導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第三章第1講導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算欄目導(dǎo)航01課前基礎(chǔ)診斷03課后感悟提升02課堂考點(diǎn)突破04配套訓(xùn)練課前基礎(chǔ)診斷1(x0，y0)

切線斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)cosx

－sinx

axlna

ex

f′(x)±g′(x)

f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)2．如圖所示為函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的圖象可能是(

)【答案】D【解析】由y＝f′(x)的圖象知y＝f′(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，說明函數(shù)y＝f(x)的切線的斜率在(0，＋∞)內(nèi)也單調(diào)遞減，故可排除A，C．又由圖象知y＝f′(x)與y＝g′(x)的圖象在x＝x0處相交，說明y＝f(x)與y＝g(x)的圖象在x＝x0處的切線的斜率相同，故可排除B．故選D．5．(2016年新課標(biāo)Ⅲ)已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝e－x－1－x，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為________．【答案】y＝2x【解析】當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，則f(－x)＝ex－1＋x.又因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x.所以f′(x)＝ex－1＋1，則切線斜率為f′(1)＝2.所以切線方程為y－2＝2(x－1)，即y＝2x.1．利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào)，防止與乘法公式混淆．2．求曲線切線時(shí)，要分清在點(diǎn)P處的切線與過P點(diǎn)的切線的區(qū)別，前者只有一條，而后者包括了前者．3．曲線的切線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè)，這和研究直線與二次曲線相切時(shí)有差別．判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)：(1)f′(x0)與(f(x0))′表示的意義相同．(

)(2)求f′(x0)時(shí)，可先求f(x0)再求f′(x0)．(

)(3)曲線的切線不一定與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．(

)(4)與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線．(

)(5)函數(shù)f(x)＝sin(－x)的導(dǎo)數(shù)是f′(x)＝cosx．(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)×課堂考點(diǎn)突破2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【規(guī)律方法】(1)熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則是導(dǎo)數(shù)計(jì)算的前提．求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量提高運(yùn)算速度，減少差錯(cuò)．(2)如函數(shù)為根式形式，可先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再求導(dǎo)．導(dǎo)數(shù)的幾何意義【考向分析】導(dǎo)數(shù)的幾何意義是每年高考的必考內(nèi)容，考查題型既有選擇題、填空題，也常出現(xiàn)在解答題的第(1)問中，難度偏小，屬中、低檔題．常見的考向有：(1)求切線方程；(2)求切點(diǎn)坐標(biāo)；(3)求參數(shù)的值；(4)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系．【答案】D【解析】函數(shù)的定義域?yàn)閇0，＋∞)，當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，在單位長(zhǎng)度變化量Δx內(nèi)面積變化量ΔS大于0且越來越大，即斜率f′(x)在[0,2]內(nèi)大于0且越來越大，因此，函數(shù)S＝f(x)的圖象是上升的，且圖象是下凸的；當(dāng)x∈(2,3)時(shí)，在單位長(zhǎng)度變化量Δx內(nèi)面積變化量ΔS大于0且越來越小，即斜率f′(x)在(2,3)內(nèi)大于0且越來越小，因此，函數(shù)S＝f(x)的圖象是上升的，且圖象是上凸的；當(dāng)x∈[3，＋∞)時(shí)，在單位長(zhǎng)度變化量Δx內(nèi)面積變化量ΔS為0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)內(nèi)為常數(shù)0，此時(shí)，函數(shù)圖象為平行于x軸的射線．故選D．【規(guī)律方法】導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用的2個(gè)注意點(diǎn)：(1)當(dāng)曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線垂直于x軸時(shí)，函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程是x＝x0；(2)注意區(qū)分曲線在某點(diǎn)處的切線和曲線過某點(diǎn)的切線．曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求過某點(diǎn)的切線方程，需先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再依據(jù)已知點(diǎn)在切線上求解．導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用

已知函數(shù)f(x)＝2x3－3x.(1)求f(x)在區(qū)間[－2,1]上的最大值；(2)若過點(diǎn)P(1，t)存在3條直線與曲線y＝f(x)相切，求t的取值范圍．x(－∞，0)0(0,1)1(1，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)↗t＋3↘t＋1↗【規(guī)律方法】解決本題第(2)問的關(guān)鍵是利用曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)表示切線方程，可將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為關(guān)于x0的方程有三個(gè)不同的實(shí)根．構(gòu)造函數(shù)后，利用函數(shù)的單調(diào)性求極值，通過數(shù)形結(jié)合方法找到t滿足的條件即可．課后感悟提升31個(gè)區(qū)別——“過某點(diǎn)”與“在某點(diǎn)”的區(qū)別曲線y＝f(x)“在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線”與“過點(diǎn)P(x0，y0)的切線”的區(qū)別：前者P(x0，y0)為切點(diǎn)，而后者P(x0，y0)不一定為切點(diǎn)．4個(gè)注意點(diǎn)——導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及切線的理解應(yīng)注意的問題(1)利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào)，防止與乘法公式混淆．(2)利用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)數(shù)時(shí)，要根據(jù)幾種基本函數(shù)的定義，判斷原函數(shù)是哪類基本函數(shù)，再套用相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)公式求解，切不可因判斷函數(shù)類型失誤而出錯(cuò)．(3)直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線不一定是曲線的切線．同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn)．(4)曲線未必在其切線的同側(cè)，如曲線y＝x3在其過(0,0)點(diǎn)的切線y＝0的兩側(cè)．1．(2016年天津)已知函數(shù)f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f′(0)的值為________．【答案】3【解析】f′(x)＝(2x＋1)′ex＋(2x＋1)(ex)′＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，則f′(0)＝3.2．(2015年新課標(biāo)Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋x＋1的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線過點(diǎn)(2,7)，則a＝________.【答案】13．(2015年天津)已知函數(shù)f(x)＝a