2024-2025學年山東省青島市高二下學期3月月考數學檢測試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則（）A. B. C.1 D.0【正確答案】D【分析】根據導數的定義可得，求得得解.【詳解】由，可得，即，又，則，所以.故選：D.2.已知函數的圖像在點處的切線與直線垂直，則實數的值為（）A. B. C.2 D.1【正確答案】D【分析】由導函數求出圖像在點切線的斜率，由直線垂直建立方程，解得的值.【詳解】由題意可知，，，因為的圖像在點處的切線與直線垂直，所以，即，解得.故選：D.3.若拋物線上一點到準線和對稱軸的距離均為4，則的值為（）A.18 B.4 C.2或18 D.4或9【正確答案】B【分析】先求出拋物線的準線方程，根據拋物線的定義求出點的坐標，再代入拋物線方程即可得解.【詳解】因為拋物線的準線方程為，因為拋物線上一點到準線和對稱軸的距離均為4，所以點的坐標為，代入拋物線方程得，解得.故選：B.4.設，，則，，大小關系是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用函數的單調性，比較函數值的大小.【詳解】設，當時，，則在上單調遞增，由，有，即，得.故選：C5.已知函數在處取得極小值，則的極大值為（）A.4 B.2 C. D.【正確答案】A【分析】先由求出，再檢驗是否符合題意即可.【詳解】由題得，因為函數在處取得極小值，所以或，當時，，，所以當時，，當時，，所以函數在處取得極小值，符合題意，所以函數在處取得極大值為；當時，，，所以當時，，當時，，所以函數在處取得極大值，不符合題意；綜上，的極大值為4.故選：A6.已知直線與曲線有公共點，則實數k的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】將問題化為直線與圓的上半部分有交點求參數范圍即可．【詳解】解：曲線是圓的上半部分，且含端點，由過定點，如下圖：由圖知，當與半圓左上部相切時，即且，可得，結合圖知：實數k的取值范圍為：．故選：D7.已知函數，數列滿足，，則的前2025項和為（）A.2025 B.2027 C.5060 D.5062【正確答案】D【分析】先求導，由導函數結合題設得，接著由依次求出接下來的項得數列具有周期性，再利用周期性即可求解.【詳解】因為，所以函數定義域為，且，所以，所以，則，所以數列是周期為2的數列，所以的前2025項和為.故選：D8.已知函數有三個不同的零點，則實數a的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】將問題轉化為與曲線有三個不同的交點，利用導數研究函數的性質，從而結合圖象即可求得實數的范圍；【詳解】令，即得，即方程有三個零點，即直線與曲線有三個不同的交點，可得，所以當或時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以當時，有極小值為，當時，有極大值為，當時，，且當時，，所以作出函數的圖象如圖所示，所以數形結合可知，即實數的取值范圍為,故選：A二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.函數的導函數的圖象如圖所示，下列命題中正確的是（）A.是函數極值點 B.在區間上單調遞增C.是函數的最小值點 D.在處切線的斜率小于零【正確答案】AB【分析】根據導函數的正負確定函數的單調性，即可結合極值的定義，逐一求解.【詳解】根據導函數圖象可知：當時，，在時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，故B正確；則是函數的極小值點，故A正確；在上單調遞增，不是函數的最小值點，故C不正確；函數在處的導數大于切線的斜率大于零，故D不正確．故選：AB10.在正方體中，，點分別在棱和上運動（不含端點），若，下列命題正確的是（）A. B.平面C.線段長度的最大值為 D.三棱錐體積不變【正確答案】ACD【分析】建立如圖空間直角坐標系，設，由可得.根據即可判斷A；根據即可判斷B；根據和二次函數的圖象與性質即可判斷C；根據等體積法計算即可判斷D.【詳解】在正方體中，以點D為原點，射線分別為x，y，z軸非負半軸，建立空間直角坐標系，如圖：，設，則，而，所以，.對于A選項：，則，即，故A正確；對于B選項：，，即CM與MN不垂直，從而MN與平面不垂直，故B不正確；對于C選項：，則線段BN長度，當且僅當時取“=”，故C正確；對于D選項：不論點M如何移動，點M到平面的距離均為3，而，所以三棱錐體積為定值，故D正確．故選：ACD11.懸鏈線是一根目睹均勻的繩子或鐵鏈兩端固定在水平桿上，受重力的作用自然下垂后形成的曲線，建立適當的平面直角坐標系后，得到懸鏈線的函數解析式為，其中，則下列說法正確的是（）A.是偶函數 B.在上單調遞增C.， D.【正確答案】ACD【分析】對A，根據偶函數的定義判斷；對B，通過導數可判斷；對C，由基本不等式判斷；對D，直接計算可判斷.【詳解】對A，由題知定義域為，所以，偶函數，故選項A正確.對B，函數的導數，所以當時，當時，所以單調遞減區間為，單調遞增區間為.又，所以函數在單調遞增，由復合函數的單調性，可知在上單調遞減，故選項B錯誤.對C，由基本不等式可知，當且僅當時取等號，故選項C正確.對D，，，則，故選項D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.曲線在處的切線被圓截得的弦長為______．【正確答案】【分析】借助導數的幾何意義計算可得曲線在處的切線，再計算出圓的圓心到該切線的距離，最后利用垂徑定理計算即可得解.【詳解】，則，則曲線在處的切線為，圓的圓心，半徑，則點到的距離，則弦長.故答案為.13.已知數列的前n項和為，若，則________．【正確答案】【分析】運用之間的關系，即可求出通項公式.【詳解】當時，，所以；當時，，兩式相減得，，即，所以，因為，所以，所以為常數，故數列是首項為，公比為2的等比數列，所以.故答案為.14.函數的圖象是等軸雙曲線，其離心率為，已知對勾函數的圖象也是雙曲線，其離心率為．則______．【正確答案】【分析】首先得到雙曲線的兩條漸近線方程分別為，，根據雙曲線的對稱性可得漸近線與實軸的夾角為，即，利用二倍角公式求出，最后由離心率公式計算可得.【詳解】由對勾函數的性質可在，上單調遞減，在，上單調遞增，當時，當時，且函數為奇函數，函數圖象關于原點對稱，雙曲線的方程為，雙曲線的兩條漸近線方程分別為，，漸近線與實軸的夾角為，，，解得或（舍去），，．故答案：關鍵點點睛：本題關鍵是得到雙曲線的兩條漸近線方程，從而得到漸近線與實軸的夾角.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數，曲線在處的切線斜率為2.（1）求的值；（2）求不等式的解集.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用導數的幾何意義由可計算，由可計算；（2）利用導數求出單調性，判斷的奇偶性，利用奇偶性、單調性解不等式即可.【小問1詳解】，所以，由題意可得，所以，所以，所以.所以.【小問2詳解】由（1）知，所以，所以在上單調遞增，，所以為奇函數，，即，即，所以，即，即，解得,所以不等式的解集為.16.已知公差不為0的等差數列的前項和為，且滿足，．（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）設等差數列的公差為，根據題意結合等差數列通項公式列式求，即可得通項公式；（2）由（1）可知：，利用錯位相減法求和即可.【小問1詳解】設等差數列的公差為，因為，則，整理得，且，即．又因為，則，解得，所以．【小問2詳解】由（1）可知：，則，．兩式相減得，所以．17.已知雙曲線的離心率為，點在雙曲線上，過的左焦點的直線與的左支相交于兩點，且分別交的兩條漸近線于兩點．（1）求雙曲線的方程；（2）若是坐標原點，，求的面積．【正確答案】（1）（2）32【分析】（1）由題意可得，進而可得；（2）當時，易知，不合題意，當時，聯立直線方程和漸近線方程可得，進而可得，進而由可得，進而可得.【小問1詳解】由雙曲線的離心率為，且點在雙曲線上，可得，解得，所以雙曲線的方程為【小問2詳解】設，由（1）可知雙曲線C的左焦點為，漸近線方程為，所以可設直線的方程為，當時，易知，不合題意，故．由，得，其中，所以，，解得（舍去）或，所以，故．18.已知函數．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）討論的單調性；（3）當時，恒成立，求實數的最小值．【正確答案】（1）；（2）答案見解析.（3）.【分析】（1）把代入，求出導數，再利用導數的幾何意義求出切線方程.（2）求出導數，再按分類求出函數的單調區間.（3）由（2）的信息，求出函數的最大值，再由已知建立恒成立的不等式并分離參數，構造函數并利用導數求出最大值即可.【小問1詳解】當時，函數，求導得，則，而，所以所求切線方程為.【小問2詳解】函數的定義域為，求導得，當時，由，得；由，得，函數在上單調遞增，在上單調遞減；當時，由，得或；由，得，函數在上單調遞增，在上單調遞減；當時，恒成立，函數在上單調遞增；當時，由，得或；由，得，函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，函數的遞增區間為，遞減區間為；當時，函數的遞增區間為上單調遞增，遞減區間為；當時，函數的遞增區間為；當時，函數的遞增區間為，遞減區間為.【小問3詳解】由（2）知當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，則，依題意，，即恒成立，令函數，求導得，當時，，當時，，函數在上遞增，在上遞減，即，因此，所以最小值為.19.設函數的定義域為，其導函數為，區間是的一個非空子集．若對區間內的任意實數，存在實數，使得，且使得成立，則稱函數為區間上的“函數”．（1）判斷函數是否為上的“函數”，并說明理由；（2）若函數是上的“函數”．（ⅰ）求取值范圍；（ⅱ）證明：，．【正確答案】（1）是上的“函數”，理由見解析（2）（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）求出，結合題中定義驗證即可；（2）（ⅰ）分析可知，任意的恒成立．時，可得，時，可得出，時，可得出，利用導數分析函數在區間、上的單調性，綜合可得出實數的取值范圍；（ii）由題意可得，．利用導數先證明：，，即證，構造函數，利用導數分析函數在區間上的單調性，求其最小值，即可證得結論成立.【小問1詳解】因為，則，因為，．又，所以，所以對于任意恒成立．故是上的“函數”．【小問2詳解】（ⅰ），由條件得對任意的恒成立，即任意的恒成立．①當時，對一切成立．②當時，恒成立．設，則對任意的恒成立，所以在上單調遞減，可