遼寧省沈陽市交聯體2025年高三第四次月考（數學試題理）試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．執行程序框圖，則輸出的數值為（）A． B． C． D．2．已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的離心率等于()A． B． C． D．3．已知復數z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，則實數a＝（）A． B． C．2 D．﹣24．已知平面向量，滿足，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．5．如圖，網格紙是由邊長為1的小正方形構成，若粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．6．如圖是國家統計局于2020年1月9日發布的2018年12月到2019年12月全國居民消費價格的漲跌幅情況折線圖.（注：同比是指本期與同期作對比；環比是指本期與上期作對比.如：2019年2月與2018年2月相比較稱同比，2019年2月與2019年1月相比較稱環比）根據該折線圖，下列結論錯誤的是（）A．2019年12月份，全國居民消費價格環比持平B．2018年12月至2019年12月全國居民消費價格環比均上漲C．2018年12月至2019年12月全國居民消費價格同比均上漲D．2018年11月的全國居民消費價格高于2017年12月的全國居民消費價格7．已知函數，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知橢圓的中心為原點，為的左焦點，為上一點，滿足且，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．9．已知，且，則的值為（）A． B． C． D．10．已知平面向量，滿足且，若對每一個確定的向量，記的最小值為，則當變化時，的最大值為（）A． B． C． D．111．將函數的圖象沿軸向左平移個單位長度后，得到函數的圖象，則“”是“是偶函數”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件12．已知等差數列的前項和為，，，則（）A．25 B．32 C．35 D．40二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知三棱錐中，，，則該三棱錐的外接球的表面積是________.14．設為正實數，若則的取值范圍是__________．15．如圖，在△ABC中，E為邊AC上一點，且，P為BE上一點，且滿足，則的最小值為______．16．在中，角所對的邊分別為，，的平分線交于點D，且，則的最小值為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列滿足.（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前項和為，證明：.18．（12分）已知函數，函數，其中，是的一個極值點，且.（1）討論的單調性（2）求實數和a的值（3）證明19．（12分）已知正項數列的前項和.（1）若數列為等比數列，求數列的公比的值；（2）設正項數列的前項和為，若，且.①求數列的通項公式；②求證：.20．（12分）設函數．（1）當時，解不等式；（2）若的解集為，，求證：．21．（12分）中國古代數學經典《數書九章》中，將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”.在如圖所示的陽馬中，底面ABCD是矩形.平面，，，以的中點O為球心，AC為直徑的球面交PD于M（異于點D），交PC于N（異于點C）.（1）證明：平面，并判斷四面體MCDA是否是鱉臑，若是，寫出它每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，請說明理由；（2）求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別為AB，BC的中點.（1）證明：平面平面；（2）求點到平面的距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由題知：該程序框圖是利用循環結構計算并輸出變量的值，計算程序框圖的運行結果即可得到答案.【詳解】，，，，，滿足條件，，，，，滿足條件，，，，，滿足條件，，，，，滿足條件，，，，，不滿足條件，輸出.故選：C【點睛】本題主要考查程序框圖中的循環結構，屬于簡單題.2、B【解析】由于直線的斜率k,所以一條漸近線的斜率為，即，所以，選B.3、D【解析】

化簡z＝（1+2i）（1+ai）=，再根據z∈R求解.【詳解】因為z＝（1+2i）（1+ai）=，又因為z∈R，所以，解得a＝-2.故選：D【點睛】本題主要考查復數的運算及概念，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.4、C【解析】

根據，兩邊平方，化簡得，再利用數量積定義得到求解.【詳解】因為平面向量，滿足，且，所以，所以，所以，所以，所以與的夾角為.故選：C【點睛】本題主要考查平面向量的模，向量的夾角和數量積運算，屬于基礎題.5、C【解析】

根據三視圖還原為幾何體，結合組合體的結構特征求解表面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體可看作是半個圓柱和一個長方體的組合體，其中半圓柱的底面半圓半徑為1，高為4，長方體的底面四邊形相鄰邊長分別為1，2，高為4，所以該幾何體的表面積，故選C.【點睛】本題主要考查三視圖的識別，利用三視圖還原成幾何體是求解關鍵，側重考查直觀想象和數學運算的核心素養.6、D【解析】

先對圖表數據的分析處理，再結簡單的合情推理一一檢驗即可【詳解】由折線圖易知A、C正確；2019年3月份及6月份的全國居民消費價格環比是負的，所以B錯誤；設2018年12月份，2018年11月份，2017年12月份的全國居民消費價格分別為，由題意可知，，，則有，所以D正確.故選：D【點睛】此題考查了對圖表數據的分析處理能力及進行簡單的合情推理，屬于中檔題.7、B【解析】

對分類討論，代入解析式求出，解不等式，即可求解.【詳解】函數，由得或解得.故選:B.【點睛】本題考查利用分段函數性質解不等式，屬于基礎題.8、B【解析】由題意可得c=，設右焦點為F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，∠FPO+∠OPF′=90°，即PF⊥PF′．在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=，由橢圓定義，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，從而a=6，得a2=36，于是b2=a2﹣c2=36﹣=16，所以橢圓的方程為．故選B．點睛：橢圓的定義：到兩定點距離之和為常數的點的軌跡，當和大于兩定點間的距離時，軌跡是橢圓，當和等于兩定點間的距離時，軌跡是線段（兩定點間的連線段），當和小于兩定點間的距離時，軌跡不存在．9、A【解析】

由及得到、，進一步得到，再利用兩角差的正切公式計算即可.【詳解】因為，所以，又，所以，，所以.故選：A.【點睛】本題考查三角函數誘導公式、二倍角公式以及兩角差的正切公式的應用，考查學生的基本計算能力，是一道基礎題.10、B【解析】

根據題意,建立平面直角坐標系.令.為中點.由即可求得點的軌跡方程.將變形,結合及平面向量基本定理可知三點共線.由圓切線的性質可知的最小值即為到直線的距離最小值,且當與圓相切時,有最大值.利用圓的切線性質及點到直線距離公式即可求得直線方程,進而求得原點到直線的距離,即為的最大值.【詳解】根據題意,設,則由代入可得即點的軌跡方程為又因為,變形可得,即,且所以由平面向量基本定理可知三點共線,如下圖所示:所以的最小值即為到直線的距離最小值根據圓的切線性質可知,當與圓相切時,有最大值設切線的方程為,化簡可得由切線性質及點到直線距離公式可得,化簡可得即所以切線方程為或所以當變化時,到直線的最大值為即的最大值為故選:B【點睛】本題考查了平面向量的坐標應用,平面向量基本定理的應用,圓的軌跡方程問題,圓的切線性質及點到直線距離公式的應用,綜合性強,屬于難題.11、A【解析】

求出函數的解析式，由函數為偶函數得出的表達式，然后利用充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】將函數的圖象沿軸向左平移個單位長度，得到的圖象對應函數的解析式為，若函數為偶函數，則，解得，當時，.因此，“”是“是偶函數”的充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題考查充分不必要條件的判斷，同時也考查了利用圖象變換求三角函數解析式以及利用三角函數的奇偶性求參數，考查運算求解能力與推理能力，屬于中等題.12、C【解析】

設出等差數列的首項和公差，即可根據題意列出兩個方程，求出通項公式，從而求得．【詳解】設等差數列的首項為，公差為，則，解得，∴，即有．故選：C．【點睛】本題主要考查等差數列的通項公式的求法和應用，涉及等差數列的前項和公式的應用，屬于容易題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

將三棱錐補成長方體，設，，，設三棱錐的外接球半徑為，求得的值，然后利用球體表面積公式可求得結果.【詳解】將三棱錐補成長方體，設，，，設三棱錐的外接球半徑為，則，由勾股定理可得，上述三個等式全部相加得，，因此，三棱錐的外接球面積為.故答案為：.【點睛】本題考查三棱錐外接球表面積的計算，根據三棱錐對棱長相等將三棱錐補成長方體是解答的關鍵，考查推理能力，屬于中等題.14、【解析】

根據，可得，進而，有，而，令，得到，再用導數法求解，【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，令，，所以，當時，，當時，所以當時，取得最大值，又，所以取值范圍是，故答案為：【點睛】本題主要考查基本不等式的應用和導數法求最值，還考查了運算求解的能力，屬于難題，15、【解析】試題分析：根據題意有，因為三點共線，所以有，從而有，所以的最小值是．考點：向量的運算，基本不等式．【方法點睛】該題考查的是有關應用基本不等式求最值的問題，屬于中檔題目，在解題的過程中，關鍵步驟在于對題中條件的轉化，根據三點共線，結合向量的性質可知，從而等價于已知兩個正數的整式形式和為定值，求分式形式和的最值的問題，兩式乘積，最后應用基本不等式求得結果，最后再加，得出最后的答案．16、9【解析】分析：先根據三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.詳解：由題意可知，,由角平分線性質和三角形面積公式得，化簡得，因此當且僅當時取等號，則的最小值為.點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現錯誤.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）令，，利用可求得數列的通項公式，由此可得出數列的通項公式；（2）求得，利用裂項相消法求得，進而可得出結論.【詳解】（1）令，，當時，；當時，，則，故；（2），.【點睛】本題考查利用求通項，同時也考查了裂項相消法求和，考查計算能力與推理能力，屬于基礎題.18、（1）在區間單調遞增；（2）；（3）證明見解析.【解析】

（1）求出，在定義域內，再次求導，可得在區間上恒成立，從而可得結論；（2）由，可得，由可得，聯立解方程組可得結果；（3）由（1）知在區間單調遞增，可證明，取，可得，而，利用裂項相消法，結合放縮法可得結果.【詳解】（1）由已知可得函數的定義域為，且，令，則有，由，可得，可知當x變化時，的變化情況如下表：1-0+極小值，即，可得在區間單調遞增；（2）由已知可得函數的定義域為，且，由已知得，即，①由可得，，②聯立①②，消去a，可得，③令，則，由（1）知，，故，在區間單調遞增，注意到，所以方程③有唯一解，代入①，可得，；（3）證明：由（1）知在區間單調遞增，故當時，，，可得在區間單調遞增，因此，當時，，即，亦即，這時，故可得，取，可得，而，故.【點睛】本題主要考查利用導數研究函數的單調性以及不等式的證明，屬于難題.不等式證明問題是近年高考命題的熱點，利用導數證明不等主要方法有兩個，一是比較簡單的不等式證明，不等式兩邊作差構造函數，利用導數研究函數的單調性，求出函數的最值即可；二是較為綜合的不等式證明，要觀察不等式特點，結合已解答的問題把要證的不等式變形，并運用已證結論先行放縮，然后再化簡或者進一步利用導數證明.19、（1）；（2）①；②詳見解析.【解析】

（1）依題意可表示，，相減得，由等比數列通項公式轉化為首項與公比，解得答案，并由其都是正項數列舍根；（2）①由題意可表示，，兩式相減得，由其都是正項并整理可得遞推關系，由等差數列的通項公式即可得答案；②由已知關系，表示并相減即可表示遞推關系，顯然當時，成立，當，時，表示，由分組求和與正項數列性質放縮不等式得證.【詳解】解：（1）依題意可得，，兩式相減，得，所以，因為，所以，且，解得.（2）①因為，所以，兩式相減，得，即.因為，所以，即.而當時，，可得，故，所以對任意的正整數都成立，所以數列是等差數列，公差為1，首項為1，所以數列的通項公式為.②因為，所以，兩式相減，得，即，所以對任意的正整數，都有.令，而當時，顯然成立，所以當，時，，所以，即，所以，得證.【點睛】本題考查由前n項和關系求等比數列公比，求等差數列通項公式，還考查了由分組求和表示數列和并由正項數列放縮證明不等式，屬于難題.20、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）當時，將所求不等式變形為，然后分、、三段解不等式，綜合可得出原不等式的解集；（2）先由不等式的解集求得實數，可得出，將代數式變形為，將與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值，進而可證得結論.【詳解】（1）當時，不等式為，且.當時，由得，解得，此時；當時，由得，該不等式不成立，此時；當時，由得，解得，此時.綜上所述，不等式的解集為；（2）由，得，即或，不等式的解集為，故，解得，，，，，當且僅當，時取等號，．【點睛】本題考查含絕對值不等式的求解，同時也考查了利用基本不等式證明不等式，考查推理能力與計算能