杭州市2019初三年級數學上冊期中測試卷（含答案解析）

杭州市2019初三年級數學上冊期中測試卷（含答案解析）

一、選擇題（每題3分，共24分）

1?假設方程x2-3x-l=0的兩根為xl、x2，那么的值為U

A.3B.-3C.D.

2.二次函數尸（x-1）2+2的最小值是

A.-2B.2C.-1D.1

3.關于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m=0有兩個實數根，那么m

的取值范圍是（）

A.m>0B.m^OC.田>0且mWlD.m20，且mHl

4.如圖，不是中心對稱圖形的是

A.B.C.D.

5.如圖，點A、C、B在00上,ZAOB=ZACB=a，那么a的值為U

A.135°B.120°C.110°D.100°

6.如圖，。0的半徑為5,弦AB=8,M是弦AB上的動點，那么0M不可能

為□

A.2B.3C.4D.5

7.如圖，假設a<0,b>0,c<0，那么拋物線y=ax2+bx+c的大致圖象

為□

A.B.C.D.

8.兩圓半徑為5cm和3cm，圓心距為3cm,那么兩圓的位置關系是（）

A.相交B.內含C.內切D.外切

二、填空題［每題3分，共18分）

9.點P(2,-3)關于原點的對稱點P'的坐標為.

10.如圖,PA,PB分別切。0于點A、B,ZP=60°,PA=8，那么弦AB的

長是.

11.在半徑為的圓中,60°的圓心角所對的弧長等于.

12.在一個不透明的盒子中裝有2個白球，n個黃球，它們除顏色不同外，

其余均相同.假設從中隨機摸出一個球，它是白球的概率為，那么

13.關于x的方程(m2-1)x3+(m-1)x2+2x+6=0,當m=時為一元二次

方程.

14.將拋物線尸2x2向下平移1個單位，得到的拋物線是

三、解答題(共58分)

15.解方移.x2-+2=0

16.如圖，是某幾何體的平面展開圖，求圖中小圓的半徑.

17.如圖，在aABC中，/C=90°,AD是NBAC的平分線，0是AB上一

點，以0A為半徑的。0經過點D.

m求證：BC是。o切線；

(2)假設BD=5,DC=3，求AC的長.

18.某市場銷售一批名牌襯衫，平均每天可銷售20件，每件贏利40元.為

了擴大銷售，增加贏利，盡快減少庫存，商場決定采取適當降價措施.經

調查發現，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件.求：

(1)假設商場平均每天要贏利1200元，每件襯衫應降價多少元？

(2)要使商場平均每天贏利最多，請你幫助設計方案.

19.如圖是一個半圓形橋洞截面示意圖，圓心為0，直徑AB是河底線，

弦CD是水位線，CD〃AB,且AB=26m,0EJ_CD于點E.水位正常時測得0E：

CD=5：24

⑴求CD的長;

(2)現汛期來臨，水面要以每小時4m的速度上升，那么經過多長時間橋

洞會剛剛被灌滿？

20.二次函數y=x2+bx+c的圖象如下圖，它與x軸的一個交點的坐標為(-

1,0)，與y軸的交點坐標為(0,-3).

(1)求此二次函數的解析式；

(2)求此二次函數的圖象與x軸的另一個交點的坐標；

(3)根據圖象答復：當x取何值時,y<0?

21.在邊長為1的方格紙中建立直角坐標系xoy,0、A、B三點均為格點.

(1)直接寫出線段OR的長；

(2)將△OAB繞點。沿逆時針方向旋轉90。得到△0A'B'.請你畫出

△0A'B'，并求在旋轉過程中，點B所經過的路徑的長度.

22.在一個不透明的口袋中有四個手感完全一致的小球，四個小球上分

別標有數字-4,-1,2,5

(1)從口袋中隨機摸出一個小球，其上標明的數是奇數的概率是多少？

(2)從口袋中隨機摸出一個小球不放回，再從中摸出第二個小球

①請用表格或樹狀圖表示先后摸出的兩個小球所標數字組成的可能結

果？

②求依次摸出的兩個小球所標數字為橫坐標，縱坐標的點位于第四象限

的概率有多大？

23.某農場要建一個長方形ABCD的養雞場，雞場的一邊靠墻，(墻長25m)

另外三邊用木欄圍成，木欄長40nl.

(1)假設養雞場面積為168nl2，求雞場垂直于墻的一邊AB的長.

(2)請問應怎樣圍才能使養雞場面積最大？最大的面積是多少？

(3)養雞場面積能到達205nl2嗎？如果能，請給出設計方案，如果不能，

請說明理由.

24.如圖，對稱軸為直線x二的拋物線經過點A(6,0)和B[0,4).

(1)求拋物線解析式及頂點坐標；

(2)設點E(x,y)是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形0EAF

是以OA為對角線的平行四邊形，求平行四邊形0EAF的面積S與x之間的

函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

①當平行四邊形OEAF的面積為24時，請判斷平行四邊形OEAF是否為菱

形？

②是否存在點E，使平行四邊形OEAF為正方形？假設存在，求出點E的

坐標；假設不存在，請說明理由.

杭州市2019初三年級數學上冊期中測試卷(含答案解析)參考答案與試題

解析

一、選擇題(每題3分，共24分)

1.假設方程x2-3x-1=0的兩根為xl、x2，那么的值為()

A.3B.-3C.D.

考點：根與系數的關系.

分析：由方程x2-3x-1=0的兩根為xl、x2,根據一元二次方程根與系

數的關系，即可求得xl+x2=3,xl+x2=-l,再把它代入要求的式子即可得

出答案.

解答：解：???方程x2-3x-l=0的兩根為xl、x2,

/.xl+x2=3,xlx2=-1,

，==-3；

應選B.

點評：此題考查了一元二次方程根與系數的關系，解題的關鍵是掌握：

假設二次項系數為1,常用以下關系：xl,x2是方程x2+px+q=0的兩根

時，xl+x2=-p,xlx2=q性質的應用.

2.二次函數尸（x-1）2+2的最小值是（）

A.-2B.2C.-1D.1

考點：二次函數的最值.

分析：考查對二次函數頂點式的理解.拋物線尸［x-1）2+2開口向上,

有最小值，頂點坐標為（1,2），頂點的縱坐標2即為函數的最小信.

解答：解：根據二次函數的性質，當x=l時，二次函數尸（x-l）2+2

的最小值是2.

應選：B.

點評：求二次函數的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得

出，笫二種是配方法，笫三種是公式法.

3.關于x的一元二次方程（ni-l）x2-2mx+m=0有兩個實數根，那么m

的取值范圍是（）

A.m>0B.niNOC.田>0且mWlD.m20，且mWl

考點：根的判別式；一元二次方程的定義.

分析：令△=b2-4ac20，且二次項系數不為0，即可求得m的范圍.

解答：解：由題意得：4n12-4（m-1）m>0；m-17^0,

解得：m20,且mWl,

應選D.

點評：一元二次方程有實數根應注意兩種情況：△》（），二次項的系數不

為0.

4.如圖，不是中心對稱圖形的是（）

A.B.C,D.

考點：中心對稱圖形.

分析：根據中心對稱圖形的概念即可求解.

解答：解：根據中心對稱圖形的概念：在同一平面內，如果把一個圖形

繞某一點旋轉180度，旋轉后的圖形能和原圖形完全重合，可知A、B、C

是中心對稱圖形；D不是中心對稱圖形.

應選D.

點評：掌握中心對稱圖形的概念.中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋

轉180度后與原圖重合.

5.如圖，點A、C、B在。0上，NA0B=NACB=a，那么a的值為（）

A.135°B.120°C.110°D.100°

考點：圓周角定理.

分析：先運用“在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于圓心角

的一半〃，再運用周角360°即可解.

解答：解：ZACB=a

???優弧所對的圓心角為2a

.\2a+a=360o

/.a=120°.

應選B.

點評：此題利用了圓內接四邊形的性質和圓周角定理：在同圓或等圓中，

同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

6.如圖的半徑為5,弦AB=8,M是弦AB上的動點，那么0M不可能

為□

A.2B.3C.4D.5

考點：垂徑定理；勾股定理.

專題：壓軸題；動點型.

分析：0M最長邊應是半徑長，根據垂線段最短，可得弦心距最短，分別

求出后即可判斷.

解答：解：①M與A或B重合時0M最長，等于半徑5；

②;半仔為5，弦AB=8

Z0MA=90°,0A=5,AM=4

???0M最短為=3,

???3W0MW5,

因此OM不可能為2.

應選A.

點評：解決此題的關鍵是：知道0M最長應是半徑長，最短應是點。到

AB的距離長.然后根據范圍來確定不可能的值.

7.如圖，假設a<0,b>0,c<0，那么拋物線y=ax2+bx+c的大致圖象

為1)

A.B.C.D.

考點：二次函數圖象與系數的關系.

分析：由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷

C的符號，然后根據對稱軸及拋物線與X軸交點情況進行推理，進而對所

得結論進行判斷.

解答：解：Va<0,

???拋物線的開口方向向下，

故第三個選項錯誤；

Vc<0,

.二拋物線與y軸的交點為在y軸的負半軸上，

故第一個選項錯誤；

Va<0,b>0，對稱軸為x=>0,

???對稱軸在y軸右側，

故第四個選項錯誤.

應選B.

點評：考查二次函數y=ax2+bx+c系數符號確實定.

8.兩圓半徑為5cm和3cm，圓心距為3cm，那么兩圓的位置關系是（）

A.相交B.內含C.內切D.外切

考點：圓與圓的位置關系.

分析：兩圓半徑為5cm和3cm,圓心距為3cm,根據圓心距大于半徑之差

小于半徑之和進行作答.

解答：解：二?兩圓的半徑分別是3cm和5cm，圓心距為3cm,

5-3=2,3+5=8,

.\2<3<8,

???兩圓相交.

應選A.

點評：此題考查了兩圓的位置關系與數量之間的聯系.解題的關鍵是熟

知兩圓的圓心距與兩圓的半徑之間的關系.

二、填空題(每題3分，共18分)

9.點P(2,-3)關于原點的對稱點P'的坐標為(-2,3).

考點：關于原點對稱的點的坐標.

專題：常規題型.

分析：由關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數，即可求出

答案.

解答：解：因為關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數，

所以：點［2,-3)關于原點的對稱點的坐標為［-2,3).

故答案為：(-2,3).

點評：考查了關于原點對稱的點的坐標，解決此題的關鍵是掌握好對稱

點的坐標規律：

(1)關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數；

(2)關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數；

(3)關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數.

10.如圖,PA,PB分別切。。于點A、B,ZP=60°,PA=8，那么弦AB的

長是8.

考點：切線的性質；等邊三角形的判定與性質.

分析：由PA,PB分別切。。于點A、B,根據切線長定理，即可求得PA二PB,

又由NP=60°，即可證得4PAB是等邊三角形，由PA=8,那么可求得弦AB

的長.

解答：解：:PA,PB分別切。0于點A、B,

Z.PA=PB,

VZP=60°,

???△PAB是等邊三角形,

.\AB=PA=PB,

,.,PA=8,

?.AB=8.

故答案為：8.

點評：此題考查了切線長定理與等邊三角形的判定與性質.此題比擬簡

單，解題的關鍵是注意熟記切線長定理，注意數形結合思想的應用.

11.在半徑為的圓中,60°的圓心角所對的弧長等于2.

考點：弧長的計算.

分析：弧長公式為1二，把半徑和圓心角代入公式計算就可以求出弧長.

解答：解：1===2,

故答案為：2.

點評：此題主要考查了弧長計算，關鍵是掌握弧長計算公式.

12.在一個不透明的盒子中裝有2個白球5個黃球，它們除顏色不同外，

其余均相同.假設從中隨機摸出一個球，它是白球的概率為，那么n二

3.

考點：概率公式.

專題：計算題.

分析：先求出這個不透明的盒子中裝有2+n個球，根據概率公式列出算

式=，從而求出答案.

解答：解：這個不透明的盒子中裝有2+n個球，

又?.?從中隨機摸出一個球，它是白球的概率為，

解得n=3,

故答案為3.

點評：此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件

的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P(A)=.

13.關于x的方程(m2-1)x3+(m-1)x2+2x+6=0，當m=-1時為

一元二次方程.

考點：一元二次方程的定義.

分析：根據一元二次方程的定義列出方程和不等式求解即可.

解答：解：二?關于x的方程(m2-1)x3+(m-1)x2+2x+6=0,為一元二

次方春，

解得：m=-1.

點評：此題考查一元二次方程的定義.

判斷一個方程是否是一元二次方程必須具備以下3個條件：

(1)是整式方程，

(2)只含有一個未知數,

(3)方程中未知數的最高次數是2.

這三個條件缺一不可，尤其要注意二次項系數in-1W0這個最容易被忽

略的條件.

14.將拋物線y二2x2向下平移1個單位，得到的拋物線是

尸2x2-1.

考點：二次函數圖象與幾何變換.

專題：數形結合.

分析：由于拋物線向下平移1個單位，那么x=x,y'=y-l,代入原拋

物線方程即可得平移后的方程.

解答：解：由題意得：，

代入原拋物線方程得：yT+l=2xr2,

即y=2x2-1.

故答案為y=2x2-1.

點評：此題考查了二次函數圖象的幾何變換，重點是找出平移變換的關

系.

三、解答題(共58分)

15.解方程.x2-+2=0

考點：解一元二次方程-公式法.

專題：計算題.

分析：把a=1,b=-2,c=2代入求根公式計算即可.

解答：解：Va=l,b=-2,c=2,

Ab2-4ac=(-2)2-4X1X2=0,

x===,

.\xl=x2=.

點評：此題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0[aNO,a,b人為常數)

的求根公式：x=(b2-4ac?0).

16.如圖，是某幾何體的平面展開圖，求圖中小圓的半徑.

考點：弧長的計算.

分析：可觀察此圖是一個圓錐的展開面，那么利用小圓周長是弧長，列

出方程求解即可.

解答：解：這個幾何體是圓錐，假設圖中小圓的半徑為r,

??,扇形弧長等于小圓的周長，

即1==2?n?r,

點評：此題的關鍵是理解底面積的周長是弧長，然后列方程求解.

17.如圖，在AABC中，NO90°,AD是NBAC的平分線，0是AB上一

點，以0A為半徑的。。經過點D.

(1)求證：BC是切線；

(2)假設BD=5,DC=3，求AC的長.

考點：切線的判定.

專題：幾何綜合題.

分析：m要證RC是GO的切線，只要連接0D，再證ODJLBC即可.

(2)過點D作DELAB，浪據角平分線的性質可知CD=DE=3，由勾股定理

得到BE的長，再通過證明△BDEs^BAC，根據相似三角形的性質得出AC

的長.

解答：(1)證明：連接0D；

???AD是NBAC的平分線,

：.Zi=Z3.門分)

OA=OD,

AZ1=Z2.

???/2=N3.

???〃AC.(2分)

AZ0DB=ZACB=90°.

.OD±BC.

???BC是。0切線.（3分）

（2）解：過點D作DELAB,

TAD是NBAC的平分線,

ACD=DE=3.

在RtABDE中，ZBED=90°,

由勾股定理得：，14分）

VZBED=ZACB=90°,ZB=ZB,

/.△BDE^ABAC.（5分）

.??AO6.（6分）

點評：此題綜合性較強，既考查了切線的判定，要證某線是圓的切線，

此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可.同時考

查了角平分線的性質，勾股定理得到BE的長，及相似三角形的性質.

18.某市場銷售一批名牌襯衫，平均每天可銷售20件，每件贏利40元.為

了擴大銷售，增加贏利，盡快減少庫存，商場決定采取適當降價措施,經

調查發現，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件.求：

（1）假設商場平均每天要贏利1200元，每件襯衫應降價多少元？

（2）要使商場平均每天贏利最多，請你幫助設計方案.

考點：二次函數的應用.

專題：方案型.

分析：（1）總利潤二每件利潤X銷售量.設每天利潤為w元，每件襯衫

應降價x元，據題意可得利潤表達式，再求當w=1200時x的值；

（2）根據函數關系式，運用函數的性質求最值.

解答：解：設每天利潤為w元，每件襯衫降價x元，

根據題意得w=(40-X)(20+2x)=-2x2+60x+800=-2(x-15)2+1250

(1)當w=1200時，-2x2+60x+800=1200,

解之得xl=10,x2=20.

根據題意要盡快減少庫存，所以應降價20元.

答：每件襯衫應降價20元.

(2)解:商場每天盈利(40-x)(20+2x)

二-2(x-15)2+1250.

當x=15元時，商場盈利最多，共1250元.

答：每件襯衫降價15元時，商場平均每天盈利最多.

點評：此題重在考查根據題意寫出利潤的表達式是此題的關鍵.

19.如圖是一個半圓形橋洞截面示意圖，圓心為0，直徑AB是河底線，

弦CD是水位線,CD〃AB,且AB=26m,0E_LCD于點E.水位正常時測得OE：

CD=5：24

⑴求CD的長；

(2)現汛期來臨，水面要以每小時4m的速度上升，那么經過多長時間橋

洞會剛剛被灌滿？

考點：垂徑定理的應用；勾股定理.

分析：(1)在直角三角形EOD中利用勾股定理求得ED的長，2ED等于

弦CD的長；

(2)延長0E交圓0于點F求得EF=0「-0￡二13-5二801,然后利用，所以

經過2小時橋洞會剛剛被灌滿.

解答：解：(1)???直徑AB=26m,

???0D=

VOE±CD,

VOE：CD=5：24,

AOE：ED=5：12,

?,?設OE=5x,ED=12x,

，在RSODE中(5x)2+(12x)2=132,

解得x=l,

.*.CD=2DE=2X12Xl=24m；

(2)由(1)得OE=lX5=5m,

延長OE交圓。于點F,

.*.EF=0F-0E=13-5=8m,

???，即經過2小時橋洞會剛剛被灌滿.

點評：此題主要考查了垂徑定理的應用以及勾股定理等知識，求陰影局

部面積經常運用求出空白面積來解決.

20.二次函數y=x2+bx+c的圖象如下圖，它與x軸的一個交點的坐標為(-

1,0)，與y軸的交點坐標為［0,-3).

(1)求此二次函數的解析式；

(2)求此二次函數的圖象與x軸的另一個交點的坐標；

(3)根據圖象答復：當x取何值時,y<0?

考點：拋物線與x軸的交點.

專題：代數綜合題.

分析：(1)將,0〕和［0,-3)兩點代入二次函數y=x2+bx+c,

求得b和c；從而得出拋物線的解析式；

(2)令y=0，解得xl,x2，得出此二次函數的圖象與x軸的另一個交點

的坐標；

（3）由圖象得當-1VXV3時,y<0.

解答：解：（1）由二次函數y=x2+bx+c的圖象經過（-1,0）和［0,

-3）兩點,

得（1分）

解這個方程組，得（2分）

???拋物線的解析式為y=x2-2x-3.（3分）

（2）令y=0，得x2-2x-3=0.

解這個方程，得xl=3,x2=-l.

???此二次函數的圖象與x軸的另一個交點的坐標為［3,0）.（5分）

（3）當-1VxV3時,y<0.（6分）

點評：此題是一道綜合題，考查了二次函數與x軸的交點問題以及用待

定系數法求二次函數的解析式.

21.在邊長為1的方格紙中建立直角坐標系xoy,0、A、B三點均為格點.

（1）直接寫出線段0B的長；

（2）將△OAB繞點0沿逆時針方向旋轉90°得到△OA'B'.請你畫出

△0A'B'，并求在旋轉過程中，點B所經過的路徑的長度.

考點：作圖-旋轉變換；弧長的計算.

專題：計算題；網格型.

分析：在網格里，將AOAB繞點0按逆時針方向旋轉90°，需要充分運

用網格，坐標軸的垂直關系畫圖，計算弧長，要明確這段弧的圓心0，半

徑0B.

解答：解：m0B=3；

(2)圖形如右圖.

點評：在網格或者坐標系里對圖形旋轉90。或180。，要充分運用已有

的垂直關系畫圖.

22.在一個不透明的口袋中有四個手感完全一致的小球，四個小球上分別

標有數字-4,-1,2,5

(1)從口袋中隨機摸出一個小球，其上標明的數是奇數的概率是多少？

(2)從口袋中隨機摸出一個小球不放回，再從中摸出第二個小球

①請用表格或樹狀圖表示先后摸出的兩個小球所標數字組成的可能結

果？

②求依次摸出的兩個小球所標數字為橫坐標，縱坐標的點位于第四象限

的概率有多大？

考點：列表法與樹狀圖法；概率公式.

分析：(1)利用古典概率的求解方法即可求得答案，用到的知識點為：

概率二所求情況數與總情況數之比；

(2)依據題意先用列表法或畫樹狀圖法分析所有等可能的出現結果，然

后根據概率公式求出該事件的概率即可.

解答：解：(1)從口袋中隨機摸出一個小球，其上標明是奇數的概率是

P==0.5；

(2)①用表格表示摸出的兩個小球所標數字所有可能出現的結果如下所

示：

第一次摸出小球的數字第二次摸出小球后

所構成的坐標組合

-4(-4,-1)[-4⑵(-4,5)

-1(-1,-4)(-1,2)(-1,5)

2(2,-4)[2,-1)[2,5)

5(5,-4)(5,-1)[5,2)

②位于第四象限的點有(2,-4)、(2,-1)、(5,-4)、(5,-1)這四

個，

依次摸出兩個小球所標數字為橫、縱坐標的點位于第四象限的概率有P二

*

點評：此題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率，以及古典概率的求

解方法.列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，

適合于兩步完成的事件.用到的知識點為：概率二所求情況數與總情況數

之比.

23.某農場要建一個長方形ABCD的養雞場，雞場的一邊靠墻，(墻長25m)

另外三邊用木欄圍成，木欄長40m.

(1)假設養雞場面積為168nl2，求雞場垂直于墻的一邊AB的長.

(2)請問應怎樣圍才能使養雞場面積最大？最大的面積是多少？

(3)養雞場面積能到達205m2嗎？如果能，請紿出設計方案，如果不能，

請說明理由.

考點：二次函數的應用.

分析：(1)首先設雞場垂直于墻的一邊AB的長為x米，然后根據題意

可得方程x(40-2x)=168,即可求得x的值，又由墻長25m,可得x=14,

那么問題得解；

(2)設圍成養雞場面積為S，由題意可得S與x的函數關系式，由二次

函數最大值的求解方法即可求得答案；

(3)根據(2)中的結果，即可知養雞場面積不能到達205米2.

解答：解：(1)設雞場垂直于墻的一邊AB的長為x米，

那么x(40-2x)=168,

整理得：x2-20x+84=0,

解得:xl=14,x2=6,

???墻長251n,

???0<BC<25,SP0^40-2x<25,

解得：7.5<xW20,

/.x=14.

答：雞場垂直于墻的一邊AB的長為14米.

(2)圍成養雞場面積為S,

那么S=x(40-2x)=-2x2+40x=-2(x2-20x)=-2(x2-20x+102)

+2X102=-2(x-10)2+200,

V-2(x-10)2<0,

???當x=10時)有最大值200.

即雞場垂直于墻的一邊AE的長為10米時，圍成養雞場面積最大，最大值

200米2.

(3)不能，由(2)可知養雞場面積最大值200米2,故養雞場面積不能

到達205米2.

點評：此題考查了一元二次方程與二次函數的實際應用.解題的關鍵是

理解題意，根據題意列方程與函數.

24.如圖，對稱軸為直線x二的拋物線經過點A[6,0)和B[0,4).

(1)求拋物線解析式及頂點坐標；

(2)設點E(x,y)是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形OEAF

是以0