安徽省滁州市2025屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（滁州一模）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則（

）A. B.3 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】先求得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則求解即可.【詳解】由，得，則.故選：C.2.已知集合，，則（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解指數(shù)不等式求得集合，利用交集的意義即可求解.【詳解】集合，，所以.故選：A.3.已知單位向量，滿足，則在上的投影向量為（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用投影向量公式計(jì)算即可.【詳解】因，，所以在上的投影向量為故選：C.4.已知角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有一點(diǎn)，則（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三角函數(shù)的定義可求得，，，利用二倍角的余弦公式可求值.【詳解】由題意可得，，因此，，所以，，，，所以故選：B.5.已知數(shù)列的第1項(xiàng)和第2項(xiàng)均為1，以后各項(xiàng)由給出.若數(shù)列的各項(xiàng)除以3所得余數(shù)組成一個(gè)新數(shù)列，則（

）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】利用數(shù)列的遞推式求得數(shù)列的項(xiàng)，進(jìn)而求得各項(xiàng)除以3的余數(shù)組成的新數(shù)列是周期為8的數(shù)列，進(jìn)而可求解.【詳解】因?yàn)椋詳?shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，，此數(shù)列各項(xiàng)除以3的余數(shù)依次構(gòu)成的數(shù)列為1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，，是以8為周期的周期數(shù)列，所以故選：A.6.中國被稱為“制扇王國”，折扇的起源歷史悠久，最早可以追溯到西漢時(shí)期.現(xiàn)有一把折扇，其結(jié)構(gòu)如圖.完全展開后扇面的圓心角為，上板長為若把該扇面圍成一個(gè)圓臺，則圓臺的高為（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用幾何扇形弧長計(jì)算，結(jié)合圓臺的幾何特征計(jì)算即可.【詳解】設(shè)小扇形的半徑為xcm，則大扇形的半徑為，設(shè)圓臺的上下底面半徑分別為，則，所以，所以，所以圓臺的高為故選：7.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且在區(qū)間內(nèi)有且只有兩條對稱軸，則（

）A.在區(qū)間上單調(diào)遞增 B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡函數(shù)，利用函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，在區(qū)間內(nèi)有且只有兩條對稱軸，可求得，利用整體法可求得單增區(qū)間與單減區(qū)間判斷即可.【詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，所以，又，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有兩條對稱軸，所以，所以，所以，所以，由，可得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤，B正確由，可得，故C，D錯(cuò)誤.故選：B.8.已知函數(shù)，是的反函數(shù).若，滿足，則的最大值為（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用等式變形，再同構(gòu)一個(gè)函數(shù)，滿足，再由單調(diào)性去找到等式關(guān)系，最后把二元變量轉(zhuǎn)化為一元變量：，再用函數(shù)思想來求最大值即可.【詳解】由題意得，因?yàn)椋裕裕睿瑒t，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以所以，令，則，令，則，所以在R上單調(diào)遞減，又所以當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故選：D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法中正確的是（

）A.一個(gè)樣本（數(shù)據(jù)不全為3）的平均數(shù)為3，若添加一個(gè)新數(shù)據(jù)3組成一個(gè)新樣本，則新樣本的平均數(shù)不變，方差變小B.在成對樣本數(shù)據(jù)中，兩個(gè)變量間的樣本相關(guān)系數(shù)越小，則它們的線性相關(guān)程度越弱C.數(shù)據(jù)，53，56，69，70，72，79，65，80，45，41的極差為40，則這組數(shù)據(jù)的第m百分位數(shù)為79D.依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷兩個(gè)分類變量X與Y之間是否有關(guān)聯(lián)，經(jīng)計(jì)算得，則可以認(rèn)為“X與Y沒有關(guān)聯(lián)”【答案】AC【解析】【分析】利用平均數(shù)與方差的定義可判斷A；由相關(guān)系數(shù)的概念可判斷B；利用百分位的定義求解可判斷C；由獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義可判斷D.【詳解】一個(gè)樣本（數(shù)據(jù)不全為3）的平均數(shù)為3，若添加一個(gè)新數(shù)據(jù)3組成一個(gè)新樣本，則新樣本的平均數(shù)不變，根據(jù)方差公式，可知方差變小，故A正確；兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)越小，則兩者的線性相關(guān)程度越弱，故B錯(cuò)誤;除m外，剩余數(shù)據(jù)的極差為，因?yàn)樗袛?shù)據(jù)的極差為40，且，所以把數(shù)據(jù)技從小到大題序排列，得：41，45，53，56，65，69，70，72，79，80，由，所以這組數(shù)據(jù)的第m百分位數(shù)為第9個(gè)，為故C正確;零假設(shè)為與Y相互獨(dú)立，即X與Y沒有關(guān)聯(lián)，由，可知依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認(rèn)為“X與Y有關(guān)聯(lián)”，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知函數(shù)的極值點(diǎn)從小到大依次為，，，，是的導(dǎo)函數(shù)，則（

）A. B.C.是極小值點(diǎn) D.【答案】ACD【解析】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，為研究導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，構(gòu)造函數(shù)，通過對其求導(dǎo)，分段討論研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而研究函數(shù)的極值點(diǎn)，判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】，定義域?yàn)椋瑒t，.因?yàn)椋裕裕蔬x項(xiàng)A正確；令，則.①考慮的情況：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，，當(dāng)且時(shí)，，則存在，使得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則，故；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則，故②考慮的情況：當(dāng)時(shí)，，，且等號不能同時(shí)取得，則，此時(shí).結(jié)合①可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)在處取得極大值，可知，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；③考慮的情況：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，當(dāng)且時(shí)，，則存在，使得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則，此時(shí)；④考慮的情況：當(dāng)時(shí)，，，且等號不能同時(shí)取得，則，此時(shí)；結(jié)合③可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，可知，即是的極小值點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確；⑤考慮的情況：可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，同①可知，存在，使得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；綜合可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可知.由題可知，，.令，，則，可得，，可得，由可得，則，則，即，.又，則，，，可得，即，則，即，即，可得.又，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，可得，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.11.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，則（

）A.E的離心率B.若直線l與E的左右兩支均有交點(diǎn)，則m的取值范圍為C.若直線l與E的漸近線在y軸右側(cè)交于M，N兩點(diǎn)，則面積的最小值為D.若直線l與E右支交于A，B兩點(diǎn)，弦AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P，則【答案】ABD【解析】【分析】對于A：根據(jù)方程可得，即可得離心率；對于B：根據(jù)雙曲線的幾何意義分析判斷；對于C：聯(lián)立方程求M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得面積；對于D：聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求，求弦AB的垂直平分線和點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】對于雙曲線E：，可知，，，則右焦點(diǎn)，漸近線方程為.對于選項(xiàng)A：雙曲線的離心率為，故A正確；對于選項(xiàng)B：直線l：，過定點(diǎn)，斜率為，若直線l與雙曲線E的左右兩支均有交點(diǎn)，則直線l的斜率應(yīng)滿足，可得，故B正確；對于選項(xiàng)C：聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，可取，，由點(diǎn)M，N在y軸右側(cè)，可得，解得或，即，則，同理可得，則，因?yàn)椋裕蔆錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：聯(lián)立，可得，設(shè)，，則，可得，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為，則，，可知弦AB的垂直平分線的斜率為，則弦AB的垂直平分線的方程為，令，可得，即，則，，所以，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與圓錐曲線有關(guān)的取值范圍問題的三種解法1.數(shù)形結(jié)合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后數(shù)形結(jié)合求解；2.構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求量為元的不等式求解；3.構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其值域．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)恒過定點(diǎn)，則__________.【答案】【解析】【分析】令求解即可.【詳解】令，則，又，所以過定點(diǎn)，即，，所以故答案為：13.已知兩點(diǎn)，，動點(diǎn)M滿足，拋物線的焦點(diǎn)為F，動點(diǎn)N在C上，則的最小值為__________.【答案】3【解析】【分析】設(shè)，由已知求得點(diǎn)M的軌跡方程，數(shù)形結(jié)合可求得的最小值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)M滿足，設(shè)，則，兩邊平方整理得，即點(diǎn)M的軌跡為圓心，半徑為2的圓，的最小值是M到準(zhǔn)線的最短距離，因?yàn)镹可以選擇在拋物線上，使得N到M的距離加上N到準(zhǔn)線的距離最小，圓心到準(zhǔn)線的距離是，圓的半徑是2，所以M到準(zhǔn)線的最短距離是，因此，的最小值是故答案為：14.如圖，某停車區(qū)域共有6個(gè)停車位，現(xiàn)有3輛白色汽車和2輛黑色汽車將停在車位上.記黑色汽車之間的白色汽車數(shù)為X，則X的數(shù)學(xué)期望為__________.【答案】1【解析】【分析】由題意可知，，根據(jù)隨機(jī)變量表示的意義，通過計(jì)算每個(gè)可能的值的概率，再由這些概率利用期望計(jì)算公式計(jì)算數(shù)學(xué)期望

.【詳解】X可能的取值為：0，1，2，3，則，，，，所以X的數(shù)學(xué)期望為????故答案為：1.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且（1）求（2）已知，D為AB邊上一點(diǎn)，且，，求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得，利用三角恒等變換可得，可求；（2）由已知可得，可求得，利用余弦定理可求得，進(jìn)而可得為等腰三角形，可求解.【小問1詳解】由可得，即，所以，又因?yàn)椋裕Y(jié)合，所以；【小問2詳解】由題可知，與相似，則，設(shè)，則，有，故，所以，在中，，解得：，所以，所以為等腰三角形，所以16.已知橢圓的焦距為2，且經(jīng)過點(diǎn)，M為C的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線l與C交于點(diǎn)異于點(diǎn)（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知可得，，求解即可；（2）設(shè)與直線PM平行的直線l的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用時(shí)，求得切線方程，進(jìn)而求得橢圓上的點(diǎn)到直線PM的距離的最大值，進(jìn)而求得面積的最大值.【小問1詳解】由題，故，把代入橢圓方程中得到，解得：，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】由題，直線PM的方程為，設(shè)與直線PM平行的直線m的方程為，當(dāng)直線m與橢圓相切時(shí)，切點(diǎn)到直線PM距離取得最大值，Q為切點(diǎn)時(shí)，面積最大，把代入橢圓方程中得：，當(dāng)直線m與橢圓相切時(shí)，距離最大，故有，即，所以，即，當(dāng)時(shí)，與之間的距離即為橢圓上點(diǎn)到直線PM距離的最大值，此時(shí)，所以面積最大值為17.如圖（1）所示，在中，，，，E為AC中點(diǎn).過點(diǎn)E作，垂足為現(xiàn)將沿EF翻折至，如圖（2）所示，連接PB，PC，過點(diǎn)P作，垂足為G，且（1）若平面平面，求證：；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用已知易證，可得平面，利用線面平行的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）利用已知可證平面，過在平面內(nèi)作，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面PEC一個(gè)法向量和平面PBC的一個(gè)法向量，利用向量法可求二面角的正弦值.【小問1詳解】在圖（1）中，，，所以，，為AC的中點(diǎn)，，所以，，，所以G為AB的中點(diǎn)，所以，在圖（2）中，平面PEG，平面PEG，所以平面，平面，平面平面，所以；【小問2詳解】在圖（2）中，因?yàn)椋琍F、平面PBF，所以平面PBF，又平面EFBC，所以平面平面EFBC，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫嬗桑?）知，即，又，所以，過在平面內(nèi)作，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面PEC的法向量為，則，令，解得，所以設(shè)平面PBC的法向量為，則，令，解得，所以，所以，所以，所以二面角的正弦值為.18.已知函數(shù)（1）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;（2）若，求證：有且只有1個(gè)零點(diǎn).【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由已知可得，令，利用導(dǎo)數(shù)可得，進(jìn)而可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得即可；（2）求導(dǎo)得，分，，三種情況討論中可證得結(jié)論.【小問1詳解】由可得，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以等價(jià)于，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為；【小問2詳解】，當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，又，，由零點(diǎn)存在性定理可知，在區(qū)間上存在1個(gè)零點(diǎn)，故此時(shí)有1個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因，當(dāng)時(shí)，，取，則，且，由零點(diǎn)存在性定理可知，在區(qū)間上存在1個(gè)零點(diǎn)，故此時(shí)有1個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，由于，所以，所以，所以，所以又，，由零點(diǎn)存在性定理可知，在區(qū)間上存在1個(gè)零點(diǎn)，故此時(shí)有1個(gè)零點(diǎn).綜上可知，當(dāng)時(shí)，有且只有1個(gè)零點(diǎn)，得證.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問題：（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問題，可