第二章軸對(duì)稱圖形（知識(shí)歸納+題型突破）1、從生活中提煉軸對(duì)稱模型，歸納軸對(duì)稱的概念。2、通過圖形變換理解軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，在生活中運(yùn)用軸對(duì)稱解決問題?！局R(shí)點(diǎn)1】軸對(duì)稱的概念把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么稱這兩個(gè)圖形___關(guān)于這條直線對(duì)稱___，也稱這兩個(gè)圖形___成軸對(duì)稱___，這條直線叫做___對(duì)稱軸___，兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做___對(duì)稱點(diǎn)___．【知識(shí)點(diǎn)2】軸對(duì)稱圖形的概念把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠___互相重合___，那么稱這個(gè)圖形是___軸對(duì)稱圖形___，這條直線就是___對(duì)稱軸___．【知識(shí)點(diǎn)3】軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系名稱兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱軸對(duì)稱圖形圖形區(qū)別圖形個(gè)數(shù)針對(duì)兩個(gè)圖形而言，是兩個(gè)圖形的一種特殊位置關(guān)系針對(duì)一個(gè)圖形而言，是某個(gè)圖形的一種特殊幾何性質(zhì)對(duì)稱軸只有一條對(duì)稱軸可以有一條或多條、甚至無數(shù)條對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)在兩個(gè)圖形上在同一個(gè)圖形上驗(yàn)證沿某條直線折疊后，兩個(gè)圖形能夠重合沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合聯(lián)系（1）沿對(duì)稱軸折疊后能夠重合；（2）如果把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么這個(gè)整體就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形（1）沿對(duì)稱軸折疊后，對(duì)稱軸兩旁的部分能夠互相重合；（2）如果把一個(gè)軸對(duì)稱圖形位于對(duì)稱軸兩旁的部分看成兩個(gè)圖形，那么這兩部分圖形就成軸對(duì)稱【知識(shí)點(diǎn)4】線段的軸對(duì)稱性線段___是___軸對(duì)稱圖形，線段的___垂直平分線___是它的對(duì)稱軸．【知識(shí)點(diǎn)5】垂直平分線的性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)___到線段兩端的距離相等___．幾何語言：∵M(jìn)N是線段AB的垂直平分線（或MN⊥AB于點(diǎn)D，且AD=BD），∴CA=CB．【知識(shí)點(diǎn)6】垂直平分線的判定定理到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的___垂直平分線___上．幾何語言：∵CA=CB，∴點(diǎn)C在線段AB的垂直平分線上．【知識(shí)點(diǎn)7】角的軸對(duì)稱性角___是___軸對(duì)稱圖形，___角平分線所在的直線___是它的對(duì)稱軸．【知識(shí)點(diǎn)8】角平分線的性質(zhì)角平分線上的點(diǎn)___到角兩邊的距離相等___．幾何語言：∵PF平分∠APB（或∠APF=∠BPF），EC⊥PA于C，ED⊥PB于D，∴EC=ED．【知識(shí)點(diǎn)9】角平分線的判定定理角的內(nèi)部到___角兩邊距離___相等的點(diǎn)在角的平分線上．幾何語言：∵EC⊥PA于C，ED⊥PB于D，EC=ED，∴點(diǎn)E在∠APB的平分線上．【知識(shí)點(diǎn)10】等腰三角形的軸對(duì)稱性等腰三角形___是___軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是___頂角平分線所在直線___．【知識(shí)點(diǎn)11】等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角：等腰三角形的兩底角相等．幾何語言：在△ABC中∵AB=AC∴∠B=∠C（等邊對(duì)等角）【知識(shí)點(diǎn)12】三線合一三線合一：等腰三角形___底邊上的高線___、___底邊上的中線___、___頂角平分線___重合．幾何語言：在△ABC中∵AB=AC，∠BAD=∠CAD∴AD⊥BC，BD=CD【知識(shí)點(diǎn)13】等腰三角形的判定等角對(duì)等邊：有兩個(gè)角___相等___的三角形是等腰三角形．幾何語言：在△ABC中∵∠B=∠C∴AB=AC（等角對(duì)等邊）題型一軸對(duì)稱圖形的識(shí)別【例1】作出下列各圖形的一條對(duì)稱軸

【例2】如果正三角形有條對(duì)稱軸，那么．鞏固訓(xùn)練：1．圖中的圖形為軸對(duì)稱圖形，該圖形的對(duì)稱軸的條數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．82．對(duì)稱軸最多的圖形是（

）A．圓 B．長(zhǎng)方形 C．正方形 D．等邊三角形3．某校學(xué)生為校運(yùn)動(dòng)會(huì)設(shè)計(jì)會(huì)標(biāo)，在以下四個(gè)標(biāo)志中，不是軸對(duì)稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．題型二鏡面對(duì)稱問題【例3】如圖，從鏡子中看到一鐘表的時(shí)針和分針，此時(shí)的實(shí)際時(shí)刻是（

）A． B． C． D．【例4】小明從鏡子里看到鏡子對(duì)面電子鐘的像如圖所示，實(shí)際時(shí)間是()A． B． C． D．【例5】如圖是從鏡子里看到的號(hào)碼，則實(shí)際號(hào)碼應(yīng)是．鞏固訓(xùn)練：4．小明在鏡中看到身后墻上的時(shí)鐘，實(shí)際時(shí)間最接近8時(shí)的是下圖中的（

）A．B．C．D．5．如圖，從汽車的后視鏡中看見某車牌號(hào)的5位號(hào)碼的車牌號(hào)為．6．小明照鏡子時(shí)，發(fā)現(xiàn)衣服上的英文單詞在鏡子呈現(xiàn)為“”，則這串英文字母是．題型三軸對(duì)稱的性質(zhì)【例6】如圖，與關(guān)于直線對(duì)稱，交于點(diǎn)，下列結(jié)論①；②；③中，正確的有（

）

A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)【例7】如圖，已知點(diǎn)A、B是直線同側(cè)兩點(diǎn)，點(diǎn)、A關(guān)于直線對(duì)稱．連接交直線于點(diǎn)P，連接．若，則的長(zhǎng)為（）

A． B． C． D．無法確定【例8】如圖，在內(nèi)，點(diǎn)、分別是點(diǎn)關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)．如果的周長(zhǎng)為12，則的長(zhǎng)為（

）A．6 B．12 C．15 D．18鞏固訓(xùn)練：7．如圖所示，點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn)，分別作出P點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于M，交于N，，則的周長(zhǎng)為．8．如圖，和關(guān)于直線對(duì)稱，已知，，．求的度數(shù)及、的長(zhǎng)度．

題型四折疊問題【例9】將長(zhǎng)方形紙片按如圖方式折疊，為折痕，則的度數(shù)為．

【例10】如圖，將長(zhǎng)方形沿線段折疊到的位置，若，則∠DFC′的度數(shù)為（）A． B． C． D．【例11】如圖，將沿直線折疊后，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，若，的長(zhǎng)為12，則的周長(zhǎng)為（

）

A．17 B．10 C．12 D．22鞏固訓(xùn)練：9．如圖，將折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，折痕l與邊交于點(diǎn)D，連接，則是的（）A．角平分線 B．高線 C．中線 D．無法確定10．如圖，將長(zhǎng)方形紙片沿直線折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，與交于點(diǎn)．若，則的度數(shù)是．

11．把一張寬度相等的紙條按如圖所示的方式折疊，則的度數(shù)等于．

題型五垂直平分線的性質(zhì)【例12】甲、乙、丙三家分別位于的三個(gè)頂點(diǎn)處，現(xiàn)要建造一個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)，使得三家到核酸檢測(cè)點(diǎn)的距離相等，則核酸檢測(cè)點(diǎn)應(yīng)建造在（）A．三邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三條高的交點(diǎn) D．三條中線的交點(diǎn)【例13】如圖，在中，，，，，EF垂直平分BC，點(diǎn)P為直線EF上的任意一點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值是（

）A．7 B．6 C．12 D．8【例14】如圖，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分線分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，點(diǎn)F是DE上任意一點(diǎn)，△BCF的周長(zhǎng)的最小值是（）A．2 B．12 C．5 D．7【例15】已知中，，、的垂直平分線分別交于、，與分別交于點(diǎn)、．求：(1)的度數(shù)．(2)求的周長(zhǎng)．鞏固訓(xùn)練：12．如圖，，，表示三個(gè)居民小區(qū)，為豐富居民們的文化生活，現(xiàn)準(zhǔn)備建一個(gè)文化廣場(chǎng)，使它到三個(gè)小區(qū)的距離相等，則文化廣場(chǎng)應(yīng)建在（

）A．，兩邊高線的交點(diǎn)處 B．，兩邊中線的交點(diǎn)處C．，兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處 D．，兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處13．如圖，在中，，分別垂直平分邊和邊，交邊于，兩點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．(1)若，則的周長(zhǎng)為______；(2)若，求的度數(shù)．14．如圖，在中是的垂直平分線，，的周長(zhǎng)為，求的周長(zhǎng)．

15．如圖，在中，，，的垂直平分線交于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為．題型六角平分線的性質(zhì)【例16】如圖，平分于點(diǎn)D，點(diǎn)E為射線上一動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為．【例17】如圖，于E，于F，平分，若，探索與的數(shù)量關(guān)系，并證明之．【例18】如圖，在中，，平分，平分，過點(diǎn)O作的平行線與，分別相交于點(diǎn)M，N．若，．

(1)求的度數(shù)；(2)求的周長(zhǎng)．【例19】如圖，是中的平分線，，交于點(diǎn)，，交于點(diǎn)．若，，，則的長(zhǎng)是（）A．4 B．3 C．6 D．5【例20】三角形內(nèi)到三邊的距離相等的點(diǎn)是（

）A．三條中線的交點(diǎn) B．三條高的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn) D．以上均不對(duì)鞏固訓(xùn)練：16．如圖，四邊形中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，且平分．(1)求證：平分；(2)求證：．17．如圖，在中，D，E分別為，邊上一點(diǎn)，連接，，，過點(diǎn)E向作垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．已知平分．平分，．

(1)求證：平分；(2)若，，，求．

18．黃河社區(qū)是由三條路圍成的小型社區(qū)，現(xiàn)在越來越多的人們選擇購買電動(dòng)汽車，為了讓生活設(shè)施跟上時(shí)代的發(fā)展，黃河社區(qū)準(zhǔn)備在社區(qū)內(nèi)修建一個(gè)電動(dòng)車充電點(diǎn)．現(xiàn)社區(qū)人員計(jì)劃將充電點(diǎn)建設(shè)在到三條路的距離相等的位置，則充電點(diǎn)應(yīng)該建在三角形（）A．三個(gè)角的平分線的交點(diǎn)處 B．三條中線的交點(diǎn)處C．三條高線的交點(diǎn)處 D．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處19．如圖，O是內(nèi)一點(diǎn)，且O到三邊的距離相等（即），若，則（）

A．110° B．120° C．130° D．140°20．如所示圖形中，若，能判斷點(diǎn)在的平分線上的是（）A． B．C． D．題型七作圖【例21】如圖，已知甲工廠靠近公路a，乙工廠靠近公路b，為了發(fā)展經(jīng)濟(jì)，甲、乙兩工廠準(zhǔn)備合建一個(gè)倉庫，經(jīng)協(xié)商，倉庫必須滿足以下兩個(gè)要求：①到兩工廠的距離相等；②在內(nèi)，且到兩條公路的距離相等．你能幫忙確定倉庫的位置嗎？（保留作圖痕跡，不寫作法）【例22】如圖，兩公路與相交于點(diǎn)O，兩公路內(nèi)側(cè)有兩工廠C和D，現(xiàn)要修建一貨站使貨站P到兩條公路OA、OB的距離相等，且到兩工廠C、D的距離相等，用尺規(guī)作出貨站P的位置．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）【例23】用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．如圖，某小區(qū)綠化帶內(nèi)部有兩個(gè)噴水臂、，現(xiàn)欲在內(nèi)部建一個(gè)水泵，使得水泵到，的距離相等，且到兩個(gè)噴水管、的距離也相等，請(qǐng)你在圖中標(biāo)出水泵的位置．

鞏固訓(xùn)練：21．如圖，電信部門要在S區(qū)修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔．按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B距離必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等．發(fā)射塔應(yīng)修建在什么位置？在圖上標(biāo)出它的位置．（保留作圖痕跡）22．如圖，校園有兩條路、，在交叉口附近有兩塊宣傳牌、，學(xué)校準(zhǔn)備在這里安裝一盞路燈，要求燈柱的位置離兩塊宣傳牌一樣遠(yuǎn)，并且到兩條路的距離也一樣遠(yuǎn)，請(qǐng)你用尺規(guī)作出燈柱的位置點(diǎn)．（請(qǐng)保留作圖痕跡）23．如圖，某地有兩所大學(xué)和兩條相交叉的公路，（點(diǎn)M，N表示大學(xué)，AO，BO表示公路），現(xiàn)計(jì)劃在∠AOB內(nèi)部修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學(xué)的距離相等，到兩條公路的距離也相等，你能確定倉庫P應(yīng)該建在什么位置嗎？在所給的圖形中畫出你的設(shè)計(jì)方案．題型八等腰三角形三線合一【例24】如圖，、分別是的中線和角平分線，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【例25】如圖，在中，，，于點(diǎn)E，若，的周長(zhǎng)為10，則的長(zhǎng)為（）A． B．3 C． D．4鞏固訓(xùn)練：24．等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是（

）A．過頂點(diǎn)的直線 B．腰上的中線所在的直線C．腰上的高線所在的直線 D．頂角的平分線所在的直線25．如圖，在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，邊的垂直平分線交，，于點(diǎn)，，，連接、．

(1)求證：為等腰三角形；(2)若，求的度數(shù)．題型九等腰三角形度數(shù)【例26】已知是等腰三角形．若，則的頂角度數(shù)是．鞏固訓(xùn)練：26．在中，，是邊上的高，，則的度數(shù)為．題型十等腰三角形外角問題【例27】如圖，在第1個(gè)中，；在邊上任取一點(diǎn)D，延長(zhǎng)到A2，使，得到第2個(gè)；在邊上任取一點(diǎn)E，延長(zhǎng)到A3，使，得到第3個(gè)；……按此做法繼續(xù)下去，則第n個(gè)三角形中以為頂點(diǎn)的內(nèi)角度數(shù)是（

）

A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：27．如圖，，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)在射線上，，均為等邊三角形．若，則的邊長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．28．如圖，已知是等邊三角形，點(diǎn)B，C，D，F(xiàn)在同一條直線上，，，求的度數(shù)．

題型十一等腰三角形個(gè)數(shù)和格點(diǎn)問題【例28】在如圖所示的網(wǎng)格中，在格點(diǎn)上找一點(diǎn)P，使為等腰三角形，則點(diǎn)P有（）A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)【例29】如圖中的大長(zhǎng)方形都是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成，其中每個(gè)正方形的頂點(diǎn)稱之為格點(diǎn)，若、、三點(diǎn)均在格點(diǎn)上，且為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有（

）

A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【例30】如圖，在中，，，是的角平分線，則圖中的等腰三角形共有(

)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)鞏固訓(xùn)練：29．如圖，線段、互相垂直平分，則圖中共有等腰三角形（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)30．如圖，是的平分線，，交于E，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是