PAGEPAGE37倒立擺系統控制中PID和LQR控制的參數調整研究目錄摘要 I第一章緒論 11.1研究背景及意義 11.2研究現狀 1第二章相關概述 32.1PID控制器概述 32.2PID的控制規律 42.3PID調節器 52.3.1比例調節 52.3.2積分調節 52.3.3微分調節 62.4lqr控制系統概述 72.5極點配置的提出 82.5.1期望極點的選擇 82.5.2極點配置需要注意的問題 92.6本章小結 9第三章倒立擺系統及其數學模型 103.1系統組成 103.1.1倒立擺的組成 103.1.2電控箱 113.1.3其它部件圖 113.1.4倒立擺特性 113.2模型的建立 123.2.1微分方程的推導 123.2.2傳遞函數 143.2.3狀態空間結構方程 153.2.4實際系統模型 173.2.5采用MATLAB語句形式進行仿真 183.3根據極點配置法確定反饋系數 193.4LQR控制器的設計 223.4.1建立模型及分析 223.4.2穩定性分析 233.4.3倒立擺能控性能分析 243.4.4系統調試和結果分析 243.5本章小結 26第四章基于SIMULINK的并聯倒立擺系統仿真 274.1PID控制器的設計 274.2PID控制器設計MATLAB仿真 294.3本章小結 33結語 34參考文獻 35摘要倒立擺系統的不穩定，多變量，非線性和強高階耦合特性已經成為許多現代控制理論研究者的研究課題。通過對倒立擺控制方法的研究，我們將發現新的控制方法，并將其應用于航空航天工程和機器人技術等各種高科技領域。在本文中，我們主要了解線性倒立擺系統的運行機理，建立數學模型，設計倒立擺控制系統，研究如何設計倒立擺PID控制，極性配置控制和LQR控制系統，并提供有效的控制方法。使用SIMULINK軟件進行仿真實驗，最終實現對倒立擺的穩定控制。在本文中，我們首先總結了倒立擺系統自動控制的發展和研究現狀，提出了倒立擺系統的硬件配置，對單級倒立擺模型進行建模，分析了其穩定性，以及各種倒立擺。通過基于倒立擺系統和SIMULINK的單獨結構，我們進行了許多仿真研究，并比較了不同控制方法的效果。在固高科技的實時控制軟件實驗平臺MATLAB的幫助下，使用設計的控制方法實現單級倒立擺系統。實時控制通過在線調整參數和突發干擾來研究實時性能和抗干擾性能。本文進行了總結，并為下一步的研究提供了一些反饋。關鍵詞：倒立擺；PID；SIMULINK第一章緒論1.1研究背景及意義隨著控制理論，計算機技術和信息技術的飛速發展，許多新的理論和控制算法不斷涌現，倒立擺系統也逐漸用于測試控制方法的有效性。通過不斷的研究和擴展，倒立擺系統已經從一個平面演化為兩個，三個，四個或更多平面，并且已經開發了幾種倒立擺，包括平面倒立擺，平行倒立擺和圓形倒立擺。倒立擺系統由于其結構簡單，成本低廉，由此可以推斷易于調整物理結構和參數而在工業和航空航天控制系統中具有廣泛的應用AA。所有理論研究都必須符合現實生活的要求。倒立擺系統也是如此。他的理論工作具有重要的工業，軍事和經濟意義。30年前在美國推出了第一臺機器人，但該機器人的步態控制技術尚未完全解決。他的站立和行走類似于雙倒立擺系統，對火箭和衛星也非常有效。倒立擺系統還用于控制飛機的姿態，消除振動并提高偵察衛星皮膚照片的質量。倒立擺系統在軍事，航空航天，機器人技術和一般工業中起著重要作用，從前文總結來看因此它們在倒立擺的研究中具有重要的意義和價值（顧曉峰，王雪莉，2023）。倒立擺系統在我國乃至世界工業應用中都具有重要的理論研究意義。研究倒立擺系統的重要性不僅由于階段數的增加而難以控制，而且由于其自身的復雜性，不穩定性和非線性特性而難以控制。然后，它探索并擴展了新的理論和方法，并將其應用于新的控制對象，以提供更好的實驗理論和平臺（賀俊豪，萬澤楷，2021）。這將是機器人直立行走和航天器平穩飛行控制的突破。因此，它對我國乃至世界航空技術的發展具有重要的理論和實踐意義，具有廣闊的研究前景。1.2研究現狀當今世界對倒立擺的研究主要集中在倒立擺系統的穩定性控制和倒立擺自啟動擺控制方面的研究。早期研究比兩者更重要。目前關于倒立擺的研究主要集中在亞洲，例如北京師范大學，東京大學等。此外，俄羅斯的圣彼得堡國立大學，美國的東佛羅里達大學，俄羅斯的科學院，波蘭的波茲南理工大學和意大利的佛羅倫薩大學繼續在這一領域學習（雷浩然，章子涵，2021）。近年來，已經發布了各種新的倒立擺，但是沒有多少制造商可以獨立設計和制造倒立擺裝置。目前，國內大學基本上使用香港GoGo和加拿大Quanter制造的系統。基于前述分析得出近年來，鄭州微納技術有限公司還開發了微納技術倒立擺直線電機（周俊馳，吳雅茹，2021）。在中國，我國在1980年代對倒立擺的研究主要集中在中國的北京師范大學，北京的航空天文大學和中國的科技大學。這些大學是日本倒立擺系統研究的主要場所。目前，中國大學使用的倒立擺研究系統主要由香港的Gogo公司和加拿大的Quanser公司生產（謝逸辰，孫軒，2020）。在多重因素作用下中國大學倒立擺系統的研究人員從一開始就做了很多研究。經過不斷的努力，國內對倒立擺系統的研究在1980年代取得了長足的進步。在海外，麻省理工學院是第一所研究倒立擺系統的大學。對倒立擺的研究早在1950年代就開始了。美國專家已經根據火箭發射器的助推原理開發了一種主要的倒立擺實驗裝置（高啟銘，陳景云，2019）。1966年，Schacfer和Cannon使用BangBang控制理論將曲軸穩定在倒立位置。面臨當前狀況在1960年代后期，人們提出了倒立擺作為不穩定性和非線性的經典例子。1970年，Luenbcrger和Bryon首次提出，可以使用觀察者的重鉤系統的狀態來實現對倒立擺的穩定控制。自從1960年代提出倒立擺的概念以來，倒立擺的概念已被用于評估控制方法控制非線性系統，不穩定性和速度系統的能力，并且在世界范圍內產生了巨大影響（陳逸飛，劉俊杰，2021）。

第二章相關概述2.1PID控制器概述傳統的PID控制是最早開發的控制策略之一。由于其算法簡單，易于設置，魯棒性和可靠性，常用于工業控制。當前，大多數工業物體的動力學特性尚未完全理解，并且無法獲得準確的數學模型。這反映了真實情況很難滿足控制理論分析的要求。確定系統參數通常需要依賴現場調試和經驗(馮昊然，張靜怡,2021)。我們已經充分展示了其功能。因此，該應用程序是持久的，已開發的，并且具有更廣泛的范圍。這仍然是最基本的控制算法之一。由比例，積分和微分控制策略形成的補償器通常用作工業自動化設備的系統控制。隨著計算機進入控制領域，使用數字計算機代替模擬計算機控制器來形成計算機控制系統。不僅可以使用軟件來實現PID控制算法，這在某種程度上傳達還可以使用計算機的邏輯功能來創建它們。PID控制變得更加靈活。在控制研究誤差方面，本文實施了一系列嚴格的方法和程序，以確保數據的準確性和研究結果的可靠性。本文對研究方案進行了周密的設計，并對可能引入誤差的各種因素進行了全面的分析和評估，包括環境因素、操作者差異和數據精度等。通過采用標準化的操作流程和精確的技術手段，本文確保了數據的一致性和實驗的可重復性。為了進一步提高數據的質量，本文還采用了雙重數據錄入和交叉驗證的方法，從而有效避免了由于人為錯誤或輸入失誤所導致的數據偏差。數字PID控制是制造過程中最常見的控制方法之一(馬若昕,陳正昊,2017)。偏差比例，積分和導數的線性組合形成用于調整受控對象的控制變量。因此，這稱為PID控制。當今的自動控制技術基于反饋的概念。反饋理論的要素包括三個部分：測量，比較和執行。測量感興趣的變量，將其與期望值進行比較，這在某種程度上反映然后使用此誤差來校正和調整控制系統的響應(韓天翔、馮澤凡、陸佳福,2023)。應用此理論和自動控制的關鍵是在正確的測量和比較之后更好地校準系統。比例積分微分（PID）控制作為最早的實際控制器已有70多年的歷史，并且仍然是使用最廣泛的工業控制器（房昭然，屠靜姝，2024）。PID控制簡單易懂，不需要精確的系統模型或其他要求。因此，這是使用最廣泛的法規。PID控制由比例單元（P），積分單元（I）和微分單元（D）組成。輸入e（t）和輸出u（t）之間的關系如下(成紫萱，陳雪倩，陳俊天,2022)。（2.1）因此它的傳遞函數為：（2.2）2.2PID的控制規律PID控制是通過對偏差信號執行比例，積分和微分運算而形成的控制律。在模擬控制系統中，某方面表明控制器最常用的控制規則是PID控制。模擬PID控制系統的框圖如圖2.1所示(何春暉,唐文博,2021)。該系統由一個模擬PID控制器和受控對象組成。圖2.1模擬PID控制系統原理框圖PID控制器是一個線性控制器，根據指定值rin（t）和實際輸出值youout（t）表示控制偏差error（t）=rin（t）-yout（t）PID的控制規律為(陸婉倩,黃昊忠,2021)：（2.3）也可以寫成傳遞函數的形式（2.4）其中，—比例系數，—積分時間常數；—微分時間常數。依托前期成果可以推導出換句話說，PID控制器的每個校準連接的功能如下：①比例鏈接：控制系統錯誤信號錯誤（t）按比例反映。當出現偏差時，控制器立即產生控制效果以減小偏差（溫嘉銘，蘇曉月，2022）。②集成鏈接：主要用于消除靜態錯誤并提高系統的無錯誤度。積分作用的強度取決于積分時間常數。積分效應越大，積分效應越弱，反之亦然。③微分環節：反映偏差信號的變化趨勢（變化率），這在某種程度上印證了并在偏差信號過大之前將有效的早期校正信號引入系統，從而加快了系統的運行速度并縮短了設置時間。正常運行時間（趙鵬，錢程遠，2024）。本文對前述結論的驗證暫不深入探討，時間因素在此扮演了關鍵角色。科學探索往往是一場馬拉松，特別是在面對錯綜復雜或全新領域的問題時，必須投入充足的時間來觀察、分析并確保結論的可靠性。盡管本研究已取得了一些初步發現，但要徹底驗證所有結論，仍需長時間的追蹤研究和多次實驗。這樣的做法不僅能夠減少偶然性的影響，還能增強研究結果的可信度和廣泛適用性。同時，技術手段的進步也在不斷推動結論驗證的邊界，隨著新工具和技術的出現，科學研究獲得了更多的探索途徑。2.3PID調節器2.3.1比例調節比例調節器的微分方程為（2.8）該式中為調節器的輸出，為調節器的輸入，，為比列系數。從上面的方程式中，我們可以看到控制器的輸出與輸入偏差成正比。只要存在偏差，它就可以隨時間產生比例調節效果。由此可以推斷它具有及時調整的功能。同時，比例調整可以減少系統穩態誤差。它是最基本的調整律。圖2.3顯示了比率設置的階躍響應特性(陳夢琪,楊婷婷,2020)。為了驗證和修正理論框架，本文獲取了豐富且詳細的數據資料。這些數據不僅覆蓋了廣泛的研究對象，還跨越了不同的時間點和社會背景，從而為理論框架的全面驗證提供了強有力的支持。通過統計分析工具對量化的數據進行處理，可以有效地檢驗原理論框架中的各項假設，并發現其中存在的不足之處。后續研究會考慮引入更多的變量或使用更大規模的樣本，以進一步提升理論框架的解釋力和預測能力。比例調節效果的大小不僅取決于偏差，而且還主要取決于比例系數。比例因子越大，調節效果越強，動態特性越好。相反，放大率越低，調節效果越弱。對于大多數慣性連接，過度的振動會引起振動并使系統不穩定(周志遠，劉夢瑤,2022)。圖2.3比例調節階躍響應特性曲線2.3.2積分調節所謂積分效應是指控制器的輸出與輸入偏差的積分成比例。這就是積分方程的作用。（2.9）積分時間常數表示積分度(肖浩宇,陳欣怡,2022)。積分越大，積分速度越慢，積分強度越弱。相反，積分速度越慢，積分效應越強，從前文總結來看積分效應的響應特性如圖2.4所示。積分運算的一個特點是控制器的輸出與偏差時間有關。只要存在偏差，輸出就會隨著時間的推移而繼續上升，并且控制器的輸出只會發生變化，偏差也會消失。因此，積分作用可以消除靜態誤差。本文的框架模型建立在現有理論基礎之上，無論是在信息流動還是數據分析方法上，都體現了對前人研究成果的尊重與繼承，并在此基礎上進行了創新與發展。首先，在信息流動的設計方面，本文借鑒了經典的信息處理理論，確保信息從采集、傳輸到分析的每一個環節都能夠高效且準確地進行。通過對數據來源的嚴格篩選和標準化處理流程，使得信息的質量得到了有效保障，從而也能夠更好地注重信息流動的透明度與可追溯性。在多重因素作用下這是主要優點(孫怡萱,李晨翔,2021)。但是，從圖2.4中可以看到，積分作用非常慢（與比例控制相比，只要有偏差，它的反應就會很快），并且當發生偏差時，控制器功能將變得非常弱并且會產生干擾。的時間效應大，設置參數的臨時偏差大，設置過程大。因此，很少單獨使用它(路遙遙,楚云,2023)。圖2.4積分調節階躍響應曲線2.3.3微分調節上面提到的I控制規則可以消除靜態錯誤，是一種廣泛使用的控制規則。但是，如果要控制的慣性較大，面臨當前狀況則使用I設置將無法獲得良好的調節質量。此時，如果對控制器增加了微分作用，則如果剛剛發生偏差且偏差值不大，則根據偏差變化的趨勢（變化率）而增加(梁俊杰,馬慧敏,2019)。這反映了真實情況為了盡可能減小偏差，預先給出了調節效果。及時的適應可以顯著減少系統動態偏差和適應時間，從而提高過程的動態質量。微分方程為(趙澤宇,王瑤瑤,2022)：（2.10）為微分時間常數，越大微分作用越強，越小微分作用越弱。微分作用響應曲線，如圖2.5所示圖2.5微分調節階躍應特性曲線2.4lqr控制系統概述LQR控制器是使用線性二階最優控制原理開發的控制器。它的工作是在系統狀態出于某種原因偏離平衡時，使系統狀態的組成部分更接近于平衡，而不會消耗過多的能量。線性二次最優控制系統可以是線性或線性的，這在某種程度上傳達并且性能指標是狀態變量和控制變量的二次函數的積分(丁思遠,吳梓涵,2021)。在選擇數據分析方法時，本文不僅運用了傳統的統計工具，如描述性統計和回歸分析，還融入了近年來快速發展的數據挖掘技術和算法。例如，通過聚類分析來發現數據中的潛在模式，或利用決策樹算法預測未來趨勢。這些先進的方法為深入理解復雜現象提供了強有力的支持，并有助于揭示隱藏在海量數據背后的深層次關系。此外，本文還特別強調了混合方法的應用，即將定量研究與定性研究相結合，以獲得更加全面的研究視角。線性二次最優控制LQR的基本原理如下：確定下列最佳控制向量的矩陣K：使得性能指標達到最小值：式中：Q為正定（或正半定）厄米特或實對稱陣R為正定厄米特或實對稱陣下面是最優控制LQR控制原理圖(程思遠,魏雨萱,2019)：圖2.6LQR控制原理圖考慮到稅收能源的損失，我們在等式的右端引入了第二項。矩陣Q和R確定誤差和能量損耗的相對重要性(譚家輝,肖美琳,2023)。假設控制向量u（t）是不受約束的。對線性系統：這在某種程度上反映根據預期的性能指標選擇Q和R，并使用MATLAB命令lqr獲得反饋矩陣K的值。通過更改Q表的值，可以獲得不同的反應效果。Q值（在某個范圍內）越大，系統可以承受的干擾就越大，響應時間越短。但是Q不能太大(錢浩宇,孫婉萱,2023)。2.5極點配置的提出各種動力學或定性指標的特性取決于系統極性的大小。所謂的支柱問題是，通過選擇K矩陣狀態反饋，閉合系統的特征根將指向列的所需位置。由于期望的極是任意的，因此電極的布置也應該是任意的(趙云鵬,林雅婷,2021)。實際上，經典控制理論中使用的整體方法，某方面表明無論是根搜索方法還是頻率方法，本質上都是一個極點問題。為了豐富數據來源，本文的研究結合使用了問卷調查、直接對話和歷史文檔評估等方式，旨在全方位覆蓋數據需求。通過對這些材料的深入剖析，本文不僅驗證了初始假設，還洞察到了數據背后的關系網絡。然而，面對已有的成果，本文并不滿足，期待后續研究能夠在樣本選擇、技術應用和理論深化等方面有所創新。從極點放置問題的定義可以看出，實際的極點選擇是確定總體目標時遇到的問題，也是一個首先需要考慮的復雜問題(張一鳴,李梓萱,2022)。2.5.1期望極點的選擇選取極點時所遵循的原則如下：對于尺寸控制系統，可以并且必須定義所需的支柱。所需的列可以是數字或復數，但是如果以復數形式給出，則它必須以復數共軛形式出現，即物理訪問。為了選擇所需的支柱，有必要從工程性能的角度檢查并選擇它們對系統質量的影響以及它們與零點分布的關系。選擇所需的列時，還必須考慮干擾抑制和低靈敏度的要求，即，它應該能夠抑制強干擾和對系統參數變化的低靈敏度。綜合而言，需要解決柱狀化的理論和方法問題。2.5.2極點配置需要注意的問題使用極點配置方法時，要注意的問題(董波濤,余曼,2021)：（1）全面的狀態系統控制是解決方案的必要和充分要求。（2）所需的關閉功能應更改為Z平面中的極點位置。（3）從理論上講，選擇響應可以使系統快速響應。通過提高響應效率，可以增加系統頻率，并可以加快系統響應速度。但是，依托前期成果可以推導出當存在一些本領域無法實現的誤差信號時，過多的反饋將導致控制信號無限增大。因此，需要考慮實現結果的物理可行性(李浩文,黃天琪,2021)。（4）如果系統命令較高，則可以使用Ackerman公式由計算機解決。2.6本章小結本文主要介紹PID控制和PID控制的概念，并從比例控制，控制模式和對比度控制方面對PID控制器進行專門研究。然后分析了lqr控制系統及極點配置。

第三章倒立擺系統及其數學模型3.1系統組成倒立擺系統由三部分組成：強制擺體，控制柜和控制系統。控制平臺由一個控制卡和一臺普通計算機組成。系統框圖如圖3.1所示(王子晨,張志宇,2021)。圖3.1倒立擺系統框圖3.1.1倒立擺的組成電機通過帶齒的皮帶驅動游行隊伍，以使其向后移動，并通過一個滑動區域來保持擺帶的平衡。方向盤的電動機輸入和返回角（線性和角位移）和方向盤的運動圖，如圖3.2所示(吳思婷,龔宇陽,2019)。圖3.2小車—并聯倒立擺的模型示意圖3.1.2電控箱電控箱內安裝有如下主要部件：交流伺服驅動器I/O接口板開關電源開關、指示燈等電氣元件3.1.3其它部件圖①電機這在某種程度上印證了強制擺中使用的電動機是日本松下公司提供的緊湊型電動機（MSMA系列，200W）。電機配備了特殊的驅動器。②編碼器倒立擺系統使用光電編碼器，其工作原理是：使用特殊的格柵板作為移動檢測元件，格柵板的格柵頂部之間的距離約為0.5mm(陳建業,張欣怡,2020)。編碼器內部有兩個照明組件和一個聚焦透鏡。發出的光會聚在鏡頭上，然后從一個小孔發出，在編碼器下方的柵格板上發光，然后反射回編碼器中。由此可以推斷當柵格板上的編碼器旋轉時，由于柵格板上的明暗條紋的反射光發生了變化，因此換能器中的反射光將反射光的強度轉換為電脈沖，因此可以通過以下方式測量運動：脈沖距離(郭雨欣，劉思遠,2017)。通過總結現有階段性的研究成果，本文可以為后續研究提供一定的指導。首先，在研究方法上，本文能夠發現一系列可以優化和改進的地方。先前的研究階段為本文提供了寶貴的經驗教訓，揭示了哪些方法是有效的，哪些需要進一步調整或摒棄。例如，在數據收集方面，本文可以更加注重樣本的多樣性和代表性，確保所選取的樣本能夠準確反映目標群體的整體特征。此外，針對不同的研究問題，靈活運用多種數據收集技術可以提高數據的全面性和可靠性。③控制卡倒立擺也使用Gogo提供的控制面板，型號為GT-400-SV。SV卡的功能是輸出類型可以是模擬電壓或脈沖電壓。此外，還使用了PID過濾，外部加速和預加速控制。通過設置和調整適當的參數，可以提高控制系統的速度和精度。3.1.4倒立擺特性盡管倒立擺具有不同的形狀和結構，但所有倒立擺都具有以下特征：①非線性倒立擺是一個復雜的非線性系統。實際上，可以通過一條直線獲得系統的近似模型，然后在一條直線之后對其進行控制。也可以通過非線性控制理論進行控制。不變擺的無線控制是活躍的，并且已經成為研究的焦點(曹陽波，何慧敏,2017)。②不確定性主要是模型誤差，機械傳遞間隙，各種電阻等。在實際控制中，通常會減少錯誤，例如減少錯誤。使用主要的后備力來減少皮帶或齒輪的傳動誤差，并減少滾珠阻力和其他不安全因素。③耦合性裝飾件的不同高度與運動模塊之間存在很強的相關性。當控制倒立擺時，在平衡點附近執行常規解碼計算，從前文總結來看而忽略一些較小的數學匹配量(曹文，何雨欣,2017)。④開環不穩定性倒立擺只有兩個相反的狀態，基于前述分析得出即向上和向下狀態。垂直向上的位置是一個真正不穩定的平衡點，垂直向上的位置是一個穩定的平衡點。⑤約束限制由于機構的限制，例如運動模塊的行程限制，電機的扭矩限制等。為了簡化生產并降低成本，擺結構和電動機功率必須盡可能小。行程極限對于橫向擺動尤為重要，并且更有可能間歇出現(曹明宇，何慧君,2022)。3.2模型的建立系統建模可以分為兩類：機械建模和實驗建模。實驗實驗包括添加研究人員用于研究對象的輸入信號，激活研究對象并通過傳感器捕獲其觀察到的輸出，以及使用數學方法建立系統的輸出關系。在多重因素作用下這包括設計和選擇輸入信號，確定正確的輸出信號，研究數學計算等等(曹天瑜，何慧妍,2022)。機制建模涉及根據對物理和化學的理解以及數學方法來確定系統的狀態。單擊研究對象的活動列表。倒立擺系統是一種自穩定系統，面臨當前狀況因此在仿真中存在一些困難。經過仔細假設，忽略了一些次要因素，強制擺系統是剛體運動系統，并且可以通過應用力學原理在慣性坐標系中建立系統的動力學方程。接下來，第一步中，我們將使用Newton-Euler方法構建線性擺系統的數學模型(郭思博,王子和,2020)。3.2.1微分方程的推導忽略空氣阻力和破損后，這反映了真實情況可以將強制擺系統排放為卡車和均勻木材組成的系統，如下圖3.4所示。讓我們做以下假設：運輸力M，m桿條質量，系數b車架fr，線l擺桿旋轉到重心，I擺桿慣性，F施加在車架上的力，x車架位置，φ桿擺和向上方向θ和鐘擺的向下方向。其中N和P是叉車和原木之間相互作用電壓的水平和垂直分量(孫宇翔,高雪琴,2020)。注意：在實際的強制擺系統中，這在某種程度上傳達檢測和動作設備的正向和負向是完美定義的，因此矢量方向的定義如圖2和3所示，所示方向是矢量的正方向：圖3.5顯示了系統中滑架和擺桿的力分析圖。分析電車在水平方向上的力，可以得到以下方程式：（3.1）通過分析擺桿的水平力，可以得到以下方程式：（3.2）將此等式代入上述方程式，即系統功能的第一個方程式：a（3.3）為了計算系統的第二運動方程，我們分析了在擺桿垂直方向上獲得的力，可以得到以下方程：即：（3.4）力矩平衡方程如下(陳浩然,李心怡,2020)：（3.5）方程中矩的方向，因為在方程的另一側有一個負信號。合并這兩個方程，然后減去P和N，即可得出兩個運動方程：（3.6）設（φ是假設φ的半徑比1（弧度的半徑）小，即φ<1，則擺桿與向上方向之間的角度為0，則可以執行以下近似處理：這在某種程度上反映用u表示控制對象的力F。在直線之后，兩個運動的方程式如下(孫玉婷,劉嘉琪,2022)：（3.7）3.2.2傳遞函數給定方程組（3.7）中的拉普拉斯變換（3.8）注意：接收傳輸時，初始條件被視為0。由于乘積是一個角度，因此求解給定方程（3.8）的第一個方程，我們可以得出（林澤遠,趙秋華,2022)：（3.9）代入方程組（3.8）的第二個方程：（3.10）整理后得到傳遞函數： （3.11）其中：3.2.3狀態空間結構方程某方面表明系統狀態空間方程為 （3.12）方程組（3.12）對解代數方程，得到解如下： （3.13）整理后得到系統狀態空間方程(李志遠，張心怡,2022)：（3.14）（3.15）由公式（3.7）的第一個方程為： （3.16）對于質量均勻分布的擺桿有： （3.17）于是可以得到： （3.18）化簡得到：（3.19）設，則有：（3.20）實際的系統模型如下(邵嘉偉，陳婉琳,2021)：M小車質量0.5Kgm擺桿質量0.2Kgb小車摩擦系數0.1N/m/secl擺桿轉動軸心到桿質心的長度0.25mI擺桿慣量0.006kg*m*mT采樣頻率0.005秒注意：在實際系統的MATLAB仿真期間，我們將采樣頻率更改為實際系統采樣頻率。在實際操作中，依托前期成果可以推導出我們檢查系統參數是否與實際系統匹配，否則我們將使用實際參數進行實驗。3.2.4實際系統模型把上述參數代入，可以得到系統的實際模型擺桿角度和小車位移的傳遞函數(費嘉偉，周婉琳,2021)：（3.21）擺角與三輪車加速度之間的傳遞函數為：（3.22）這在某種程度上印證了角度開關和輪椅上的外力的傳遞：（3.23）外力的系統方程是輸入：（3.24）以汽車加速度為輸入的狀態系統方程：（3.25）應當注意，在GoogolTechnology提供的所有控制設計和應用中，汽車的加速度都用作系統的組成部分。如果用戶需要使用轉矩控制方法，請參考以上內容，并以外力作為輸入方法(羅志杰，錢慧敏,2022)。3.2.5采用MATLAB語句形式進行仿真仿真程序如圖3.6所示圖3.6仿真曲線和結果如圖3.7和3.8所示。圖3.7系統數學模型仿真曲線圖3.8系統仿真系數3.3根據極點配置法確定反饋系數系統方程為由此可以推斷假定倒立擺桿/小車系統的參數如下(陳志遠，韓夢瑤,2022)：擺干的質量m=0.07kg長度2l=0.4m轉動慣量小車的質量M=1.32kg重力加速度g=10m/得到系統矩陣A和輸入矩陣B為矩陣A的特征值是方程的根：因此，該系統的特征根分別為根一半的實部為正，因此系統不是靜態的。可以看出，強制擺制保持不變。通過將狀態反饋應用于此不穩定的系統，可以將擺錘放置在穩定位置，將卡車放置在參考位置。在數據研究環節，已有研究的經驗提示本文要加強對新興分析工具和技術的應用。隨著信息技術的快速發展，諸如大數據分析、機器學習算法等先進工具正逐漸成為科學研究中的重要組成部分。這些技術不僅可以幫助本文更高效地處理海量數據，還能夠挖掘出傳統方法難以發現的深層次信息和模式。因此，在后續的研究中，本文應該積極探索如何將這些先進技術融入到本文的分析框架中，以提升研究結果的精確度和洞察力。在以狀態方程表示的系統中，由狀態響應創建的系統的特征值由表的特征值給出。基于前述分析得出系統穩定性的必要和充分條件是所有特征值必須位于復平面的左半部分。矩陣特征值是方程式的根：這是s的四次代數方程式，可表示為(楊文博,陳晨曦,2022)適當選擇反饋系數系數的特征值可以取得所希望的值。把四個特征根設為四次代數方程式的根，則有在多重因素作用下比較兩式有下列聯立方程式根據給出的實數和公軛復數的，則聯立方程式的右邊全部為實數。據此可求解出實數利用方程式可列出關于的方程組：求解后得即，控制力沿輪椅的水平方向散出u：上面列出的狀態意見控制器可以使系統在任何生產情況下都處于平衡狀態，也就是說，所有狀態變量都可以在零狀態下保持穩定。面臨當前狀況這意味著，無論是在原始狀態還是由于外部干擾，擺都會略微傾斜，或者輪椅會偏離基準位置。如果基于狀態反饋控制，則擺桿可以垂直站立并將支架固定在參考位置（賀俊豪，萬澤楷，2021）。相對平衡偏差的快速校正程度取決于特定字符根的值。這反映了真實情況通常，具有指定屬性的根在莖的左側。遠離源頭，執行控制更快。但是，責任需要更多的控制和敏感性。3.4LQR控制器的設計3.4.1建立模型及分析忽略空氣阻力和各種差異后，第一階段的橫向剝離系統可以忽略不計，該系統由卡車和均勻的原木組成。可以使用牛頓動力學方法建立逐步擺重定向系統的微分方程（雷浩然，章子涵，2021）：擺的平衡是為了使橫向擺的位置對角地豎立，因此，假設它的角度足夠小，則可以近似：，，用u表示控制對象的力F。直線之后，兩個方程如下：取狀態變量：即，擺角的角度和速度以及車輪的運動和速度的四個狀態變量。則系統的狀態方程為：這在某種程度上傳達用向量和矩陣形式寫上面的公式，它成為線系統狀態的方程：這里設：將參數帶入有：四個狀態量，，，它們代表位移，運輸速度，這在某種程度上反映桿角度和擺桿角速度，輸出包括滑動位置和擺桿角度。控制器的設計使得當在系統中施加一個臺階時，桿將下降然后返回到垂直位置，以便車輛可以到達所需的固定位置（周俊馳，吳雅茹，2021）。假設可以實現全狀態反饋（可以測量所有四個狀態），某方面表明請找到控制反饋控制規則的向量K并使用MATLAB中的lqr函數來獲得與控制最對應的K。通過lqr函數，可以選擇兩個參數R和Q，并且可以通過它們平衡輸入音量和條件音量的脈沖（謝逸辰，孫軒，2020）。3.4.2穩定性分析實驗擺系統的分步分析第一步。停車動作的響應曲線和擺的角度如下圖所示：圖3.9小車位移和擺桿角度階躍響應曲線從圖中可以看出，三輪車的運動和擺的角度是不同的，因此變化的擺系統是不穩定的。3.4.3倒立擺能控性能分析系統的可控制性是控制器設計的基本要求。從M控制表中，使用MATLAB可以獲得Rank（M）=4，因此可以完全控制系統（高啟銘，陳景云，2019）。3.4.4系統調試和結果分析根據項目設計的結果，依托前期成果可以推導出當Q11=1和Q33=1時，K=[-1-1.785525.4224.6849]。此時，系統響應曲線如下圖所示：圖3.10系統的響應曲線從圖中可以看出，響應控制是拐杖，但是穩定時間和增益時間太長，電車的軌道不跟隨輸入，而是沿相反的方向移動。如果減少沉降時間和上升時間，則可以看到，在Q矩陣中，這在某種程度上印證了過增加Q11可以縮短沉降時間和上升時間，并且擺的旋轉角度減小。這里我們取Q11=5000，Q33=100，我們可以得到K=[-70.7107-38.1782110.804920.3521]，系統響應曲線如下（陳逸飛，劉俊杰，2021）：圖3.11系統的響應曲線由此可以推斷簡而言之，將Q11和Q33添加到Q矩陣可以降低系統的穩定性和上升時間，同時減少擺錘的控制和角旋轉。3.5本章小結本章主要介紹倒立擺系統及其數學模型，分析交替擺系統的組成部分，并在第一步中應用牛頓-歐拉方法確定線性擺系統的數學模型。他創建的系統模型由MATLAB仿真。

第四章基于SIMULINK的并聯倒立擺系統仿真4.1PID控制器的設計首先，對于倒立擺系統，從前文總結來看輸出是擺桿的角度，其頂點位置是垂直的。系統控制結構框圖如下：圖4.1倒立擺系統控制結構在該圖中，KD（s）是控制器的傳遞函數，G（s）是控制對象的傳遞函數。考慮到輸入r（S）=0，結構圖可以很容易的變換成：圖4.2倒立擺系統控制結構基于前述分析得出該系統的輸出為：（4.1）其中，NUM——控制對象傳輸的面數den——被控對象傳遞函數的分母項numpid——PID控制器在其上傳遞的函數的數字相位denpid——傳遞PID控制的面的分母相位被控對象的傳遞函數是：（4.2）其中，PID控制器的傳遞函數為：（4.3）必須仔細定義PID控制器的參數以獲得令人滿意的控制效果。在前面的討論中，僅考慮了擺的角度。在多重因素作用下那么在檢查過程中汽車后備箱將如何變化？給定輪椅的位置，更新后的系統圖如下(馬若昕,陳正昊,2017)：圖4.3改進型系統結構框圖其中，G是原木的載荷傳遞，G是輪椅的載荷傳遞。由于輸入信號，所以可以把結構圖轉換成：圖4.4改進型系統結構框圖其中，反饋環代表我們前面設計的控制器。小車位置輸出為：（4.4）其中，它們分別表示控制對象1和控制對象2的傳遞函數的數字和分母。面臨當前狀況并代表轉移PID控制器的面的數量和分母。下面我們來求，根據前面的推導：（4.5）可以推出小車位置的傳遞函數為(韓天翔、馮澤凡、陸佳福,2023)：（4.6）其中，可以看出，小車的傳遞函數可以簡化成：（4.7）根據模型結果仔細計算并找到合適的PID理論控制器。轉到matlab命令提示符，輸入pl1-pid.m，運行模擬測試并仔細檢查與系統硬件的連接。通過設置參數，旋轉桿可以垂直排列。此時，這反映了真實情況可能需要小心地握住操縱桿，以防止汽車粘在墻上。如果控制效果不合適，請調節旋鈕直到獲得更好的控制效果[9]。4.2PID控制器設計MATLAB仿真仿真中倒立擺的參數為：M小車質量0.5Kg，m擺桿質量0.2kg，bco小車摩擦系數0.1N/m/sec，l擺桿旋轉軸至桿心長0.3m，I擺桿慣性0.006kg*m*m，采樣頻率0.005秒(成紫萱，陳雪倩，陳俊天,2022)。圖4.5單級倒立擺在MTALAB中simulink仿真的框架圖主狀態空間模塊的參數設置如下：圖4.6狀態空間模塊的參數設置我們設計的技術要求：設計PID控制器，以便在輪椅上施加1N脈沖信號時，閉路系統的響應指數為：1.穩定時間少于5秒，2.在穩態下，桿和垂直位移之間的角度小于0.1弧度，因此MATLAB仿真如圖4.7所示。。圖4.7PID系統控制器MATLAB仿真圖4.8查找多項式函數polyadd.m的兩個邊的總和圖4.9PID控制脈沖響應仿真曲線圖4.10PID系統MATLAB仿真系數結果仿真曲線分析：仿真后，可以從圖中獲得如圖4.7所示的曲線，可以看出該曲線在2秒內進入恒定狀態并響應了設計要求(何春暉,唐文博,2021)。4.3本章小結本章主要介紹了倒立擺的PID控制器設計與調節，通過PID控制器的模型建立，根據模型結果仔細計算并找到合適的PID理論控制器。進入matlab命令窗口，輸入pl1-pid.m，然后運行模擬實驗。

結語本設計的內容主要是指強制擺系統的PID控制草稿，它對自動控制，尤其是PID控制有很多了解。了解數學建模和使用MATLAB軟件。設計本課程的任務是創建強制擺系統的數學模型，向系統添加PID控制器以創建閉環系統，并運行MATLAB仿真以識別和調整實際控制曲線并分析控制參數。設計指標為：（1）穩定時間小于5秒。（2）在相反的情況下，擺與垂直方向之間的角度變化小于0.1弧度。在通過假設忽略了一些小因素之后，仿真結果仍然是系統性的。換句話說，仿真是一條不穩定的曲線，因此，必須將反饋添加到開閉系統中，即，添加PID控制以使系統更穩定。設計PID控制器時，會向車輛施加1N脈沖信號。在遵循兩個指標之后，系統在短時間內穩定下來。因此，在設計該過程時，可變擺系統在PID控制器的作用下是穩定的。實驗表明，該時間的值是合理的，并且該系統可以達到設計合適的指標。應該說這種設計是成功的！

參考文獻[1]MichaelGünther,HeikoWagner.Dynamicsofquiethumanstance:computersimulatio