1.1.2直角三角形的性質(zhì)和判定第1章直角三角形湘教版數(shù)學8年級下冊（公開課課件）授課教師：********班級：********時間：********一、教學目標知識與技能目標學生能夠理解直角三角形的定義，掌握直角三角形的性質(zhì)和判定定理。熟練運用勾股定理及其逆定理進行相關(guān)計算和證明。過程與方法目標通過觀察、猜想、操作、驗證等過程，培養(yǎng)學生的自主探究能力和邏輯推理能力。體會從特殊到一般的數(shù)學思想，提高學生分析問題和解決問題的能力。情感態(tài)度與價值觀目標讓學生在數(shù)學學習中體驗成功的喜悅，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。培養(yǎng)學生的合作交流意識和勇于探索的精神。二、教學重難點重點直角三角形的性質(zhì)和判定定理。勾股定理及其逆定理的應(yīng)用。難點勾股定理及其逆定理的證明。靈活運用直角三角形的知識解決實際問題。三、教學方法講授法：系統(tǒng)講解直角三角形的概念、性質(zhì)和定理，確保學生掌握基礎(chǔ)知識。啟發(fā)式教學法：通過設(shè)置問題情境，引導學生思考、探索，培養(yǎng)學生的思維能力。小組合作法：組織學生進行小組討論和合作探究，培養(yǎng)學生的合作意識和交流能力。練習法：通過針對性的練習題，鞏固學生所學知識，提高學生的解題能力。四、教學過程（一）導入新課（5分鐘）展示一些生活中常見的直角三角形圖片，如直角三角板、建筑物的支架等，讓學生觀察并感受直角三角形的特點。提問：在這些圖形中，你能發(fā)現(xiàn)什么共同的特征？引出直角三角形的定義：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形。（二）知識講解（20分鐘）直角三角形的性質(zhì)直角三角形的兩個銳角互余。引導學生通過三角形內(nèi)角和定理進行證明。已知三角形內(nèi)角和為180°，在直角三角形中，有一個角是90°，那么另外兩個銳角之和為180°-90°=90°，即兩個銳角互余。直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。利用矩形的性質(zhì)來推導。將直角三角形補成一個矩形，因為矩形的對角線相等且互相平分，所以直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。直角三角形的判定有一個角是直角的三角形是直角三角形。有兩個角互余的三角形是直角三角形。讓學生根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進行推理證明。如果一個三角形中有兩個角互余，那么這兩個角的和為90°，則第三個角為180°-90°=90°，所以這個三角形是直角三角形。勾股定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)。證明：介紹常見的證明方法，如趙爽弦圖法。通過拼圖，利用圖形面積之間的關(guān)系來證明勾股定理。勾股定理的逆定理內(nèi)容：如果三角形的三邊長a，b，c滿足\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，那么這個三角形是直角三角形。證明：采用構(gòu)造法，構(gòu)造一個直角三角形，使其兩直角邊分別為a，b，根據(jù)勾股定理，其斜邊長為\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)，因為已知\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，所以這個構(gòu)造的直角三角形的斜邊為c，與原三角形三邊對應(yīng)相等，根據(jù)SSS（邊邊邊）全等判定定理，原三角形與構(gòu)造的直角三角形全等，所以原三角形是直角三角形。學習目標1.理解和掌握有關(guān)30°角的直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用;（重點）2.通過定理的證明和應(yīng)用，初步了解轉(zhuǎn)化思想，并培養(yǎng)學生邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力．5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結(jié)梳理9布置作業(yè)學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解問題引入問題1

如圖，將兩個含30°角的三角尺擺放在一起，你能借助這個圖形，找到Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關(guān)系嗎？分離拼接ABCDA'C'問題2

將剪一張等邊三角形紙片，沿一邊上的高對折，如圖所示，你有什么發(fā)現(xiàn)？動手：用刻度尺測量含30°角的直角三角形的斜邊和短直角邊，比較它們之間的數(shù)量關(guān)系.結(jié)論：短直角邊=斜邊含30°角的直角三角形的性質(zhì)活動探究ABCD如圖，△ADC是△ABC的軸對稱圖形，因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°，從而△ABD是一個等邊三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.合作探究證明：取線段AB的中點D，連接CD.∵CD為Rt△ABC斜邊AB上的中線，30°BCAD∵∠BCA=90°，且∠A=30°，∴∠B=60°，∴△CBD為等邊三角形，證法1證明方法：中線法證法2證明：在△ABC

中，∵∠C=90°，∠A=30°,∴∠B=60°．延長BC到D，使BD=AB，連接AD，則△ABD

是等邊三角形．ABCD

證明方法：倍長法∴

BC=AB．

30°)EABC證明：在BA上截取BE=BC，連接EC.

∵∠B=60°，BE=BC.∴△BCE是等邊三角形，

∴∠BEC=60°，BE=EC.∵∠A=30°，∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°.∴AE=EC，∴AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC.∴BC=AB．

證明方法：截半法證法330°)知識要點含30°角的直角三角形的性質(zhì)在直角三角形中，如果一直角等于30°，那么這個直角所對的邊等于斜邊的一半.應(yīng)用格式：∵

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

ABC∴

BC=AB．

)30°(1)直角三角形中30°角所對的直角邊等于另一直角邊的一半．

(2)三角形中30°角所對的邊等于最長邊的一半.

(3)直角三角形中最小的直角邊是斜邊的一半.

(4)直角三角形的斜邊是30°角所對直角邊的2倍．√判一判例1

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3cm，則AB的長度是(

)A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm典例精析注意：運用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求線段長時，要分清線段所在的直角三角形．D解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的長度是12cm.例2

已知:等腰三角形的底角為15°,腰長為20.求腰上的高.ACBD15°15°20解:過C作CD⊥BA交BA的延長線于點D.∵∠B=∠ACB=15°

(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，))∴CD=AC=×20=10.方法總結(jié)：在求三角形邊長的一些問題中，可以構(gòu)造含30°角的直角三角形來解決．例3：在A島周圍20海里（1海里=1852m）水域內(nèi)有暗礁，一輪船由西向東航行到O處時，發(fā)現(xiàn)A島在北偏東60°的方向上，且與輪船相距海里，如圖所示.該船如果保持航行不變，有觸暗礁的危險嗎？OBDA北東60°解：∵∠AOD=30°，

AO=海里，∴AD=AO=海里＞20海里，所以無危險.解：如圖，取線段AB的中點D，連接CD.∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，∴CD=AB=BD=AD,即△BDC為等邊三角形,∴∠B=60°.∵∠B+∠A=90°，∴∠A=30°.思考：如圖，在Rt△ABC中，如果BC=AB，那么∠A等于多少？BCAD知識要點在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30°.應(yīng)用格式：∵

在Rt△ABC中，∠C=90°，

ABCBC=AB．

)30°∴∠A=30°例4：如圖所示，在四邊形ACBD中，AD∥BC，AB⊥AC，且AC＝BC，求∠DAC的度數(shù)．解：∵AB⊥AC，∴∠CAB＝90°.∵AC＝BC，∴∠CBA＝30°.∵AD∥BC，∴∠BAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＋∠BAD＝120°.

A

返回（第2題）

D