一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解一元二次方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.2.不解方程利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決問題.3.讓學(xué)生體會從特殊到一般的科學(xué)探究過程.韋達(dá)，1540

年出生于法國的波亞圖，他把符號系統(tǒng)引入代數(shù)學(xué)，對數(shù)學(xué)的發(fā)展發(fā)揮了巨大的作用，人們?yōu)榱思o(jì)念他在代數(shù)學(xué)上的功績，稱他為“代數(shù)學(xué)之父”．x+y=8x=7s=vta=b-10y=3x+4a+b=3a2+b2=c2導(dǎo)入新課創(chuàng)設(shè)情景格格和同學(xué)們打賭，她有一手絕活，只要同學(xué)給出兩個數(shù)，她就能馬上說出以這兩個數(shù)為根的一元二次方程，同學(xué)們表示不相信，菲菲首先發(fā)難，恨不得考倒格格，她報的數(shù)是3，4，格格的解答是x2－7x＋12=0．菲菲驗(yàn)證了一下正確，接著同學(xué)們紛紛報數(shù)，格格快速準(zhǔn)確解答．同學(xué)想不不通為什么她能快速回答，聰明的同學(xué)，你知道“源頭”何在?1.一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情況怎樣確定？2.一元二次方程的求根公式是什么？引入新課

同學(xué)們，我們來做一個游戲，看誰能更快速的說出下列一元二次方程的兩根和與兩根積？

（1）x2-2x+1=0（2）x2+3x-10=0（3）x2+5x+4=0填表，觀察、猜想

方程

x1,

x2

x1+

x2

x1.x2

x2-2x+1=0x2+3x-10=0x2+5x+4=0【思考】你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？①用語言敘述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；②

x2+px+q=0的兩根x1,,x2用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.

根與系數(shù)的關(guān)系知識點(diǎn)1,1.212,-5.-3-10-1,-4.-54如果關(guān)于x的方程的兩根是x1

,x2

,則:如果方程二次項(xiàng)系數(shù)不為1呢?x1+x2=-p，x1·x2=q.-4123-1

-3-456(1)x2+3x-4=0；(2)x2

-5x+6=0；算一算

解下列方程并完成填空：x1+x2=？x1·x2=？2x2+3x+1=0方程兩根x1x2一元二次方程x2+3x-4=0x2

-5x+6=0(3)2x2+3x+1=0.將二次項(xiàng)系數(shù)化為1

對于一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），是否有一樣的規(guī)律嗎？如何求出一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)兩根之積、兩根之和？思考探究

有實(shí)數(shù)根的前提是什么呢？Δ=b2-4ac≥0一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根是x1,x2.那么x1+x2=x1x2=（韋達(dá)定理）【注意】能用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件為b2-4ac≥0.常數(shù)項(xiàng)一次項(xiàng)系數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)注意系數(shù)符號.學(xué)生活動：請同學(xué)用求根公式證明.對于方程ax2+bx+c=0(a≠0)，當(dāng)Δ≥0時，設(shè)ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根為x1，x2，此時x1+x2，x1·x2等于多少呢？探究結(jié)論如果

ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根為

x1，x2，那么.注意滿足上述關(guān)系的前提條件b2-4ac≥0.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系人們把敘述一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論稱為“韋達(dá)定理”．探究結(jié)論例不解方程，求下列方程的兩根之和、兩根之積.（1）x2–6x–15=0；（2）5x–1=4x2（1）解：a=1，b=–6，

c=–15．（2）解：整理方程得：4x2-5x+1=0

Δ

=b2-4ac

=(–6)2–4×1×(–15)=96>0．∴方程有兩個實(shí)數(shù)根．設(shè)方程的兩個實(shí)數(shù)根是x1，

x2.那么x1+x2=–(–6)=6.

x1x2=-15．先化為一般式定理應(yīng)用a=4，b=–

5，

c=1．

Δ

=b2-4ac

=(–

5)2–4×(–5)×1=45>0．∴方程有兩個實(shí)數(shù)根．設(shè)方程的兩個實(shí)數(shù)根是x1，

x2.那么x1+x2=，

x1x2=．例利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根之和、兩根之積.

（1）x2+7x+6=0;解：這里a=1,b=7,c=6.

Δ

=b2-4ac=72–4×1×6=25>0.∴方程有兩個實(shí)數(shù)根.設(shè)方程的兩個實(shí)數(shù)根是x1,x2,那么.x1+x2=-7,x1x2=6.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用考點(diǎn)（2）2x2-3x-2=0.解：這里

a=2,b=-3,c=-2.

Δ=b2

-4ac=（-3）2–4×2×(-2)=25>0

∴方程有兩個實(shí)數(shù)根.設(shè)方程的兩個實(shí)數(shù)根是

x1,x2,那么.

x1+x2=,x1x2=-1.不解方程，求方程兩根的和與兩根的積：

①x2+3x-1=0②2x2-4x+1=0解：①②原方程可化為：二次項(xiàng)不是1，可以先把它化為1.例已知方程5x2+kx-6=0的一個根是2，求它的另一個根及k的值.解：設(shè)方程的兩個根分別是x1,x2，其中x1=2

.

所以：x1·x2=2x2=

即：x2=

由于x1+x2=2+=

得：k=－7.答：方程的另一個根是

，k=－7.利用根與系數(shù)的關(guān)系求字母的值或取值范圍考點(diǎn)想一想，還有沒有別的做法？已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2,求它的另一個根及k的值.解：設(shè)方程的另一個根為x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0.解這方程，得k=-2.由根與系數(shù)關(guān)系，得x1●2＝3k.

即2x1

＝－6.∴x1

＝－3.答：方程的另一個根是－3,k的值是－2.例不解方程，求方程2x2+3x-1=0的兩根的平方和、倒數(shù)和.解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：

利用根與系數(shù)的關(guān)系求兩根的平方和、倒數(shù)和考點(diǎn)∴（1）x1+x2=

.(2)x1·x2=

.(3)

.

(4)

.411214設(shè)x1,x2為方程x2-4x+1=0的兩個根，則:

例設(shè)x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的兩個實(shí)數(shù)根，且x12+x22=4，求k的值.解：由方程有兩個實(shí)數(shù)根，得Δ=4（k-1）2-4k2≥0.

即-8k+4≥0.∴

由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2.∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4.由x12+x22=4，得2k2-8k+4=4.

解得

k1=0,k2=4.經(jīng)檢驗(yàn)，k2=4不合題意，舍去.根與系數(shù)關(guān)系的綜合題目考點(diǎn)

歸納總結(jié)

求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時,一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和,兩根之積的形式,再整體代入.解：設(shè)方程兩根分別為x1,x2(x1>x2)，則x1-x2=1.∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=,x1x2

=解得k1=9,k2=-3.當(dāng)k=9或-3時，由于Δ＞0，∴k的值為9或-3.∴（）2-4×

=1.當(dāng)k為何值時，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的兩根差為1.達(dá)標(biāo)檢測利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根之和、兩根之積：

（1）x(3x-1)-1=0；（2）(2x+5)(x+1)=x+7.解：（1）3x2-x-1=0.x1+x2=，x1x2=.（2）x2+3x-1=0.x1+x2=-3，x1x2=-1.2.解下列方程：

（1）12x2+7x+1=0；（2）0.8x2+x=0.3.（3）3x2+1=x；（4）(x+1)(x-3)=2x+5.解：（1）△>0x1+x2=，x1x2=.x1=x2=（2）△>0x1+x2=，x1x2=.x1=x2=2.解下列方程：

（1）12x2+7x+1=0；（2）0.8x2+x=0.3.（3）3x2+1=x；（4）(x+1)(x-3)=2x+5.△=0x1+x2=，x1x2=.x1=x2=（4）x2-4x-8=0△>0x1+x2=4，x1x2=-8.x1=x2=（3）3x2-x+1=03.已知方程5x2+kx-6=0的一個根是2，求它的另一個根

及k

的值.x1+x2=x1x2=.