第三章函數重難點05涉及二次函數的圖形變化類問題，與二次函數有關的創新類問題（2種命題預測+7種題型匯總+專題訓練+3種解題方法）【題型匯總】類型一涉及二次函數的圖形變化類問題題型01平移變換平移方式（n＞0)一般式頂點式平移口訣向左平移n個單位，頂點坐標(h-n，k)左加向右平移n個單位，頂點坐標(h+n，k)右減向上平移n個單位，頂點坐標(h，k+n)上加向下平移n個單位，頂點坐標(h，k-n)下減1．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+bx+3圖象的對稱軸是直線x=-1，圖象與x軸交于A，B兩點，點B坐標為1,0，直線y=x+n經過點B，且與y(1)填空：a=____；b=____；n=_____．(2)將該二次函數圖象向右平移m個單位，使拋物線頂點M落在直線BC上，試求m的值．(3)在（2）的條件下，設Pt,0是x軸上的一動點，若△MBP外接圓的圓心落在平移后的拋物線內部，試求t2．（2023·山東青島·中考真題）許多數學問題源于生活．雨傘是生活中的常用物品，我們用數學的眼光觀察撐開后的雨傘（如圖①）、可以發現數學研究的對象——拋物線．在如圖②所示的直角坐標系中，傘柄在y軸上，坐標原點O為傘骨OA，OB的交點．點C為拋物線的頂點，點A，B在拋物線上，OA，OB關于y軸對稱．OC=1分米，點A到x軸的距離是0.6分米，A，B兩點之間的距離是4分米．

(1)求拋物線的表達式；(2)分別延長AO，BO交拋物線于點F，E，求E，F兩點之間的距離；(3)以拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為S1，將拋物線向右平移mm>0個單位，得到一條新拋物線，以新拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為S2．若S3．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，拋物線C1:y=ax2+43x-4的圖象經過點(1)求拋物線C1(2)將拋物線C1向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線C2，求拋物線C2的表達式，并判斷點D(3)在x軸上方的拋物線C2上，是否存在點P，使△PBD是等腰直角三角形．若存在，請求出點P4．（2023·湖南岳陽·中考真題）已知拋物線Q1:y=-x2+bx+c與x軸交于A

(1)請求出拋物線Q1(2)如圖1，在y軸上有一點D0,-1，點E在拋物線Q1上，點F為坐標平面內一點，是否存在點E,F使得四邊形DAEF為正方形？若存在，請求出點(3)如圖2，將拋物線Q1向右平移2個單位，得到拋物線Q2，拋物線Q2的頂點為K，與x軸正半軸交于點H，拋物線Q1上是否存在點P，使得題型02旋轉變換5．（2022·四川資陽·中考真題）已知二次函數圖象的頂點坐標為A(1,4)，且與x軸交于點B(-1,0)．(1)求二次函數的表達式；(2)如圖，將二次函數圖象繞x軸的正半軸上一點P(m,0)旋轉180°，此時點A、B的對應點分別為點C、D．①連結AB、BC、CD、②在①的條件下，若點M是直線x=m上一點，原二次函數圖象上是否存在一點Q，使得以點B、C、M、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．6．（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，拋物線y1=ax2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，OC=OA，AB=4，對稱軸為直線l1:x=-1，將拋物線y1繞點O旋轉180°后得到新拋物線y2(1)分別求拋物線y1和y(2)如圖1，點F的坐標為-6,0，動點M在直線l1上，過點M作MN∥x軸與直線l2交于點N，連接FM，DN．求(3)如圖2，點H的坐標為0,-2，動點P在拋物線y2上，試探究是否存在點P，使∠PEH=2∠DHE？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P7．（2024·湖南岳陽·模擬預測）如圖，已知拋物線C1經過原點，且與直線l交于A-2,(1)求拋物線C1的解析式和tan(2)若D是拋物線C1上的一個動點（在點A和點B之間），作DE⊥l于點E，DF∥y軸交l于點F，在點D運動的過程中，是否存在某一位置，使得△DEF的面積最大？若存在，請求出此時點D的坐標及△DEF(3)將拋物線C1繞頂點旋轉180°后，再平移使其頂點在直線l上，且經過點A，得到拋物線C2，試問在拋物線C2上是否存在點P，使△ABP是以AB8．（2024·山東濟寧·一模）如圖，拋物線y=ax2+bx+c的頂點為M2,-2，與x軸的交點為A和B（其中點A與原點重合），將拋物線y=ax2+bx+c繞點B逆時針方向旋轉90°，點M(1)求拋物線y=ax(2)求證：點A，M，A1(3)若點P是原拋物線上的一動點，點Q是旋轉后的圖形的對稱軸上一點，E為線段AM的中點，是否存在點P，使得以P，Q，E，B為頂點的四邊形是平行四邊形；若存在請求出點P坐標，若不存在，請說明理由．題型03翻折變換二次函數的翻轉問題的解題思路：①根據二次函數上特殊點的坐標值求得二次函數的表達式；②根據翻轉后拋物線與原拋物線的圖像關系，確定新拋物線的表達式；③在直角坐標系中畫出原拋物線及翻轉后拋物線的簡易圖，根據圖像來判斷題目中需要求解的量的各種可能性；④根據圖像及相關函數表達式進行計算，求得題目中需要求解的值.9．（2023·四川德陽·中考真題）已知：在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A(-4,0)，B(2,0)，與y軸交于點C(0,-4)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，如果把拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折180°，拋物線的其余部分保持不變，得到一個新圖象．當平面內的直線y=kx+6與新圖象有三個公共點時，求k的值；(3)如圖2，如果把直線AB沿y軸向上平移至經過點D，與拋物線的交點分別是E，F，直線BC交EF于點H，過點F作FG⊥CH于點G，若DFHG=2510．（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線L1:y=x2-2x-3的頂點為P．直線l過點M0,mm≥-3，且平行于x軸，與拋物線L1交于A、B兩點（B在A的右側）．將拋物線L1沿直線l

(1)當m=1時，求點D的坐標；(2)連接BC、CD、DB，若(3)在（2）的條件下，若△BCD的面積為3,E、F兩點分別在邊BC、CD上運動，且EF=CD，以EF為一邊作正方形EFGH，連接CG，寫出CG11．（2022·遼寧沈陽·中考真題）如圖，平面直角坐標系中，O是坐標原點，拋物線y=ax2+bx-3經過點B6,0和點D4,-3與x軸另一個交點A．拋物線與y(1)①求拋物線的函數表達式②并直接寫出直線AD的函數表達式．(2)點E是直線AD下方拋物線上一點，連接BE交AD于點F，連接BD，DE，△BDF的面積記為S1，△DEF的面積記為S2，當S1(3)點G為拋物線的頂點，將拋物線圖象中x軸下方部分沿x軸向上翻折，與拋物線剩下部分組成新的曲線為C1，點C的對應點C'，點G的對應點G'，將曲線C1，沿y軸向下平移n個單位長度（0<n<6）．曲線C1與直線BC的公共點中，選兩個公共點作點P和點Q12．（2022·湖南衡陽·中考真題）如圖，已知拋物線y=x2-x-2交x軸于A、B兩點，將該拋物線位于x軸下方的部分沿x軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象W”，圖象W交y(1)寫出圖象W位于線段AB上方部分對應的函數關系式；(2)若直線y=-x+b與圖象W有三個交點，請結合圖象，直接寫出b的值；(3)P為x軸正半軸上一動點，過點P作PM∥y軸交直線BC于點M，交圖象W于點N，是否存在這樣的點P，使△CMN與△OBC相似？若存在，求出所有符合條件的點13．（2024·廣東惠州·模擬預測）綜合運用如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線C1：y=-x2+4x+5交x軸于A，B兩點(點A在點B的左邊(1)直接寫出A，B，C三點的坐標．(2)作直線x=t0<t<5，分別交x軸、線段BC、拋物線C1于D，E，F三點，連接CF．若△BDE與△CEF相似，求(3)如圖2，過點C作CG∥x軸，交拋物線C1于點G，將拋物線C1在點G右下方的圖象沿直線CG向上翻折，拋物線的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，當直線y=x+n與新的圖象只有2個公共點時，請求出題型04對稱變換變換方式變換后口訣關于x軸對稱x不變，y變-y關于y軸對稱y不變，x變-x關于原點對稱x變-x，y變-y關于對稱x變2x1-x，y變2y1-y14．（2023·陜西西安·模擬預測）已知拋物線L:y=ax2+bx+6與x軸相交于A(-3,0)和B(-2,0)兩點，與y軸相交于點C(1)求拋物線L的函數表達式．(2)若拋物線L'與拋物線L關于原點O對稱，F是拋物線L'位于第四象限的點，過點F作FE⊥y軸于點E，連接FO．若△AOC與△EOF相似，求點15．（2024·江西吉安·三模）已知拋物線L:y=x2-4mxm≠0，直線x=m將拋物線L分成兩部分，首先去掉其不含頂點的部分，然后作出拋物線剩余部分關于直線x=m的對稱圖形，得到的整個圖形L'稱為拋物線L關于直線x=m的“（1）感知特例如圖所示、當m=1時，拋物線L:y=x2-4mx上的點B，C，A，D，E分別關于直線x=m對稱的點為B'，C'，A…BCADE……

…①補全表格；②在圖中描出表中對稱點，再用平滑的曲線依次連接各點，得到圖象記為L'③若雙拋圖形L'與直線y=t恰好有三個交點，則t的值為④若雙拋圖形L'的函數值隨著x的增大而增大，則x的取值范圍為探究問題（2）①若雙拋圖形L'與直線y=t恰好有三個交點，則t的值為；（用含m②若雙拋圖形L'的函數值隨著x的增大而增大，直接寫出x的取值范圍；（用含m16．（2024·四川廣元·中考真題）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線F：y=-x2+bx+c經過點A-3,-1，與(1)求拋物線的函數表達式；(2)在直線AB上方拋物線上有一動點C，連接OC交AB于點D，求CDOD的最大值及此時點C(3)作拋物線F關于直線y=-1上一點的對稱圖象F'，拋物線F與F'只有一個公共點E（點E在y軸右側），G為直線AB上一點，H為拋物線F'對稱軸上一點，若以B，E，G，H17．（2024·陜西西安·二模）如圖，拋物線L：y=ax2+bx+3經過A-1,0，B5,3(1)求該拋物線L的表達式；(2)拋物線L'與拋物線L關于直線BC對稱，P是拋物線L的x軸上方且在對稱軸左側的一點，過點P作y軸的平行線交拋物線L'于點Q，點P、Q關于拋物線L的對稱軸對稱的點分別為M、N．試探究是否存在一點P，使得四邊形PQNM為長寬之比是1:2的矩形？若存在，求出點類型二與二次函數有關的創新類問題題型01與二次函數有關的新定義問題【命題預測】新定義問題是數學考試中必考的題型,無論在哪個階段,都會出現此類問題,但究其本質都是“新瓶裝舊酒”“新瓶”就是新的定義,“舊酒”就是學過的知識,然后設計出具有針對性的考題來考查學生的知識遷移應用能力.18．（2023·山東濟南·中考真題）定義：在平面直角坐標系中，對于點Px1,y1，當點Qx2,y2滿足2x①點Q13,8，Q2-2,-2都是點P1②若直線y=x+2上的點A是點P1的“倍增點”，則點A的坐標為2,4③拋物線y=x2-2x-3上存在兩個點是點④若點B是點P1的“倍增點”，則P1B其中，正確結論的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．419．（2024·湖北武漢·模擬預測）我們定義一種新函數：形如y=ax2+bx+ca≠0,b2-4ac>0的函數叫做“鵲橋”函數．數學興趣小組畫出一個“A．當x=1時，函數的最大值是4B．函數值y隨x的增大而增大，則x≥C．關于x的方程x2+bx+cD．當直線y=x+m與該圖象恰有三個公共點時，則m=120．（2024·四川樂山·中考真題）定義：函數圖象上到兩坐標軸的距離都小于或等于1的點叫做這個函數圖象的“近軸點”．例如，點0,1是函數y=x+1圖象的“近軸點”．（1）下列三個函數的圖象上存在“近軸點”的是（填序號）；①y=-x+3；②y=2x；③（2）若一次函數y=mx-3m圖象上存在“近軸點”，則m的取值范圍為．21．（2024·四川·中考真題）【定義與性質】如圖，記二次函數y=ax-b2+c和y=-ax-p2定義：若拋物線C1的頂點Qp,q在拋物線C上，則稱C1性質：①一條拋物線有無數條伴隨拋物線；②若C1是C的伴隨拋物線，則C也是C1的伴隨拋物線，即C的頂點Pb,c【理解與運用】（1）若二次函數y=-12x-22+m和y=-12x-n2【思考與探究】（2）設函數y=x2-2kx+4k+5①若函數y=-x2+dx+e的圖象為拋物線C0，且C2始終是C②若拋物線C2與x軸有兩個不同的交點x1,0，x2,0

22．（2024·黑龍江大慶·中考真題）定義：若一個函數圖象上存在縱坐標是橫坐標2倍的點，則把該函數稱為“倍值函數”，該點稱為“倍值點”．例如：“倍值函數”y=3x+1，其“倍值點”為-1，-2．下列說法不正確的序號為①函數y=2x+4是“倍值函數”；②函數y=8x的圖象上的“倍值點”是2，③若關于x的函數y=m-1x2+mx+14m的圖象上有兩個“④若關于x的函數y=x2+m-k+2x+n4-k2的圖象上存在唯一的“倍值點”，且當23．（2023·江蘇南通·中考真題）定義：平面直角坐標系xOy中，點Pa,b，點Qc,d，若c=ka，d=-kb，其中k為常數，且k≠0，則稱點Q是點P的“k級變換點”．例如，點-4,6是點2,3的“-2級變換點(1)函數y=-4x的圖象上是否存在點1,2的“k級變換點”?若存在，求出(2)點At,12t-2與其“k級變換點”B分別在直線l1，l2上，在l1，l2上分別取點(3)關于x的二次函數y=nx2-4nx-5nx≥0的圖象上恰有兩個點，這兩個點的“1級變換點”都在直線24．（2022·湖南湘西·中考真題）定義：由兩條與x軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”，如圖①，拋物線C1：y＝x2+2x﹣3與拋物線C2：y＝ax2+2ax+c組成一個開口向上的“月牙線”，拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的交點A（﹣3，0）、B（點B在點A右側），與y軸的交點分別為G、H（0，﹣1）．

(1)求拋物線C2的解析式和點G的坐標．(2)點M是x軸下方拋物線C1上的點，過點M作MN⊥x軸于點N，交拋物線C2于點D，求線段MN與線段DM的長度的比值．(3)如圖②，點E是點H關于拋物線對稱軸的對稱點，連接EG，在x軸上是否存在點F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．25．（2022·貴州遵義·中考真題）新定義：我們把拋物線y=ax2+bx+c（其中ab≠0）與拋物線y=bx2+ax+c稱為“關聯拋物線”．例如：拋物線y=2x2+3x+1的“關聯拋物線”為：y=3(1)寫出C2的解析式（用含a(2)若a>0，過x軸上一點P，作x軸的垂線分別交拋物線C1，C2于點M，①當MN=6a時，求點P的坐標；②當a-4≤x≤a-2時，C2的最大值與最小值的差為2a，求a26．（2021·江蘇南通·中考真題）定義：若一個函數圖象上存在橫、縱坐標相等的點，則稱該點為這個函數圖象的“等值點”．例如，點(1,1)是函數y=12x+12（1）分別判斷函數y=x+2,y=x2-x的圖象上是否存在“等值點”？如果存在，求出“（2）設函數y=3x(x>0),y=-x+b的圖象的“等值點”分別為點A，B，過點B作BC⊥x軸，垂足為C．當△ABC的面積為3（3）若函數y=x2-2(x≥m)的圖象記為W1，將其沿直線x=m翻折后的圖象記為W2．當W1,W227．（2020·四川遂寧·中考真題）閱讀以下材料，并解決相應問題：小明在課外學習時遇到這樣一個問題：定義：如果二次函數y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常數）與y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常數）滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，則這兩個函數互為“旋轉函數”．求函數y＝2x2﹣3x+1的旋轉函數，小明是這樣思考的，由函數y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根據a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能確定這個函數的旋轉函數．請思考小明的方法解決下面問題：（1）寫出函數y＝x2﹣4x+3的旋轉函數．（2）若函數y＝5x2+（m﹣1）x+n與y＝﹣5x2﹣nx﹣3互為旋轉函數，求（m+n）2020的值．（3）已知函數y＝2（x﹣1）（x+3）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A、B、C關于原點的對稱點分別是A1、B1、C1，試求證：經過點A1、B1、C1的二次函數與y＝2（x﹣1）（x+3）互為“旋轉函數”．28．（2024·浙江·模擬預測）定義：在平面直角坐標系xOy中，當點N在圖形M的內部，或在圖形M上，且點N的橫坐標和縱坐標相等時，則稱點N為圖形M的“夢之點”．(1)如圖①，矩形ABCD的頂點坐標分別是A-1,2，B-1,-1，C3,-1，D3,2，在點M11,1，M22,2，M(2)如圖②，已知點A，B是拋物線y=-12x2+x+92上的“夢之點”，點C是拋物線的頂點．連接AC(3)在（2）的條件下，點P為拋物線上一點，點Q為平面內一點，是否存在點P、Q，使得以AB為對角線，以A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出P點坐標；若不存在，請說明理由．29．（2024·遼寧·模擬預測）定義：A（1-n，0），B（1+n，0）n>0，以AB長度為邊在x(1)如圖1，當n=1時，一次函數y=kx+k是“特別函數”，求k的取值范圍；(2)如圖2，函數y=-x2+2x+14是“(3)如圖3，在2的條件下，函數y=-x2+2x+14與CB交于點D(4)當m-1≤x≤m+2時，函數y=-x2+2x+1430．（2024·湖南株洲·二模）定義：若直線y=-1與開口向下的拋物線有兩個交點，則這兩個交點之間的距離叫做這條拋物線的“反碟長”．如圖，已知拋物線L1：y=-x2與直線y=-1相交于P(1)填空：拋物線L1的“反碟長”PQ=___________(2)拋物線L1隨其頂點沿直線y=12①當拋物線L1的頂點平移到點6,3時，求拋物線L2的解析式以及拋物線L2的“②當拋物線L2的頂點A和拋物線L2與直線y=-1的兩個交點B，C構成一個等邊三角形時（點B在點C左右），求點31．（2024·湖南·模擬預測）我們不妨約定：在平面直角坐標系中，與x軸有交點的函數稱為“零點函數”，交點的橫坐標稱為“零點”，例如：函數y=x-1與x軸的交點坐標是1,0，所以函數y=x-1是“零點函數”，1是該函數的“零點”．(1)請完成以下兩個小題：①下列函數中，是“零點函數”的為（

）A．y=2x+3

B．y=2x

C．②請寫出下列函數的“零點”：一次函數y=2x+2的“零點”是，二次函數y=x2-2x+1的“零點”(2)已知二次函y=ax2+2bx+3c是“零點函數”（a，b，c①若a=1,b+cb-c=16，函數的“零點”是x1,x2②若一次函數y=2x-2c與二次函數y=ax2+2b+1x+c相交于點Ax3,y3和Bx4,y題型02與二次函數有關的材料閱讀問題【命題預測】閱讀理解型問題以能力立意為目標，綜合考核數學素養與數學應用能力。閱讀理解型問題，可以是閱讀某個(新)概念、(新)知識或某種(新)方法，理解概念、知識的本質或者是掌握新方法，然后利用概念、方法去解決問題；也可以是設計一個新的數學背景，讓學生在閱讀的基礎上，理解其中的內容、方法與思想，然后在把握本質、理解實質的基礎上作答。這類題目往往可以考察出學生的閱讀能力、分析推理能力、數據(信息)處理能力、表達能力、知識遷移能力，綜合性強，靈活度高。因此，近些年來，閱讀理解型問題頻頻出現在全國各地的中考試題中。32．（2023·江蘇泰州·中考真題）閱讀下面方框內的內容，并完成相應的任務．小麗學習了方程、不等式、函數后提出如下問題：如何求不等式x2通過思考，小麗得到以下3種方法：方法1

方程x2-x-6=0的兩根為x1=-2，x2=3，可得函數y=x2-x-6的圖像與x方法2

不等式x2-x-6<0可變形為x2<x+6，問題轉化為研究函數y=x2與y=x+6的圖像關系．畫出函數圖像，觀察發現：兩圖像的交點橫坐標也是-2、方法3

當x=0時，不等式一定成立；當x>0時，不等式變為x-1<6x；當x<0時，不等式變為x-1>6x．問題轉化為研究函數y=x-1任務：(1)不等式x2-x-6<0的解集為(2)3種方法都運用了___________的數學思想方法（從下面選項中選1個序號即可）；A.分類討論

B.轉化思想

C.特殊到一般

D.數形結合(3)請你根據方法3的思路，畫出函數圖像的簡圖，并結合圖像作出解答．33．（2022·湖南永州·中考真題）已知關于x的函數y=ax(1)若a=1，函數的圖象經過點1,-4和點2,1，求該函數的表達式和最小值；(2)若a=1，b=-2，c=m+1時，函數的圖象與x軸有交點，求m的取值范圍．(3)閱讀下面材料：設a>0，函數圖象與x軸有兩個不同的交點A，B，若A，B兩點均在原點左側，探究系數a，b，c應滿足的條件，根據函數圖像，思考以下三個方面：①因為函數的圖象與x軸有兩個不同的交點，所以Δ=②因為A，B兩點在原點左側，所以x=0對應圖象上的點在x軸上方，即c>0；③上述兩個條件還不能確保A，B兩點均在原點左側，我們可以通過拋物線的對稱軸位置來進一步限制拋物線的位置：即需-b綜上所述，系數a，b，c應滿足的條件可歸納為：a>0請根據上面閱讀材料，類比解決下面問題：若函數y=ax2-2x+3的圖象在直線x=1的右側與x34．（2022·山西·中考真題）閱讀與思考下面是小宇同學的數學小論文，請仔細閱讀并完成相應的任務用函數觀點認識一元二次方程根的情況我們知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是相應的二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象（稱為拋物線）與下面根據拋物線的頂點坐標（-b2a，4ac-b24a）和一元二次方程根的判別式△=（1）a>0時，拋物線開口向上．①當△=b2-4ac>0時，有4ac-b2<0．∵∴頂點在x軸的下方，拋物線與x軸有兩個交點（如圖1）．②當△=b2-4ac=0時，有4ac-b2=0．∵∴頂點在x軸上，拋物線與x軸有一個交點（如圖2）．∴一元二次方程ax③當△=b……（2）a<0時，拋物線開口向下．……任務：(1)上面小論文中的分析過程，主要運用的數學思想是（從下面選項中選出兩個即可）；A．數形結合B．統計思想C．分類討論．D．轉化思想(2)請參照小論文中當a>0時①②的分析過程，寫出③中當a>0,△<0時，一元二次方程根的情況的分析過程，并畫出相應的示意圖；(3)實際上，除一元二次方程外，初中數學還有一些知識也可以用函數觀點來認識，例如：可用函數觀點來認識一元一次方程的解．請你再舉出一例為35．（2024·山西大同·模擬預測）閱讀與思考下面是小文同學撰寫的數學小論文（部分），請仔細閱讀并完成相應任務．探索特殊系數一元二次方程的解通過學習我們知道：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b第一類，當a+b+c=0時，根據方程解的概念可知方程必有一個解為1，那么另一個解是多少呢？分析如下：∵a+b+c=0，∴b=-a-c．∴a=a=ax(x-1)-c(x-1)=(x-1)(ax-c)．∴方程ax2+bx+c=0∴x-1=0或ax-c=0．∴x1=1，∴當a+b+c=0時，一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個實數根為x我還用求根公式法，證明了以上結論是正確的．第二類，當a-b+c=0時，同理可以求出這類方程的實數根．……任務：(1)閱讀內容中，將方程ax2+bx+c=0變形為(x-1)(ax-c)=0A．配方法

B．公式法

C．因式分解法(2)請直接寫出一個二次函數的表達式，使其函數圖象經過點-1,0；(3)請直接寫出當a-b+c=0時，一元二次方程ax(4)請寫出材料中劃線部分小文同學的證明過程．36．（2022·湖南株洲·中考真題）閱讀材料：十六世紀的法國數學家弗朗索瓦·韋達發現了一元二次方程的根與系數之間的關系，可表述為“當判別式△≥0時，關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個根x1、x2有如下關系：x1+x2(1)若a=1，b=3，且該二次函數的圖象過點1,1，求c的值；(2)如圖所示，在平面直角坐標系Oxy中，該二次函數的圖象與x軸相交于不同的兩點Ax1,0、Bx2,0，其中x1<0<x2、x1>x2，且該二次函數的圖象的頂點在矩形ABFE的邊EF上，其對稱軸與x軸、①求關于x的一元二次方程ax②若NP=2BP，令T=1a237．（23-24九年級下·江西吉安·期中）閱讀下列材料并完成問題．拋物線y=ax2（a>0）的圖象如圖（1）所示，我們把點A0,14a稱為該拋物線的焦點，把拋物線上任意一點P到焦點的距離PA稱為焦半徑，把直線y=-14a[知識感悟]（1）拋物線y=18x2的焦點A的坐標是______，若拋物線上點P的坐標為4,2，則焦半徑PA=______[問題探究]（2）對于拋物線y=ax2（a>0）上點P，試猜想焦半徑PA與準距[知識應用]（3）如圖（2），已知拋物線y=12x2的焦點為A，點P為拋物線上一點，連接PA，過點P作直線y=-12的垂線，垂足為B，直線y=-12與題型03與二次函數壓軸題有關的新考法類問題38．（2024·廣東東莞·三模）城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達目的地，只能按直角拐彎的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標系xOy，對兩點Ax1,y1和B【數學理解】(1)①已知點A-2,1，則d0,A=______，②函數y=-2x+40≤x≤2的圖象如圖①所示，B是圖象上一點，d0,B(2)函數y=4xx>0的圖象如圖②所示，求證：該函數的圖象上不存在點C(3)函數y=x2-5x+7(x≥0)的圖象如圖③所示，D是圖象上一點，求d39．（2024·廣東深圳·中考真題）為了測量拋物線的開口大小，某數學興趣小組將兩把含有刻度的直尺垂直放置，并分別以水平放置的直尺和豎直放置的直尺為x，y軸建立如圖所示平面直角坐標系，該數學小組選擇不同位置測量數據如下表所示，設BD的讀數為x，CD讀數為y，拋物線的頂點為C．(1)（Ⅰ）列表：①②③④⑤⑥x023456y012.2546.259（Ⅱ）描點：請將表格中的x,y描在圖2中；（Ⅲ）連線：請用平滑的曲線在圖2將上述點連接，并求出y與x的關系式；(2)如圖3所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax-h2+k的頂點為C，該數學興趣小組用水平和豎直直尺測量其水平跨度為AB，豎直跨度為CD，且AB=m方案一：將二次函數y=ax-h2+k平移，使得頂點C與原點O①此時點B'的坐標為________②將點B'坐標代入y=ax2中，解得a=________；（用含m方案二：設C點坐標為h,k①此時點B的坐標為________；②將點B坐標代入y=ax-h2+k中解得a=________；（用含m(3)【應用】如圖4，已知平面直角坐標系xOy中有A，B兩點，AB=4，且AB∥x軸，二次函數C1:y1=2x+h2+k和C2:y2=ax+h2+b都經過40．（2024·遼寧·中考真題）已知y1是自變量x的函數，當y2=xy1時，稱函數y2為函數y1的“升冪函數”．在平面直角坐標系中，對于函數y1圖象上任意一點A(m,n)，稱點B(m,mn)為點A“關于y1的升冪點”，點B在函數y1的“升冪函數”y2的圖象上．例如：函數y1=2x，當y2=xy1=x?2x=2x2時，則函數y2=2x2是函數y1=2x的(1)求函數y1=12x的(2)如圖1，點A在函數y1=3x(x>0)的圖象上，點A“關于y1的升冪點”B在點(3)點A在函數y1=-x+4的圖象上，點A“關于y1的升冪點”為點B，設點A①若點B與點A重合，求m的值；②若點B在點A的上方，過點B作x軸的平行線，與函數y1的“升冪函數”y2的圖象相交于點C，以AB，BC為鄰邊構造矩形ABCD，設矩形ABCD的周長為y，求y關于③在