2024-2025學年山東省臨沂市高二下學期3月月考數學檢測試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知n!(n?2)!=Cn3，則n的值為(

)A.9 B.8 C.7 2.曲線fx=x6+3x?1在A.16 B.32 C.13.函數y=x4?4x+3在區間[?2,3]上的最小值為A.72 B.36 C.12 D.04.函數fx=exA.B.C.D.5.同一個宿舍的8名同學被邀請去看電影，其中甲和乙兩名同學要么都去，要么都不去，丙同學不去，其他人根據個人情況可選擇去，也可選擇不去，則不同的去法有(

)A.32種 B.128種 C.64種 D.256種6.已知a∈R，設函數fx=x2?2ax+2a????x?1x?alnx???????????x>1若關于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，則a的取值范圍為（）A.0,1 B.0,2 7.12名同學合影，站成了前排4人后排8人，現攝影師要從后排8人中抽2人調整到前排，其他人的相對順序不變，則不同調整方法的種數是(

)A.C?82A?32 B.8.若關于x的不等式sinx?x≥ax，對x∈0,π恒成立，則實數a的取值范圍是(

)A.?∞,?1 B.?∞,1 C.?∞,?4π 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.函數y=f(x)的導函數y=f′(x)的圖象如圖所示，下列說法正確的是(

)A.?3是函數y=f(x)的極值點

B.?1是函數y=f(x)的最小值點

C.y=f(x)在區間(?3,1)上單調遞增

D.y=f(x)在x=0處切線的斜率小于零10.下列判斷正確的為(

)A.從4名男同學和3名女同學中選出2人，則至少有1名女同學的選法有12種

B.如果一個三位正整數如“a1a2a3”滿足a1>a2，且a2<a3，則稱這樣的三位數為凹數(如101，323)，那么由0，1，2，3可以組成14個凹數(

)

C.某會議廳有411.已知函數f(x)的定義域為R，其導函數為f′(x)，且對任意的x∈R，都有f(x)+f′A.ef(1)<f(0) B.ef(1)>f(0) C.2f(ln2)<ef(1) 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.C22+C313.若函數fx=ax2+x?lnx14.在某班舉行的“慶五一”聯歡晚會開幕前已排好8個不同節目的節目單，如果保持原來的節目相對順序不變，臨時再插進去A，B，C三個不同的新節目，且插進來的三個新節目按A，B，C順序出場，那么共有

種不同的插入方法.(用數字作答)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)設函數fx求f(x)在x=1處的切線方程；

(2)求f(x)在[?2,4]上的最大值和最小值．16.(本小題15分)已知7A6x(1)求x的值；(2)求C2020?x17.(本小題15分)某班級周六的課程表要排入歷史、語文、數學、物理、體育、英語共6節課(1)如果數學必須比語文先上，則不同的排法有多少種？(2)如果第一節不排體育，最后一節不排數學，那么共有多少種排法？(3)原定的6節課已排好，學校臨時通知要增加生物化學地理3節課，若將這3節課插入原課表中且原來的6節課相對順序不變，則有多少種不同的排法？18.(本小題17分)設函數f(x)=x22(1)求f(x)的單調區間和極值；(2)證明：若f(x)存在零點，則f(x)在區間(1,e19.(本小題17分)設f(x)=(k?1)e(1)討論f(x)的單調性；(2)當x>0時，f(x)>0恒成立，求k的取值范圍．

答案和解析1.【正確答案】B

【分析】本題主要考查了組合數，屬于基礎題．

利用組合數公式計算即可．

解：由已知得nn?1n?2!n?2!=nn?1n?23!，2.【正確答案】A

【分析】本題考查求曲線上一點的切線方程，屬于中檔題．

運用導數求得切線方程，再求得切線與兩坐標軸的交點，進而可求得三角形面積．解：由fx=x6+3x?1，

則f′x=6x5+3，

令x=0，得y=?1，

令y=0，得x=13，

所以切線與坐標軸圍成的三角形面積為故選：A．3.【正確答案】D

【分析】本題主要考查利用導數研究函數在閉區間上的最值問題，屬于基礎題．

求導并判斷函數的單調性，即可得出結論．

解：因為y′=4x3?4，令y′=0即4x3?4=0，解得x=1，

當x<1時，y′<0；當x>1時，y′>0，

所以函數在[?2,1]上單調遞減，在(1,3]上單調遞增，

所以函數的極小值為y|x=1=04.【正確答案】A

【分析】本題考查函數圖象的識別，涉及函數的奇偶性，利用導數研究該函數的單調性，屬于中檔題．

根據奇偶函數的定義，判斷函數奇偶性，利用導數研究該函數的單調性，可得答案．

解：f(x)=e|x|2x2，則函數的定義域為(?∞,0)∪(0,+∞)，

因為f(?x)=e|?x|2(?x)2=e|x|2x2=f(x)，

x?∞,?2?2?2,00,222,+∞f′_0+_0+f↘極小值↗↘極小值↗故選：A．5.【正確答案】C

【分析】本題考查兩個計數原理的綜合應用，屬于基礎題．

分甲和乙都去和甲和乙都不去兩類，利用分類計數原理求解．解：若甲、乙都去，除去丙同學剩下的5人每個人都可以選擇去或不去，有25若甲、乙都不去，除去丙同學剩下的5人每個人都可以選擇去或不去，有25故一共有25故選：C．6.【正確答案】C

【分析】本題考查了函數恒成立問題，屬中檔題．

不等式f(x)≥0在R上恒成立，分成兩段函數分別恒成立，分離參數a，再構造函數求最值可得．

解：當x=1時，f(1)=1?2a+2a=1>0恒成立；

當x<1時，1?x>0，f(x)=x2?2ax+2a≥0?2a≥x2x?1恒成立，

令g(x)=x2x?1=?x21?x=?(1?x?1)21?x=?(1?x)2?2(1?x)+11?x=?(1?x+11?x?2)≤?(2(1?x)?11?x?2)=0，

當且僅當x=0時取等號，

∴2a≥g(x)max=0，∴a≥0．

當x>1時，f(x)=x?alnx≥0?a≤xlnx恒成立，

令?(x)=x7.【正確答案】D

【分析】本題考查排列組合問題和分步乘法計數原理，屬于中檔題．

欲求出不同調整方法的種數，第一步可先從后排8人中選2人共有C?82種，第二步可認為前排放6個座位，選出2個座位讓后排的2

解：第一步可先從后排8人中選2人共有C?82種；

第二步可認為前排放6個座位，選出2個座位讓后排的2人坐，由于其他人的順序不變，所以有A?62種坐法；

綜上知不同調整方法的種數為8.【正確答案】A

【分析】本題考查了恒成立問題，考查了利用導數判斷函數的單調性，利用導數求最值，屬于中檔題．

將不等式sinx?x≥ax，對x∈0,π恒成立，轉化為x=0和x∈(0,π],a≤sin

解：因為不等式sinx?x≥ax，對x∈0,π恒成立，

當x=0時，顯然成立，

當x∈(0,π],a≤sinxx?1恒成立，

令fx=sinxx?1，則f′x=xcosx?sinxx2，

令gx=xcosx?sinx，

則g′x=?xsinx≤09.【正確答案】AC

【分析】本題考查利用導數研究函數的單調性，考查識圖與推理分析的能力，屬于中檔題．

利用函數y=f(x)的導函數y=f′(x)的圖象對A、B、C、D四個選項逐一分析可得答案．

解：由函數y=f(x)的導函數y=f′(x)的圖象可知，

對于A，?3左側的導數小于0，而右側的導數大于0，故?3是函數y=f(x)的極小值點，故A正確；

對于B，C，當x∈(?3,1)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，故C正確，且f(x)在(?3,?1)單調遞增，故?1不是函數y=f(x)的最小值點，B錯誤；

對于D，由圖象得f′(0)>0，故y=f(x)在x=0處切線的斜率大于零，故D錯誤；

綜上所述，AC正確，BD錯誤；

故選：AC．10.【正確答案】BD

【分析】此題考查分類加法和分步乘法計數原理，屬于中檔題．

根據分類加法和分步乘法計數原理一一分析選項即可．

解：對于A項，可以分為兩類：第一類只有一名女同學，則有C41C31=12種;

第二類有2名女同學，則有C32=3種，所以共有12+3=15種，故A項錯誤；

對于B項，可分為三類：若中間數字為0，則有3×3=9個，

若中間的數字為1，則有2×2=4個，

若中間的數字為2，則有1×1=1個，

所以共有9+4+1=14個，故B項正確；

對于C項，可以分為兩步：第一步，從4個門選擇1個門進入，有4種選擇，

第二步，從4個門選擇1個門出，有4種選擇，所以共有4×4=16種，故C項錯誤；

對于D項，顯然a≠1，共分兩大類;一類是b=1，則logab=0，只有1個值;

第二類是b≠1，若a=b，

則logab=1，只有一個值，

若a≠b，則有A82個.

又log24=11.【正確答案】BC

【分析】本題考查利用導數判斷函數單調性，利用單調性比大小，屬于中檔題．

令g(x)=exf(x)，求導可得g(x)解：令g(x)=exf(x)所以g(x)在R上單調遞增，所以g(0)<g(1)，即f(0)<ef(1)，故A錯誤，B正確；又g(ln2)<g(1)，所以即2f(ln2)<ef(1)，故C正確，故選：BC．12.【正確答案】220

【分析】本題考查組合數的性質，屬基礎題．

由組合數的性質Cn+1m=Cn

解：C22+C313.【正確答案】

【分析】本題考查利用導數研究函數的單調性，考查二次函數的最值，屬于中檔題．

由題意知，存在x>0使得f′x>0，利用參變量分離法得出2a>1x2解：由題可得fx=ax2+x?lnx，定義域為0,+∞則存在x>0使得f′(x)>0，即當x>0時，1x所以2a>?14，

因此實數a的取值范圍是故．14.【正確答案】165

【分析】本題考查組合問題，分類加法計數原理，屬于中檔題．

解：8個不同節目產生9個空．?①選出1個空排列A，B，C，有C91=9種方法;?②選出2個空排列A，B，C，有C92×

2=72種方法;?③選出3個空排列A，B，C，有15.【正確答案】解：(1)由題意知，f(1)=?3，即切點為(1,?3)，

又f′(x)=3x2?6x?9，所以f′(1)=?12，

所以f(x)在x=1處的切線方程為：y+3=?12(x?1)，即12x+y?9=0;

(2)f′(x)=3x2?6x?9=3(x?3)(x+1)，

令f′(x)<0得?1<x<3，f′(x)>0得x<?1或x>3，

故f(x)的減區間為(?1,3)，增區間為(?∞,?1)和(3,+∞)，

函數f(x)的極大值f(?1)=13，函數f(x)的極小值f(3)=?19，

又f(?2)=6，f(4)=?12，

∴f(x)在[?2,4]本題考查導數的幾何意義、利用導數研究函數的單調性、利用導數研究函數的極值、利用導數研究閉區間上函數的最值，屬于中檔題．

(1)求出導數，利用導數的幾何意義求出切線的斜率，由點斜式，即可求出結果；

(2)求出導數，研究單調性，得出函數的極值，再求出f(?2)，f(4)，即可求出結果.16.【正確答案】解：(1)由已知得：7×6!(6?x)!=20×7!(8?x)!解得x=3或x=12，又因為x?6所以x=3．(2)將x=3代入得：

C20

本題考查組合數和排列數的運算及性質，屬于中檔題．

(1)根據排列數的計算公式，求解一元二次方程即可求得；

(2)根據組合數的運算性質，即可容易求得．17.【正確答案】解：(1)如果數學必須比語文先上，則不同的排法有A6(2)如果體育排在最后一節，有A5體育不排在最后一節有C41C(3)若將這3節課插入原課表中且原來的6節課相對順序不變，則有A99

本題考查了排列組合的綜合應用，屬于較易題．

(1)根據數學必須比語文先上定序問題的排列用除法即倍縮法可求解;

(2)分別計算兩類體育排在最后一節，和體育不排在最后一節，求和即可;

(3)根據九科中六科的順序一定，利用除法即倍縮法可求解．18.【正確答案】(1)解：由f(x)=x22∴f′(x)=x?kx由f′(x)=0解得x=k

．f(x)與f′(x)在區間x0,f′(x)?0+f(x)↘k(1?↗∴f(x)的單調遞減區間是(0,k)∴f(x)在x=k處取得極小值(2)證明：由(1)知，f(x)在區間(0,+∞)上的最小值為f(k∵f(x)存在零點，∴k(1?∴k≥e，當k=e時，f(x)在區間(1,e)∴x=e是f(x)在區間當k>e時，f(x)在區間(0,e)上單調遞減，且f(1)=∴f(x)在區間(1,綜上可知，若f(x)存在零點，則f(x)在區間(1,

本題考查了利用導數研究函數的單調性，利用導數研究函數的極值，以及函數的零點，屬于難題．(1)由函數求得導函數f′(x)=x?kx(2)根據f(x)有零點，得到k(1?lnk)2≤0，得到k≥e，從而得到19.【正確答案】解：(1)∵f(x)=(k?1)ex?x?k+1，∴f′(x)=(k?1)ex?1，

①當k?1≤0時，即k≤1時，f′(x)<