2025屆湖南省岳陽市重點中學高三一診練習三數學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一，但陀螺這個名詞，直到明朝劉侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一書中才正式出現.如圖所示的網格紙中小正方形的邊長均為1，粗線畫出的是一個陀螺模型的三視圖，則該陀螺模型的表面積為（）A． B．C． D．2．已知函數，若曲線上始終存在兩點，，使得，且的中點在軸上，則正實數的取值范圍為（）A． B． C． D．3．下列與函數定義域和單調性都相同的函數是（）A． B． C． D．4．已知三棱錐中，是等邊三角形，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．5．如圖所示，已知某幾何體的三視圖及其尺寸（單位：），則該幾何體的表面積為()A． B．C． D．6．運行如圖程序，則輸出的S的值為（）A．0 B．1 C．2018 D．20177．已知是定義在上的奇函數，當時，，則（）A． B．2 C．3 D．8．設等差數列的前n項和為，且，，則()A．9 B．12 C． D．9．在正方體中，點、分別為、的中點，過點作平面使平面，平面若直線平面，則的值為（）A． B． C． D．10．已知a＞b＞0，c＞1，則下列各式成立的是（）A．sina＞sinb B．ca＞cb C．ac＜bc D．11．平行四邊形中，已知，，點、分別滿足，，且，則向量在上的投影為（）A．2 B． C． D．12．下列四個圖象可能是函數圖象的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）已知曲線的方程為，其圖象經過點，則曲線在點處的切線方程是____________．14．已知函數在點處的切線經過原點，函數的最小值為，則________.15．在四面體中，分別是的中點．則下述結論：①四面體的體積為；②異面直線所成角的正弦值為；③四面體外接球的表面積為；④若用一個與直線垂直，且與四面體的每個面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為．其中正確的有_____．（填寫所有正確結論的編號）16．若函數的圖像向左平移個單位得到函數的圖像.則在區間上的最小值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知不等式對于任意的恒成立.（1）求實數m的取值范圍；（2）若m的最大值為M，且正實數a，b，c滿足.求證.18．（12分）在直角坐標系中，曲線上的任意一點到直線的距離比點到點的距離小1.（1）求動點的軌跡的方程；（2）若點是圓上一動點，過點作曲線的兩條切線，切點分別為，求直線斜率的取值范圍.19．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，直線交曲線于兩點，為中點.（1）求曲線的直角坐標方程和點的軌跡的極坐標方程；（2）若，求的值.20．（12分）如圖，在矩形中，，，點是邊上一點，且，點是的中點，將沿著折起，使點運動到點處，且滿足.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）設的內角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍.22．（10分）已知函數.（1）求不等式的解集；（2）若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據三視圖可知，該幾何體是由兩個圓錐和一個圓柱構成，由此計算出陀螺的表面積.【詳解】最上面圓錐的母線長為，底面周長為，側面積為，下面圓錐的母線長為，底面周長為，側面積為，沒被擋住的部分面積為，中間圓柱的側面積為.故表面積為，故選C.【點睛】本小題主要考查中國古代數學文化，考查三視圖還原為原圖，考查幾何體表面積的計算，屬于基礎題.2、D【解析】

根據中點在軸上，設出兩點的坐標，，（）.對分成三類，利用則，列方程，化簡后求得，利用導數求得的值域，由此求得的取值范圍.【詳解】根據條件可知，兩點的橫坐標互為相反數，不妨設，，（），若，則，由，所以，即，方程無解；若，顯然不滿足；若，則，由，即，即，因為，所以函數在上遞減，在上遞增，故在處取得極小值也即是最小值，所以函數在上的值域為，故.故選D.【點睛】本小題主要考查平面平面向量數量積為零的坐標表示，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查利用導數研究函數的最小值，考查分析與運算能力，屬于較難的題目.3、C【解析】

分析函數的定義域和單調性，然后對選項逐一分析函數的定義域、單調性，由此確定正確選項.【詳解】函數的定義域為，在上為減函數.A選項，的定義域為，在上為增函數，不符合.B選項，的定義域為，不符合.C選項，的定義域為，在上為減函數，符合.D選項，的定義域為，不符合.故選：C【點睛】本小題主要考查函數的定義域和單調性，屬于基礎題.4、D【解析】

根據底面為等邊三角形，取中點，可證明平面，從而，即可證明三棱錐為正三棱錐.取底面等邊的重心為，可求得到平面的距離，畫出幾何關系，設球心為，即可由球的性質和勾股定理求得球的半徑，進而得球的表面積.【詳解】設為中點，是等邊三角形，所以，又因為，且，所以平面，則，由三線合一性質可知所以三棱錐為正三棱錐，設底面等邊的重心為，可得，，所以三棱錐的外接球球心在面下方，設為，如下圖所示：由球的性質可知，平面，且在同一直線上，設球的半徑為，在中，，即，解得，所以三棱錐的外接球表面積為，故選：D.【點睛】本題考查了三棱錐的結構特征和相關計算，正三棱錐的外接球半徑求法，球的表面積求法，對空間想象能力要求較高，屬于中檔題.5、C【解析】

由三視圖知，該幾何體是一個圓錐，其母線長是5，底面直徑是6，據此可計算出答案.【詳解】由三視圖知，該幾何體是一個圓錐，其母線長是5，底面直徑是6，該幾何體的表面積.故選：C【點睛】本題主要考查了三視圖的知識，幾何體的表面積的計算.由三視圖正確恢復幾何體是解題的關鍵.6、D【解析】

依次運行程序框圖給出的程序可得第一次：，不滿足條件；第二次：，不滿足條件；第三次：，不滿足條件；第四次：，不滿足條件；第五次：，不滿足條件；第六次：，滿足條件，退出循環．輸出1．選D．7、A【解析】

由奇函數定義求出和．【詳解】因為是定義在上的奇函數，.又當時，，.故選：A．【點睛】本題考查函數的奇偶性，掌握奇函數的定義是解題關鍵．8、A【解析】

由，可得以及，而，代入即可得到答案.【詳解】設公差為d，則解得，所以.故選：A.【點睛】本題考查等差數列基本量的計算，考查學生運算求解能力，是一道基礎題.9、B【解析】

作出圖形，設平面分別交、于點、，連接、、，取的中點，連接、，連接交于點，推導出，由線面平行的性質定理可得出，可得出點為的中點，同理可得出點為的中點，結合中位線的性質可求得的值.【詳解】如下圖所示：設平面分別交、于點、，連接、、，取的中點，連接、，連接交于點，四邊形為正方形，、分別為、的中點，則且，四邊形為平行四邊形，且，且，且，則四邊形為平行四邊形，，平面，則存在直線平面，使得，若平面，則平面，又平面，則平面，此時，平面為平面，直線不可能與平面平行，所以，平面，，平面，平面，平面平面，，，所以，四邊形為平行四邊形，可得，為的中點，同理可證為的中點，，，因此，.故選：B.【點睛】本題考查線段長度比值的計算，涉及線面平行性質的應用，解答的關鍵就是找出平面與正方體各棱的交點位置，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.10、B【解析】

根據函數單調性逐項判斷即可【詳解】對A,由正弦函數的單調性知sina與sinb大小不確定，故錯誤；對B,因為y＝cx為增函數，且a＞b，所以ca＞cb，正確對C,因為y＝xc為增函數,故，錯誤；對D,因為在為減函數，故，錯誤故選B．【點睛】本題考查了不等式的基本性質以及指數函數的單調性，屬基礎題．11、C【解析】

將用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案.【詳解】解：，得，則向量在上的投影為.故選：C.【點睛】本題考查向量的幾何意義，考查向量的線性運算，將用向量和表示是關鍵，是基礎題.12、C【解析】

首先求出函數的定義域，其函數圖象可由的圖象沿軸向左平移1個單位而得到，因為為奇函數，即可得到函數圖象關于對稱，即可排除A、D，再根據時函數值，排除B，即可得解.【詳解】∵的定義域為，其圖象可由的圖象沿軸向左平移1個單位而得到，∵為奇函數，圖象關于原點對稱，∴的圖象關于點成中心對稱.可排除A、D項.當時，，∴B項不正確.故選：C【點睛】本題考查函數的性質與識圖能力，一般根據四個選擇項來判斷對應的函數性質，即可排除三個不符的選項，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

依題意，將點的坐標代入曲線的方程中，解得.由，得，則曲線在點處切線的斜率，所以在點處的切線方程是，即．14、0【解析】

求出，求出切線點斜式方程，原點坐標代入，求出的值，求，求出單調區間，進而求出極小值最小值，即可求解.【詳解】，，，切線的方程：，又過原點，所以，，，.當時，；當時，.故函數的最小值，所以.故答案為:0.【點睛】本題考查導數的應用，涉及到導數的幾何意義、極值最值，屬于中檔題..15、①③④．【解析】

補圖成長方體，在長方體中利用割補法求四面體的體積，和外接球的表面積，以及異面直線的夾角，作出截面即可計算截面面積的最值.【詳解】根據四面體特征，可以補圖成長方體設其邊長為，，解得補成長，寬，高分別為的長方體，在長方體中：①四面體的體積為，故正確②異面直線所成角的正弦值等價于邊長為的矩形的對角線夾角正弦值，可得正弦值為，故錯；③四面體外接球就是長方體的外接球，半徑，其表面積為，故正確；④由于，故截面為平行四邊形，可得，設異面直線與所成的角為，則，算得，．故正確．故答案為：①③④．【點睛】此題考查根據幾何體求體積，外接球的表面積，異面直線夾角和截面面積最值，關鍵在于熟練掌握點線面位置關系的處理方法，補圖法作為解決體積和外接球問題的常用方法，平常需要積累常見幾何體的補圖方法.16、【解析】

注意平移是針對自變量x，所以，再利用整體換元法求值域（最值）即可.【詳解】由已知，，，又，故，，所以的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查正弦型函數在給定區間上的最值問題，涉及到圖象的平移變換、輔助角公式的應用，是一道基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）法一：，，得，則，由此可得答案；法二：由題意，令，易知是偶函數，且時為增函數，由此可得出答案；（2）由（1）知，，即，結合“1”的代換，利用基本不等式即可證明結論．【詳解】解：（1）法一：（當且僅當時取等號），又（當且僅當時取等號），所以（當且僅當時取等號），由題意得，則，解得，故的取值范圍是；法二：因為對于任意恒有成立，即，令，易知是偶函數，且時為增函數，所以，即，則，解得，故的取值范圍是；（2）由（1）知，，即，∴，故不等式成立．【點睛】本題主要考查絕對值不等式的恒成立問題，考查基本不等式的應用，屬于中檔題．18、（1）；（2）【解析】

（1）設，根據題意可得點的軌跡方程滿足的等式，化簡即可求得動點的軌跡的方程；（2）設出切線的斜率分別為，切點，，點，則可得過點的拋物線的切線方程為，聯立拋物線方程并化簡，由相切時可得兩條切線斜率關系；由拋物線方程求得導函數，并由導數的幾何意義并代入拋物線方程表示出，可求得，結合點滿足的方程可得的取值范圍，即可求得的范圍.【詳解】（1）設點，∵點到直線的距離等于，∴，化簡得，∴動點的軌跡的方程為.（2）由題意可知，的斜率都存在，分別設為，切點，，設點，過點的拋物線的切線方程為，聯立，化簡可得，∴，即，∴，.由，求得導函數，∴，，，∴，因為點滿足，由圓的性質可得，∴，即直線斜率的取值范圍為.【點睛】本題考查了動點軌跡方程的求法，直線與拋物線相切的性質及應用，導函數的幾何意義及應用，點和圓位置關系求參數的取值范圍，屬于中檔題.19、（1），；（2）或【解析】

（1）根據曲線的參數方程消去參數，可得曲線的直角坐標方程，再由，，可得點的軌跡的極坐標方程；（2）將曲線極坐標方程求，與直線極坐標方程聯立，消去，得到關于的二次方程，由的幾何意義可求出，而（1）可知，然后列方程可求出的值.【詳解】（1）曲線的直角坐標方程為，圓的圓心為，設，所以，則由，即為點軌跡的極坐標方程.（2）曲線的極坐標方程為，將與曲線的極坐標方程聯立得，，設，所以，，由，即，令，上述方程可化為，解得.由，所以，即或.【點睛】此題考查參數方程與普通方程的互化，極坐標方程與直角坐標方程的互化，利用極坐標求點的軌跡方程，考查運算求解能力，考查數形結合思想，屬于中檔題.20、（1）見解析；（2）【解析】

（1）取的中點，連接，，由，進而，由，得.進而平面,進而結論可得證（2）（方法一）過點作的平行線交于點，以點為坐標原點，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面平面的法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取的中點，上的點，使，連接，得，，得二面角的平面角為，再求解即可【詳解】（1）證明：取的中點，連接，，由已知得，所以，又點是的中點，所以.因為，點是線段的中點，所以.又因為，所以，從而平面，所以，又，不平行，所以平面.（2）（方法一）由（1）知，過點作的平行線交于點，以點為坐標原點，所在直線分別