第二章第1講[A級基礎達標]1．(2019年福州期中)設n∈N，eq\r(n＋4)－eq\r(n＋3)與eq\r(n＋2)－eq\r(n＋1)的大小關系是()A．eq\r(n＋4)－eq\r(n＋3)＞eq\r(n＋2)－eq\r(n＋1)B．eq\r(n＋4)－eq\r(n＋3)＜eq\r(n＋2)－eq\r(n＋1)C．eq\r(n＋4)－eq\r(n＋3)＝eq\r(n＋2)－eq\r(n＋1)D．不能確定【答案】B【解析】因為當n∈N時，(eq\r(n＋4)＋eq\r(n＋1))2－(eq\r(n＋3)＋eq\r(n＋2))2＝eq\r(n2＋5n＋4)－eq\r(n2＋5n＋6)＜0，所以eq\r(n＋4)＋eq\r(n＋1)＜eq\r(n＋3)＋eq\r(n＋2)，即eq\r(n＋4)－eq\r(n＋3)＜eq\r(n＋2)－eq\r(n＋1).故選B．2．(2019年赤峰期中)若M＝2a2－3a＋5，N＝a2－a＋4，則M與N的大小關系為()A．M≥N B．M＞NC．M＜N D．M≤N【答案】A【解析】M－N＝2a2－3a＋5－(a2－a＋4)＝a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，所以M≥N.故選A．3．(2019年浙江期中)若a，b，c∈R，且a＞b，則下列不等式一定成立的是()A．a＋c≥b－c B．(a－b)c2≥0C．ac＞bc D．eq\f(b,a)≤eq\f(b＋c,a＋c)【答案】B【解析】由a，b，c∈R，且a＞b，可得a－b＞0.因為c2≥0，所以(a－b)c2≥0.故選B．4．(2019年漢中期末)設實數a＞b＞0，c＞0，則下列不等式一定正確的是()A．0＜eq\f(a,b)＜1 B．ca＞cbC．ac－bc＜0 D．lneq\f(a,b)＞0【答案】D【解析】①因為a＞b＞0，所以eq\f(a,b)＞1，故A錯誤；②當c＝1時，ca＝cb，故B錯誤；③ac－bc＝(a－b)c＞0，故C錯誤；④因為a＞b＞0，所以lna＞lnb，所以lneq\f(a,b)＞0，故D正確．故選D．5．(2019年龍巖期末)a＝1.010.01，b＝ln2，c＝eqlog\s\do8(\f(1,6))eq\f(\r(6),6)，則a，b，c從小到大的關系是________．【答案】c＜b＜a【解析】a＝1.010.01＞1.010＝1，eq\f(1,2)＝lneq\r(e)＜lneq\r(4)＝b＝ln2＜lne＝1，c＝eqlog\s\do8(\f(1,6))eq\f(\r(6),6)＝eqlog\s\do8(\f(1,6))eq\f(1,\r(6))＝eqlog\s\do8(\f(1,6))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))eq\s\up4(\f(1,2))＝eq\f(1,2)，所以c＜b＜a.故答案為c＜b＜a.6．已知π＜α＋β＜eq\f(5π,4)，－π＜α－β＜－eq\f(π,3)，則2α－β的取值范圍是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，\f(π,8)))【解析】令x＝α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(5π,4)))，y＝α－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,3)))，則α＝eq\f(x＋y,2)，β＝eq\f(x－y,2).所以2α－β＝x＋y－eq\f(x－y,2)＝eq\f(x＋3y,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，\f(π,8))).7．(2020年蘭州月考)如果a＞b，給出下列不等式：①eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；②a3＞b3；③eq\r(a2)＞eq\r(b2)；④2ac2＞2bc2；⑤eq\f(a,b)＞1；⑥a2＋b2＋1＞ab＋a＋b.其中一定成立的不等式的序號是________．【答案】②⑥【解析】①eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)不一定成立，例如取a＝2，b＝－1；②利用函數y＝x3在R上單調遞增，可知a3＞b3，正確；③eq\r(a2)＞eq\r(b2)不一定成立，例如a＝1，b＝－2；④2ac2＞2bc2不一定成立，例如取c＝0；⑤eq\f(a,b)＞1不一定成立，例如取a＝2，b＝－1；⑥a2＋b2＋1＞ab＋a＋b化為(a－1)2＋(b－1)2＞(a－1)(b－1)，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a－1－\f(1,2)b－1))2＋eq\f(3,4)(b－1)2＞0.因為b＝1時，a＞1，所以左邊恒大于0，成立．綜上，填②⑥.8．若實數a≠1，比較a＋2與eq\f(3,1－a)的大小．【解析】因為a＋2－eq\f(3,1－a)＝eq\f(－a2－a－1,1－a)＝eq\f(a2＋a＋1,a－1)，所以當a＞1時，a＋2＞eq\f(3,1－a)；當a＜1時，a＋2＜eq\f(3,1－a).[B級能力提升]9．(2019年株洲期中)三個數log2eq\f(1,5)，20.1,20.2的大小關系是()A．log2eq\f(1,5)＜20.1＜20.2 B．log2eq\f(1,5)＜20.2＜20.1C．20.1＜20.2＜log2eq\f(1,5) D．20.1＜log2eq\f(1,5)＜20.2【答案】A【解析】log2eq\f(1,5)＜log21＝0,20.2＞20.1＞20＝1，所以log2eq\f(1,5)＜20.1＜20.2.故選A．10．(2020年廈門月考)已知實數x，y滿足logeq\f(1,2)x＞0＞logeq\f(1,2)y，則以下說法正確的是()A．eq\f(1,x2＋1)＜eq\f(1,y2＋1) B．sinx＜sinyC．eq\f(1,x－1)＞eq\f(1,y－1) D．eq\f(lnx＋1,x)＞eq\f(lny＋1,y)【答案】D【解析】因為logeq\f(1,2)x＞0＞logeq\f(1,2)y，所以0＜x＜1＜y，所以0＜x2＜1?1＜x2＋1＜2?y2＞1?y2＋1＞2，所以eq\f(1,x2＋1)＞eq\f(1,y2＋1)，A錯誤．正弦函數具有周期性，所以sinx與siny不能比較，B錯誤．因為0＜x＜1＜y，所以－1＜x－1＜0，y－1＞0，所以eq\f(1,x－1)＜eq\f(1,y－1)，C錯誤．故選D．11．(2019年駐馬店期末)若eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，則下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＜|b|；③a＜b；④eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＞2.其中正確不等式的序號是()A．①② B．②③C．③④ D．①②④【答案】D【解析】若eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，則a＜0，b＜0，且a＞b.①a＋b＜0，ab＞0，故①正確；②a＜0，b＜0，且a＞b，顯然|a|＜|b|，故②正確；③由②得a＞b，故③錯誤；④由于a＜0，b＜0，故eq\f(b,a)＞0，eq\f(a,b)＞0，則eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，當且僅當eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b時取“＝”，又a＞b，則eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＞2，故④正確．故選D．12．(2019年啟東中學調研)已知△ABC的三邊分別為a，b，c，且滿足b＋c≤3a，則eq\f(c,a)的取值范圍為______．【答案】(0,2)【解析】由已知及三角形的三邊關系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<b＋c≤3a，,a＋b>c，,a＋c>b，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<\f(b,a)＋\f(c,a)≤3，,1＋\f(b,a)>\f(c,a)，,1＋\f(c,a)>\f(b,a)，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<\f(b,a)＋\f(c,a)≤3，,－1<\f(c,a)－\f(b,a)<1，))兩式相加得0＜eq\f(2c,a)＜4，所以eq\f(c,a)的取值范圍為(0,2)．13．(2019年青島模擬)設a，b為正實數，現有下列命題：①若a2－b2＝1，則a－b＜1；②若eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＝1，則a－b＜1；③若|eq\r(a)－eq\r(b)|＝1，則|a－b|＜1；④若|a3－b3|＝1，則|a－b|＜1.其中的真命題有________．(寫出所有真命題的序號)【答案】①④【解析】對于①，由條件可得a＞1，b＞0，則a＋b＞1，又a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝1，所以a－b＜1，故①正確．對于②，令a＝2，b＝eq\f(2,3)，則eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＝1，但a－b＝eq\f(4,3)＞1，故②錯誤．對于③，令a＝4，b＝1，則|eq\r(a)－eq\r(b)|＝1，但|a－b|＝3＞1，故③錯誤．對于④，|a3－b3|＝|(a－b)(a2＋ab＋b2)|＝1，由條件可得，a，b中至少有一個大于等于1，則a2＋ab＋b2＞1，則|a－b|＜1，故④正確．綜上，真命題有①④.14．已知實數x，y滿足1＜x＜2＜y＜3.(1)求xy的取值范圍；(2)求x－2y的取值范圍．【解析】(1)因為1＜x＜2＜y＜3，所以1＜x＜2,2＜y＜3，則2＜xy＜6，所以xy的取值范圍(2,6)．(2)由(1)得1＜x＜2,2＜y＜3，則－6＜－2y＜－4.所以－5＜x－2y＜－2，所以x－2y的取值范圍是(－5，－2)．[C級創新突破]15．(多選題)(2020年肥城市校級月考)下列四個選項中，能推出eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)的有()A．b＞0＞a B．0＞a＞bC．a＞0＞b D．a＞b＞0【答案】ABD【解析】eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)?eq\f(b－a,ab)＜0?ab(a－b)＞0.A中，ab＜0，a－b＜0，ab(a－b)＞0成立；B中，ab＞0，a－b＞0，ab(a－b)＞0成立；C中，ab＜0，a－b＞0，ab(a－b)＜0，不成立；D中，ab＞0，a－b＞0，ab(a－b)＞0成立．故選ABD．16．(一題兩空)(2019年興慶區校級模擬)比較大小：①eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))－eq\s\up4(\f(2,3))________1；②0.8－2________eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))－eq\s\up4(\f(1,3)).【答案】＞＞【解析】①eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))－eq\s\up4(\f(2,3))＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))0＝1，所