2+bm+m∴a=1，b=?m?1．∴拋物線的解析式為y=x根據(jù)題意，得點(diǎn)C(0,m)，點(diǎn)E(m+1,m)．過(guò)點(diǎn)A作AH⊥l于點(diǎn)H．由點(diǎn)A(1,0)，得點(diǎn)H(1,m)．在Rt△EAH中，EH=1?(m+1)=?m，HA=0?m=?m，∴AE=E∵AE=EF=22∴?2m=22此時(shí)，點(diǎn)E(?1,?2)，點(diǎn)C(0,?2)，有EC=1．∵點(diǎn)F在y軸上，∴在Rt△EFC中，CF=E∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,?2?7)或②由N是EF的中點(diǎn)，得CN=1根據(jù)題意，點(diǎn)N在以點(diǎn)C為圓心、2為半徑的圓上．由點(diǎn)M(m,0)，點(diǎn)C(0,m)，得MO=?m，CO=?m．∴在Rt△MCO中，MC=M當(dāng)MC≥2，即m≤?1時(shí)，滿足條件的點(diǎn)N落在線段MCMN的最小值為MC?NC=?2m?2當(dāng)MC<2，?1<m<0時(shí)，滿足條件的點(diǎn)N落在線段CMMN的最小值為NC?MC=2?(?2∴當(dāng)m的值為?32或?12時(shí)，【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足拋物線方程等，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考常考題型．．6．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=14x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C

(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D，求PD的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，將該拋物線向右平移5個(gè)單位，點(diǎn)E為點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與y軸交于點(diǎn)F，Q為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)．寫出所有使得以QF為腰的△QEF是等腰三角形的點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)的過(guò)程寫出來(lái)．【答案】(1)y=(2)PD取得最大值為45，(3)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為92,?1或92【分析】（1）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求解；（2）直線AC的解析式為y=?34x?3，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)Q，設(shè)Pt,1（3）根據(jù)平移的性質(zhì)得出y=14x?922?4916，對(duì)稱軸為直線x=【詳解】（1）解：將點(diǎn)B3,0，C0,?3．代入1解得：b=1∴拋物線解析式為：y=1（2）∵y=14x2+14當(dāng)y=0時(shí)，1解得：x1∴A?4,0∵C0,?3設(shè)直線AC的解析式為y=kx?3，∴?4k?3=0解得：k=?∴直線AC的解析式為y=?3如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)Q，

設(shè)Pt,14∴PQ=?3∵∠AQE=∠PQD，∠AEQ=∠QDP=90°，∴∠OAC=∠QPD，∵OA=4,OC=3，∴AC=5，∴cos∠QPD=∴PD=4∴當(dāng)t=?2時(shí)，PD取得最大值為45，1∴P?2,?（3）∵拋物線y=14將該拋物線向右平移5個(gè)單位，得到y(tǒng)=14x?點(diǎn)P?2,?5∵平移后的拋物線與y軸交于點(diǎn)F，令x=0，則y=1∴F0,2∴E∵Q為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)．則Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為92設(shè)Q9∴QE2=當(dāng)QF=EF時(shí)，922+m?22解得：m=?1或m=5，當(dāng)QE=QF時(shí)，92?32+m+解得：m=綜上所述，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為92,?1或92【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問(wèn)題，解直角三角形，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的平移，線段周長(zhǎng)問(wèn)題，特殊三角形問(wèn)題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型02利用二次函數(shù)解決兩條線段之和的最值問(wèn)題【解題思路】拋物線中的線段最值問(wèn)題有三種形式：2.兩條線段和的最值問(wèn)題：解決這類問(wèn)題最基本的定理就是“兩點(diǎn)之間線段最短”，解決這類問(wèn)題的方法是：作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于已知直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)定點(diǎn)，它們與已知直線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn).其變形問(wèn)題有三角形周長(zhǎng)最小或四邊形周長(zhǎng)最小等.【常見(jiàn)模型一】（兩點(diǎn)在河的異側(cè)）：在直線L上找一點(diǎn)M，使PA+PB的值最小.方法：如右圖，連接AB，與直線L交于點(diǎn)M,在M處渡河距離最短，最短距離為線段AB的長(zhǎng)。【常見(jiàn)模型二】（兩點(diǎn)在河的同側(cè)）：在直線L上找一點(diǎn)M，使PA+PB的值最小.方法：如右圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)B’，連接AB’,與直線L的交點(diǎn)即為所求的渡河點(diǎn)，最短距離為線段AB’的長(zhǎng)。7．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y=?x2+bx+c經(jīng)過(guò)A(?1,0),C(0,3)兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM

(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)H是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MH，DH，求MH+DH的最小值；(3)若點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)y=?(2)37(3)存在，Q1,3或Q1,1【分析】（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接D'M，D'M與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)H（3）分DM，DP，MP分別為對(duì)角線，三種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線y=?x2+bx+c∴?1?b+c=0c=3，解得：b=2∴y=?x（2）∵y=?x∴M1,4設(shè)直線AM:y=kx+m(k≠0)，則：?k+m=0k+m=4，解得：k=2∴AM:y=2x+2，當(dāng)x=0時(shí)，y=2，∴D0,2作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接D則：D'0,?2，∴當(dāng)M,H,D'三點(diǎn)共線時(shí)，MH+DH有最小值為

∵D'0,?2，∴D'即：MH+DH的最小值為：37；（3）解：存在；∵y=?x∴對(duì)稱軸為直線x=1，設(shè)Pp,t，Q當(dāng)以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)：①DM為對(duì)角線時(shí)：1+p=0+1t+n=4+2

∴p=0t+n=6當(dāng)p=0時(shí)，t=3，∴n=3，∴Q1,3②當(dāng)DP為對(duì)角線時(shí)：0+p=1+12+t=4+n

∴p=22+t=4+n當(dāng)p=2時(shí)，t=?2∴n=1，∴Q1,1③當(dāng)MP為對(duì)角線時(shí)：1+p=0+14+t=2+n

∴p=0n?t=2當(dāng)p=0時(shí)，t=3，∴n=3，∴Q1,5綜上：當(dāng)以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，Q1,3或Q1,1或【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，是中考常見(jiàn)的壓軸題．正確的求出函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．8．（2015·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x=?1，且拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，其中A(1,0)（1）若直線y=mx+n經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，求直線BC和拋物線的解析式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸x=?1上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x=?1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使ΔBPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】（1）拋物線的解析式為y=?x2?2x+3，直線的解析式為y=x+3.（2）M(?1,2)；（3）P的坐標(biāo)為(?1,?2)或(?1,4)或(?1,【詳解】分析：（1）先把點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得到a和b，c的關(guān)系式，再根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸方程可得a和b的關(guān)系，再聯(lián)立得到方程組，解方程組，求出a，b，c的值即可得到拋物線解析式；把B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線y=mx+n，解方程組求出m和n的值即可得到直線解析式；（2）設(shè)直線BC與對(duì)稱軸x=-1的交點(diǎn)為M，此時(shí)MA+MC的值最小．把x=-1代入直線y=x+3得y的值，即可求出點(diǎn)M坐標(biāo)；（3）設(shè)P（-1，t），又因?yàn)锽（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三種情況分別討論求出符合題意t值即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．詳解：（1）依題意得：?b2a=?1∴拋物線的解析式為y=?x∵對(duì)稱軸為x=?1，且拋物線經(jīng)過(guò)A(1,0∴把B(?3,0)、C(0,3得?3m+n=0n=3，解之得：m=1∴直線y=mx+n的解析式為y=x+3.（2）直線BC與對(duì)稱軸x=?1的交點(diǎn)為M，則此時(shí)MA+MC的值最小，把x=?1代入直線y=x+3得y=2，∴M(?1,2).即當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小時(shí)M的坐標(biāo)為（注：本題只求M坐標(biāo)沒(méi)說(shuō)要求證明為何此時(shí)MA+MC的值最小，所以答案未證明MA+MC的值最小的原因）.（3）設(shè)P(?1,t)，又B(?3,0)，∴BC2=18，P①若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，則BC2+PB2②若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則BC2+PC2③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，則PB2+Pt1=3+綜上所述P的坐標(biāo)為(?1,?2)或(?1,4)或(?1,3+點(diǎn)睛：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)（二次函數(shù)和一次函數(shù)）的解析式、利用軸對(duì)稱性質(zhì)確定線段的最小長(zhǎng)度、難度不是很大，是一道不錯(cuò)的中考?jí)狠S題．9．（2021·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y=?12x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y=?12（1）求拋物線的解析式；（2）求證：△AOC∽△ACB；（3）點(diǎn)M3,2是拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線上位于直線BC上方的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸交直線BC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段DE的長(zhǎng)度最大時(shí)，求PD+PM【答案】（1）y=?12【分析】（1）先利用直線y=?12x+2得到點(diǎn)B（2）根據(jù)解析式求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，求出兩個(gè)三角形的邊長(zhǎng)，根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊成比例夾角相等求證；（3）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為x,?12x2+32x+2，將線段【詳解】（1）解：∵直線y=?12x+2分別與x軸和y軸交于點(diǎn)B∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），把B4,0，C0,2分別代入得?8+4b+c=0c=2解得b=3∴拋物線的解析式為y=?1（2）∵拋物線y=?12x2+∴?1解得x1=?1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為?1,0，∴AO=1，AB=5，在Rt△AOC中，AO=1，OC=2∴AC=5∴AOAC∵ACAB∴AOAC又∵∠OAC=∠CAB，∴△AOC∽△ACB．（3）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為x,?則點(diǎn)E的坐標(biāo)為x,?∴DE=?=?=?=?∵?1∴當(dāng)x=2時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度最大．此時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為2,3，∵C0,2，∴點(diǎn)C和點(diǎn)M關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連接CD交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，此時(shí)PD+PM最小．連接CM交直線DE于點(diǎn)F，則∠DFC=90°，點(diǎn)F的坐標(biāo)為2,2，∴CD=C∵PD+PM=PC+PD=CD∴PD+PM的最小值5．．【點(diǎn)睛】此題考查的是二次函數(shù)的綜合知識(shí)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，函數(shù)的最值問(wèn)題，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，證明兩個(gè)三角形相似，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．10．（2023·山東德州·校考一模）如圖，已知拋物線y=ax2?32x+c與x軸交于點(diǎn)A(?4,0)，(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q使QB+QC最小？若存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)點(diǎn)P為AC上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC，垂足為點(diǎn)D，連接PC，當(dāng)△PCD與△ACO相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)y=?(2)存在，Q(?(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(?3,2)或(?【分析】（1）由待定系數(shù)法求解即可；（2）找到點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)A，連接AC交對(duì)稱軸于一點(diǎn)即為Q，求AC所在直線解析式，即可求解；（3）當(dāng)△PCD與△ACO相似時(shí)，則△PCD∽△CAO或△PCD∽△ACO，故分分類討論即可：①若△PCD∽△CAO，則∠PCD=∠CAO，可推出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相同，由點(diǎn)P為AC上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，得關(guān)于x的一元二次方程，求解并作出取舍則可得答案；②若△PCD∽△ACO，則∠PCD=∠ACO，PDAO=CDCO，過(guò)點(diǎn)A作AC的垂線，交CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥x軸于點(diǎn)H，判定△GAC∽△PDC，△GHA∽△AOC，由相似三角形的性質(zhì)得比例式，解得點(diǎn)G的坐標(biāo)，從而可得直線CG的解析式，求得直線CG與拋物線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，再代入直線【詳解】（1）解：∵拋物線y=ax2?32x+c與∴16a?3解得a=?1∴拋物線的解析式為y=?1（2）存在，如圖：∵A，B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴QA=QB，∴QB+QC=QA+QC，∴QB+QC的最小值為AC，∴AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求：由（1）可知，對(duì)稱軸為：x=?b2a=?∵A(?4,0)，C(0,2)，∴AC所在直線解析式為：y=1令x=?32，∴Q(?32，（3）∵點(diǎn)A(?4,0)，B(1,0)，∴OA=4，OB=1，在拋物線y=?12x2?∴C(0,2)，∴OC=2，∴AC=O∵PD⊥AC，∴∠PDC=90°=∠AOC，∴當(dāng)ΔPCD與ΔACO相似時(shí)，則△PCD∽△CAO或①若△PCD∽△CAO，則∠PCD=∠CAO，∴CP∥∵C(0,2)，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2，∵點(diǎn)P為AC上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，∴2=?1解得：x1=0（不合題意，舍去），∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(?3,2)；②若△PCD∽△ACO，則∠PCD=∠ACO，PDAO∴PDCD過(guò)點(diǎn)A作AC的垂線，交CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥x軸于點(diǎn)H，如圖：∵PD⊥AC，GA⊥AC，∴GA∥∴△GAC∽△PDC，∴GAPD∴GAAC∵GA⊥AC，GH⊥x軸，∴∠GAC=∠GHA=90°，∴∠AGH+∠GAH=90°，∠GAH+∠CAO=90°，∴∠AGH=∠CAO，∵∠GHA=∠AOC=90°，∴△GHA∽△AOC，∴GHAO即GH4∴GH=8，AH=4，∴HO=AH+OA=8，∴G(?8,8)，設(shè)直線CG的解析式為y=?3令?3解得：x1=0（不合題意，舍去），把x=?32代入y=?3∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(?32，綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(?3,2)或(?32，【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、一線三直角模型及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．11．（2021·廣東東莞·校考一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸l與x軸交于M點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，求PA+PC長(zhǎng)；(3)已知點(diǎn)N（0，﹣1），在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M、N、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BCM相似？若存在；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3(2)PA+PC的長(zhǎng)為3(3)存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為0,2或0,?1【分析】（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，可得C（0，3）．再設(shè)設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），利用待定系數(shù)法，即可求解；（2）連接PA、PB、PC，根據(jù)軸對(duì)稱性可得PA＝PB．從而得到PA+PC＝PC+PB．進(jìn)而得到當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，PC+AP有最小值．即可求解；（3）先求出拋物線的對(duì)稱軸，可得點(diǎn)M1,0，再由點(diǎn)N（0，﹣1），B（3，0），C（0，3）．可得MN=2,BC=32,BM=2,∠CBM=45°,∠MNO=45°，可得∠【詳解】（1）解：把x＝0代入得：y＝3，∴C（0，3）．設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上式得：3＝﹣3a，解得：a＝﹣1．∴拋物線的解析式為y＝-（x+1）（x-3）=﹣x2+2x+3．（2）解：如圖，連接PA、PB、PC，∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線l對(duì)稱，點(diǎn)P在直線l上，∴PA＝PB．∴PA+PC＝PC+PB．∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，PC+AP有最小值．∵OC＝3，OB＝3，∴BC＝32∴PA+PC的最小值＝32（3）解：存在，理由：拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣b2a＝1∵拋物線的對(duì)稱軸l與x軸交于M點(diǎn)．∴點(diǎn)M1,0∵點(diǎn)N（0，﹣1），B（3，0），C（0，3）．∴OM=ON=1，OB=OC=3，∴MN=2∴∠CBM=∠MNO，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)N下方時(shí)，∠MNQ=135°，不符合題意，∴點(diǎn)Q在點(diǎn)N上方，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，n）．則QN=n+1，∵以M、N、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BCM相似，∴∠QMN=∠CMB或∠MQN=∠CMB，當(dāng)∠Q1MN=∠CMB時(shí)，△∴Q1∴n+132=∴點(diǎn)Q1當(dāng)∠MQ2N=∠CMB時(shí)，△M∴Q2∴n+12=2∴點(diǎn)Q2綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為0,2或0,?1【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，相似三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間，線段最短，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．12．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，二次函數(shù)y=?14x2+12m?1x+m（m是常數(shù)，且m>0）的圖象與x軸相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸l(1)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)（用數(shù)字或含m的式子表示）；(2)當(dāng)PA+PC的最小值等于45時(shí)，求m的值及此時(shí)點(diǎn)P(3)當(dāng)m取（2）中的值時(shí)，若∠APC=2∠ABC，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)A?2，0，(2)m=4，P(3)P點(diǎn)坐標(biāo)為3，0【分析】（1）將x=0，y=0，分別代入y=?1（2）如圖1，連接PB，由題意知，PA=PB，則PA+PC=PB+PC，可知當(dāng)C，P，B三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PC值最小，在Rt△BOC中，由勾股定理得BC=5m，由PA+PC的最小值等于45，可得5m=45，計(jì)算m的值，然后得出（3）由（2）知m=4，則B8，0，C0，4，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3，勾股定理逆定理判斷△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，記D為直線l與x軸的交點(diǎn)，如圖2，連接CD，由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得CD=BD=AD，由等邊對(duì)等角可得∠DCB=∠ABC，由三角形外角的性質(zhì)可得∠ADC=∠DCB+∠ABC=2∠ABC，進(jìn)而可得∠ADC=∠APC，即P與D重合，求此時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)；過(guò)A，C，D三點(diǎn)作⊙O'，如圖2，由同弧所對(duì)的圓周角相等可知⊙O'與直線l=3交點(diǎn)即為P，設(shè)P3，a，由題意知，圓心O【詳解】（1）解：當(dāng)x=0時(shí)，y=m，當(dāng)y=0時(shí)，?14x2+解得x1=2m，∴A?2，0，B（2）解：如圖1，連接PB，由題意知，PA=PB，∴PA+PC=PB+PC，∴當(dāng)C，P，在Rt△BOC中，由勾股定理得BC=∵PA+PC的最小值等于45∴5m=4解得m=4，∴B8，0∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將B8，0，C解得k=?1∴直線BC的解析式為y=?1當(dāng)x=3時(shí)，y=?1∴P3∴m=4，P3（3）解：∵m=4，∴B8，0，C∵AC2=22∴AC∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，記D為直線l與x軸的交點(diǎn)，如圖2，連接CD，∴CD=BD=AD，∴∠DCB=∠ABC，∵∠ADC=∠DCB+∠ABC=2∠ABC，∴∠ADC=∠APC，∴P與D重合，即P3過(guò)A，C，D三點(diǎn)作⊙O'，如圖2，由同弧所對(duì)的圓周角相等可知⊙O由題意知，圓心O'在直線x=12上，設(shè)圓心坐標(biāo)為1∵AO'2解得n=5∵AO'2解得a1=0，∴P3綜上，P點(diǎn)坐標(biāo)為3，0或【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與線段、角度綜合，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，勾股定理的逆定理，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，同弧所對(duì)的圓周角相等，等邊對(duì)等角，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．題型03利用二次函數(shù)解決兩條線段之差的最值問(wèn)題【解題思路】拋物線中的線段最值問(wèn)題有三種形式：3.兩條線段差的最值問(wèn)題：解決這類問(wèn)題最基本的定理就是“三角形任何兩邊之差小于第三邊”，解決這類問(wèn)題的方法是：求解時(shí),先根據(jù)原理確定線段差取最值時(shí)的圖形,再根據(jù)已知條件求解。【常見(jiàn)模型一】（兩點(diǎn)在同側(cè)）：在直線L上求一點(diǎn)P,求|PA-PB|的最大值方法：如右圖，延長(zhǎng)射線AB，與直線L交于點(diǎn)P，|PA-PB|最大值為AB【常見(jiàn)模型二】（兩點(diǎn)在異側(cè)）：在直線L上求一點(diǎn)P,求|PA-PB|的最大值。方法：如右圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)B’，延長(zhǎng)射線AB’，與直線L交于點(diǎn)P，|PA-PB|最大值為AB’13．（2023·江西九江·校考模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c中，x，x…-1013…y…03m0…(1)表格中m=______，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出該二次函數(shù)的圖象；

(2)若二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖象與y軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為(3)設(shè)Q(0，2t)是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若線段PQ與函數(shù)y=ax【答案】(1)4，畫圖象見(jiàn)解析(2)|PA?PB|的最大值為2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為?3(3)t的取值范圍是32≤t<3【分析】（1）由表格中的y與x的對(duì)應(yīng)值可知點(diǎn)(?1，0)，(0，（2）先求得A(0，3)，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為B(1，4)，再根據(jù)勾股定理求得AB=2，由PA?PB≤AB，可知當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上時(shí)，PA?PB=AB，此時(shí)PA?PB取得最大值2，求得直線AB（3）結(jié)合函數(shù)圖象分類討論求解即可【詳解】（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(?1∴可設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x+1)(x?3)．又二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,將(0,3)代入得?3a=3，∴a=?1，∴y=?x+1當(dāng)x=1時(shí)，y=4，即m=4．圖象如圖所示，

（2）對(duì)于y=?x2+2x+3，當(dāng)x=0∴A(0∵y=?∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為B1∴AB=1∵PA?PB≤AB∴當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上時(shí)，PA?PB=AB，此時(shí)PA?PB的值最大，最大值為2∴設(shè)直線AB的解析式為y=kx+3，則k+3=4，解得k=1，∴直線AB的解析式為y=x+3，∵P(t,0)在直線y=x+3上，∴t+3=0，解得t=?3，∴P(?3，∴PA?PB的最大值為2，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(?3，（3）由題意可知二次函數(shù)y=ax∴二次函數(shù)y=?x設(shè)線段PQ所在直線的解析式為y=x＋將P(t，0)，Q(0∴線段PQ所在直線的解析式為y=?2x＋當(dāng)線段PQ過(guò)點(diǎn)(0，3)，即點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，線段PO與函數(shù)y=?x當(dāng)線段PQ過(guò)點(diǎn)(3，0)，即點(diǎn)P與點(diǎn)(3，0)重合時(shí)，t=3，此時(shí)線段PQ與函數(shù)∴當(dāng)32≤t<3時(shí)，線段PQ與函數(shù)將y=?2x＋2t代入y=x∴?x令Δ=16?4×(?1)×(3?2t)=0，解得t=∴當(dāng)t=72時(shí)，線段PQ與函數(shù)綜上所述，t的取值范圍是32≤t<3或【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、勾股定理、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法．14．（2022·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，已經(jīng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)O(0,0)，A(5,5)，且它的對(duì)稱軸為x=2．(1)求此拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)B是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)B在第一象限，當(dāng)△OAB的面積為15時(shí)，求B的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA?PB的值最大時(shí)，求P的坐標(biāo)以及PA?PB的最大值【答案】(1)y=(2)B(2,8)(3)P(?2,12),PA?PB的最大值為3【分析】（1）根據(jù)題意可設(shè)拋物線為y=ax（2）設(shè)B2,y,且y>0,記OA與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為Q，設(shè)直線OA為：y=kx,解得：k=1,可得直線OA為：y=x,則Q2,2（3）如圖，連接AB，延長(zhǎng)AB交拋物線于P，則此時(shí)PA?PB=AB最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系數(shù)法求解AB的解析式，聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，解方程組可得P的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)O(0,0)，∴設(shè)拋物線為：y=ax∵拋物線過(guò)A(5,5)，且它的對(duì)稱軸為x=2．∴25a+5b=5?b∴拋物線為：y=（2）解：如圖，點(diǎn)B是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)B在第一象限，設(shè)B2,y,且y>0,記OA與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為設(shè)直線OA為：y=kx,∴5=5k,解得：k=1,∴直線OA為：y=x,∴Q2,2∴S=1解得：y=8或y=?4,∵y>0,則y=8,∴B（3）如圖，連接AB，延長(zhǎng)AB交拋物線于P，則此時(shí)PA?PB=AB最大，∵A5,5∴AB=5?2設(shè)AB為：y=k'x+b',代入A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，∴5k'+b'=5解得：k'=?1∴AB為：y=?x+10,∴y=?x+10解得：x=5y=5∴P【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，坐標(biāo)與圖形面積，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，確定PA?PB最大時(shí)P的位置是解本題的關(guān)鍵．15．（2022上·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為E1，4的拋物線y=ax2+bx+c與x軸從左到右依次交于A，B兩點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)為(1)求此拋物線的解析式；(2)若直線BP與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)D，當(dāng)BD?CD取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若直線BC與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)F，連接PC，PE，PF，記△PCF，△PEF的面積分別為S1，S2，判斷【答案】(1)y=?(2)P(2(3)存在，最大值為3【分析】（1）由頂點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)該函數(shù)頂點(diǎn)式為y=a'(x?1)2+4（2）設(shè)直線BP與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)D，連接AD，CD，AC．根據(jù)拋物線解析式可求出A(?1，0)，B(3，0)，由拋物線的對(duì)稱性可知AD=BD，即BD?CD=AD?CD．再根據(jù)AD?CD≤AC，即得出BD?CD的最大值為（3）利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式為y=?x+3，從而可求出F(1，2)．設(shè)直線PC與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)Q，設(shè)P(t，?t2+2t+3)(1<t<3)，利用待定系數(shù)法又可求出直線PC解析式為y=(?t+2)x+3，從而得出Q(1，?t+5)，進(jìn)而可求出FQ=【詳解】（1）解：∵該拋物線頂點(diǎn)為E1∴還可設(shè)該拋物線解析式為y=a∵該拋物線與y軸的交點(diǎn)為C0∴3=