試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁黑龍江省哈爾濱市第九中學校2024-2025學年高三下學期第二次模擬考試數學試卷學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知復數z在復平面內對應的點的坐標是(1,?2)A．1+2i B．1?2i2．已知命題p:?x≥0A．p和q均為真命題 B．p和?qC．?p和q均為真命題 D．?p和3．在△ABC中AB=2AC,∠BACA．3a?2b B．?2a4．甲、乙、丙、丁對某組數據（該組數據由5個整數組成）進行分析，得到以下數字特征，則不能判斷這組數據一定都小于12的是（

）A．甲：中位數為9，眾數為11 B．乙：中位數為9，極差為3C．丙：平均數為8，極差為4 D．丁：平均數為8，方差為35．已知函數fx=12xA．?∞,0 B．?1,06．高相同的圓柱與圓臺的體積分別為V1，V2，且圓柱的底面積是圓臺上、下底面積的等差中項，則V1與VA．V1>V2 B．V17．如圖，在高為16的圓柱型筒中，放置兩個半徑均為3的小球，兩個小球均與筒壁相切，且分別與兩底面相切，已知平面α與兩個小球也相切，平面α被圓筒所截得到的截面為橢圓，則該橢圓的離心率為（

）A．13 B．12 C．348．已知函數fx=xx?1，gx=alnxA．1,e1e B．1,e二、多選題9．已知函數fx=sinx，A．函數y=fB．函數y=fxC．函數y=fD．函數y=fx10．拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線C:y2=4x，O為坐標原點，一束平行于x軸的光線l1從點P(m,1)m>1A．xB．延長AO交直線x=?1于點C．|D．若PB平分∠A11．已知函數fx=2A．當a=2時，fx在B．當a>0時，fxC．若fx在0,D．當a<0時，若函數F三、填空題12．已知tanα2=213．已知數列an中，1an+1?1=anan14．某同學在學習和探索三角形相關知識時，發現了一個有趣的性質：將銳角三角形三條邊所對的外接圓的三條圓弧（劣弧）沿著三角形的邊進行翻折，則三條圓弧交于該三角形內部一點，且此交點為該三角形的垂心（即三角形三條高線的交點）如圖，已知銳角△ABC外接圓的半徑為4，且三條圓弧沿△ABC三邊翻折后交于點P.若AB=6，則四、解答題15．數列an是公比為12的等比數列，且1?a2(1)求數列an(2)設數列?8log2an的前n16．現有甲、乙兩個抽題箱，兩抽題箱內放有大小、質量、顏色均相同的小球，且小球內放有題目.已知甲箱內有4個A類題目的小球，5個B類題目的小球，3個C類題目的小球；乙箱內有2個A類題目的小球，2個B類題目的小球，6個C類題目的小球.(1)從甲箱、乙箱內各隨機抽取一個小球，記X表示抽取的小球內放有B類題目的個數，求X的分布列和數學期望；(2)先從甲箱內抽取一個小球放入乙箱內，再從乙箱內抽取一個小球，求這個小球內放有A類題目的概率.17．如圖，點C在以AB為直徑的半圓的圓周上，∠ABC=60(1)求證：AC(2)當λ為何值時，平面ACP與平面AB18．已知函數fx的定義域為D，若?x0∈D，使得fx0=f(1)證明：mx(2)?x,y（ⅰ）若y=gx（ⅱ）若g3=019．已知直線l:x=my(1)當n=(2)若直線l與圓O相切，證明：l與C的上下兩支各有一個公共點；(3)設直線l與x軸交于點T，且與圓O交于點M,N，與C的上下兩支交于點P,Q，從上到下依次為P,M,N,答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《黑龍江省哈爾濱市第九中學校2024-2025學年高三下學期第二次模擬考試數學試卷》參考答案題號12345678910答案DBBBCADDBCBCD題號11答案ACD1．D【分析】根據復數的乘法以及共軛復數的定義，可得答案.【詳解】由題意可得z=1?故選：D.2．B【分析】代入具體數值可判斷命題p和q的真假，即可得到?p和?【詳解】因為當x=0時，x=?x當x=1時，x2?1故選：B.3．B【分析】根據正弦定理得到BD【詳解】由題意，AB=2AC根據正弦定理知ABsin∠結合∠BAD①②得ABA則AD即AB=?故選：B.4．B【分析】通過理解中位數，眾數，極差，平均數，方差的概念及相關知識，再對5個數據進行舉例假設分析，即可得到判斷.【詳解】對于A，中位數為9，眾數為11，說明11至少有兩個數，不妨取兩個11，則由中位數可知另外兩個數肯定不超過9，故A能判斷這組數據都小于12，所以不能選A；對于B，中位數為9，極差為3，由于極差是5個數中最大與最小的差，由于該組數據由5個整數組成，所以不妨取4個9，1個12，這樣不能判斷該組數據一定小于12，故選B；對于C，平均數為8，極差為4，由于5個數都是整數，根據條件可知，這5個數中肯定最大數與最小數的差為4，則可知最大數肯定大于8，最小數肯定小于8，故最小數加4得最大數肯定小于12，從而能判斷這組數據一定都小于12，故不能選C；對于D，平均數為8，方差為3，由方差公式可得s2若存在數12，則s=1故選：B.5．C【分析】作出函數y=fx與y【詳解】作出函數y=fx當x≥1時，12x≤由圖象可知，此時解得x∈當?1<x<1時，log它們的交點坐標為0,0，1,所以不等式fx≤1故選：C.6．A【分析】利用圓臺體積公式，結合等差中項，可通過基本不等式轉化到圓柱的體積即可得到判斷.【詳解】設圓臺的上、下底面積分別為S1，S2，圓柱的底面積為S，高為根據圓柱的底面積是圓臺上、下底面積的等差中項，∴S=1∴V故選：A.7．D【分析】作出截面圖，由圓柱高和球的半徑求出O1O2,O1F1,【詳解】設平面α被圓筒所截得到的截面為橢圓Γ，如圖，作出圓柱過橢圓Γ的長軸的截面圖，設長軸A，B與兩圓的切點是F1,F2．連接O1過C作CD⊥O1O2，且則O1F1因為圓柱的高為16，球的半徑是3，所以圓柱的底面半徑為3，O1根據對稱性可知C是O1O2，AB的中點，故CO1=5，則C由題意得橢圓的短半軸長b=3，所以半焦距長c=故選：D．8．D【分析】將已知不等式變形為xx>axlnx，可得出exlnx>axlnx，令【詳解】由題意可知，對任意的x>0，fx>g因為lnxx=xln令t=xlnx，其中由t′<0可得0<x<1由題意可得et當t=0時，顯然該不等式成立，此時，當t>0時，則a<ett，令由h′t<0可得0<所以，函數ht在0,1所以，a<當?1e≤t<0時，則a>所以，函數ht在?1e綜上所述，?e1?1e故選：D.【點睛】結論點睛：利用參變量分離法求解函數不等式恒（能）成立，可根據以下原則進行求解：（1）?x∈D（2）?x∈D（3）?x∈D（4）?x∈D9．BC【分析】利用二倍角公式求y=fxgx的解析式，再求其周期即可判斷A的真假；根據同角三角函數基本關系求y【詳解】對于A，y=fx對于B，y=fx對于C，y=由x?π4=k對于D，y=由?π2≤x+π4又?π4,π4故選：BC.10．BCD【分析】根據題設和拋物線的性質得到點F1,0，Ax1,1，將點Ax1,1代入拋物線C的方程得到x1，從而求出直線AB的方程，聯立直線AB和拋物線C得到點B的坐標，即可判斷選項A和C，又結合直線OA和直線x=?【詳解】由題意可得拋物線焦點F1,0將Ax1,1代入C:y2=4則直線AB方程為y?0聯立y2=4xy=?將B4,y2代入C:y2所以AB由已知可得BQ//x軸，且B4又A14,1，所以直線令x=?1解得y=?4，即所以D,設直線PB的傾斜角為θ（θ∈0,π2），斜率為若PB平分∠ABQ，即所以tanα=tan2θ=2又k0=1故選：BCD11．ACD【分析】對于A，利用導數的幾何意義求切線方程，進而求交點坐標，即可求三角形面積判斷A；對于B，利用導數研究函數的單調性判斷B；對于C，將問題化為在0,+∞上2a≤?2【詳解】對于A，由題設f′則f′1=所以fx在x=1切線與x軸的交點坐標為45,0，與y所以fx在x=1對于B，由題設f′x=當x→0時，f′x趨向于負無窮，當所以存在x0∈0所以當0<x<x0時，f對于C，因為函數fx在0則在0,+∞上f令gx=?易知0<x<e12時，所以gx在0,e所以gx所以2a≤?對于D，函數Fx即2xlnx令gx=?2ln令hx=2lnx則存在x0∈5易知0<x<x0時，h則gx在0,x則gx當a<0時，當x→0時，gx所以a=?2lnx故D正確.故選：ACD.12．45【分析】根據二倍角公式和同角的三角函數的關系即可求出.【詳解】因為tanα所以sinα故答案為：4513．1【分析】由1an+1?【詳解】由1an+∴1an∴1∴a∴bn=∴S故答案為：114．34/0.75【分析】第一空：由正弦定理求得sin∠ACB=34【詳解】設外接圓半徑為R，則R=由正弦定理，可知AB即sin∠ACB=又由題意可知P為三角形ABC的垂心，即AP⊥B所以cos∠設∠C則∠P由于AC:A由余弦定理知cosθ設AD,CE,BF為三角形的三條高，由于∠E故∠E則得∠A所以PC同理可得PB所以PA故答案為：34；23【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵在于：涉及到三角形垂心的性質的應用，解答時要能靈活地結合垂心性質尋找角之間的關系，應用正余弦定理，解決問題.15．(1)a(2)證明見解析【分析】（1）利用等比數列的通項公式求解.（2）利用裂項相消求和求解即可.【詳解】（1）依題可得：1?即：1?解得a1所以an（2）證明：設bn則Sn所以1S116．(1)分布列見解析，37(2)7【分析】（1）求出甲、乙箱內抽取一個小球，且小球內放有B類題目的概率和小球內沒有B類題目的概率，分析知，X的可能取值為0,1,2，求出隨機變量（2）設事件D=“從乙箱內抽取一個小球，且小球內放有A類題目”，設事件A,B,C分別是從甲箱中取出A【詳解】（1）從甲箱內抽取一個小球，且小球內放有B類題目的概率為512小球內沒有B類題目的概率為1?從乙箱內抽取一個小球，且小球內放有B類題目的概率為15小球內沒有B類題目的概率為1?X的可能取值為0,則PXPXPX所以X的分布列為X012P791EX（2）設事件D=“從乙箱內抽取一個小球，且小球內放有A設事件A,B,C分別是從甲箱中取出A類題目的小球，則P=417．(1)證明見解析；(2)λ=13【分析】（1）由線面垂直的性質有BP⊥A（2）若O為AB的中點，即為半圓的圓心，作Oz⊥面ABC，在面A【詳解】（1）由BP⊥平面ABC，AC又點C在以AB為直徑的半圓的圓周上，則B由BP∩BC=B且都在面由BD?面PB（2）若O為AB的中點，即為半圓的圓心，作Oz⊥面ABC由∠ABC=60故可構建如下圖示的空間直角坐標系O?xy由CD=λCP所以AD=(3?若m=(x,y,z則m?AD=(n?AD=(所以|cos整理得|2λ?14λ218．(1)證明見解析(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）根據定義令m?x=（2）（ⅰ）根據hx+2hy+gx?gy=32x+y【詳解】（1）由m?x=m解得x=0，所以所以mx（2）令y=x，有3代回原式，有gx所以gx=?（ⅰ）y=若y=gx所以c所以函數y=判別式Δ=4c不妨設x1<x2，所以函數y=xg所以函數y=（ⅱ）若g3=0，則c欲證3gx令Fx令F′x=0，得x=2，所以所以Fx≤F當且僅當x=即3g【點睛】方法點睛：利用導數證明不等式的基本步驟:（1）作差或變形；（2）構造新的函數hx（3）利用導數研究hx（4）根據單調性及最值，得到所證不等式.特別地：當作差或變形構造的新函數不能利用導數求解時，一般轉化為分別求左、右兩端兩個函數的最值問題．19．(1)10(2)證明見解