江蘇省常州第一中學(xué)2025屆高三最后一模數(shù)學(xué)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，且，則在方向上的投影為（）A． B． C． D．2．設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是（）A．若,,則 B．若，,則C．若,,則 D．若,,則3．為雙曲線的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn)，（在、之間）與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．4．已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且的圖象關(guān)于對(duì)稱，若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．設(shè)全集，集合，，則（）A． B． C． D．6．已知雙曲線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，、為其左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在的漸近線上，，且，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．7．年某省將實(shí)行“”的新高考模式，即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三科必選，物理、歷史二選一，化學(xué)、生物、政治、地理四選二，若甲同學(xué)選科沒有偏好，且不受其他因素影響，則甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率為A． B． C． D．8．已知數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列.若的前n項(xiàng)和為，則的最小值為（）A． B． C． D．9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，若動(dòng)點(diǎn)滿足，則的取值范圍是（）A． B．C． D．10．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的公差為（）A． B． C． D．11．集合，，則（）A． B． C． D．12．我國(guó)宋代數(shù)學(xué)家秦九韶（1202-1261）在《數(shù)書九章》（1247）一書中提出“三斜求積術(shù)”，即：以少?gòu)V求之，以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開平方得積.其實(shí)質(zhì)是根據(jù)三角形的三邊長(zhǎng)，，求三角形面積，即.若的面積，，，則等于（）A． B． C．或 D．或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合A＝，B＝，若AB中有且只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的值為_______．14．設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則______.15．設(shè)是定義在上的函數(shù)，且，對(duì)任意，若經(jīng)過點(diǎn)的一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)為，且互不相等，則稱為關(guān)于函數(shù)的平均數(shù)，記為.當(dāng)_________時(shí)，為的幾何平均數(shù).（只需寫出一個(gè)符合要求的函數(shù)即可）16．如圖是某幾何體的三視圖，俯視圖中圓的兩條半徑長(zhǎng)為2且互相垂直，則該幾何體的體積為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四面體中，.（1）求證:平面平面；（2）若，二面角為，求異面直線與所成角的余弦值.18．（12分）在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，平面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=2BC，點(diǎn)Q為AE的中點(diǎn).（1）求證：AC//平面DQF；（2）若∠ABC=60°，AC⊥FB，求BC與平面DQF所成角的正弦值.19．（12分）已知橢圓：（），四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為.是橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，求的正切的最大值.20．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）若是第二象限角，且，求的值；（Ⅱ）求函數(shù)的定義域和值域.21．（12分）已知函數(shù)，，（1）討論的單調(diào)性；（2）若在定義域內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且此時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，求證：函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

由向量垂直的向量表示求出，再由投影的定義計(jì)算．【詳解】由可得，因?yàn)椋裕试诜较蛏系耐队盀椋蔬x：C．【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積與投影．掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題關(guān)鍵．2、C【解析】

在A中，與相交或平行；在B中，或；在C中，由線面垂直的判定定理得；在D中，與平行或．【詳解】設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則：在A中，若，，則與相交或平行，故A錯(cuò)誤；在B中，若，，則或，故B錯(cuò)誤；在C中，若，，則由線面垂直的判定定理得，故C正確；在D中，若，，則與平行或，故D錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，是中檔題．3、D【解析】

過點(diǎn)作，可得出點(diǎn)為的中點(diǎn)，由可求得的值，可計(jì)算出的值，進(jìn)而可得出，結(jié)合可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得出，利用勾股定理求得（為雙曲線的右焦點(diǎn)），再利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示，過點(diǎn)作，設(shè)該雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接.，.，，，為的中點(diǎn)，，，，，由雙曲線的定義得，即，因此，該雙曲線的離心率為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解，解題時(shí)要充分分析圖形的形狀，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.4、C【解析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的圖象變換分析可得函數(shù)為偶函數(shù)，又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，分析可得，解可得的取值范圍，即可得答案.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)的圖象，由于函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，由，得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，得，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式，注意分析函數(shù)的奇偶性，屬于中等題.5、D【解析】

求解不等式，得到集合A，B，利用交集、補(bǔ)集運(yùn)算即得解【詳解】由于故集合或故集合故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集和補(bǔ)集混合運(yùn)算，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.6、D【解析】

根據(jù)，先確定出的長(zhǎng)度，然后利用雙曲線定義將轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式，化簡(jiǎn)后可得到的值，即可求漸近線方程.【詳解】如圖所示：因?yàn)椋裕忠驗(yàn)椋裕裕裕裕裕裕詽u近線方程為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)雙曲線中的長(zhǎng)度關(guān)系求解漸近線方程，難度一般.注意雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于虛軸長(zhǎng)度的一半.7、B【解析】

甲同學(xué)所有的選擇方案共有種，甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)后，只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可，共有種選擇方案，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，可得甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率，故選B．8、D【解析】

利用等比中項(xiàng)性質(zhì)可得等差數(shù)列的首項(xiàng)，進(jìn)而求得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當(dāng)或時(shí)，取到最小值.【詳解】根據(jù)題意，可知為等差數(shù)列，公差，由成等比數(shù)列，可得，∴，解得.∴.根據(jù)單調(diào)性，可知當(dāng)或時(shí)，取到最小值，最小值為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)性質(zhì)、等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意當(dāng)或時(shí)同時(shí)取到最值.9、D【解析】

設(shè)出的坐標(biāo)為，依據(jù)題目條件，求出點(diǎn)的軌跡方程，寫出點(diǎn)的參數(shù)方程，則，根據(jù)余弦函數(shù)自身的范圍，可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則∵，∴∴∴為點(diǎn)的軌跡方程∴點(diǎn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）則由向量的坐標(biāo)表達(dá)式有：又∵∴故選：D【點(diǎn)睛】考查學(xué)生依據(jù)條件求解各種軌跡方程的能力，熟練掌握代數(shù)式轉(zhuǎn)換，能夠利用三角換元的思想處理軌跡中的向量乘積，屬于中檔題.求解軌跡方程的方法有：①直接法；②定義法；③相關(guān)點(diǎn)法；④參數(shù)法；⑤待定系數(shù)法10、D【解析】

根據(jù)等差數(shù)列公式直接計(jì)算得到答案.【詳解】依題意，，故，故，故，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.11、A【解析】

計(jì)算，再計(jì)算交集得到答案.【詳解】，，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.12、C【解析】

將，，，代入，解得，再分類討論，利用余弦弦定理求，再用平方關(guān)系求解.【詳解】已知，，，代入，得，即，解得，當(dāng)時(shí)，由余弦弦定理得：，.當(dāng)時(shí)，由余弦弦定理得：，.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理和平方關(guān)系，還考查了對(duì)數(shù)學(xué)史的理解能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

利用AB中有且只有一個(gè)元素，可得，可求實(shí)數(shù)a的值.【詳解】由題意AB中有且只有一個(gè)元素，所以，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，集合交集的運(yùn)算本質(zhì)是存同去異，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).14、18【解析】

先由，可得，再結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)椋裕?故答案為：18.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列基本量的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，屬基礎(chǔ)題.15、【解析】

由定義可知三點(diǎn)共線，即，通過整理可得，繼而可求出正確答案.【詳解】解：根據(jù)題意，由定義可知：三點(diǎn)共線.故可得：，即，整理得：，故可以選擇等.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)的斜率公式，考查了推理能力，考查了運(yùn)算能力.本題關(guān)鍵是分析出三點(diǎn)共線.16、20【解析】

由三視圖知該幾何體是一個(gè)圓柱與一個(gè)半球的四分之三的組合，利用球體體積公式、圓柱體積公式計(jì)算即可.【詳解】由三視圖知，該幾何體是由一個(gè)半徑為2的半球的四分之三和一個(gè)底面半徑2、高為4的圓柱組合而成，其體積為.故答案為：20.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及幾何體體積，考查學(xué)生空間想象能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）取中點(diǎn)連接，得，可得，可證，可得，進(jìn)而平面，即可證明結(jié)論；（2）設(shè)分別為邊的中點(diǎn)，連，可得，，可得（或補(bǔ)角）是異面直線與所成的角，，可得，為二面角的平面角，即，設(shè)，求解，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）證明:取中點(diǎn)連接，由則，則，故，，平面，又平面，故平面平面（2）解法一:設(shè)分別為邊的中點(diǎn)，則，（或補(bǔ)角）是異面直線與所成的角.設(shè)為邊的中點(diǎn)，則，由知.又由（1）有平面，平面，所以為二面角的平面角，，設(shè)則在中，從而在中，，又，從而在中，因，，因此，異面直線與所成角的余弦值為.解法二:過點(diǎn)作交于點(diǎn)由（1）易知兩兩垂直，以為原點(diǎn)，射線分別為軸，軸，軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，由，易知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為則顯然向量是平面的法向量已知二面角為，設(shè)，則設(shè)平面的法向量為，則令，則由由上式整理得，解之得(舍)或，因此，異面直線與所成角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，證明平面與平面垂直，考查空間角，涉及到二面角、異面直線所成的角，做出空間角對(duì)應(yīng)的平面角是解題的關(guān)鍵，或用空間向量法求角，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.18、（1）見解析（2）【解析】

（1）連接交于點(diǎn)，連接，通過證明，證得平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量和平面的法向量，計(jì)算出線面角的正弦值.【詳解】（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危渣c(diǎn)為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以；平面平面，平面.（2）解：，設(shè)，則，在中，，由余弦定理得：，．又，平面．．平面．如圖建立的空間直角坐標(biāo)系．在等腰梯形中，可得．則．那么設(shè)平面的法向量為，則有，即，取，得．設(shè)與平面所成的角為，則．所以與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查線面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.19、（1）；（2）【解析】

（1）分析可得必在橢圓上，不在橢圓上，代入即得解；（2）設(shè)直線PA，PB的傾斜角分別為，斜率為，可得.則，，利用均值不等式，即得解.【詳解】（1）因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱，所以必在橢圓上，∴不在橢圓上∴，，即.（2）設(shè)橢圓上的點(diǎn)（），設(shè)直線PA，PB的傾斜角分別為，斜率為又∴.，，（不妨設(shè)）.故當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立【點(diǎn)睛】本題考查了直線和橢圓綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.20、（Ⅰ）（Ⅱ）函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椤窘馕觥?/p>

（1）由為第二象限角及的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出及的值，再代入中即可得到結(jié)果.（2）函數(shù)解析式利用二倍角和輔助角公式將化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)的范圍，即可得到函數(shù)值域.【詳解】解：（1）因?yàn)槭堑诙笙藿牵遥?所以，所以.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?化簡(jiǎn)，得，因?yàn)椋遥裕?所以函數(shù)的值域?yàn)?（注：或許有人會(huì)認(rèn)為“因?yàn)椋浴保鋵?shí)不然，因?yàn)?）【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，三角函數(shù)函數(shù)值求解以及定義域和值域的求解問題，涉及到利用二倍角公式和輔助角公式整理三角函數(shù)關(guān)系式的問題，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力，屬于常考題型.21、（1）時(shí)，在上單調(diào)遞增，時(shí)，在上遞減，在上遞增．（2）．【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論，由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間；（2）由，利用（1）首先得或，求出的最小值即可得結(jié)論．【詳解】（1）函數(shù)定義域是，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，令得，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，綜上所述，時(shí)，在上單調(diào)遞增，時(shí)，在上遞減，在上遞增．（2）易知，由函數(shù)單調(diào)性，若有唯一零點(diǎn)，則或．當(dāng)時(shí)，，，從而只需時(shí)，恒成立，即，令，，在上遞減，在上遞增，∴，從而．時(shí)，，，令，由，知在遞減，在上遞增，，∴．綜上所述，的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查