函數第三章第8講函數與方程高考要求考情分析1.結合二次函數的圖象，了解函數的零點與方程根的聯系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數．2．根據具體函數的圖象，能夠用二分法求相應方程的近似解高考中，主要考查函數零點的區間和零點個數的判斷以及利用零點的特征求參數的取值范圍，難度較大，考查邏輯推理和直觀想象的核心素養欄目導航01基礎整合自測糾偏03追蹤命題直擊高考02重難突破能力提升04配套訓練基礎整合自測糾偏11.函數的零點(1)函數零點的定義對于函數y＝f(x)，我們把使________的實數x叫做函數y＝f(x)的零點．(2)幾個等價關系方程f(x)＝0有實數根?函數y＝f(x)的圖象與______有交點?函數y＝f(x)有________．(3)函數零點的判定(零點存在性定理)如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有__________，那么函數y＝f(x)在區間__________內有零點，即存在c∈(a，b)，使得________，這個c也就是方程f(x)＝0的根．f(x)＝0x軸零點f(a)·f(b)<0(a，b)f(c)＝02.二次函數圖象與零點的關系(x1,0)，(x2,0)(x1,0)2103.二分法對于在區間[a，b]上連續不斷且____________的函數y＝f(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區間__________，使區間的兩個端點逐步逼近______，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．f(a)·f(b)<0一分為二零點【答案】B【解析】由所給的函數值的表格可以看出x＝2與x＝3這兩個數字對應的函數值的符號不同，即f(2)·f(3)<0，所以函數f(x)在(2,3)內有零點．2．(教材習題改編)函數f(x)＝ex＋3x的零點個數是(

)A．0 B．1C．2 D．3【答案】B3．下列函數中，既是偶函數又存在零點的是(

)A．y＝cosx

B．y＝sinxC．y＝lnx

D．y＝x2＋1【答案】A4．(2019年西安調研)方程2x＋3x＝k的解在[1,2)內，則k的取值范圍是________．【答案】[5,10)【解析】令f(x)＝2x＋3x－k，則f(x)在R上是增函數．當方程2x＋3x＝k的解在(1,2)內時，f(1)·f(2)<0，即(5－k)(10－k)<0，解得5<k<10.又當f(1)＝0時，k＝5.所以方程2x＋3x＝k的解在[1,2)內，則k的取值范圍是[5,10)．5．函數f(x)＝ax＋1－2a在區間(－1,1)上存在一個零點，則實數a的取值范圍是________．1．函數f(x)的零點是一個實數，是方程f(x)＝0的根，也是函數y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標．2．函數零點存在性定理是零點存在的一個充分條件，而不是必要條件；判斷零點個數還要根據函數的單調性、對稱性或結合函數圖象．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)函數的零點就是函數的圖象與x軸的交點．(

)(2)函數y＝f(x)在區間(a，b)內有零點(函數圖象連續不斷)，則f(a)·f(b)<0.(

)(3)只要函數有零點，我們就可以用二分法求出零點的近似值．(

)(4)二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0時沒有零點．(

)(5)若函數f(x)在[a，b]內單調，圖象連續不斷且f(a)·f(b)<0，則函數f(x)在[a，b]上有且只有一個零點．(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

(5)√重難突破能力提升2函數零點的確定與求解【考向分析】求解函數零點的個數及零點存在的區間的確定是高考的熱點問題，常常與函數的圖象與性質交匯命題，主要考查函數與方程、數形結合思想的應用，題型以選擇題、填空題為主．常見的考向：(1)函數零點所在的區間；(2)函數零點個數的判斷；(3)求函數的零點．【解析】方法一(利用零點存在性定理)：因為函數f(x)是增函數，且f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3>0，所以由零點存在性定理得函數f(x)的零點位于區間(2,3)上．故選C．方法二(數形結合)：函數f(x)＝x＋lnx－3的零點所在區間轉化為g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋3的圖象的交點橫坐標所在范圍．作出h(x)和g(x)的圖象如圖所示，可知f(x)的零點在(2,3)內．【解析】f(x)＝lgx－sinx的零點個數，即函數y＝lgx的圖象和函數y＝sinx的圖象的交點個數．畫出兩函數的圖象如圖所示，由圖可知函數y＝lgx的圖象和函數y＝sinx的圖象的交點個數為3.故選C．【規律方法】(1)確定函數零點所在區間，可利用零點存在性定理或數形結合法．(2)判斷函數零點個數的方法：①解方程法；②零點存在性定理結合函數的性質；③數形結合法：轉化為兩個函數圖象的交點個數．函數零點的應用【規律方法】(1)解決已知函數零點的存在情況求參數的取值范圍問題時，應該根據零點的存在情況，利用函數零點的存在性定理、二次函數的判別式等得到關于參數的不等式(組)，然后求解即可．破解此類題的關鍵點：①轉化，把已知函數零點的存在情況轉化為方程的解或兩函數圖象的交點的情況；②列式，根據零點存在性定理或結合函數圖象列式；③下結論，求出參數的取值范圍或根據圖象得出參數的取值范圍．(2)已知根或零點的區間求參數，要根據區間建立不等關系，其關鍵點為：①構造方程或函數(反解參數)；②利用零點區間，求解函數的值域或不等式；③確定參數范圍．二次函數的零點問題【規律方法】解決與二次函數有關的零點問題：(1)利用一元二次方程的求根公式．(2)利用一元二次方程的判別式及根與系數之間的關系．(3)利用二次函數的圖象列不等式組．【跟蹤訓練】2．已知函數f(x)＝x2＋(a＋2)x＋5＋a，a∈R.(1)若方程f(x)＝0有一正根和一個負根，求a的取值范圍；(2)當x＞－1時，不等式f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍．追蹤命題直擊高考3【典例精析】

典例．(2020年杭州模擬)設x1，x2分別是函數f(x)＝xax－1和g(x)＝xlogax－1的零點(其中a＞1)，則x1＋2x2的取值范圍是(

)A．[2，＋∞)

B．(2，＋∞)C．[3，＋∞)

D．(3，＋∞)【考查角度】函數零點與函數圖象的關系，涉及函數單調性等知識點．【考查目的】考查應用意識，體現直觀想象和數學抽象的核心素養．【拓展延伸】1．函數零點的兩個易錯點(1)函數的零點不是點，是方程f(x)＝0的實根．(2)函數零點的存在性定理只能判斷函數在某個區間上的變號零點，而不能判斷函數的不變號零點，而且連續函數在一個區間的端點處函數值異號是這個函數在這個區間上存在零點的充分不必要條件．2．判斷函數零點個數的方法(1)直接求零點；(2)零點的存在性定理；(3)