高三二模考前第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題時(shí)間120分鐘，分值150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.2.已知，是兩個(gè)虛數(shù)，則“，均為純虛數(shù)”是“為實(shí)數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增C.是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減D.偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減4.已知向量，且，則的面積為（）A. B. C. D.5.已知，則（）A. B. C. D.6.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，則該四棱錐的體積為（）A.1 B.2 C. D.7.費(fèi)馬定理是幾何光學(xué)中的一條重要原理，在數(shù)學(xué)中可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些光學(xué)性質(zhì).例如，點(diǎn)為雙曲線為焦點(diǎn)）上一點(diǎn)，點(diǎn)處的切線平分.已知雙曲線：為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)處的切線為直線，過(guò)左焦點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，若，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覍?duì)任意，滿足，且則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B.C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，若將的圖象向右平移個(gè)單位后，再把所得曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.的圖象與的圖象在內(nèi)有4個(gè)交點(diǎn)10.函數(shù)叫自然指數(shù)函數(shù)，是一種常見(jiàn)的超越函數(shù)，它常與其它函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算產(chǎn)生新的函數(shù).已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B函數(shù)既有極大值，也有極小值C.方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解D.在定義域內(nèi)，恒有11.二元一次方程：可以表示平面內(nèi)所有的直線，二元二次方程可以表示平面內(nèi)所有的二次曲線.下列對(duì)二元二次方程所表示曲線的性質(zhì)描述正確有（）A.曲線關(guān)于直線對(duì)稱B.曲線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的范圍是C.存在，使與曲線相切D.過(guò)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，的最小值為2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知某六名同學(xué)在競(jìng)賽中獲得前六名無(wú)并列情況，其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，則這六名同學(xué)獲得的名次情況可能有________種（用數(shù)字作答）13.已知直線與曲線相切，則直線的方程為：__________.14.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知，若的面積不超過(guò)，則滿足條件的整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)）的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15.在矩形中，點(diǎn)在線段上，且.（1）求；（2）若動(dòng)點(diǎn)分別在線段上，且與面積之比為，試求的最小值.16.光明高級(jí)中學(xué)高三年級(jí)理科考生800人都參加了本學(xué)期的期中調(diào)研測(cè)試，學(xué)校把本次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)到120分以上（包含120分）的同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)等第定為優(yōu)秀，物理成績(jī)達(dá)到90分以上（包含90分）的同學(xué)的物理成績(jī)等第定為優(yōu)秀．現(xiàn)從理科考生中隨機(jī)抽取10名同學(xué)調(diào)研本次測(cè)試的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)，如下表：數(shù)學(xué)（分）119145999513512012285130120物理（分）84908284838183819082（1）試列出列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)分析能否認(rèn)為本次測(cè)試?yán)砜瓶忌臄?shù)學(xué)成績(jī)的等第優(yōu)秀與物理成績(jī)的等第是否優(yōu)秀有關(guān)？（2）①數(shù)學(xué)組的章老師打算從這10個(gè)同學(xué)中，按照這次測(cè)試數(shù)學(xué)的等第是否優(yōu)秀，利用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5人，再?gòu)倪@5人中抽取3個(gè)人，并仔細(xì)考查這3個(gè)人的答題情況．設(shè)最后抽出的3個(gè)人中數(shù)學(xué)等第優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；②如果本次測(cè)試?yán)砜瓶忌奈锢沓煽?jī)，用樣本估計(jì)總體，以10名同學(xué)物理成績(jī)的平均數(shù)為，方差為，若從參加考試的800名理科考生中隨機(jī)抽取4人，求這4人中至少有1人的物理成績(jī)的等第優(yōu)秀的概率．參考數(shù)據(jù)：取．若，則，．．0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.87917.已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，過(guò)軸下方的一動(dòng)點(diǎn)作拋物線的兩切線，切點(diǎn)分別為，且直線剛好與圓相切.設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相交于兩點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）求點(diǎn)的軌跡方程；（3）設(shè)曲線與軸交點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，記直線的斜率分別為，證明：是定值.18.如圖，在平面四邊形中，等腰直角三角形，為正三角形，，，現(xiàn)將沿翻折至，形成三棱錐，其中為動(dòng)點(diǎn).（1）證明：；（2）若，三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，求球心到平面的距離；（3）求平面與平面夾角余弦值的最小值.19已知函數(shù).（1）求在處的瞬時(shí)變化率；（2）若恒成立，求的值；（3）求證：

高三二模考前第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題時(shí)間120分鐘，分值150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合交集的運(yùn)算可得.【詳解】因，，故，故選：C2.已知，是兩個(gè)虛數(shù)，則“，均為純虛數(shù)”是“為實(shí)數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則，結(jié)合充分性、必要性、線虛數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)，均為純虛數(shù)時(shí)，設(shè)，，則有，當(dāng)時(shí)，顯然，但是，都不是純虛數(shù)”，因此“，均為純虛數(shù)”是“為實(shí)數(shù)”的充分不必要條件，故選：A3.函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增C.是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減D.是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減【答案】B【解析】【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義即可判定奇函數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解單調(diào)性.【詳解】的定義域?yàn)椋瑒t，故是奇函數(shù)，由于，函數(shù)單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，故選：B4.已知向量，且，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律可得，再利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，可得，進(jìn)而可得，，即可求解.【詳解】因?yàn)椋玫剑?jiǎn)得，所以，又，所以，得到，所以，則，，所以的面積為，故選：A.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，利用余弦的和差角公式得到，再利用倍角公式，通過(guò)構(gòu)角，得到，即可求解.【詳解】因，又，所以，得到，又，所以，故選：A.6.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，則該四棱錐的體積為（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線線垂直可得平面，進(jìn)而根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，進(jìn)而根據(jù)三角形的邊角關(guān)系，結(jié)合錐體體積公式求解.【詳解】如圖：取的中點(diǎn)，連接，則且，平面，故平面，平面，故平面平面，平面平面，過(guò)作的垂線，垂足為，即,平面，故平面，由題意可知，由余弦定理可得,故，所以四棱錐的高為1，則四棱錐的體積為故選：B7.費(fèi)馬定理是幾何光學(xué)中的一條重要原理，在數(shù)學(xué)中可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些光學(xué)性質(zhì).例如，點(diǎn)為雙曲線為焦點(diǎn)）上一點(diǎn)，點(diǎn)處的切線平分.已知雙曲線：為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)處的切線為直線，過(guò)左焦點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，若，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)中點(diǎn)以及角平分線的性質(zhì)可得，即可根據(jù)雙曲線定義得，代入到雙曲線方程可得，即可根據(jù)離心率公式求解.【詳解】如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),由于是的角平分線上的一點(diǎn)，且,所以點(diǎn)為的點(diǎn)，所以,又為的中點(diǎn)，所以，故，故，即，將點(diǎn)代入可得，解得，故離心率為，故選：B8.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覍?duì)任意，滿足，且則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)累加法可得即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋视衫奂臃傻茫剩蔄B錯(cuò)誤，由，所以故，所以C錯(cuò)誤,D正確，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用累加法可得.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，若將的圖象向右平移個(gè)單位后，再把所得曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.的圖象與的圖象在內(nèi)有4個(gè)交點(diǎn)【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的變換可得，即可代入驗(yàn)證求解ABC，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象即可求解D.【詳解】的圖象向右平移個(gè)單位后，可得，進(jìn)而可得，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，故B正確，對(duì)于C，，故不是的對(duì)稱軸，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，分別作出與在內(nèi)的圖象，可知有4個(gè)交點(diǎn)，故D正確，故選：BD10.函數(shù)叫自然指數(shù)函數(shù)，是一種常見(jiàn)的超越函數(shù)，它常與其它函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算產(chǎn)生新的函數(shù).已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.函數(shù)既有極大值，也有極小值C.方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解D.在定義域內(nèi)，恒有【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，由題知定義域?yàn)椋脤?dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，即可求解；對(duì)于B，利用極值的定義，即可求解；對(duì)于選項(xiàng)C，利用函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)圖象，再數(shù)形結(jié)合，即可求解；對(duì)于D，構(gòu)造函數(shù)，利用的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，即可求解.【詳解】易知的定義域?yàn)椋瑢?duì)于選項(xiàng)A，由，得到，且，所以減區(qū)間為，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，由，得到或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，所以的極大值為，極小值為，故選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，由選項(xiàng)B知，的增區(qū)間為，減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，，且時(shí)，，當(dāng)從左邊時(shí)，，當(dāng)從右邊時(shí)，，且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，圖象如圖所示，由圖知，只有一個(gè)零點(diǎn)，且，令，由，得到，所以，令，由圖知，與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，所以選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，令，易知的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以，即，得到，故選項(xiàng)D正確，故選：BCD11.二元一次方程：可以表示平面內(nèi)所有的直線，二元二次方程可以表示平面內(nèi)所有的二次曲線.下列對(duì)二元二次方程所表示曲線的性質(zhì)描述正確有（）A.曲線關(guān)于直線對(duì)稱B.曲線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的范圍是C.存在，使與曲線相切D.過(guò)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，的最小值為2【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)換成，將換成，方程不變，即可判定A，配方，即可根據(jù)求解B，聯(lián)立方程，根據(jù)方程的根即可求解C，根據(jù)對(duì)稱性，聯(lián)立方程求解交點(diǎn)，即可求解D.【詳解】對(duì)于A，將換成，將換成，方程不變，因此方程所表示的曲線關(guān)于直線對(duì)稱，A正確，對(duì)于B，，故，故，故B正確，對(duì)于C，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，即，故，該方程有唯一的實(shí)數(shù)根，故曲線與直線有唯一的交點(diǎn)，因此無(wú)論為何值，與曲線均不相切，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由選項(xiàng)A可知：曲線關(guān)于對(duì)稱，故，可得,此時(shí)，故的最小值為2，故D正確，故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)曲線關(guān)于對(duì)稱，且在直線上，可知過(guò)過(guò)且與垂直的直線與曲線截的長(zhǎng)度最小.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知某六名同學(xué)在競(jìng)賽中獲得前六名無(wú)并列情況，其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，則這六名同學(xué)獲得的名次情況可能有________種（用數(shù)字作答）【答案】144【解析】【分析】利用分步計(jì)數(shù)原理，結(jié)合優(yōu)先特殊元素或特殊位置來(lái)解決問(wèn)題.詳解】第一步，優(yōu)先排丙，只能排第四、五、六名，共有3種；第二步，再排第一名，只有甲或乙，共有2種；第三步，剩下四個(gè)人排剩下四個(gè)位置，共有種，利用分步計(jì)數(shù)乘法原理可得：總共可能的排名情況有：種，故答案為：.13.已知直線與曲線相切，則直線的方程為：__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性可知為切點(diǎn)，求導(dǎo)，即可根據(jù)點(diǎn)斜式求解方程,當(dāng)不是切點(diǎn)時(shí)，根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)求解方程的根即可求解.【詳解】將變形為，故直線恒過(guò)點(diǎn)，又經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若直線與相切于點(diǎn)，，故，所以直線的方程為，即，若直線與不相切于點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為，則，故，故，化簡(jiǎn)可得，記，則，由于且，在單調(diào)遞增，故單調(diào)遞增，且，故，因此在單調(diào)遞減，由于，結(jié)合可知，當(dāng)時(shí)，無(wú)實(shí)根，故當(dāng)不是切點(diǎn)時(shí)，無(wú)滿足條件的切線方程，綜上可知：切線方程為故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，根據(jù)切點(diǎn)是否為，結(jié)合求導(dǎo)求解.14.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知，若面積不超過(guò)，則滿足條件的整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)）的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.【答案】24【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離以及三角形的面積公式可得即可得，對(duì)分別取0，1，2，3，求解的取值，即可求解整點(diǎn).【詳解】設(shè)，直線方程為，可知，故,得設(shè)，則為整數(shù)，則，可得，故，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在直線上，此時(shí)不能構(gòu)成三角形，故舍去，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有4個(gè)整數(shù)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有4個(gè)整數(shù)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有4個(gè)整數(shù)點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性可知：當(dāng)時(shí)，也分別有4個(gè)整數(shù)點(diǎn)，故共有24個(gè)整點(diǎn)，故答案為：24【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù),得可得則，即可代入求解整點(diǎn).四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15.在矩形中，點(diǎn)在線段上，且.（1）求；（2）若動(dòng)點(diǎn)分別在線段上，且與面積之比為，試求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）過(guò)作于，設(shè)，則，根據(jù)條件，利用正切的和角公式建立方程，即可求解；（2）設(shè)，根據(jù)條件，利用面積公式得到，再利用余弦定理及重要不等式，可得，即可求解.【小問(wèn)1詳解】過(guò)作于，設(shè)，易知，則，由，整理得到，解得或（舍），所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）易知，，設(shè)，又，得到，在中，由余弦定理得到，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.16.光明高級(jí)中學(xué)高三年級(jí)理科考生800人都參加了本學(xué)期的期中調(diào)研測(cè)試，學(xué)校把本次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)到120分以上（包含120分）的同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)等第定為優(yōu)秀，物理成績(jī)達(dá)到90分以上（包含90分）的同學(xué)的物理成績(jī)等第定為優(yōu)秀．現(xiàn)從理科考生中隨機(jī)抽取10名同學(xué)調(diào)研本次測(cè)試的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)，如下表：數(shù)學(xué)（分）119145999513512012285130120物理（分）84908284838183819082（1）試列出列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)分析能否認(rèn)為本次測(cè)試?yán)砜瓶忌臄?shù)學(xué)成績(jī)的等第優(yōu)秀與物理成績(jī)的等第是否優(yōu)秀有關(guān)？（2）①數(shù)學(xué)組的章老師打算從這10個(gè)同學(xué)中，按照這次測(cè)試數(shù)學(xué)的等第是否優(yōu)秀，利用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5人，再?gòu)倪@5人中抽取3個(gè)人，并仔細(xì)考查這3個(gè)人的答題情況．設(shè)最后抽出的3個(gè)人中數(shù)學(xué)等第優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；②如果本次測(cè)試?yán)砜瓶忌奈锢沓煽?jī)，用樣本估計(jì)總體，以10名同學(xué)物理成績(jī)的平均數(shù)為，方差為，若從參加考試的800名理科考生中隨機(jī)抽取4人，求這4人中至少有1人的物理成績(jī)的等第優(yōu)秀的概率．參考數(shù)據(jù)：取．若，則，．．0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）①分布列見(jiàn)解析，；②【解析】【分析】（1）根據(jù)題意完善列聯(lián)表，求，并與臨界值對(duì)比分析；（2）①根據(jù)題意結(jié)合超幾何分布求分布列和期望；②根據(jù)題意求平均數(shù)和方差，結(jié)合正態(tài)分布求，進(jìn)而利用對(duì)立事件分析求解.【小問(wèn)1詳解】由題意可得：列聯(lián)表為

物理優(yōu)秀物理非優(yōu)秀總計(jì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀246數(shù)學(xué)非優(yōu)秀044總計(jì)2810零假設(shè)：數(shù)學(xué)成績(jī)的等第優(yōu)秀與物理成績(jī)的等第優(yōu)秀無(wú)關(guān)，可得，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷成立，即數(shù)學(xué)成績(jī)的等第優(yōu)秀與物理成績(jī)的等第優(yōu)秀無(wú)關(guān).【小問(wèn)2詳解】由題意可知：抽取的5人中數(shù)學(xué)等第優(yōu)秀的有3人，非優(yōu)秀的有2人，則的可能取值為1，2，3，可得：，所以的分布列為123的期望；由題意可得：物理成績(jī)的平均分為（分）；方差，結(jié)合題意可知：，即，則，可得，記“4人中至少1人物理成績(jī)的等第優(yōu)秀”為事件A，可得，所以4人中至少1人物理成績(jī)的等第優(yōu)秀的概率為.17.已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，過(guò)軸下方的一動(dòng)點(diǎn)作拋物線的兩切線，切點(diǎn)分別為，且直線剛好與圓相切.設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相交于兩點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）求點(diǎn)的軌跡方程；（3）設(shè)曲線與軸交點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，記直線的斜率分別為，證明：是定值.【答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)即可求解，（2）求導(dǎo)可得切線斜率，即可根據(jù)點(diǎn)斜式求解直線方程，進(jìn)而可得方程為，根據(jù)相切即可求解，（3）聯(lián)立直線與曲線方程可得韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式，代入化簡(jiǎn)即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，故拋物線的方程為【小問(wèn)2詳解】設(shè)，所以直線即同理可得，設(shè)則且故在直線上，即直線方程為，由于直線與圓相切，故，化簡(jiǎn)可得，故點(diǎn)的軌跡方程【小問(wèn)3詳解】由題意可知，設(shè)直線的方程為，,聯(lián)立方程，化簡(jiǎn)可得，則故，由于直線與雙曲線的下支相交于兩點(diǎn)，故，解得，，故為定值.18.如圖，在平面四邊形中，為等腰直角三角形，為正三角形，，，現(xiàn)將沿翻折至，形成三棱錐，其中為動(dòng)點(diǎn).（1）證明：；（2）若，三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，求球心到平面的距離；（3）求平面與平面夾角余弦值的最小值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)，，即可根據(jù)線線垂直證明平面，即可根據(jù)線面垂直的性質(zhì)求解，（2）利用等體積法即可求解，（3）建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面法向量，即可根據(jù)向量的夾角公式求解，利用換元法，即可根據(jù)基本不等式求解最值.