(2023年5月21日星期日上午8:30——11:00)題號三(13)三(14)三(15)三(16)得分評卷人復核人一、選擇題(本題共6個小題，每小題5分，滿分30分)一、選擇題(本題共6個小題，每小題5分，滿分30分)1.已知等腰梯形ABCD中，AD//BC,BC=2AD=4,∠ABC=60°,,則CA·BE=()2.邊長為a的正方形ABCD和正方形ABEF所在的兩個半平面所成的二面角為120°,M,N分別是對角線AC和BF上的動點，且AM=FN,則MN的取值范圍是()3.下列關于方程√4x2+2x+1-√4x2+14x+5=6x+2的根的論斷中，正確的是()(A)方程沒有負實數根(B)方程沒有有理根(C)方程有兩個實數根(D)方程只有一個實數根(A)不存在meN°,使得當n≥m時，a?<2;(B)不存在m∈N°,使得當n≥m2023年全國高中數學聯賽(吉林賽區)預賽試題第1頁(共4頁)6.已知函數f(x)=2sinx-sin2x+√3,則下列說法錯誤的是()得分得分請將答案寫在題中橫線上，各小題只要求直接寫出結果.7.已知如下的兩組數據：第一組：20,21,22,25,24,23第二組：22,24,23,25,a,26若兩組數據的方差相等，則實數a的值為8.已知集合M={x|x2-9>0},N={x∈Z|x2-8x+a<0}.若集合M∩N的子集個數為4,則實數α的取值范圍是9.已知△ABC為銳角三角形，b=2c,且sinB-sin(A則(cosB+sinB)2+sin2C的取值范圍是◆10.前100個正整數中，能寫成兩個正整數平方差的數的總和為11.若在1,2,3,…,18的任意一個排列中，總能找到連續6個數之和不小于m,則實數m的最大值為2023全國高中數學聯賽(吉林賽區)預賽試題第2頁(共4頁)得分三、解答題 13.已知函數f(x)=e?1+Ax2-1.若Vx≥1,有f(x)≥A成立，求實數A的取值范圍.14.已知橢圓M:經過點P(-2,0),且其焦距為2√3.(I)求橢圓M的方程；(Ⅱ)過點Q(-2,-1)作直線1與橢圓M的下半部分相交于兩個不同點AB,連接PA,PB分別交直線y=-1于c,D兩點，求證：IQC|+IQDI-IQCI-IQD|為定值.2023年全國高中數學聯賽(吉林賽區)預賽試題第3頁(共4頁)15.已知四邊形ABCD內接于圓o,圓0在A、C處的兩條切線相交于點P.若點P不在BD的延長線上，且PA2=PD·PB,求證：對角線BD平分對角線AC.16.設n為給定的正整數，S?≤{a|a=(p?,P?,…,Pa),p∈{0,1],k=1,2,…,n}.對于集合s,中的任意元素β=(x,x?,…,x)和γ=(y?,y?,…,y),滿足：①若β=γ,則為奇數；②若β≠γ,則為偶數.(I)當n=5時，求集合S?中元素個數的最大值；(Ⅱ)當n≥6時，求集合s,中元素個數的最大值.12023年全國高中數學聯賽(吉林賽區)預賽試題參考答案一、選擇題線AC和BF上的動點，且AM=FN,則MN的取值范圍是()【解析】作MPIAB于點P,連PN,則有PN⊥AB,設AM=FN=x,則即2故正確選項為D.(C)存在m∈N',使得當nzm時，(D)存在m∈N',使得當nem時，∴若a_1<2,則a<2.∵n≥10時，7-a?>0,a。+3>0,a,-2<03P到直線y=x+4的距離為最小值為M(2,-2)到y=x+4的距離∴f(x)的最小值為4,在x=0或x=-1時取到.(2)f(π+x)=2sin(n+x)-sin2(n+x)+√3=-2sinx-sin2x+√3,f(n-x)=2sin(π-x)-sin2(n-x)+√3=2sinx+sin2x+√3,(3)因為f(x+2π)=f(x),所以2π為f(x)的一個周期.f(x)的最值只需在區間[0,2n]上考查.f'(x)=2cosx-2cos2x=2cosx-2×(2cos2x-1)=-2(2cosx+1)(cosx-1)4當時，2cosx+1<0,有f'(x)<0,即f(x)在區間上遞減；當時，2cosx+1>0,有f'(x)>0,即f(x)在區間(上遞增；所以故正確選項為C.第一組：20,21,22,25,24,23第二組：22,24,23,25,a,26第一組：20,21,22,23,24,25第二組：22,23,24,25,26,a第一組：20,21,22,23,24,25第二組：a,22,23,24,25,26根據D(X+m)=DX(其中m為常數),知當a=25+2=27或a=20+1=21時，兩組數據的方差相等.知a最多有兩個值.綜上，a=27或21.2.已知集合M={x|x2-9>0},N={x∈Z|x2-8x+a<0}.若集合5M∩N的子集個數為4,則實數a的取值范圍是【解析】由題意，M∩N為二元集合，M={x|x>3,或x<-3},設f(x)=x2-8x+a,根據下圖，知解得12≤a<15.所以實數a的取值范圍是{a|12≤a<15}.則(cosB+sinB)2+sin2C的取值范圍是.【解析】由sinB-sin(A+B)=2sinCcosA,得sinB-sinC=2sinCcosA,于是2sinC-sinC=2sinCcosA,即sinC=2sinCcosA,又由c∈(0,π)得sinC>0因為△ABC是銳角三角形，,所以所以所以(cosB+sinB)2+sin2C的取值范圍是,1+√3].4.前100個正整數中，能寫成兩個正整數平方差的數的總和為【解析】1不能寫成兩個正整數平方差對于大于1的奇正整數2k+1,有2k+1=(k+1)2-k2(k=1,2,…),可以寫成兩個正整數平方差.6對于大于4的被4整除的偶數4k,有4k=(k+1)2-(k-1)2(k=2,3,….).即大于4的被4整除的數都能寫成兩個正整數平方差，而4不能寫成兩個正整數平方差.4k+2=(x+y)(x-y),當x,y奇偶性相同時，(x+y)(x-y)被4整除，與4k+2不能被4整除矛盾；當x,y奇偶性互異時，(x+y)(x-y)為奇數，與4k+2為偶數矛盾.所以形如4k+2的數均不能寫成兩個正整數平方差.綜上，所求總和為(1+2+3+…+100)-(1+4+2+6+10+…+98)=5050-1255=3795.5.若在1,2,3,…,18的任意一個排列中，總能找到連續6個數之和不小于m,則實數m的最大值為【解析】將1,2,3,…,18的任意一個排列a?,a?,a?,…,a8分成三組：(a?,a?,ag,a,a?,a?),(a,,ag,a,,a?0,a?,a?2),(a?3,a?4,a?5,a?6,a?7,a?8).則三組和的平均值為,所以至少有一組的和不小于57.又對1,2,3,…,18的如下排列：18,17,16,3,2,1,15,14,13,6,5,4,12,11,10,9,8,7.易知任意連續6個數之和最大為57.所以m的最大值為57.6.若不等式ab+b2+c2≥A(a+b)c對任意滿足b+c≥a的正實數a,b,c均成立，則實數A的最大值為【解析】由題意b+c≥a,則781.已知橢圓M:經過點P(-2,0),且其焦距為2√3.(1)求橢圓M的方程；(II)過點Q(-2,-1)作直線/與橢圓M的下半部分相交于兩個不同點AB,連接PA,PB分別交直線y=-1于c,D兩點，求證：IQCI+IQDI-IQCl·Q解：(1)由題意得解所以橢圓M的方程為由得(t2+4)y2+(2t2-4t)y+(t2-4t)=0.設A(x,,y,),B(x?,y?),則由題設，可設C(xc,-1),D(x?,-1).由P(-2,0).A(x,y,).C(x..-1)三點共線，得從而同理即IQCI+|QDI-IQCl-IQD|為定值0.2.已知函數f(x)=e-1+Ax2-1.若Vx≥1,有f(x)≥A成立，求實數A的取值范圍.解：(1)當時，有f'(x)=e*-1+2Ax≥x+2Ax=(1+2A)x≥0,(2)當時，取1<x<1+In(-2A),有從而f(x)在(1,1+In(-2A))上單調遞減，故f(x)<f(1)=A,不符合題設.綜上，實數A的取值范圍是點P.若點P不在BD的延長線上，且PA2=PD·PB,求平分對角線AC.證明：設PB交圓0于點E,則PA2=PE·PB,故△APD~△BPC,由及∠APB=∠DPC,得△APB~△DPC,9由(1)(2),故SA?o=SAc?o,從而對角線BD平分對角線AC.4.設n為給定的正整數，s,≤{ala=(p?,p?,…,Pa),p∈{0,1},k=1,2,…,n}.對于集合s。中的任意元素β=(x?,x?,…,x。)和y=(y,Y?,…,y),滿足：②若β≠y,則為偶數，(1)當n=5時，求集合s?中元素個數的最大值；(II)當n≥6時，求集合s。中元素個數的最大值.解：(1)顯然s?中的每個元素含奇數個1.{ala=(p?,P?,…,p?),p∈{0,1},k=1,2,…,5}中含奇數個1的元素共有c}+c3+c?=16個，將它們分成如下5組：顯然每組中至多只有一個在s?中，所以IS?≤5;構造s?={(1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,0),(0,0,0,0,1)}.綜上，所求最大值為5.記含n個元素.可生成一個n維向量u?a?+u?a?+.….+umam,由于2">2°,結合抽