人教A版高一下冊數學-必修第二冊8.4.1平面教學設計課題8.4空間點、直線、平面之間的位置關系8.4.1平面課型新授課課時1課時學習目標1.初步理解平面的概念、三個基本事實和推論，會用圖形、文字、符號三種語言形式表述三個基本事實和推論．2.在探究三個基本事實的情境中，感悟立體幾何結論發現的過程，體驗研究幾何體的方法，提升直觀想象和數學抽象素養．學習重點對三個基本事實和三個推論的理解及其集合符號語言表示．學習難點對基本事實的理解和集合符號語言表示，對推論的說理證明．學情分析在初中學生初步學習了平面幾何的相關知識，掌握了平面內點、直線的概念和性質,在學習新課時，可以通過類比“直線”來研究“平面”.通過以前的學習，學生對平面幾何已有一定的分析和推理能力，初步具備了學習點、直線、平面之間的位置關系的能力,但學生以前接觸的大多是平面圖形,習慣于在平面上解決問題,空間想象能力、思維能力較弱,需要教師做好引導.核心知識對三個基本事實和三個推論的理解及其集合符號語言表示．教學內容及教師活動設計（含情景設計、問題設計、學生活動設計等內容）教師個人復備一、引入新課情境：在初中，我們已經對點和直線有了一定的認識，知道它們都是由現實事物抽象得到的，平面是構成我們生活的空間的基本元素之一，增加了對平面的研究，幾何的學習就由二維到三維．你能舉例說明，生活中哪些物體給我們平面的感覺呢？答：教室里的黑板、平整的操場、桌面、平靜的湖面等，都給我們以平面的印象．幾何里所說的“平面”就是從這樣的一些物體中抽象出來的．設計意圖：通過生活實例直觀感知平面，引出本節課平面的概念．二、課堂探究問題１：和點、直線一樣，平面也是從現實世界中抽象出來的不加定義的最基本的幾何概念．那么，類比直線的“直”和向兩端“無限延伸”的特征，平面有哪些特征呢？答：（1）平面是“平”的；平面可以向四周“無限延伸”；沒有厚度.追問1：學習了一個數學概念，接下來就是學習它的表示，想一想，我們是怎么用圖形和符號表示直線的？類似地，如何用圖形和符號表示平面？答：類比用直線的局部，即線段表示直線，可以選取平面的一部分中最具代表性的矩形，用其直觀圖，即平行四邊形表示平面．當平面水平放置的時候，通常把平行四邊形的一邊化成橫向；當平面豎直放置的時候，通常把平行四邊形的一邊化成豎向．平面通常用希臘字母α，β，γ，…等表示，也可以用表示平行四邊形頂點的字母表示，如平面ABCD；還可以用表示平行四邊形的兩個相對頂點的字母表示，如平面AC、平面BD．當兩個平面相交時，可以把被遮擋部分畫成虛線或者不畫，這樣看起來更加立體．設計意圖：類比直線的圖形和符號表示給出平面的圖形和符號表示，使學生感悟數學研究方法的特點和一致性，平面的圖形表示實際也是其直觀圖表示，也可以進一步發展學生直觀想象素養．接下來，我們研究平面的基本性質．要研究平面，首先要確定平面．問題２：我們知道，兩點可以確定一條直線，那么幾個點可以確定一個平面？追問1：過一個點有多少個平面？答：無數個．追問2：過兩個點有多少個平面？答：無數個．追問3：過三個點有多少個平面？答：過同一條直線上的三個點有無數個平面，過不在同一直線上的三個點有且只有一個平面．追問4：過四個點能確定一個平面嗎？答：不一定．如圖：點A，C，D，E確定一個平面；點A，C，D，D'形成了一個三棱錐，確定4個平面．基本事實1：過不在一條直線的三個點，有且只有一個平面．注意：①三點不共線；②“有”，指平面的存在性；③“只有一個”，指平面的唯一性．思考：基本事實1說明“不共線的三點確定一個平面”，是從點和平面的位置關系的角度刻畫平面，如何將這一基本事實用圖形表示？如何用符號表示點和直線、平面的位置關系？答：如圖，不共線的三點A，B，C確定一個平面，記為平面ABC．直線上有無數個點，平面內也有無數個點，因此，直線、平面都可以看成是無數個點組成的集合，故點與直線、點與平面的關系是元素與集合的關系，用“∈”或“?”表示．如圖，點A在直線l上，記作A∈l；點B在直線l外，記作B?l；點A在平面α內，記作A∈α；點P說一說：你能舉出一些生活實例來驗證基本事實1嗎？答：如：自行車用一個腳架和兩個車輪著地就可以“站穩”；三腳架的三腳著地就可以支撐照相機；將教室的門的兩個鉸鏈看成兩個點，門插銷看成一個點，當插銷插上時，門不再動了．設計意圖：類比確定直線的問題提出確定平面的問題，得到“不共線的三點確定一個平面”，并給出其圖形表示以及點和直線、平面之間位置關系的集合符號表示．基本事實1刻畫了點與平面的位置關系，我們接下來研究直線與平面的位置關系．問題３：如果直線l與平面α有一個公共點P，直線l是否在平面α內？如果直線l與平面α有兩個公共點呢？答：如圖，若直線l上僅有一個點P在平面α內，則直線l不在平面α內，若直線l上有兩個點（不妨設為A、B）在平面α內，則直線l在平面α內．追問1：你能將上述事實歸納為一句話來表達嗎？答：將上述事實進行抽象，可得：基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內．追問2：基本事實2反映了直線和平面的位置關系，如何將這一基本事實用圖形表示？如何用符號表示直線和平面的位置關系？答：如圖直線l上有兩個點A、B在平面α內，則直線l在平面α內．直線與平面都可以看成是由無數個點構成的集合，它們之間的關系可看成集合與集合的關系，故用“?”或“?”表示．如圖，直線l上所有的點都在平面α內，就說直線l在平面α內，記作l?α；否則，就說直線l不在平面α內，記作這樣，基本事實2也可以用符號表示為：A∈l，B∈l，且A∈追問3：我們知道，平面具有“平”和“無限延展”的特征，而基本事實2反映了直線與平面的位置關系，我們能不能利用這種位置關系，用直線的“直”和“無限延伸”刻畫平面的“平”和“無限延展”？答：如圖，由基本事實1，給定不共線三點A，B，C，它們可以確定一個平面ABC；連接AB，BC，CA，由基本事實2，這三條直線都在平面ABC內，進而連接這三條直線上任意兩點所得直線也都在平面ABC內，所有這些直線可以編織成一個“直線網”，這個“直線網”可以鋪滿平面ABC．組成這個“直線網”的直線的“直”和向各個方向無限延伸，說明了平面的“平”和“無限延展”．設計意圖：結合基本事實1和2，用直線的“直”和“無限延伸”的基本特征說明平面的“平”和“無限延展”的基本特征，這也說明對于不加定義的“平面”概念，就是用刻畫它的基本事實說明其基本特征的，從而也加深對于平面概念的理解．基本事實1和2分別從點與平面、直線與平面關系的角度對平面進行了刻畫，接下來，我們從平面與平面關系的角度對平面進一步刻畫，思考下面的問題：問題４：把三角尺的一個角立在課桌面上，三角尺所在平面與課桌面所在平面是否只相交于一點？為什么？答：不止一個公共點．因為平面是無限延展的，把三角尺所在的平面延展，用它“穿透”課桌，可以想象，這兩個平面相交于一條直線．追問1：你還能舉出生活中其它平面與平面相交的例子嗎？答：如，教室相鄰的兩個墻面在地面的墻角處有一個公共點，這兩個墻面相交于過這個點的一條直線等．由此，我們可以歸納出基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．符號語言：若P∈α，且P∈β?α∩β=l且P∈注：如無特殊說明，本章中的兩個平面均指兩個不重合的平面．追問2：結合基本事實3，你能進一步說明平面的“平”和“無限延展”的特征嗎？答：基本事實3說明：如果兩個平面有一個公共點，那么這兩個平面一定相交于過這個公共點的一條直線．兩個平面相交成一條直線的事實，可以讓我們進一步認識了平面的“平”和“無限延展”．問題５：基本事實1給出了確定一個平面的一種方法．利用基本事實1和基本事實2，再結合“兩點確定一條直線”，你還可以得到一些確定一個平面的方法嗎？答：事實上，如圖（1），設點A是直線a外一點，在直線a上任取兩點B和C，則由基本事實1，經過A，B，C三點確定一個平面α，再由基本事實2，直線a也在平面α內，因此平面α經過直線a和點A，即一條直線和這條直線外一點確定一個平面．對圖（2）、（3）用類似的方法，可以得出兩條相交直線確定一個平面、兩條平行直線確定一個平面．總結：推論1：一條直線和該直線外一點確定一個平面；推論2：兩條相交直線確定一個平面；推論3：兩條平行直線確定一個平面．以上三條推論與基本事實1都是確立平面的依據．三、知識應用例1用符號表示下列語句，并畫出圖形：（1）點A在平面α內但在平面β外；（2）直線a經過平面α內一點A，α外一點B；（3）直線a在平面α內，也在平面β內．解：（1）A∈α，A?（2）A∈a，B∈a，A∈α，（3）α∩β=例2已知：A∈l，B∈l，求證：直線AD，BD，CD共面．分析：因為直線l與點D可以確定平面α，所以只需證明AD，BD，CD都在平面α內．證明：因為D?l，所以l與D可以確定平面因為A∈l，所以又D∈α，所以AD同理BD?α，CD?α，所以AD，BD，例3如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，P為棱BB分析：因為點P既在平面α內又在平面AB1內，所以點P在平面α與平面AB1的交線上.同理，點A1在平面α與平面AB1的交線上.因此，作法：連接AP，PC，A1C1，它們就是平面設計意圖：通過例題，考查學生對3個基本事實及其推論的理解，并鍛煉學生對點、直線、平面位置關系的“三種”語言的轉化能力．四、課堂練習1.判斷正誤，并說明理由：（1）平面α與平面β相交，它們只有有限個公共點．（2）一個點和一條直線確定一個平面．（3）兩兩相交的三條直線確定一個平面．（4）如果兩個平面有三個不共線的公共點，那么這兩個平面重合．2.下列推理錯誤的是（）A.lB.A∈lC.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β=ABD.A∈l3.如圖，正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，過對角線AC′的截面為菱形AEC′F，試著畫出截面AEC′F與底面ABCD的交線．4.若直線l與平面α相交于點O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，則O，C，D三點的位置關系是．參考答案：1.（1）錯誤，根據基本事實3，兩平面交于一條直線，有無限個公共點，錯誤．（2）錯誤，根據推論1，只有當點在線外，才能確定一個平面，若點在線上，則確定無數個平面，錯誤．（3）錯誤，若交點不重合，則能確定一個平面，若交點重合，則可能確定三個平面，錯誤．（4）正確，若兩平面平行，無公共點；若相交，交點共線.故重合，正確．2.A選項，l?α，可能lB選項，根據基本事實2可知，B選項正確；C選項，因為A∈α，A∈βD選項，顯然正確．故選擇A選項．3.延長CB、C′E交于點M，延長CD、C′F交于點N，連接MN，則平面C′MN即截面AEC′F，故MN即所需畫的交線．4.解：如圖，∵AC∥BD，∴AC，BD確定一個平面，設為平面β，則C，D，l均在平面β內，∵點O在直線l上，∴點O在平面β內，又點O，C，D在平面α內，∴平面α，β相交于O，C，故O，C，D三點共線．五、歸納總結回顧本節課的內容，你都學到了什么？答：三個基本事實即三個推論，具體內容如下：基本事實1：過不在一條直線的三個點，有且只有一個平面．基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內．基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．推論1：一條直線和該直線外一點確定一個平面．推論2：兩條相交直線確定一個平面．推論3：兩條平行直線確定一個平面確定一個平面．平面的三個基本事實通過點、直線與平面的相互關系刻畫了平面的基本性質“平”和“無限延展”．板書設計8.8.4.1平面一、平面的表示表示為：α，β，γ，…；平面ABCD；平面AC、平面BD．二、基本事實基本事實1：過不在一條直線