2024-2025學年山東省青島市高一下學期3月月考數學階段檢測試卷一、單選題：（每小題5分）1.設是兩個不平行的向量，則下列四組向量中，不能組成平面向量的一個基底的是（）A.和 B.和C.和 D.和【正確答案】C【分析】根據基底的知識確定正確答案.詳解】依題意，不共線，A選項，不存在使，所以和可以組成基底.B選項，不存在使，所以和可以組成基底.C選項，，所以和不能構成基底.D選項，不存在使，所以和可以組成基底.故選：C2.已知向量，滿足，，則在上的投影向量的坐標為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用投影向量的計算公式，可得答案.【詳解】解：在上的投影向量的坐標為故選：B.3.在中，內角，，的對邊分別為，，，若的面積為，且，，則外接圓的半徑為（）A.2 B. C.1 D.【正確答案】D【分析】由三角形的面積公式和余弦定理結合已知條件可求出角，再利用正弦定理可求得結果【詳解】解：因為，所以，因為，，所以，所以，因為，所以，因為，所以，設外接圓的半徑為則由正弦定理得，得,故選：D4.已知函數圖像的一個對稱中心為，則為了得到函數的圖像，只需將函數的圖像（）A.向左平移1個單位長度 B.向左平移個單位長度C.向右平移1個單位長度 D.向右平移個單位長度【正確答案】A【分析】根據函數圖像的一個對稱中心為，求得，進而得到，然后再利用平移變換求解.【詳解】因為函數圖像的一個對稱中心為，所以，，所以，，又，所以，所以，因為，所以為了得到的圖像，只需將函數的圖像向左平移1個單位長度，故選：A．易錯點睛：將三角函數的圖像進行平移的時候，要注意對平移的影響．5.已知向量均為單位向量，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】將條件等式變形，再結合數量積公式，即可求解.【詳解】因為，且，則，兩邊平方可得，即，所以，，又，所以與的夾角為.故選：C6.已知函數在區間上有且僅有1個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】應用三角恒等變換化簡，結合正弦型函數的性質及區間零點個數求參數范圍即可.【詳解】，在上，，即有且僅有1個零點，所以，則.故選：D7.隨著冬天的到來，越來越多的旅客從全國各地來到“爾濱”賞冰樂雪，今年冰雪大世界以“冰雪同夢，亞洲同心”為主題，一睹冰雕雪雕風采的同時還能體驗各中冰上項目，如抽尜，大滑梯，摩天輪等.如圖所示，某地摩天輪最高點離地面高度128m，最低點離地面高度8m，設置若干個座艙，游客從離地面最近的位置進艙，開啟后按逆時針勻速旋轉，轉一周的時間約為24min，游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉動tmin后距離地面高度為hm，下列說法正確的是（）A.摩天輪的輪盤直徑為60mB.h關于t的函數解析式為C.h關于t的函數解析式為D.在游客乘坐一周的過程中，游客有16min時間距地面高度超過38m【正確答案】D【分析】根據摩天輪離地最高距離和最低距離的差值，求出直徑判斷A；依題意，分別求出得解析式，判斷B，C；根據提議，令，求出的取值范圍，判斷D.【詳解】對于A，因為摩天輪最高點離地面高度128m，最低點離地面高度8m，所以摩天輪的輪盤直徑為，故A錯誤；對于B，設，則，令時，則，，又，解得，所以，故B，C錯誤；對于D，，當距地面高度超過38m時，即，即，即，解得，又因為，所以，所以游客有16min時間距地面高度超過38m，故D正確，故選：D.8.如圖，在邊長為2的等邊中，點為中線的三等分點（靠近點），點為的中點，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由已知可推得，，，進而根據平面向量數量積的運算求解即可得出結果.【詳解】由已知，，，，所以.由已知是的中點，所以，，.所以，，所以，.故選：B.二、多選題（每小題6分）9.在中，，角所對的邊，下列結論正確的為（）A.若，有一個解 B.若，無解C.若，有兩個解 D.若，有一個解【正確答案】BCD【分析】根據題意，由正弦定理求得，結合選項中的取值范圍，分類討論，即可求解.【詳解】因為且，由正弦定理，即，當時，可得，所以，此時有一個解，故A不正確；當時，可得，不成立（舍去），此時無解，故B正確；當時，即，則，由，此時有兩解，即有兩解，故C正確；當，即，則，由，此時只有一解，故D正確.故選：BCD.10.下列命題中正確的是（

）A.非零向量滿足，則與的夾角為B.已知非零向量，若，則的夾角為銳角C.若是所在平面上的一點，且滿足，則為等腰三角形D.在中，若點滿足，則為的垂心【正確答案】ACD【分析】對于A，根據向量的加法與減法法則，易判斷是等邊三角形即可求解；對于B，根據向量的數量積定義即可求解；對于C，根據向量的數量積判斷得，又根據E為AB中點，即可判斷；對于D，根據題意，結合向量的運算得，，即可判斷.【詳解】對于A，如圖，作，則，又，則由題意知是等邊三角形，則可設與的夾角為，所以A正確；對于B，設與的夾角為，則由得，又因為，所以，所以B錯誤；對于C，如圖，取AB中點為E，連接CE，因為，所以CE⊥BA，又E為AB中點，所以CA=CB，故三角形ABC的形狀一定是等腰三角形，所以C正確；對于D，由同理可得，所以P為的垂心，故D正確.故選ACD.11.對于非零向量，定義變換以得到一個新的向量．關于該變換，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.存在，使得D.設，，，．．．，，則【正確答案】ABD【分析】根據新定義，結合向量平行的坐標運算可得選項A正確；根據向量垂直的坐標公式可得選項B正確；根據向量夾角的坐標公式可得選項C錯誤；根據條件可得，計算，結合數量積的坐標運算可得選項D正確.【詳解】設，由得，，，A.∵，∴，∴，∴，故A選項正確；B.∵，∴，∴，∴，故B選項正確；C.∵，，∴，故C選項錯誤；D.當時，，，故，∵，∴，∴，∴，故D選項正確．故選：ABD．三、填空題（每小題5分）12.向量與向量的夾角為鈍角，則的取值集合為__.【正確答案】【分析】由題意可得，且與

不共線，由此求得取值集合.【詳解】解：∵向量，，若向量與向量夾角為鈍角，

∴，且與

不共線，

即

且，即

且.

故答案為.本題主要考查兩個向量的夾角，兩個向量共線的性質，屬于基礎題.13.在中，是邊上一點，的面積為，為銳角，則__________．【正確答案】##.【分析】由題意得出，再有余弦定理求出，由正弦定理可求出，即可求出.【詳解】∵在中，，D是AB邊上一點，CD=2，的面積為，為銳角，∴，解得：，∴，由余弦定理有：，∴，由正弦定理，又因為故．14.中，角，，對邊分別為，，，點是所在平面內的動點，滿足．射線與邊交于點．若，，則角的值為_____，面積的最小值為_______．【正確答案】①.②.##【分析】判斷出是三角形的角平分線，利用余弦定理求得，根據三角形面積公式以及基本不等式求得三角形面積的最小值．【詳解】表示方向的單位向量，表示方向的單位向量，根據向量加法的幾何意義可知在三角形的角平分線上，即是三角形的角平分線，由可得，，得，則為銳角，所以，依題意，根據三角形的面積公式有，整理得，所以，當且僅當時等號成立，所以三角形面積的最小值為．故①；①．四、解答題15.（1）已知，是夾角為的兩個單位向量，，．求與的夾角；（2）已知，，求與的夾角【正確答案】（1）；（2）【分析】（1）根據題意，由向量的夾角公式代入計算，即可得到結果；（2）根據題意，由向量坐標運算，結合向量的夾角公式代入計算，即可得到結果.【詳解】（1）因為，是夾角為的兩個單位向量，故，則．則．，故，而，故．（2）因為向量，，所以，則，所以，又，所以與的夾角為16.已知的內角，，的對邊分別是，，，且．（1）求的大小；（2）若的面積等于，，求的值．【正確答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據題意結合余弦定理得，進而得；（2）結合（1），由的面積等于得，進而得，故由余弦定理得，再結合正弦定理求解即可.【詳解】解：（1）∵，由余弦定理得，∵，∴．（2）因為，所以，又，故，于是，∴，，所以．本題考查正余弦定理解三角形，考查運算求解能力，是基礎題.本題第二問解題的關鍵在于利用正弦定理求解.17.已知函數的部分圖像如圖，，．（1）若已知圖中點A的橫坐標．（ⅰ）求的解析式；（ⅱ）若，求x的取值范圍；（2）求的值．【正確答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ），（2）【分析】（1）（i）由圖可知，求出，再求出，將點帶入即可求，進而知道的解析式；（ii）結合正弦函數的圖象解不等式即可．（2）先由求出，再將點代入，求，再由列出等式，經過變形求解即可．【小問1詳解】（ⅰ）圖中點A的橫坐標，，，．，將點代入得：，所以，，所以，，因為所以時，．．（ⅱ）若，則，，，解得，，即x的取值范圍為，．【小問2詳解】由圖可知，，又，將點代入得：，所以，解得，，因為，即，所以所以當時，，，又，，，由圖可知，，18.如圖，在四邊形ABCD中，AD⊥AB，∠CAB＝60°，∠BCD＝120°，AC＝2.（1）若∠ABC＝30°，求DC；（2）記∠ABC＝θ，當θ為何值時，△BCD面積有最小值？求出最小值.【正確答案】（1）（2）θ＝75°時，面積取最小值.【分析】（1）由題意可求∠ADC＝120°，在△ACD中，可得∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠ADC＝120°，進而由正弦定理解得CD的值.（2）由題意可得可得∠CAD＝30°，可求∠ADC＝150°﹣θ，在△ADC中，由正弦定理解得，在△ABC中解得，利用三角形的面積公式，三角函數恒等變換的應用可求S△BCD，結合范圍0°＜θ＜150°，可得﹣60°＜2θ﹣60°＜240°，利用正弦函數的性質即可求解.【詳解】解：（1）在四邊形ABCD中，因為AD⊥AB，∠BCD＝120°，∠ABC＝30°，所以∠ADC＝120°，在△ACD中，可得∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠ADC＝120°，AC＝2，由正弦定理得：，解得.（2）因為∠CAB＝60°，AD⊥AB可得∠CAD＝30°，四邊形內角和360°得∠ADC＝150°﹣θ，∴在△ADC中，由正弦定理得：，解得：，在△ABC中，由正弦定理得：，解得，∴S△BCD，∵0°＜θ＜150°，∴﹣60°＜2θ﹣60°＜240°，∴當2θ﹣60°＝90°即θ＝75°時，S取最小值為.本題主要考查了正弦定理，三角形的面積公式，三角函數恒等變換的應用以及正弦函數的性質，考查了計算能力和轉化思想，考查了數形結合思想的應用，屬于中檔題.19.“費馬點”是三角形內部與其三個頂點的距離之和最小的點．對于每個給定的三角形，都存在唯一的費馬點，當的三個內角均小于時，使的點即為費馬點．已知中，角的對邊分別為，點是的“費馬點”．（1）求角；（2）若，求的周長；（3）若，求實數的值．【正確答案】（1）（2）（3）6【分析】（1）利用正弦定理將題目中的條件.轉換成僅含有角關系，再利用輔