2025屆廣東省陽江市陽東廣雅中學高三第一次（4月）月考數學試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．數列的通項公式為．則“”是“為遞增數列”的（）條件．A．必要而不充分 B．充要 C．充分而不必要 D．即不充分也不必要2．函數的一個零點在區間內，則實數a的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知是雙曲線的左右焦點，過的直線與雙曲線的兩支分別交于兩點（A在右支，B在左支）若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．4．已知函數，，則的極大值點為()A． B． C． D．5．如圖是一個算法流程圖，則輸出的結果是（）A． B． C． D．6．已知命題：R，；命題：R，，則下列命題中為真命題的是（）A． B． C． D．7．已知拋物線：，直線與分別相交于點，與的準線相交于點，若，則（）A．3 B． C． D．8．已知實數，滿足，則的最大值等于()A．2 B． C．4 D．89．已知函數的一條切線為，則的最小值為（）A． B． C． D．10．第七屆世界軍人運動會于2019年10月18日至27日在中國武漢舉行，中國隊以133金64銀42銅位居金牌榜和獎牌榜的首位.運動會期間有甲、乙等五名志愿者被分配到射擊、田徑、籃球、游泳四個運動場地提供服務，要求每個人都要被派出去提供服務，且每個場地都要有志愿者服務，則甲和乙恰好在同一組的概率是（）A． B． C． D．11．已知正三棱錐的所有頂點都在球的球面上，其底面邊長為4，、、分別為側棱，，的中點.若在三棱錐內，且三棱錐的體積是三棱錐體積的4倍，則此外接球的體積與三棱錐體積的比值為（）A． B． C． D．12．設分別為的三邊的中點，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列中，為其前項和，，，則_________，_________.14．已知為橢圓上的一個動點，，，設直線和分別與直線交于，兩點，若與的面積相等，則線段的長為______.15．已知集合，其中，.且，則集合中所有元素的和為_________.16．已知內角，，的對邊分別為，，．，，則_________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）若養殖場每個月生豬的死亡率不超過，則該養殖場考核為合格，該養殖場在2019年1月到8月養殖生豬的相關數據如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月7月8月月養殖量/千只33456791012月利潤/十萬元3.64.14.45.26.27.57.99.1生豬死亡數/只293749537798126145（1）從該養殖場2019年2月到6月這5個月中任意選取3個月，求恰好有2個月考核獲得合格的概率；（2）根據1月到8月的數據，求出月利潤y（十萬元）關于月養殖量x（千只）的線性回歸方程（精確到0.001）.（3）預計在今后的養殖中，月利潤與月養殖量仍然服從（2）中的關系，若9月份的養殖量為1.5萬只，試估計：該月利潤約為多少萬元？附：線性回歸方程中斜率和截距用最小二乘法估計計算公式如下：，參考數據：.18．（12分）某房地產開發商在其開發的某小區前修建了一個弓形景觀湖．如圖，該弓形所在的圓是以為直徑的圓，且米，景觀湖邊界與平行且它們間的距離為米．開發商計劃從點出發建一座景觀橋（假定建成的景觀橋的橋面與地面和水面均平行），橋面在湖面上的部分記作．設．（1）用表示線段并確定的范圍；（2）為了使小區居民可以充分地欣賞湖景，所以要將的長度設計到最長，求的最大值．19．（12分）設函數，.（1）求函數的極值；（2）對任意，都有，求實數a的取值范圍.20．（12分）如圖，三棱錐中，（1）證明：面面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）2019年是中華人民共和國成立70周年．為了讓人民了解建國70周年的風雨歷程，某地的民調機構隨機選取了該地的100名市民進行調查，將他們的年齡分成6段：，，…，，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）現從年齡在，，內的人員中按分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機選取3人進行座談，用表示年齡在）內的人數，求的分布列和數學期望；（2）若用樣本的頻率代替概率，用隨機抽樣的方法從該地抽取20名市民進行調查，其中有名市民的年齡在的概率為．當最大時，求的值．22．（10分）已知橢圓與x軸負半軸交于，離心率.（1）求橢圓C的方程；（2）設直線與橢圓C交于兩點，連接AM,AN并延長交直線x=4于兩點，若，直線MN是否恒過定點，如果是，請求出定點坐標，如果不是，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據遞增數列的特點可知，解得，由此得到若是遞增數列，則，根據推出關系可確定結果.【詳解】若“是遞增數列”，則，即，化簡得：，又，，，則是遞增數列，是遞增數列，“”是“為遞增數列”的必要不充分條件．故選：.【點睛】本題考查充分條件與必要條件的判斷，涉及到根據數列的單調性求解參數范圍，屬于基礎題.2、C【解析】

顯然函數在區間內連續,由的一個零點在區間內,則,即可求解.【詳解】由題,顯然函數在區間內連續,因為的一個零點在區間內,所以,即,解得,故選:C【點睛】本題考查零點存在性定理的應用,屬于基礎題.3、D【解析】

根據雙曲線的定義可得的邊長為，然后在中應用余弦定理得的等式，從而求得離心率．【詳解】由題意，，又，∴，∴，在中，即，∴．故選：D．【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關鍵是應用雙曲線的定義把到兩焦點距離用表示，然后用余弦定理建立關系式．4、A【解析】

求出函數的導函數，令導數為零，根據函數單調性，求得極大值點即可.【詳解】因為，故可得，令，因為，故可得或，則在區間單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，故的極大值點為.故選：A.【點睛】本題考查利用導數求函數的極值點，屬基礎題.5、A【解析】

執行程序框圖，逐次計算，根據判斷條件終止循環，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，執行上述的程序框圖：第1次循環：滿足判斷條件，；第2次循環：滿足判斷條件，；第3次循環：滿足判斷條件，；不滿足判斷條件，輸出計算結果，故選A．【點睛】本題主要考查了循環結構的程序框圖的結果的計算與輸出，其中解答中執行程序框圖，逐次計算，根據判斷條件終止循環是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．6、B【解析】

根據，可知命題的真假，然后對取值，可得命題的真假，最后根據真值表，可得結果.【詳解】對命題：可知，所以R，故命題為假命題命題：取，可知所以R，故命題為真命題所以為真命題故選：B【點睛】本題主要考查對命題真假的判斷以及真值表的應用，識記真值表，屬基礎題.7、C【解析】

根據拋物線的定義以及三角形的中位線，斜率的定義表示即可求得答案.【詳解】顯然直線過拋物線的焦點如圖，過A,M作準線的垂直，垂足分別為C，D，過M作AC的垂線，垂足為E根據拋物線的定義可知MD=MF，AC=AF，又AM=MN，所以M為AN的中點，所以MD為三角形NAC的中位線，故MD=CE=EA=AC設MF=t，則MD=t，AF=AC=2t，所以AM=3t，在直角三角形AEM中，ME=所以故選：C【點睛】本題考查求拋物線的焦點弦的斜率，常見于利用拋物線的定義構建關系，屬于中檔題.8、D【解析】

畫出可行域，計算出原點到可行域上的點的最大距離，由此求得的最大值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，其中，由于,，所以，所以原點到可行域上的點的最大距離為.所以的最大值為.故選：D【點睛】本小題主要考查根據可行域求非線性目標函數的最值，考查數形結合的數學思想方法，屬于基礎題.9、A【解析】

求導得到，根據切線方程得到，故，設，求導得到函數在上單調遞減，在上單調遞增，故，計算得到答案.【詳解】，則，取，，故，.故，故，.設，，取，解得.故函數在上單調遞減，在上單調遞增，故.故選：.【點睛】本題考查函數的切線問題，利用導數求最值，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.10、A【解析】

根據題意，五人分成四組，先求出兩人組成一組的所有可能的分組種數，再將甲乙組成一組的情況，即可求出概率.【詳解】五人分成四組，先選出兩人組成一組，剩下的人各自成一組，所有可能的分組共有種，甲和乙分在同一組，則其余三人各自成一組，只有一種分法，與場地無關，故甲和乙恰好在同一組的概率是.故選：A.【點睛】本題考查組合的應用和概率的計算，屬于基礎題.11、D【解析】

如圖，平面截球所得截面的圖形為圓面，計算，由勾股定理解得，此外接球的體積為，三棱錐體積為，得到答案.【詳解】如圖，平面截球所得截面的圖形為圓面.正三棱錐中，過作底面的垂線，垂足為，與平面交點記為，連接、.依題意，所以，設球的半徑為，在中，，，，由勾股定理：，解得，此外接球的體積為，由于平面平面，所以平面，球心到平面的距離為，則，所以三棱錐體積為，所以此外接球的體積與三棱錐體積比值為.故選：D.【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，三棱錐體積，球體積，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.12、B【解析】

根據題意,畫出幾何圖形,根據向量加法的線性運算即可求解.【詳解】根據題意,可得幾何關系如下圖所示:,故選:B【點睛】本題考查了向量加法的線性運算,屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8（寫為也得分）【解析】

由，得，.當時，，所以，所以的奇數項是以1為首項，以2為公比的等比數列；其偶數項是以2為首項，以2為公比的等比數列.則，.14、【解析】

先設點坐標，由三角形面積相等得出兩個三角形的邊之間的比例關系，這個比例關系又可用線段上點的坐標表示出來，從而可求得點的橫坐標，代入橢圓方程得縱坐標，然后可得．【詳解】如圖，設，，，由，得，由得，∴，解得，又在橢圓上，∴，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查直線與橢圓相交問題，解題時由三角形面積相等得出線段長的比例關系，解題是由把線段長的比例關系用點的橫坐標表示．15、2889【解析】

先計算集合中最小的數為，最大的數，可得，求和即得解.【詳解】當時，集合中最小數；當時，得到集合中最大的數；故答案為：2889【點睛】本題考查了數列與集合綜合，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.16、【解析】

利用正弦定理求得角B，再利用二倍角的余弦公式，即可求解.【詳解】由正弦定理得，，．故答案為：.【點睛】本題考查了正弦定理求角，三角恒等變換，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）利潤約為111.2萬元.【解析】

（1）首先列出基本事件，然后根據古典概型求出恰好兩個月合格的概率；（2）首先求出利潤y和養殖量x的平均值，然后根據公式求出線性回歸方程中的斜率和截距即可求出線性回歸方程；（3）根據線性回歸方程代入9月份的數據即可求出9月利潤.【詳解】（1）2月到6月中，合格的月份為2，3，4月份，則5個月份任意選取3個月份的基本事件有，，，，，，，，，，共計10個，故恰好有兩個月考核合格的概率為；（2），，，，故；（3）當千只，（十萬元）（萬元），故9月份的利潤約為111.2萬元.【點睛】本題主要考查了古典概型，線性回歸方程的求解和使用，屬于基礎題.18、（1），；（2）米.【解析】

(1)過點作于點再在中利用正弦定理求解,再根據求解,進而求得.再根據確定的范圍即可.(2)根據(1)有,再設,求導分析函數的單調性與最值即可.【詳解】解：過點作于點則,在中,,,由正弦定理得：,,,,,因為,化簡得,令,,且,因為,故令即,記,當時,單調遞增；當時,單調遞減,又,當時,取最大值,此時,的最大值為米．【點睛】本題主要考查了三角函數在實際中的應用,需要根據題意建立角度與長度間的關系,進而求導分析函數的單調性,根據三角函數值求解對應的最值即可.屬于難題.19、（1）當時，無極值；當時，極小值為；（2）.【解析】

（1）求導，對參數進行分類討論，即可容易求得函數的極值；（2）構造函數，兩次求導，根據函數單調性，由恒成立問題求參數范圍即可.【詳解】（1）依題，當時，，函數在上單調遞增，此時函數無極值；當時，令，得，令，得所以函數在上單調遞增，在上單調遞減.此時函數有極小值，且極小值為.綜上：當時，函數無極值；當時，函數有極小值，極小值為.（2）令易得且，令所以，因為，，從而，所以，在上單調遞增.又若，則所以在上單調遞增，從而，所以時滿足題意.若，所以，，在中，令，由（1）的單調性可知，有最小值，從而.所以所以，由零點存在性定理：，使且在上單調遞減，在上單調遞增.所以當時，.故當，不成立.綜上所述：的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導數研究含參函數的極值，涉及由恒成立問題求參數范圍的問題，屬壓軸題.20、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）取中點，連結，證明平面得到答案.（2）如圖所示，建立空間直角坐標系，為平面的一個法向量，平面的一個法向量為，計算夾角得到答案.【詳解】（1）取中點，連結，，，，，為直角，，平面，平面，∴面面.（2）如圖所示，建立空間直角坐標系，則，可取為平面的一個法向量.設平面的一個法向量為.則，其中，，不妨取，則..為銳二面角，∴二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了面面垂直，二面角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.21、（1）分布列見解析,（1）【解析】

（1）根據頻率分布直方圖及抽