廣西龍勝中學2025屆高三第一次適應性考試（一模）數學試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若復數是純虛數，則()A．3 B．5 C． D．2．已知函數，將的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標保持不變；再把所得圖象向上平移個單位長度，得到函數的圖象，若，則的值可能為（）A． B． C． D．3．1777年，法國科學家蒲豐在宴請客人時，在地上鋪了一張白紙，上面畫著一條條等距離的平行線，而他給每個客人發許多等質量的，長度等于相鄰兩平行線距離的一半的針，讓他們隨意投放.事后，蒲豐對針落地的位置進行統計，發現共投針2212枚，與直線相交的有704枚.根據這次統計數據，若客人隨意向這張白紙上投放一根這樣的針，則針落地后與直線相交的概率約為（）A． B． C． D．4．已知函數，且)，則“在上是單調函數”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知雙曲線的實軸長為，離心率為，、分別為雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線上運動，若為銳角三角形，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．對于任意，函數滿足，且當時，函數.若，則大小關系是（）A． B． C． D．7．在中，“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．若函數在時取得極值，則（）A． B． C． D．9．一個算法的程序框圖如圖所示，若該程序輸出的結果是，則判斷框中應填入的條件是（）A． B． C． D．10．古希臘數學家畢達哥拉斯在公元前六世紀發現了第一、二個“完全數”6和28，進一步研究發現后續三個“完全數”分別為496，8128，33550336，現將這五個“完全數”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，則6和28恰好在同一組的概率為A． B． C． D．11．某市氣象部門根據2018年各月的每天最高氣溫平均數據,繪制如下折線圖,那么,下列敘述錯誤的是()A．各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值總體呈正相關B．全年中,2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大C．全年中各月最低氣溫平均值不高于10°C的月份有5個D．從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值呈下降趨勢12．已知集合，集合，則（）.A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在矩形ABCD中，，，點E，F分別為BC，CD邊上動點，且滿足，則的最大值為________.14．已知，則_____.15．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，乙獲勝的概率是，則乙不輸的概率是_____．16．已知拋物線，點為拋物線上一動點，過點作圓的切線，切點分別為，則線段長度的取值范圍為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設數列的前列項和為，已知.（1）求數列的通項公式；（2）求證：.18．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）.點在曲線上，點滿足.（1）以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求動點的軌跡的極坐標方程；（2）點，分別是曲線上第一象限，第二象限上兩點，且滿足，求的值.19．（12分）如圖，四棱錐中，底面ABCD為菱形，平面ABCD，BD交AC于點E，F是線段PC中點，G為線段EC中點．Ⅰ求證：平面PBD；Ⅱ求證：．20．（12分）P是圓上的動點，P點在x軸上的射影是D，點M滿足．（1）求動點M的軌跡C的方程，并說明軌跡是什么圖形；（2）過點的直線l與動點M的軌跡C交于不同的兩點A，B，求以OA，OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點E的軌跡方程．21．（12分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分別是AC，B1C1的中點．求證：（1）MN∥平面ABB1A1；（2）AN⊥A1B．22．（10分）已知等比數列中，，是和的等差中項．(1)求數列的通項公式；(2)記，求數列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

先由已知，求出，進一步可得，再利用復數模的運算即可【詳解】由z是純虛數，得且，所以，.因此，.故選：C.【點睛】本題考查復數的除法、復數模的運算，考查學生的運算能力，是一道基礎題.2、C【解析】

利用二倍角公式與輔助角公式將函數的解析式化簡，然后利用圖象變換規律得出函數的解析式為，可得函數的值域為，結合條件，可得出、均為函數的最大值，于是得出為函數最小正周期的整數倍，由此可得出正確選項.【詳解】函數，將函數的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的倍，得的圖象；再把所得圖象向上平移個單位，得函數的圖象，易知函數的值域為.若，則且，均為函數的最大值，由，解得；其中、是三角函數最高點的橫坐標，的值為函數的最小正周期的整數倍，且．故選C．【點睛】本題考查三角函數圖象變換，同時也考查了正弦型函數與周期相關的問題，解題的關鍵在于確定、均為函數的最大值，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.3、D【解析】

根據統計數據，求出頻率，用以估計概率.【詳解】.故選:D.【點睛】本題以數學文化為背景，考查利用頻率估計概率，屬于基礎題.4、C【解析】

先求出復合函數在上是單調函數的充要條件，再看其和的包含關系，利用集合間包含關系與充要條件之間的關系，判斷正確答案.【詳解】，且)，由得或，即的定義域為或，（且）令，其在單調遞減，單調遞增，在上是單調函數，其充要條件為即.故選：C.【點睛】本題考查了復合函數的單調性的判斷問題，充要條件的判斷，屬于基礎題.5、A【解析】

由已知先確定出雙曲線方程為，再分別找到為直角三角形的兩種情況，最后再結合即可解決.【詳解】由已知可得，，所以，從而雙曲線方程為，不妨設點在雙曲線右支上運動，則，當時，此時，所以，，所以；當軸時，，所以，又為銳角三角形，所以.故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的性質及其應用，本題的關鍵是找到為銳角三角形的臨界情況，即為直角三角形，是一道中檔題.6、A【解析】

由已知可得的單調性，再由可得對稱性，可求出在單調性，即可求出結論.【詳解】對于任意，函數滿足，因為函數關于點對稱，當時，是單調增函數，所以在定義域上是單調增函數.因為，所以，.故選:A.【點睛】本題考查利用函數性質比較函數值的大小，解題的關鍵要掌握函數對稱性的代數形式，屬于中檔題..7、C【解析】

由余弦函數的單調性找出的等價條件為，再利用大角對大邊，結合正弦定理可判斷出“”是“”的充分必要條件.【詳解】余弦函數在區間上單調遞減，且，，由，可得，，由正弦定理可得.因此，“”是“”的充分必要條件.故選：C.【點睛】本題考查充分必要條件的判定，同時也考查了余弦函數的單調性、大角對大邊以及正弦定理的應用，考查推理能力，屬于中等題.8、D【解析】

對函數求導，根據函數在時取得極值，得到，即可求出結果.【詳解】因為，所以，又函數在時取得極值，所以，解得.故選D【點睛】本題主要考查導數的應用，根據函數的極值求參數的問題，屬于常考題型.9、D【解析】

首先判斷循環結構類型，得到判斷框內的語句性質，然后對循環體進行分析，找出循環規律，判斷輸出結果與循環次數以及的關系，最終得出選項．【詳解】經判斷此循環為“直到型”結構，判斷框為跳出循環的語句，第一次循環：；第二次循環：；第三次循環：，此時退出循環，根據判斷框內為跳出循環的語句，，故選D．【點睛】題主要考查程序框圖的循環結構流程圖，屬于中檔題．解決程序框圖問題時一定注意以下幾點：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區分程序框圖是條件分支結構還是循環結構；(3)注意區分當型循環結構和直到型循環結構；(4)處理循環結構的問題時一定要正確控制循環次數；(5)要注意各個框的順序，（6）在給出程序框圖求解輸出結果的試題中只要按照程序框圖規定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可．10、B【解析】

推導出基本事件總數，6和28恰好在同一組包含的基本事件個數，由此能求出6和28恰好在同一組的概率．【詳解】解：將五個“完全數”6，28，496，8128，33550336，隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，基本事件總數，6和28恰好在同一組包含的基本事件個數，∴6和28恰好在同一組的概率．故選：B．【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．11、D【解析】

根據折線圖依次判斷每個選項得到答案.【詳解】由繪制出的折線圖知：在A中，各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值為正相關，故A正確；在B中，全年中，2月的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大，故B正確；在C中，全年中各月最低氣溫平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5個，故C正確；在D中，從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值，先上升后下降，故D錯誤.故選：D.【點睛】本題考查了折線圖，意在考查學生的理解能力.12、A【解析】

算出集合A、B及，再求補集即可.【詳解】由，得，所以，又，所以，故或.故選：A.【點睛】本題考查集合的交集、補集運算，考查學生的基本運算能力，是一道基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用平面直角坐標系，設出點E，F的坐標，由可得，利用數量積運算求得，再利用線性規劃的知識求出的最大值.【詳解】建立平面直角坐標系，如圖（1）所示：設，，，即，又，令，其中，畫出圖形，如圖（2）所示：當直線經過點時，取得最大值.故答案為：【點睛】本題考查了向量數量積的坐標運算、簡單的線性規劃問題，解題的關鍵是建立恰當的坐標系，屬于基礎題.14、【解析】

對原方程兩邊求導，然后令求得表達式的值.【詳解】對等式兩邊求導，得，令，則.【點睛】本小題主要考查二項式展開式，考查利用導數轉化已知條件，考查賦值法，屬于中檔題.15、【解析】乙不輸的概率為，填.16、【解析】

連接，易得，可得四邊形的面積為，從而可得，進而求出的取值范圍，可求得的范圍.【詳解】如圖，連接，易得，所以四邊形的面積為，且四邊形的面積為三角形面積的兩倍，所以，所以，當最小時，最小，設點，則，所以當時，，則，當點的橫坐標時，，此時，因為隨著的增大而增大，所以的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系的應用，考查拋物線上的動點到定點的距離的求法，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）由已知可得，構造等比數列即可求出通項公式；（2）當時，由，可求，時，由，可證，驗證時，不等式也成立，即可得證.【詳解】（1）由可得，，即，所以，解得，（2）當時，，,當時，，綜上，由可得遞增，，時；所以，綜上：故.【點睛】本題主要考查了遞推數列求通項公式，利用放縮法證明不等式，涉及等比數列的求和公式，屬于難題.18、（1）（）；（2）【解析】

（1）由已知，曲線的參數方程消去t后，要注意x的范圍，再利用普通方程與極坐標方程的互化公式運算即可；（2）設，，由（1）可得，，相加即可得到證明.【詳解】（1），∵，∴，∴，由題可知：，：（）.（2）因為，設，，則，，.【點睛】本題考查參數方程、普通方程、極坐標方程間的互化，考查學生的計算能力，是一道容易題.19、（1）見解析；（2）見解析．【解析】分析：（1）先證明，再證明FG//平面PBD.（2）先證明平面，再證明BD⊥FG．詳解：證明：（1）連結PE，因為G.、F為EC和PC的中點，，又平面，平面，所以平面（II）因為菱形ABCD，所以，又PA⊥面ABCD，平面，所以，因為平面，平面，且，平面，平面，∴BD⊥FG.點睛：（1）本題主要考查空間位置關系的證明，意在考查學生對這些基礎知識的掌握水平和空間想象轉化能力.(2)證明空間位置關系，一般有幾何法和向量法，本題利用幾何法比較方便.20、（1）點M的軌跡C的方程為，軌跡C是以，為焦點，長軸長為4的橢圓（2）【解析】

（1）設，根據可求得，代入圓的方程可得所求軌跡方程；根據軌跡方程可知軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓；（2）設，與橢圓方程聯立，利用求得；利用韋達定理表示出與，根據平行四邊形和向量的坐標運算求得，消去后得到軌跡方程；根據求得的取值范圍，進而得到最終結果.【詳解】（1）設，則由知：點在圓上點的軌跡的方程為：軌跡是以，為焦點，