【九年級第一學期】

編者的話

九年級第一學期數學課本（試驗本），正在“課改”基地學校進行第一輪教學試驗。

為了幫助執教老師理解課本、把握要求和開展實踐研究，教材編寫組人員編寫了本冊課

本的教學參考材料。這本教學參考材料，沒有經過有關部門的審查，不是正式出版的“教

學參考書”。由于編寫倉促，成稿匆忙，《材料》內容難免存在錯誤和不足，只是考慮到

新課本進行第一輪教學對參考材料的需要，所以將此很不成熟的《材料》公諸于眾。本

《材料》提供執教老師在教學研究中參考使用，同時在使用中開展研究；通過對《材料》

的使用和研究，發現并糾正其中的錯誤，彌補不足，充實內容，為編寫正式的“教學參

考書”打好基礎。希望這本教學參考材料對執教老師有參考作用，更期待執教老師對此

材料提出寶貴意見和修改建議。

初中數學教材編寫組

第一部分錦中懶述

九年級第一學期數學課本（以下簡稱本冊課本），含“相似三角形”、“銳角

的三角比”、“二次函數”等三章內容，還有配合各章內容的練習部分。

初中數學教材的編寫，一直在努力貫徹以下原則：必須正確體現本學科課程

標準提出的目標和要求；必須恰當安排學科教學的有關內容；必須對教學過程進

行積極引導。

本冊課本基本內容的確定，其依據是《上海市中小學數學課程標準（試行

本）》；內容的安排，是在“二二分段，九年級分層”的框架下進行的。從六年級

到八年級的數學課本內容中，已經建立了“實數知識基礎”、“初等代數知識基礎”；

而關于平面幾何知識系統的構建、初等代數函數的基礎性研究、概率與統計初步

知識的介紹，還沒有全部完成。本冊課本中的“相似三角形”和“銳角的三角比”

兩章，是平面幾何知識系統的組成部分；“二次函數”一章，是初等代數函數的

基礎性研究的繼續。

本冊課本編寫的指導思想仍然是：把握內在聯系，體現精中求簡，突出數學

思想，關注學習過程。在具體編寫中，強調聯系和整合，重視繼承和創新，關注

過程和方法，力求做到深入淺出、平實有序。

第二十三章“相似三角形”，其核心內容是相似三角形的有關概念、判定定

理和性質定理。本章還有“比例線段及其性質”、“三角形一邊的平行線的性質與

判定”等鋪墊性內容，以及“實數與向量相乘”和“平面向量的分解”等整合性

內容。對本章內容的處理，保留了一期教材中同一內容的基本結構。同時，突出

了對圖形的放縮運動(相似變換)和其中不變量的關注；充實了比例線段的知識基

礎及其運用；對“三角形一邊的平行線”的有關定理，進行了分類整理；對相似

三角形的判定和性質，其探索和思考過程的展現更加合理、充分。另外，注意到

“實數與向量相乘”可以看作是向量的放縮運動，而實數與向量相乘對于向量加

法的分配律\[k(a+b)=ka+kb3,其實是相似三角形判定與性質定理的代數形

式，用幾何方法對這一分配律進行證明時就是以相似三角形判定與性質為依據，

可見“實數與向量相乘”同“相似三角形”有密切聯系。由此安排了實數與向量

相乘的內容，注重明確運算的意義、運算律以及實施運算的操作方法；然后，對

向量的線性運算進行了階段性整理。

第二十四章“銳角的三角比”，主要內容是關于銳角的三角比的概念和解直

角三角形及其應用。本章內容的處理，同樣保留了一期教材的基本結構，但在敘

述方式方面有與“課改”要求相適應的變化。如：在引進銳角的三角比的概念時，

從測量分析著手，重視與相似三角形相聯系，突出了理性思維過程；在求銳角的

三角比以及由三角比的值求角時，加強了計算器的運用。又如在例題內容方面，

有較大的更新和適當的增加，增強了例題的現實感和時代性。

第二十五章“二次函數”，著重于建立二次函數的概念和研究它的圖像，在

歸納二次函數的圖像特征的基礎上，討論了二次函數的一些直觀性質。關于初中

階段對二次函數的學習，其內容分為兩個層次，本章是基本內容部分，在拓展

II還有定向拓展內容部分，將進一步充實二次函數的知識基礎和基本運用。在

本章內容的處理中，重視體現研究函數的基本思想和初等方法。如：對二次函數

圖像的研究，展現了從特殊到一般的發展過程，突出了圖形運動、變換的思想以

及分解與組合的策略；對二次函數性質的討論，注重利用圖像的直觀性，通過觀

察和分析，歸納圖像的基本特征，再將二次函數的一些基本性質進行直觀描述。

同時，本章重視數學與現實的聯系，體現在通過簡明的實例引進二次函數有關概

念；運用二次函數的知識解決簡單的實際問題等。

本冊內容的呈現，主要采用“過程模式”，通過“問題一一活動”的安排，

引導學生探索求知。課本中保持有“問題”、“思考”、“操作”、“想一想”、“議一

議”等欄目，有邊款點撥、方框解說等版式，以指導學生開展數學活動，幫助學

生把握重點和釋疑解難，促進學生生動、活潑、主動地學習，深入地思考。

在各章的末尾，配備有“閱讀材料”或“探究活動，如：“話說，黃金分割，”、

“漫談’出入相補原理…的材料，重在豐富學生的數學文化；“利用函數的圖像

研究函數”的材料，重在指導學生進行學習過程的反思和經驗總結；還有“分割

三角形”和“測量活動”的安排，旨在加強數學實踐活動和引導學生探究學習。

數學練習部分中的習題安排，重視基本訓練，也有一些開放性問題、探究性

問題、實踐性問題等；注意訓練要求分層，有統一性也有多樣性。“試一試”欄

目下的題目，一般有較高的難度，這樣的題目不要求所有學生都去做，主要提供

給有學習興趣的學生進行研究和討論，進一步培養學生的探究意識和鉆研精神，

滿足不同學生的學習需要。

本冊課本的教學內容總量，按照《上海市中小學課程方案（試行本）》規定

的課時數進行控制。以每周的數學課3節計算，本冊課本的教學課時數有51節；

現在設計的教學課時46節，留有一定的機動余地。具體的教學計劃和進度，由

教師根據學校和學生的實際情況進行制定。

各章教學的課時數建議如下：

第二十三章相似三角形24課時（21+3）

第二十四章銳角的三角比11課時（10+1）

第二十五章二次函數11課時（10+1）

第二部分各章說明

第二十三章相似三角形

一、全章綜述

1.教學目標

(1)通過實物圖形的放縮，直觀理解相似形的意義，歸納相似形的本質特征，形成相

似三角形的概念.經歷對形狀相同圖形的從直觀感知到數學抽象的過程，掌握相似三角形

的定義.

(2)知道兩條線段的比的意義，理解比例線段及其有關概念，掌握比例的性質，了解

黃金分割的意義.

(3)掌握三角形一邊的平行線的性質和判定定理、平行線分線段成比例定理.了解三

角形的重心的意義與性質.能運用三角形一邊的平行線的性質和判定定理，從較復雜的圖

形中辨析基本圖形再進行計算與證明.

(4)通過將三角形相似所需條件與三角形全等所需條件的類比，體驗類比思想；經歷

相似三角形判定定理的推導過程，能運用有關定理判定兩個三角形相似，提高演繹推理能

力.

(5)通過對相似三角形的理性思考，提出關于相似三角形性質的猜想，再進行推理

證實，經歷數學探究的完整過程；體會圖形放縮運動過程中有關幾何量的變與不變的辯證

關系，掌握相似三角形的性質,并能運用相似三角形的性質解決簡單的幾何問題.

(6)在發現和證明圖形性質的過程中，領略數學探索的意義，體會化歸的思想、運動

的觀點和分類討論的思想以及從特殊到一般的思維策略.

(7)理解實數與向量相乘的意義，掌握實數與向量相乘的表示方法和畫圖方法，會根

據實數與向量相乘的意義判別兩個非零向量是否平行；知道實數與向量相乘的運算律，理解

向量的線性運算的含義，會運用實數與向量相乘的運算律以及有關的運算法則進行向量的線

性運算。

(9)理解平行向量定理，會用向量關系式表示兩個平行向量；理解單位向量的意義；

知道向量分解的含義，會用畫圖的方法求一個向量在兩個不平行向量方向上的分向量。

2.課時安排

本章教學共24課時，建議分配如下:

23.1圖形的放縮與相似形1課時

23.2比例線段2課時

33.3三角形一邊的平行線4課時

23.4相似三角形的判定5課時

23.5相似三角形的性質4課時

23.6數與向量相乘3課時

23.7平面向量的分解2課時

復習小結3課時

3.設計說明

本章主要學習相似三角形的概念、判定和性質.為了研究相似形，需要學習比例線段及

其性質、三角形一邊的平行線的性質與判定以及平行線分線段成比例定理.又在學習相似三

角形的基礎上，引進了實數與向量相乘的運算,討論了向量的合成與分解.

相似形的概念，是通過對實物圖形的放大與縮小的直觀認識逐步形成的，先定性描述

再揭示其本質特征.由于圖形的相似與比例線段密不可分，因此在形成相似形的概念之后，

安排學習比例線段,進而討論三角形一邊的平行線的性質與判定以及平行線分線段成比例

定理，為研究相似三角形提供了必要的知識準備.

關于相似三角形的內容，從相似三角形的概念到判定、再到性質，有序展開、形成系

統。由三角形一邊的平行線的性質導出相似三角形預備定理，是推導相似三角形判定定理

的前奏；由相似三角形的定義得到“相似三角形的對應角相等、對應邊成比例”，是研究相

似三角形性質定理的開端。再通過“問題”的引導，在解決問題的過程中，進一步演繹出

相似三角形的判定和性質定理系統，展現了論證幾何的研究過程和邏輯推理的思想方法。

關于向量內容的展開，基于對圖形放縮運動的認識和對向量代數知識擴展的思考。在八

年級的“四邊形”中，引進了向量的概念及其加減運算，現在進一步提出向量的“乘法”是

自然的。課本中通過類比“求幾個相同加數的和的運算”，引出“正整數與向量相乘”的運

算；然后推廣到整數、有理數與向量相乘，再給出“實數與向量相乘”的定義。這樣的處

理，體現了代數思考的過程，有利于學生進行知識的遷移。課本中還指出，“實數與向量相

乘”其實是向量的放縮運動，以此建立起兩者的聯系，有助于學生理解“實數與向量相乘”

的幾何意義。知道了“實數與向量相乘”的運算以后，理所當然就是討論它所具有的運算律;

接著，把向量的加、減及實數與向量相乘的運算進行整理，建立起向量的線性運算結構，從

而完成了向量代數初步知識的構建。在此基礎上，提出了平行向量定理以及平面向量的分解,

為向量的運用打下了基礎。

本章內容的呈現，體現了“問題驅動，分層推進”的思路，通常是從學生的知識背景出

發提出問題，引導學生從數學的角度思考問題,通過探究活動和演繹推理，構建數學知識.

例如由三角形中位線提出關于三角形一邊的平行線的問題，通過直線平移，針對平行線與

三角形的不同位置關系展開分類討論，從而得到三角形一邊平行線的性質及判定，并進一

步推廣到一般情況，得到平行線分線段成比例定理.又如課本通過類比全等三角形的判定，

提出三角形相似的判定問題進行探索研究，運用運動的觀點和相似三角形的預備定理，導

出相似三角形的判定定理,進而把全等三角形統一到相似三角形中。對于相似三角形性質，

也是先從相似三角形的概念及幾何圖形的內在特性提出有關問題，再進行探索和研究.課本

重視展現數學發現與理論建立的過程，努力促進學生主動學習、完善學習方式，引導學生

提出問題、探究及解決問題.

本章設計了兩篇閱讀材料和一個探究活動.“黃金分割”和“出入相補原理”的材料，

是數學文化教育的素材；“分割三角形”的活動，重在加強數學思維訓練和引導學生探究學

習。

4.教學建議

(1)切實把握教學要求，落實核心知識內容.本章學習的重點，是相似三角形的概念、

性質與判定定理，還有三角形一邊的平行線的性質與判定定理，以及向量的線性運算.比例

線段和比例的性質,是學習和研究相似三角形的知識基礎，本章涉及的比例線段變形都比較

簡單,教學時不需要單獨針對比例的性質進行復雜的比例式變形訓練,只要在學習過程中結

合具體問題進行練習.三角形一邊的平行線的性質，既是學習相似三角形的知識基礎,又是

獨立解決問題的依據,是本章教學的另一個重點.教學中要注意培養學生的空間觀念,能從

幾何圖形或實際問題中,分解出基本圖形,再根據基本圖形的性質解決問題.但要注意控制

問題的難度,避免技巧化.相似三角形是本章的核心內容,要重視學生對相似三角形的概念、

性質與判定定理的理解與運用,要注意落實下面四個基本圖形的相似問題.而在幾何證明和

計算中,一般運用相似三角形的判定與性質不超過兩次.

對于向量的教學，要嚴格控制難度，把握課本中所明確的基本要求，一般不推廣、不拓

展、不深化。例如，對數乘向量運算律，不要求進行論證，只要求學生感知理解，通過練習、

作業逐步達到會用。又如課本介紹了利用數乘向量證明三角形的中位線定理，這里僅僅是一

種學習欣賞,不要求學生完全掌握,教學中不要再去尋找利用向量方法解決的其他幾何問題。

(2)注意培養學生數學地提出問題、思考問題、解決問題.九年級的學生已具備了一

定的數學知識、技能與方法,積累了一定的數學學習經歷與經驗,初步會從數學的角度思考

問題.因此，本章內容的展開，注意引導學生用數學的眼光觀察事物，提出問題、探索問題、

解決問題.如“三角形一邊的平行線”一節，課本通過對三角形中位線定理的條件與結論的

關系進行變更和推廣,形成了問題1,進而通過平移直線改變圖形的位置,形成了問題2與問

題3,然后圍繞三個問題的探索，開展學習活動.在本章的教學過程中,要注意通過導言讓學

生體會數學問題的由來,領略數學地思考問題的過程和方法,要關注教學活動的數學內涵，

避免活動流于形式、缺乏思維而浮于表面.教師要注意把握教材設計的意圖，創造性地使用

課本、開發課程，引導學生從數學本質屬性的角度進行思考、提出質疑，形成數學問題，以

滿足不同層次學生的學習需求.例如在“三角形一邊的平行線”的第二課時，課本中提出

思考：圖23—16,如果點D、E在AABC的邊AB、AC上,DE〃BC,那么型=42=延成立

BCABAC

嗎？其實這個問題發生的起點是:如圖23—10中，DE是AABC的中位線，這時就有DE〃BC,

F)PAF)4771

—=-由平行于三角形一邊的直線的性質定理進行啟發，于是進一步提出:

BCABAC2

如圖23—16,如果點D、E在△ABC的邊AB、AC上,DE〃BC(DE不一定是中位線)，那么，

匹=亞=4月仍然成立嗎？

BCABAC

(3)關注數學思想方法的領會與運用.在以前的數學學習過程中，學生對基本數學思想

方法有了初步的感受，本章內容蘊涵了運動變化思想、分類討論思想、數形結合思想、化歸

思想、方程思想、類比與歸納的方法等.在教學過程中，感悟基本數學思想方法是打好基礎、

數學地進行思維的關鍵,教師要注意讓學生領會數學知識中所隱含的數學思想方法.要在具

體問題中滲透數學思想方法,進行潛移默化,讓學生在獲取知識的過程中逐步感受、了解和

領悟數學思想方法.要避免脫離知識、過程而講思想，防止數學思想教條化而導致數學思想

的失去活力.

5.評價建議

(1)關注數學基礎知識的理解與運用.相似三角形是今后學習銳角三角比、三角函數

和圓的知識基礎，例如其中三角比的概念、三角函數的定義、圓的有些性質的證明，都與相

似三角形有密切聯系.另外，在物理學、工程設計、測量、繪圖等許多方面，都要用到相似

三角形的知識.學好三角形相似既是進一步學習的需要,也是工作實踐的需要.所以在學習

評價中，要關注學生對相似三角形的概念、判定與性質定理的理解和應用，針對幾種基本相

似圖形的運用進行評價.關于三角形一邊的平行線定理，主要是理解與簡單應用.向量的線

性運算是向量代數和空間結構代數化的基礎內容，是向量在數學和物理研究中發揮工具作

用的準備知識。要重視學生對向量加、減以及實數與向量相乘運算的意義的理解，要求學

生知道這些運算的法則和運算律，知道向量的線性組合表示和向量的分解式，會按照運算

或分解的要求進行畫圖。要引導學生體會知識之間的聯系，對于兩個非零向量Z、b,根據

實數與向量相乘的意義和平行向量定理，可知3=左￡(左是實數)與B〃￡能相互推出、

相互轉化。

(2)關注數學思想方法的體驗與運用.要關注學生對數學知識中所隱含思想方法的領

會.本章從一個圖形經過“放大”或“縮小”可以得到一個與它相似的圖形的學習導言開始,

在比例線段和相似三角形的學習中,始終貫穿著圖形運動變化的思想,要關注圖形在不同的

運動過程中，哪些量將發生變化,哪些量不發生變化,逐步提高運用運動變化的觀點來思考、

探索問題的能力.同時，課本從三角形中位線聯想到三角形一邊的平行線、再到平行線分線

段成比例，從全等三角形的判定聯想到相似三角形的判定，從數的運算聯想到向量的線性

運算等,都蘊涵著類比思想和從特殊到一般的探究策略.要關注學生在學習活動中,對類比、

歸納、轉化思想的體驗與領悟.另外，在本章一些定理的運用中，常常通過運算進行推理探

究或推理后進行代數運算,在學習評價中要關注學生對數形結合思想、方程思想和分類討論

思想領悟與運用。

(3)關注學生數學活動的參與度及在數學活動中的體驗和感悟.本章許多問題及探究

都是通過對已有的知識經驗進行反思、質疑而形成的。要關注學生在數學活動中的參與度

以及運用數學知識解決問題的經歷、經驗和策略的積累.在學習過程中,要重視通過數學思

維活動提高學生學習數學的興趣；關注學生在問題形成、問題探究和問題解決的數學活動

經歷中的體驗與感悟；關注學生提出、探究問題的能力及思維品質的提高.通過評價激發學

生的學習興趣，引導學生提出問題、思考問題,逐步養成善于提問、主動探究的學習習慣.

二、具體說明

23.1放縮與相似形

1.教學目標

(1)能用圖形放縮運動的觀點理解相似形的意義，知道相似形的概念，理解相似多

邊形的對應角、對應邊的意義.

(2)通過對圖形放縮運動的探究，認識放縮運動中的不變量，知道相似多邊形的特征

及相似形與全等形的關系.

2.教材分析及教學建議

學生已經知道，形狀相同、大小也相同的兩個圖形是全等形，因此對''形狀相同”已經

有了一定的認識.在這個基礎上,課本中通過實物圖形,讓學生感知現實生活中有很多這樣的

圖形，它們形狀相同但大小不一定相同.然后引進圖形的放縮，進一步認識形狀相同的圖形,

形成相似形的概念；再通過實驗分析，得到兩個多邊形相似其實是指它們的內角對應相等、

邊的長度對應成比例，初步認識相似多邊形的本質特性和放縮運動中的不變量.

在教學中，要注意以下幾點：

(1)所設“問題”是引導學生通過對放縮前后的兩個三角形進行觀察和測量，感受圖

形放縮運動中有的量將發生變化,而有些量可能不會變化.由此知道三角形在放縮運動過程

中，各個內角的大小不變,而各邊的長度“同樣程度”地放大.但這時還沒有給出比例線段的

概念,因此課本在這里表述為邊的長度對應成比例.

(2)“試一試”欄目中的活動，是在三角形的基礎上，提出考察四邊形，以便進一步推

廣到一般的多邊形，從中體會相似多邊形的對應角、對應邊的意義，歸納相似多邊形的本質

特性.

(3)“例題”是運用兩個相似多邊形的性質及四邊形的內角和進行計算,要注意根據對

應頂點確定對應邊和對應角.

3.練習答案

練習23.1

1.略.2.略.3.12、12、15.

23.2比例線段

1.教學目標

(1)知道兩條線段的比的意義,理解比例線段及其有關概念，了解黃金分割的意義；知

道比例線段的性質,能結合具體圖形,運用比例線段的性質,進行簡單的比例線段變形.

(2)會運用同高(或等高)的兩個三角形的面積之比等于對應底邊的比,進行三角形的

面積比與線段比的轉化.在比例線段性質的證明與運用過程中，體會方程思想的作用.

2.教材分析及教學建議

學生在六年級已經學習過比、比例及比例的基本性質.課本通過回顧比和比例的概念，

給出了兩條線段的比和比例線段的概念.本章所涉及的比例線段的變形都比較簡單,重點在

于比例線段性質的基本運用.結合比例線段的研究，本節介紹了介紹了黃金分割，主要用作

數學文化教育素材。

在教學中，要注意以下幾點：

(1)比例的合比性質也可以這樣證明：因為-=所以-+!=-+1,即

bdbd

—=士1課本中運用設元的方法證明比例的合比性質和等比性質，目的是讓學生體會

bd

比例的意義和等量代換的思想.

(2)關于比例的合比性質和等比性質,不需要單獨進行復雜的比例式變形訓練(只要結

合具體圖形進行簡單的比例線段變換)，但要注意讓學生體會合比、等比性質證明過程中隱

含的數學思想方法.

(3)例題1主要是為學習三角形一邊平行線性質作準備,不必要進行復雜的比例式變形

訓練.

(4)例題2主要讓學生領悟“同高(或等高)的兩個三角形的面積比等于對應底邊的

比”的性質，指出了面積比與線段比之間的聯系，也是為證明平行于三角形一邊的直線的性

質與判定定理作鋪墊.同高(或等高)的三角形的面積比,可以轉化為線段比,這有別于相似

三角形的面積比問題.用面積關系解決問題是我國古代數學的成就之一,可參考本章閱讀材

料“出入相補原理”.

(4)通過例題3,介紹了黃金分割，在例題解答過程中含有用字母表示數及方程思想.

關于黃金分割，在閱讀材料中作了更多的介紹.

3.練習答案

練習23.2(1)

12

1.(D-;(2)3；(3)-.2.略.

23

7

3.4.9,12,15.

2

練習23.2(2)

1.6.2,略.3.V5-1,3-V5.

23.3三角形一邊的平行線

1.教學目標

(1)掌握三角形一邊的平行線的性質和判定定理、平行線分線段成比例定理；了解三

角形的重心的意義與性質；能運用三角形一邊的平行線的性質和判定定理，從較復雜的圖

形中分解出基本圖形,進行基本的計算與證明.

(2)通過對三角形中位線的概念與性質的分析，從特殊到一般，提出關于三角形一邊

平行線的研究問題；經歷運用分類思想針對圖形運動的不同位置分別探究的過程,初步領略

運用運動觀點、化歸和分類討論等思想進行數學地思考的策略.

2.教材分析及教學建議

課本通過對三角形中位線的概念與性質進行分析，引出對三角形一邊的平行線的性質

與判定的研究，導出了三角形一邊的平行線的性質與判定定理。

如圖，已知DE是4ABC的中位線,那么DE是4ABC的BC的平行線。課本由此出發，提出

一系列問題進行探究，(1)如果D是邊AB的中點，點E在邊AC上，DE〃BC,那

么E是邊AC的中點嗎？(2)如果移動DE,保持點D、E分別在邊AB和AC上,

ApAn

DE/7BC,那么——與——相等嗎？(3)如果BC的平行線分別與邊AB、AC的延

ECDE

ApAn

長線交于點D、E,那么一與——相等嗎？這樣逐步推進，得到三角形一邊的平

ECDE

npAnApi

行線的性質定理。再注意到如果DE是4ABC的中位線，可知一=—=—=-

BCABAC2

于是提出對三角形一邊的平行線性質定理的結論進行推廣的命題，通過證明得到三角形一邊

的平行線性質定理的討論。

關于三角形一邊的平行線判定定理，課本中是由三角形一邊的平行線性質定理的一個逆

命題引起出來的，實際上也就是三角形中位線定理的推廣。

本節立足學生已有的知識背景,通過對原有認識的反思質疑提出問題,引發新知識的學

習，目的是為了引導學生從數學的角度思考問題,進行探究學習，構建數學知識.

在教學中，要注意以下幾點：

(1)“問題1”來源于對三角形中位線定理的反思，實際上三角形中位線定理的一個逆

命題；這個問題也是“問題2”的特殊情況，“問題1”與“問題2”的解決方法是相同的.

教學過程中要注意引導學生用圖形運動的觀點領略歸納法,再進一步提出“問題3”，體會分

類討論思想.

(2)“問題3”由“問題2”平移直線/而來,又化歸為問題2予以解決,這樣使整個問

題得到徹底解決.要引導學生關注轉化的思想方法。

(3)為推廣三角形一邊平行線的性質定理而設計的“思考”，源于三角形一邊平行線

的性質定理和三角形中位線定理.教師可以適當加以引導:如圖23—10,DE是AABC的中位

nr4nAF1

線，這時DE〃BC,可知竺=白上=白匕=上.由三角形一邊平行線的性質定理啟發，提出問

BCABAC2

題:如圖23—16,如果點D、E在4ABC的邊AB、AC上,DE〃BCCDE不一定是中位線)，那

么，匹=42仍然成立嗎？這樣既可以讓學生體會到新問題的起源,又可以找到與原

BCABAC

有知識的聯系.

(4)對“問題1”結論的推導，在邊款已指出可用同一法；課本中采用的基本方法是

面積法，并為運用面積法推導“問題2”的結論作鋪墊。后面證明三角形一邊的平行線判定

定理，也是采用面積法，同樣在邊款指出可用同一法。選用面積法來處理，可能更有利于學

生接受，也體現了我國古代幾何學的特色.在本冊課本中，對“同一法”不作教學要求。

(5)在三角形一邊的平行線判定定理后，安排了“議一議”。要向學生指出，如果

DFAF

一=一,不能得到DE//BC,可舉出反例進行說明.這個學習活動要讓學生嘗試,這樣有利

BCAC

于學生正確理解判定定理.

(6)提出改變三角形一邊的平行線性質定理中的條件再探索其結論的“思考”，是為了

推廣得到平行線分線段成比例定理.課本中對結論的推導，是通過平移直線AC,轉化為三角

形一邊平行線的問題來解決.在邊款中已經指出，也可以這樣推導結論:如圖23—26(1),由

。〃給得DF"=F—G―一-0.又42〃BC,得AF絲=A—G―-…②.由①x②得DF竺=F"G.教

AFAGFBGCFBGC

學時，可根據學生的實際情況選擇推導方法。

(7)平行線分線段成比例定理是三角形一邊平行線性質定理推廣，三角形一邊平行線

性質定理可看作是平行線分線段成比例定理的特殊情況.如圖(1),把平行線分線段成比例

定理的圖形中的直線CE向左平移,可得圖(2)、圖(3),即得三角形一邊平行線的圖形.但要注

意，平行線分線段成比例定理的逆命題是假命題,而平行線分線段成比例定理的逆命題是真

命題.

(8)本節有6個例題.例題1、例題2是三角形一邊平行線性質定理及其推論的運用，

其中例題2需要把已知線段等積的關系化成比例形式.例題3主要是為了得到重心的概念與

性質.例題4為我們提供了一種證明兩條直線平行的新思路，要讓學生體會，利用三角形一

邊的平行線判定定理證明兩條直線平行,先要證明線段成比例時,這時常常需要把每一個比

看成一個整體,分別證明它們與第三個比相等,通過第三個比利用等量代換來過渡,或者說通

過“中間比”來過渡.例題5是為了加深理解鞏固平行線分線段成比例定理.例題6是關于第

四比例項的作圖題，是平行線分線段成比例定理的運用，邊框已指出“作圖依據是平行線分

線段成比例定理”，也可以說是三角形一邊平行線性質定理，其實是告訴學生可據此證明作

圖正確(一般不要求證明).

3.練習答案

練習23.3(1)

1628

1.(1)—,—；(2)4.2.(1)10；(2)10.3.略.

33

練習23.3(2)

1.(1)9；(2)4,12；(3)—.2.—,一.3.4.

833

練習23.3(3)

1.(1)平行；(2)平行；(3)不平行；(4)平行.2.略.

練習23.3(4)

1.(1)4.8；(2)9,15.3.略.

23.4相似三角形的判定

1.教學目標

(1)知道兩個三角形相似的定義及有關概念,能以圖形放縮運動的觀點理解相似比；

掌握相似三角形的判定定理.

(2)通過類比兩個三角形全等的判定方法，提出判定三角形相似所需條件的問題，獲

得探究相似三角形判定方法的過程經歷，發展理性思維的能力.

2.教材分析及教學建議

在“圖形的放縮與相似形”一節，通過圖形的放縮運動描述了兩個圖形相似的意義.在

這一認識基礎上，本節具體地研究相似三角形。

課本首先給出了相似三角形的定義，說明了有關概念，明確了相似三角形的符號表示

和相似比的意義.然后，通過對三角形一邊的平行線問題的進一步思考,得到相似三角形的

預備定理.再通過對判定全等三角形所需條件進行分析,類比全等三角形的判定方法，提出

了關于相似三角形判定的四個問題；通過對四個問題的探究,得到三個一般三角形相似的判

定定理和一個直角三角形相似的判定定理.本節內容重點是掌握相似三角形的判定定理,并

能運用判定定理進行推理判斷.

在教學中，要注意以下幾點：

(1)由于在相似三角形判定定理的推導過程中需要運用三角形相似的''傳遞性"，所以

課本中特別安排了“想一想”，讓學生知道三角形相似具有傳遞性.

(2)在相似三角形的符號表示中，通常把表示對應頂點的字母分別寫在“A”后的相

應位置上，這樣比較容易找出兩個三角形的對應角和對應邊。但是，這樣的表示方式只是“通

?！笔褂枚皇墙y一規定。關于相似三角形判定定理的運用，在書寫格式中，類似于全等三

角形的判定,先要指出“在哪兩個三角形中”，這樣表述可使判定過程中的條件與結論的關系

更加明顯.

(3)要注意引導學生參與分析全等三角形的判定定理、提出相似三角形判定問題的過

程,感受類比思想的意義.

(4)相似三角形的三個判定定理的探究，都是通過移動其中的一個三角形(即作一個與

它全等的三角形)，把它們轉化為可用預備定理來解決的問題,要引導學生體會其中蘊涵的化

歸思想和方法.

(5)“問題4”是為導出直角三角形相似的判定定理而設計的。在解決問題時，通過

先計算第三邊的比,再運用判定定理3得到結論.教學中要提醒學生,在解決幾何問題時注意

恰當地運用計算進行推理.

(6)判定定理1的運用比較容易，課本中沒有舉例，可通過“練習”進行說明；必要

時，也可自行安排例題進行講解。

(7)例題1與例題2是判定定理2的運用.例題1需要先計算邊長的比，得到兩組邊對

應成比例,然后運用判定定理2推出兩個三角形相似.一般地,兩個三角形相似,它們的最短

邊與最短邊對應,最長邊與最長邊對應,要注意根據邊長的大小,選擇兩個三角形適當的邊進

行計算.本題還可得到△AOBs/^OC.例題2需要把線段乘積的條件轉化為比例的形式,再運

用判定定理2推出兩個三角形相似。要注意對證題思路的分析，有時將乘積式或比例式進行

適當的變形具有關鍵作用.

(8)例題3是判定定理3的運用,本題也可以用其它的方法證明.例題4主要是直角三

角形相似的判定定理的運用，要引導學生在計算推理過程中,體會數形結合思想.

(9)例題5、例題6是相似三角形判定定理運用，又有一定的綜合性。例題5要兩次判

定三角形相似；例題6需要運用三角形一邊的平行線的性質與相似三角形的判定定理,可以

有多種方法證明.可以根據學生的情況，適當調整例題的難度.

3.練習答案

練習23.4(1)

1.(l)AABC^ADFE；(2)AABC^ADEF.

2.AAFE^ADFC,AAFE^ABCE,ADFC^ABCE.

3.略.

練習23.4(2)

1.(l)AABC^ADEF；(2)AABC^AEFD；(3)不相似.

2.略.3.2毫米.

練習23.4(3)

1.(1)AABC^>ADEF；(2)AABC^AEFD.

2.90厘米、120厘米，或40厘米、80厘米，或30厘米、45厘米.

3.AABC^AFED.

練習23.4(4)

1.(1)相似；(2)相似;(3)不相似;(4)相似.

2.略.

練習23.4(5)

APAT

1.(1)ZACP=ABC；(2)AC2=AP?AB(或——=——).

ACAB

2.略.

23.5相似三角形的性質

1.教學目標

(1)掌握相似三角形的性質,能應用相似三角形的性質解決簡單的幾何問題和實際問

題.

(2)經歷相似三角形性質的探索過程,增強演繹思維能力,體會圖形相似變換中的變量

與不變量.

2.教材分析及教學建議

研究相似三角形的性質，主要是研究它們的對應邊、對應角、對應高、對應中線、對

應角平分線以及周長、面積分別具有的數量關系特征.已知兩個三角形相似，由定義可知它

們的對應角相等、對應邊成比例；由此聯想到它們的對應特殊線段及周長、面積，這樣就

形成了對于“對應角平分線(或高、中線)的比"、"周長比”、“面積比”分別與相似比

之間的關系進行探究的三個問題。整個相似三角形性質的學習內容,就是圍繞這三個問題展

開，通過探究，獲得結論；再鞏固運用。

在教學中，要注意以下幾點：

(1)“問題1”提出對相似三角形的對應角平分線之比與相似比之間的關系進行探究，

讓學生在獲得結論的同時，得到對于探究過程和方法的體驗。至于對應高之比、對應中線

之比分別與相似比之間的關系，安排在練習、習題中讓學生對結論進行證明。

(2)“問題2”的結論，可以利用比例的等比性質進行推導。課本中選用設元的方法，

主要讓學生體會數學思想方法.“問題3”的結論，通過計算可以得到.

(3)教學中要注意相似三角形性質定理3的運用.由相似比求面積比，學生容易掌握;

反過來由面積比求相似比，學生往往掌握不好,誤認為“相似三角形的面積比等于相似比”，

要提醒學生注意.

(4)相似三角形的性質歸納起來有兩個要點：一是相似三角形所有對應線段的比等于

相似比；二是相似三角形面積的比等于相似比的平方.學生對于相似三角形性質定理的理解

和直接運用，一般來說困難不大；當比例線段性質、平行線分線段成比例定理、相似三角形

的判定與性質進行綜合運用時，容易出現混亂。要控制教學的難度，加強學習指導.

(5)本節有7個例題.例題1是相似三角形判定定理與性質定理1的綜合運用，主要訓

練邏輯推理能力.例題2、例題3是相似三角形性質定理2、定理3的運用,主要是為了深化

理解定理.例題4是關于射影定理的證明,主要是相似三角形的判定與性質的運用，但所得結

論沒有概括為定理，一般也不要進行補充.例題5的教學，要注意讓學生體會方程思想.

例題6、例題7是對相似三角形判定與性質定理的運用進行鞏固，有一定的綜合要求.

例題6可改變為把點P看作是BC上的一個動點,如：已知4ABC中,AB=AC,點P是BC上的一

個動點，點D在邊AC上，ZAPD=ZB.則點P在BC上移動的過程中，AABP與4PCD始終相似.

例題7運用的知識點比較多；將例題7的條件改變，得到“議一議”的問題，可知正方形

DEFG的邊長與AABC的形狀無關,只與AABC的邊BC和高EF的長有關.

3.練習答案

練習23.5(1)

1.4.2.8.3.略.

練習23.5(2)

1.略.2.(1)10000；(2)10.3.略.

練習23.5(3)

1.(1)9；(2)25.2.略.

練習23.5(4)

1.略.2.略.

23.6實數與向量相乘

1.教學目標

(1)通過類比幾個相同的數連加的運算，認識整數與向量相乘的規定的合理性；理解

實數與向量相乘的意義，掌握實數與向量相乘的表示方法；對于給定的一個非零實數和一個

非零向量，能畫出它們相乘所得的向量。

(2)知道實數與向量相乘的運算律，會依據運算律對向量算式進行計算、化簡。

(3)理解平行向量定理，會用向量關系式表示兩個向量的平行關系；理解單位向量的

意義，知道一個非零向量與同方向的單位向量之間的聯系。

2.教材分析及教學建議

本節的主要內容是實數與向量相乘的定義、運算律及其初步運用。內容的展開，以問

題、例題為載體，從特殊到一般、從具體到抽象，注重基本知識的歸納和形成。

在學生已經學習向量的有關概念和加、減運算的基礎上，本節通過將“幾個相同的向

量連加"與''幾個相同的數連加”類比，引進了正整數與向量相乘的運算，然后說明了整數

與向量相乘的含義，再給出實數與向量相乘的定義。聯想向量的加法和實數的乘法都有它們

的運算律，接著就對實數與向量相乘的運算律進行探討，通過例題討論，歸納得到實數與向

量相乘滿足實數與向量相乘的交換律、對于實數加法的分配律、對于向量加法的分配律，從

而建立了實數與向量相乘的運算結構。

根據實數與向量相乘的意義，可知實數與向量相乘的積是平行于已知向量的一個向量;

于是考慮：如果兩個非零向量是平行向量，那么其中一個向量能否用某一實數與另一個向量

相乘來表示？利用具體圖形，通過具體問題討論，得到了平行向量定理。這樣，“兩個向量

平行”與“實數與向量相乘”就可以相互表示，為今后向量工具解決幾何問題提供了一個思

考依據。

在實數集中，。和1是兩個特殊的數。在平面向量中，已經規定了零向量（6）,現在

再引進單位向量（工），是建立向量代數結構的需要。（通常，這類集合中含零元和單位元。）

在教學中，要注意以下幾點：

（1）關于實數與向量相乘的運算的引進，課本中是從數的乘法切入，引導學生進行類

比聯想和歸納，形成認知基礎，然后給出實數與向量相乘的定義，這是一條代數的思路，可

能比較容易納入學生已有的知識結構。邊款中指出了實數與向量相乘同向量的放縮之間的聯

系，可作為實數與向量相乘的一種幾何解釋。如果將向量的放縮運動作為引進認識實數與向

量相乘的運算的起點，通過簡單的說明，再給出實數與向量相乘的定義，那么就得到引進“數

乘向量”的另一條思路，教學時也可嘗試這一思路。

（2）例題1是根據實數與向量相乘的意義畫圖，讓學生通過操作活動，體會實數與向

量相乘的幾何表示。例題2和例題3是實數與向量相乘的初步運用，要引導學生初步認識兩

個平行向量的代數表示形式。

（3）例題4和例題5是為探討實數與向量相乘的運算律而設計的。通過例題4,展示

了實數與向量相乘、向量的加減進行混合運算的過程，同時為歸納實數與向量相乘對于實數

加法的分配律（分配律1）提供思考基礎。例題5直接指向實數與向量相乘對于向量加法的

分配律（分配律2）,從特殊到一般分層遞進。

（4）在例題5的教學中，要引導學生體會分配律2的證明方法。其中第（1）題中的

實數是3（整數），可用代數方法推導結論；再用作圖方法驗證，是為了引出幾何證明方法。

這一幾何證明方法，可用于對任一非零實數的分配律2證明，課本中有提示，但不作教學要

求。在幾何證明過程中，運用了“三角形一邊的平行線性質定理推論”，其實也就是“A3//

A,5,n△OABn她=也=空，，，由此可見分配律2與相似三角形的聯

ABOB0A

系（分配律20相似三角形的判定與性質定理），現在不必告訴學生。

（5）例題6是運用有關運算律進行向量的代數計算，即化簡算式。教學時，要進行說

理，講清每次變形的依據。解題后的“想一想”，是指導學生進行反思總結，應讓學生明確，

這樣的關于向量的代數計算（后面稱為向量的線性運算）與多項式的運算類似，從而建立起

新舊知識的聯系。

（6）提出運用實數與向量相乘的意義研究幾何問題，并以證明三角形中位線進行說明，

是為了引起學生學習向量知識的興趣，不要進一步展開。

（7）引進平行向量定理和單位向量，是為了完成向量初步知識的構建。教學時著重于

知識的形成，現在對它們的運用不要展開?！逼叫邢蛄慷ɡ怼迸c“實數與向量相乘的意義”

結合起來，就得到B〃a=存在唯一的實數僅，使3=相?！保谙蛄繋缀沃?/p>

有重要的運用，現在只是給學生打下認識的基礎。

（8）例題7是幫助學生加深理解實數與向量相乘的意義，學會根據實數與向量相乘的

意義判別兩個向量是否平行。在解題過程中，涉及到向量關系式的變形、解向量方程組的問

題，學生可能會感到陌生。教學時，要指導學生進行知識遷移，認識到現在遇到的向量關系

式的變形、解向量方程組，分別與數量關系式的變形、解一次方程組類似（因為對于向量和

數量，有關運算的運算律、等式性質類似）。

（9）練習23.6第3題，通過分5個小題的設計，展示了梯形中位線定理的證明過程。

完成本題練習以后，可進行一次整理，讓學生體會用向量工具證明梯形中位線定理的思考方

法。但是，不要求學生自己獨立地用向量方法證明幾何問題。

3.練習答案

練習23.6（1）

1.略。

—?—*I―?I—*J—*

2.4a與向量。方向相同，長度為4，卜-—a與向量。方向相反，長度為—a；

-2d2a與向量a方向相同,長度為2,。

3.已知四邊形ABCD是平行四邊形，且E、F、G、H分別為各邊的中點，由平行四

邊形的判定與性質可知，EG、AB、DC互相平行且相等，FH、BC、AD互相平行且相等；

EG與FH互相平分于點O。所以，

HI=BC=2BG=2a；DC=AB=-BA=-2BF=-2bo

再由向量加法的平行四邊形法則，#BD=BC+BA=2BG+2BF=2a+2b?

練習23.6(2)

1.(1)3(2。一/?)+5(2。-3Z?)=6〃-3Z?+10。-15/?=16。-18b；

(2)3(2?！猙—2c)—(3Q+2b)-6a—3b—6c—3a—2b—3a—5b—6c；

1---1-一一1-5-11-11一

(3)-(a+2b-2c)+-(2a+3b-c)——b=-a+—b——c。

34261212

2.作法：由已知非零向量〃、b,先作向量M=再作2用=2(〃+B),最后取反

方向，得一2m=-2(〃+B)。圖略。

3.由向量Z、b,1滿足關系式31+4,—4=6,得

3〃+4刃-4x=。，

即4x=3〃+。

一3一—

所以x——ci+bo

4

練習23.6(3)

1.(1)a=6e；(2)b=-3e；(3)c=--e；

2

2.由2Q+B=3C,3a-b-2c,得2(2Q+B)=6C,3(3a-b)=6c,

即43+23=93—3幾所以［=兀向量)與B平行。

3.(1)EA+AD+DF=EF,EB+BC-^-CF=EF；AD

____________________________________\F

(2)EA+AD+DF+EB+BC+CF=2EF；/\

BC

(3)由EA=—AE=—E3,DF=—CF,代入(2)式,

^AD+BC=2EF；

(4)因為通與與G同向，又彳萬+灰=2而，可知?萬+灰與Z萬、前同

方向，|而+萬4=|詬|+|萬4；

(5)由赤+前=2/，可知

而與礪、就同向，12而卜|礪+就卜|礪|+|前1

即正〃通〃灰，2|EF|=|AD|+|BC|,

所以EF〃AD〃BC,且E/=；(AO+3C)。

23.7平面向量的分解

1.教學目標

(1)理解向量的線性運算的意義，會化簡線性運算的算式，對簡單的線性運算會畫圖

表示結果。

(2)知道向量的線性組合，會在較熟悉的幾何圖形中將一個向量表示為兩個給定的不

平行向量的線性組合。

(3)知道向量的分解式，會畫平面內一個向量在已知兩個不平行向量方向上的分向量。

(4)在知識形成和運用過程中，體會向量的線性組合與分解的的辯證關系，體會數形

結合、化歸等數學思想方法。

2.教材分析及教學建議

本節內容是前面所學向量知識的整理和運用。通過對向量的加法、減法以及實數與向量

相乘等運算的回顧，類比實數運算的順序規定，指出了向量的幾種運算混合時的運算順序,

歸納了向量的線性運算。在此基礎上，引進兩個不平行向量的線性組合和關于一個向量的分

解式的概念，再指出了如何將一個向量表示為兩個給定向量的線性組合、畫一個向量在已知

兩個不平行向量方向上的分向量，為向量知識的進一步運用進行奠基。

在教學中，要注意以下幾點：

(1)引言和例題1是對向量的加法、減法以及實數與向量相乘等運算進行回顧和整理,

為歸納向量的線性運算進行鋪墊。要引導學生與實數的運算法則進行類比O

(2)例題2指出了向量線性運算的實施和畫圖表示運算結果的方法。教學時，要充分

展示解題過程，分步說明依據和做法。

(3)例題3是幫助學生認識線性組合的意義，也是對向量有關運算的法則進行鞏固運

用。將平面內一個向量表示為兩個給定的不平行向量的線性組合，是今后導出平面向量基本

定理的認識基礎，這里是初步的滲透。

(4)例題4是幫助學生進一步學習任何將平面內一個向量表示為兩個給定的不平行向

量的線性組合，也是為引進向量的分解式作鋪墊。題后的“想一想”，對后面討論分解式問

題有啟發作用。

(5)“問題”和討論，是研究平面向量的分解，得出求作一個向量在已知兩個不平行向

量方向上的分向量的畫法。要引導學生體會和歸納畫圖方法。

(6)例題5是求作一個向量在已知兩個不平行向量方向上的分向量的畫法訓練，要做

好講評，幫助學生掌握畫圖方法。

(7)例題6求一個向量關于兩個不平行向量的分解式，是幫助學生認識向量的分解式

的意義，