1.1同底數幕的乘法

1.理解并掌握同底數累的乘法法則；(重點)

2.運用同底數累的乘法法則進行相關運算.(難點)

一、情境導入

問題：2015年9月24日，美國國家航空航天局(下簡稱：NASA)對外宣稱將有重大發

現宣布，可能發現除地球外適合人類居住的星球，一時間引起了人們的廣泛關注.早在2014

年，NASA就發現一顆行星，這顆行星是第一顆在太陽系外恒星旁發現的適居帶內、半徑與

地球相若的系外行星，這顆行星環繞紅矮星開普勒186,距離地球492光年」光年是光經過

5

一年所行的距離，光的速度大約是3X10km/s.l^：這顆行星距離地球多遠(1年=

3.1536X107s)?

3X105X3.1536X107X492=3X3.1536X4.92X105X107X102=4.6547136X10X105X

107X102.

問題：“10Xl()5><107xi02”等于多少呢？

二、合作探究

探究點：同底數累的乘法

［類型一］底數為單項式的同底數幕的乘法

(SD計算：(1)23乂24義2；

(2)—fl!3,(—a)2,(—47)3；

(3)mn+l,m11?m2,m.

解析：(1)根據同底數森的乘法法則進行計算即可；(2)先算乘方，再根據同底數幕的乘

法法則進行計算即可；(3)根據同底數幕的乘法法則進行計算即可.

解:(1)原式=23+4+1=28;

⑵原式=—/,a2,(―a3)=tz3,a2,a3=a8；

(3)原式=根"+1+"+2+1=/"+4

方法總結：同底數累的乘法法則只有在底數相同時才能使用；單個字母或數可以看成指

數為1的薛，進行運算時，不能忽略了倦指數L

［類型二］底數為多項式的同底數導的乘法

(SB計算：

(l)(2a+i)2n+1-(2a+b)3?(2a+b)n~4；

(2)(x—y)2?(y—x)5.

解析：將底數看成一個整體進行計算.

解：⑴原式=(2a+b)Q"+i)+3+("-4)=(2°+6)3"；

(2)原式=_(x—y)2?(x—j)5=—(x—y)7.

方法總結：底數互為相反數的腰相乘時，先把底數統一，再進行計算.(1)"=

(b—a)"(〃為偶數)，

—(b—a)"(〃為奇數).

［類型三］運用同底數三的乘法求代數式的值

(SB若82a+3.8A2=81。,求2a+b的值.

解析：根據同底數賽的乘法法則，底數不變指數相加，可得a、b的關系，根據a、b

的關系求解.

解：：820+3?8〃-2=82。+3+戶2=810,.?.2a+3+b—2=10,解得2a+b=9.

方法總結：將等式兩邊化為同底數嘉的形式，底數相同，那么指數也相同.

［類型四］同底數導的乘法法則的逆用

(SD已知/=3,an=2b求的值.

解析：把/+"變成/?4,代入求值即可.

解：；/=3,/=21,?/=3><21=63.

方法總結：逆用同底數嘉的乘法法則把a'""變成am?/.

三、板書設計

1.同底數塞的乘法法則：

同底數幕相乘，底數不變，指數相加.

即a1"?an^am+\m,n都是正整數).

2.同底數募的乘法法則的運用

在同底數暴乘法公式的探究過程中，學生表現出觀察角度的差異：有的學生只是側重觀

察某個單獨的式子，把它孤立地看，而不知道將幾個式子聯系起來；有的學生則既觀察入微,

又統攬全局，表現出了較強的觀察力.教師要善于抓住這個契機，適當對學生進行指導，培

養他們“既見樹木，又見森林”的優良觀察品質.對于公式使用的條件既要把握好“度”，

又要把握好“方向”

1.2幕的乘方與積的乘方

第1課時幕的乘方

卷司圖梅

1.理解塞的乘方的運算性質，進一步體會和鞏固塞的意義；(重點)

2.掌握幕的乘方法則的推導過程并能靈活應用.(難點)

一、情境導入

1.填空：

(1)同底數塞相乘，不變，指數;

⑵/x/=；10mX10,!=；

(3)(—3)7X(-3)6=；

(4)a-o2,tz3=;

(5)(23)2=23-23=；

(x4)5=x4?x4?x4?x4?x4=.

2.計算02)3;(25(102)3.

問題：(1)上述幾道題目有什么共同特點？

(2)觀察計算結果，你能發現什么規律？

(3)你能推導一下3"')"的結果嗎？請試一試.

二、合作探究

探究點一：塞的乘方

(SD計算：

⑴(產4；⑵產￥；

(3)[(24)3]3;(4)[(?7-/1)3]4.

解析：直接運用(腔)"=屋"計算即可.

解：(l)(a3)4—?3X4—?12；

(2)(無"1猿=尤2(丁1)=*丁2；

(3)[(24)3]3=24X3X3=236；

(4)[(相一”為4=(m—n)12.

方法總結:運用福的乘方法則進行計算時，一定不要將寨的乘方與同底數倦的乘法混淆，

在腰的乘方中，底數可以是單項式，也可以是多項式.

探究點二：哥的乘方的逆用

[類型—]逆用幕的乘方比較數的大小

?B請看下面的解題過程：比較21°°與375的大小.

解:V2100=(24)25,375=(33)25,XV24=16,33=27,16<27,.,.2100<375.

請你根據上面的解題過程，比較31°°與56°的大小，并總結本題的解題方法.

解析：首先理解題意，然后可得31°°=。5嚴，560=(53)2°,再比較35與53的大小，即可

求得答案.

解：V31OO=(35)2°-56O=(53)2°>又：35=243,53=125,243>125,即35>53,.\3100

>560.

方法總結：此題考查了累的乘方的性質的應用.注意理解題意，根據題意得到3必=

(35)2°,56°=(53嚴是解此題的關鍵.

[類型二]逆用幕的乘方求代數式的值

陶?已知2x+5y—3=o,求4*?32>的值.

解析：由2x+5y—3=0得2x+5y=3,再把4、?32〉統一為底數為2的乘方的形式，最

后根據同底數幕的乘法法則即可得到結果.

解：：2元+5y—3=O,；.2尤+5y=3,：.4X?32y=22x?25},=22x+5v=23=8.

方法總結：本題考查了嘉的乘方的逆用及同底數累的乘法，整體代入求解也比較關鍵.

[類型三]逆用塞的乘方結合方程思想求值

(HIJ已知221=8產1,9V=3尸\則代數式的值為.

解析：由221=8陽，夕=359得221=23/1),32y=359,則21=3。+1),2y=x-9,解

得x=21,y=6,故代數式$+%=7+3=10.故答案為10.

方法總結：根據嘉的乘方的逆運算進行轉化得到x和y的方程組，求出x、y,再計算代

數式.

三、板書設計

1.募的乘方法則：

哥的乘方，底數不變，指數相乘.

即(/)"=/"⑺，"都是正整數).

2.塞的乘方的運用

累的乘方公式的探究方式和前節類似，因此在教學中可以利用該優勢展開教學，在探究

過程中可以進一步發揮學生的主動性，盡可能地讓學生在已有知識的基礎上，通過自主探究,

獲得累的乘方運算的感性認識，進而理解運算法則

第2課時積的乘方

爵司圜源

1.掌握積的乘方的運算法則；(重點)

2.掌握積的乘方的推導過程，并能靈活運用.(難點)

1.教師提問：同底數幕的乘法公式和幕的乘方公式是什么？

學生積極舉手回答：

同底數幕的乘法公式：同底數幕相乘，底數不變，指數相加.

幕的乘方公式：塞的乘方，底數不變，指數相乘.

2.肯定學生的發言，引入新課：今天學習塞的運算的第三種形式——積的乘方.

二、合作探究

探究點一：積的乘方

［類型—］直接運用積的乘方法則進行計算

(SD計算：(1)(一5助3；(2)一(3。)2；

(3)(—產(4)(—x,3，，，)2.

解析：直接運用積的乘方法則計算即可.

解：(1)(—5ab)3=(-5)%嶗=—125a嶗；

22

(2)-(3dy)2=-3xy=-9xy；

(3)(—=(一｝3a366c9——3b6c9；

(4)(-yym)2=(-i)2x2,ym=^2Vm.

方法總結：運用積的乘方法則進行計算時，注意每個因式都要乘方，尤其是字母的系數

不要漏乘方.

［類型二］含積的乘方的混合運算

W計算：

(1)(—2a2)3??+(—4a，?a—(5a3)3；

(2)(—a3&6)2+(―

解析：(1)先進行積的乘方，然后根據同底數賽的乘法法則求解；(2)先進行積的乘方和

森的乘方，然后合并.

解：(1)原式=—8a6,<?3+16G2,fl7—125，=—8a9+16a9—125a°=-117a9；

(2)原式=“6512—/62=0.

方法總結：先算積的乘方，再算乘法，然后算加減，最后合并同類項.

［類型三］積的乘方的實際應用

(SB太陽可以近似地看作是球體，如果用KR分別代表球的體積和半徑，那么丫=界

太陽的半徑約為6X1()5千米，它的體積大約是多少立方千米(71取3)?

解析：將R=6X1()5千米代入丫=gnR3,即可求得答案.

解：：R=6X1()5千米，.?.y=/JtR3七gx3x(6Xl()5)3-8.64義1。17(立方千米).

答：它的體積大約是8.64X10"立方千米.

方法總結：讀懂題目信息，理解球的體積公式并熟記積的乘方的性質是解題的關鍵.

探究點二：積的乘方的逆用

［類型—］逆用積的乘方進行簡便運算

Oil計算：(|嚴4X(|嚴5.

aaa

解析：將號嚴5轉化為考嚴4義會再逆用積的乘方公式進行計算.

解:原式文|嚴4義(|嚴4義|=(|乂|產4x|=|

方法總結：對公式/?。'=(次>)"要靈活運用，對于不符合公式的形式，要通過恒等變

形轉化為公式的形式，運用此公式可進行簡便運算.

［類型二］逆用積的乘方比較數的大小

(H⑼試比較大小：2口><31°與2i°X3i2.

M：V213X310=23X(2X3)10,21OX312=32X(2X3)10,又：23<32,；.2i3><3i°<2i°X

312.

方法總結：利用積的乘方，轉化成同底數的同指數嘉是解答此類問題的關鍵.

三、板書設計

1.積的乘方法則：

積的乘方等于各因式乘方的積.

即(0力"=/〃'("是正整數).

2.積的乘方的運用

敬魏恩

在本節的教學過程中教師可以采用與前面相同的方式展開教學.教師在講解積的乘方公

式的應用時，再補充講解積的乘方公式的逆運算：a"?b"=(ab)",同時教師為了提高學生的

運算速度和應用能力，也可以補充講解：當〃為奇數時，(一。)"=一/("為正整數)；當〃為

偶數時，(一為正整數)

1.3同底數塞的除法

第1課時同底數塞的除法

學凰圜櫥

i.理解并掌握同底數塞的除法運算并能運用其解決實際問題；(重點)

2.理解并掌握零次募和負指數哥的運算性質.(難點)

敷整福

一、情境導入

一種液體每升含有10n個有害細菌，為了試驗某種殺菌劑的效果，科學家們進行了實

驗，發現1滴殺菌劑可以殺死1。9個此種細菌.要將1升液體中的有害細菌全部殺死，需要

這種殺菌劑多少滴？

二、合作探究

探究點一：同底數累的除法

［類型—］直接運用同底數幕的除法進行運算

(SB計算：

(1)(—xj)134-(-xy)8；

(2)(x-2y)3+(2y—x)2；

(3)(/+1)7+(/+1)4+(/+I)2.

解析：利用同底數賽的除法法則即可進行計算，其中⑴應把(一孫)看作一個整體；(2)

把(無一2y)看作一個整體，2y~x——(%—2y);(3)把(/+1)看作一個整體.

解：⑴(―x?3+(一移)8=(一孫嚴一8=(一xy)5=―/介

(2)(無一2y)3+(2y—尤猿=(無一2y)3+(x-2y)2=x-2y；

(3)(/+1)74-(6!2+l)4-r(6Z2+1)2=(/+1)7-4-2=(fl2+1)'=6/2+1.

方法總結：計算同底數賽的除法時，先判斷底數是否相同或可變形為相同，再根據法則

計算.

［類型二］逆用同底數二的除法進行計算

(SB已知/=4,/=2,a=3,求/-"T的值.

解析：先逆用同底數氟的除法，對a"f'T進行變形，再代入數值進行計算.

2

解：'.'am=4,a=2,。=3,/.a'~n~l=am^-an^a=44-24-3=.

方法總結：解此題的關鍵是逆用同底數嘉的除法得出/一'7=/+/+。

(SB聲音的強弱用分貝表示，通常人們講話時的聲音是50分貝，它表示聲音的強度是

105,汽車的聲音是100分貝，表示聲音的強度是107噴氣式飛機的聲音是150分貝，求:

(1)汽車聲音的強度是人聲音的強度的多少倍？

(2)噴氣式飛機聲音的強度是汽車聲音的強度的多少倍？

解析：(1)用汽車聲音的強度除以人聲音的強度，再利用“同底數賽相除，底數不變，

指數相減”計算；(2)將噴氣式飛機聲音的分貝數轉化為聲音的強度，再除以汽車聲音的強

度即可得到答案.

解：（1）因為1010+105=101°r=105,所以汽車聲音的強度是人聲音的強度的105倍；

（2）因為人的聲音是50分貝，其聲音的強度是汽車的聲音是100分貝，其聲音的

強度為10?所以噴氣式飛機的聲音是150分貝，其聲音的強度為10%所以1015+101°=

1015-10=105,所以噴氣式飛機聲音的強度是汽車聲音的強度的105倍.

方法總結:本題主要考查同底數得除法的實際應用，熟練掌握其運算性質是解題的關鍵.

探究點二：零指數募和負整數指數幕

【類型一】零指數導

OU若（X—6）°=1成立，則無的取值范圍是（）

A.x26B.xW6

C.xW6D.x=6

解析：；（X—6）°=1成立,Ax-6^0,解得無關6.故選C.

方法總結：本題考查的是0指數倦成立的條件，非0的數的0次嘉等于1,注意0指數

得的底數不能為0.

［類型二］比較數的大小

施囪若，=（—、）—2,6=（-l）T,C=（—1）°,則a、b、c的大小關系是（）

A.a>b—cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>c>a

解析：*=（一|廠2=（-$2*，6=（—1『=-1,c=（一》=1,；.a：>c>6.故選B.

方法總結：本題的關鍵是熟悉運算法則，利用計算結果比較大小.當底數是分數，指數

為負整數時，只要把底數的分子、分母顛倒，負指數就可變為正指數.

［類型三］零指數英與負整數指數妙中底數的取值范圍

酶若（X—3）°—2（3x—6）-2有意義，則X的取值范圍是（）

A.尤>3B.x#3且xW2

C.xW3或#2D.x<2

解析：根據題意,若（%—3）°有意義,則x—3#0,即尤W3.（3x—6廠,有意義，則3x—6#0,

即所以無#3且xW2.故選B.

方法總結：任意非0的數的0次累為1,底數不能為0,負整數指數嘉的底數不能為0.

［類型四］含整數指數內、零指數幕與絕對值的混合運算

（SB計算：-2?+（—；）-+（2015—n）°—12—十|.

解析：分別根據有理數的乘方、零指數賽、負整數指數森及絕對值的性質計算出各數，

再根據實數的運算法則進行計算.

,C1C兀JIJI

解：-22+（~2）+（2015-it）°-|2-yl=-4+4+1~2+^-=~-1.

方法總結：熟練掌握有理數的乘方、零指數累、負整數指數累及絕對值的性質是解答此

題的關鍵.

三、板書設計

1.同底數塞的除法法則：

同底數累相除，底數不變，指數相減.

2.零次幕:

任何一個不等于零的數的零次哥都等于1.即a°=l（aW0）.

3.負整數次暴：

任何一個不等于零的數的一p。是正整數）次塞，等于這個數p次募的倒數.即相"=+

（〃W0,p是正整數）.

敬魏恩

從計算具體問題中的同底數募的除法，逐步歸納出同底數暴除法的一般性質.教學時要

多舉幾個例子，讓學生從中總結出規律，體驗自主探究的樂趣和數學學習的魅力，為以后的

學習奠定基礎

第2課時用科學記數法表示較小的數

善司國梅

1.理解并掌握科學記數法表示小于1的數的方法；（重點）

2.能將用科學記數法表示的數還原為原數.

鰭婕

一、情境導入

同底數暴的除法公式為am-^an^am-n,有一個附加條件：相>小即被除數的指數大于

除數的指數.當被除數的指數不大于除數的指數，即根=〃或相時，情況怎樣呢？

二、合作探究

探究點：用科學記數法表示較小的數

［類型—］用科學記數法表示絕對值小于1的數

（HU2014年6月18日中商網報道，一種重量為0.000106千克，機身由碳纖維制成，

且只有昆蟲大小的機器人是全球最小的機器人，0.000106用科學記數法可表示為（）

A.1.06X10-4B.1.06X10-5

C.10.6X10-5D.106X10-6

解析：0.000106=1.06X10-4故選A.

方法總結：絕對值小于1的數也可以用科學記數法表示，一般形式為aX10-\其中

l<a<10,n為正整數.與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負整數指數累，指數

由原數左邊起第一個不為零的數前面的0的個數所決定.

［類型二］將用科學記數法表示的數還原為原數

（SB用小數表示下列各數：

（1）2X10-7;（2）3.14X10—5；

（3）7.08X10—3；（4）2.17X10，

解析：小數點向左移動相應的位數即可.

角￥：（1）2X10-7=0.0000002；（2）3.14X1O-5=O.OOOO314；

（3）7.08X10-3=0.00708；（4）2.17X10-1=0.217.

方法總結：將科學記數法表示的數aXIO'還原成通常表示的數，就是把。的小數點向

左移動〃位所得到的數.

三、板書設計

用科學記數法表示絕對值小于1的數：

一般地，一個小于1的正數可以表示為aX10",其中1W"1O,〃是負整數.

從本節課的教學過程來看，結合了多種教學方法，既有教師主導課堂的例題講解，又有

學生主導課堂的自主探究.課堂上學習氣氛活躍，學生的學習積極性被充分調動，在拓展學

生學習空間的同時，又有效地保證了課堂學習質量

1.4整式的乘法

第1課時單項式與單項式相乘

i.復習幕的運算性質，探究并掌握單項式乘以單項式的運算法則；(重點)

2.能夠熟練運用單項式乘以單項式的運算法則進行計算并解決實際問題.(難點)

鰭婕

一、情境導入

根據乘法的運算律計算：

(l)2x?3y；(2)5crb?(—2a/).

解：(1)2尤-3y=(2X3)?(尤?y)=6xy；

(2)5/b?(―2a/)=5X(—2>(7?a)-(b-b2)=~10ab\

觀察上述運算，你能歸納出單項式乘法的運算法則嗎？

二、合作探究

探究點：單項式與單項式相乘

［類型—］直接利用單項式乘以單項式法則進行計算

(SB計算：

(1)(一2夢辦).5不"；

(2)(一?3xy2?(2xy2)2；

(3)—6m2?,(x-j)3?^mn2(y-x)2.

解析：運用蒸的運算法則和單項式乘以單項式的法則計算即可.

2

解：(1)(一酎2力.1^c=—1x得a36c2=~^bc；

(2)(一?3xy2?(2孫2)2=—36,3義3孫2又4了2,4=—$9y9；

(3)—6m2^?(%—y)3?^mn2(y—xf=_6X^m3n3(x-y)5=-2m3n3(x-.y)5.

方法總結：(1)在計算時，應先進行符號運算，積的系數等于各因式系數的積；(2)注意

按順序運算；(3)不要丟掉只在一個單項式里含有的字母因式；(4)此性質對于多個單項式相

乘仍然成立.

［類型二］單項式乘以單項式與同類項的綜合

W已知一2丁'"+1產與7儼-3y5“-4的積與尤4y是同類項，求,?2+?的值.

解析：根據一2/"+i*與7鈔）一3產-4的積與J、是同類項可得出關于根，〃的方程組,

進而求出〃的值，即可得出答案.

3m+l+5m—3=4,

解：???一2?皿+1泮與7鑼-3y5”-4的積與力是同類項,解得

2〃+5〃一4=1,

3

?2,.143

??m-rn一口？，

5

n=q,

方法總結：掌握單項式乘以單項式的運算法則，再結合同類項，列出二元一次方程組是

解題關鍵.

［類型三］單項式乘以單項式的實際應用

____33

酶有一塊長為xm,寬為ym的長方形空地，現在要在這塊地中規劃一塊長飆，寬標

ym的長方形空地用于綠化，求綠化的面積和剩下的面積.

解析：先求出長方形的面積，再求出綠化的面積，兩者相減即可求出剩下的面積.

c339Q

解：長方形的面積是xynr,綠化的面積是尹義招=而孫（!11-）,則剩下的面積是孫一而孫

=20^V（m）?

方法總結：掌握長方形的面積公式和單項式乘單項式法則是解題的關鍵.

三、板書設計

1.單項式乘以單項式的運算法則：

單項式相乘，把系數、同底數累分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里面含

有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式.

2.單項式乘以單項式的應用

能暮信恩

本課時的重點是讓學生理解單項式的乘法法則并能熟練應用.要求學生在乘法的運算律

以及累的運算律的基礎上進行探究.教師在課堂上應該處于引導位置，鼓勵學生“試一試”，

學生通過動手操作，能夠更為直接的理解和應用該知識點

第2課時單項式與多項式相乘

卷司圖梅

1.能根據乘法分配律和單項式與單項式相乘的法則探究單項式與多項式相乘的法則;

2.掌握單項式與多項式相乘的法則并會運用.（重點，難點）

鰭婕

一、情境導入

計算：(一12)xg—g—；).我們可以根據有理數乘法的分配律進行計算，那么怎樣計算

2x-(3x2—2x+1)呢？

二、合作探究

探究點：單項式乘以多項式

［類型—］直接利用單項式乘以多項式法則進行計算

@D計算：

221

(1)(^ab-2次?)?亍仍；

1

(2)—2x-9+3)；—1).

解析：利用單項式乘以多項式法則計算即可.

212111°

解：(1)(1〃/—2ab).］ab=子》?呼/?—2ab?取—c^b2；

(2)-2?($2y+3y-1)=-2x-^x2y+(-2x)-3y+(-2x)-(-1)=-xy+(-6xy)+2x=一

xiy-6xy+2x.

方法總結：單項式與多項式相乘的運算法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘

多項式的每一項，再把所得的積相加.

［類型二］單項式與多項式乘法的實際應用

的?一條防洪堤壩，其橫斷面是梯形，上底寬4米，下底寬3+26)米，壩高?米.

(1)求防洪堤壩的橫斷面面積；

(2)如果防洪堤壩長100米，那么這段防洪堤壩的體積是多少立方米？

解析：(1)根據梯形的面積公式，然后利用單項式乘以多項式的運算法則計算；(2)防洪

堤壩的體積=梯形面積X壩長.

解：(1)防洪堤壩的橫斷面面積5=3［。+3+26)］義3。=9。(2°+26)=；/+3"(平方

米).故防洪堤壩的橫斷面面積為平方米；

(2)堤壩的體積y=S/=ga2+Ta6)X100=50a2+50M(立方米).故這段防洪堤壩的體積

是(50d+504)立方米.

方法總結：本題要知道梯形的面積公式及堤壩的體積(堤壩體積=梯形面積X長度)的計

算方法，同時掌握單項式乘以多項式的運算法則是解題的關鍵.

［類型三］利用單項式乘以多項式化簡求值

(HEJ先化簡，再求值：5ci(2ci2-5a+3)-2cz2(5?+5)+7a2,其中a=2.

解析：首先根據單項式與多項式相乘的法則去掉括號，然后合并同類項，最后代入已知

的數值計算即可.

解：5a(2a'—5a+3)—la1(5a+5)+7tz2=10tz3—25tz2+15i—10ai—10a2-\-7a2=-28/+

15a,當〃=2時，原式=-82.

方法總結：本題考查了整式的化簡求值.在計算時要注意先化簡然后再代值計算.整式

的加減運算實際上就是去括號與合并同類項.

三、板書設計

1.單項式與多項式的乘法法則：

單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加.

2.單項式與多項式乘法的應用

本節課在已學過的單項式乘以單項式的基礎上，學習單項式乘以多項式.教學中注意發

揮學生的主體作用，讓學生積極參與課堂活動，并通過不斷糾錯而提高解題水平

第3課時多項式與多項式相乘

1.理解多項式乘以多項式的運算法則，能夠按多項式乘法步驟進行簡單的乘法運算；(重

點)

2.掌握多項式與多項式的乘法法則的應用.(難點)

段髓福

一、情境導入

某地區在退耕還林期間，將一塊長機米、寬。米的長方形林區的長、寬分別增加〃米

和6米.用兩種方法表示這塊林區現在的面積.

學生積極思考，教師引導學生分析，學生發現：

這塊林區現在長為(〃z+〃)米，寬為(a+b)米，因而面積為(〃z+w)(a+6)平方米.

另外，如圖，這塊地由四小塊組成，它們的面積分別為相。平方米，根6平方米、w平

方米，油平方米，故這塊地的面積為(ma+〃仍+wa+〃6)平方米.

由此可得。"+")(。+6)=7W°+〃仍+以/+油.今天我們就學習多項式乘以多項式.

二、合作探究

探究點一：多項式與多項式相乘

［類型—］直接利用多項式乘多項式法則進行計算

(SB計算：

(1)(3尤+2)。+2)；

(2)(4y—1)(5—y).

解析：利用多項式乘以多項式法則計算，即可得到結果.

解：(1)原式=3x?+6尤+2x+4=3x?+8元+4；

(2)原式=20y—4y2—5+y=—4y2+21y—5.

方法總結：多項式乘以多項式，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；多項式與多項

式相乘，仍得多項式，在合并同類項之前，積的項數應等于原多項式的項數之積.

［類型二］多項式乘以多項式的混合運算

(例H計算：(3a+l)(2a—3)—(6a—5)(a—4).

解析：根據整式混合運算的順序和法則分別進行計算，再把所得結果合并即可.

解：(3。+1)(2“一3)—(6a—5)(。-4)=6/—9a+2。-3—6。~+24。+5。-20=22。-23.

方法總結：在計算時要注意混合運算的順序和法則以及運算結果的符號.

探究點二：多項式與多項式相乘的化簡求值及應用

［類型—］多項式乘以多項式的化簡求值

(例M先化簡，再求值：3—26)(。2+2而+4七)一“3—56)(a+36),其中。=—1>b—1.

解析：先將式子利用整式乘法展開，合并同類項化簡，再代入計算.

解：(a——2Z?)(a2+2ab+4b2)——a(a——5b)(a+3b)=/—8〃—5ab)(a+36)="—8//——a3

—3a2b+5a2,b+15ab2=-8&3+2a2/?+15aZ?2.^a=-1,6=1時，原式=-8+2—15=—21.

方法總結：化簡求值是整式運算中常見的題型，一定要注意先化簡，再求值，不能先代

值，再計算.

［類型二］多項式乘以多項式與方程的綜合

(SD解方程：(無一3)(x—2)=(x+9)(尤+1)+4.

解析：方程兩邊利用多項式乘以多項式法則計算，移項、合并同類項，將x系數化為1,

即可求出解.

解：去括號后得X2—5X+6=#+10X+9+4,移項、合并同類項得一15尤=7,解得尤=

7

一1?

方法總結：解答本題就是利用多項式的乘法，將原方程轉化為已學過的方程解答.

［類型三］多項式乘以多項式的實際應用

OB千年古鎮楊家灘的某小區的內壩是一塊長為(3a+b)米，寬為(2a+b)米的長方形地

塊，物業部門計劃將內壩進行綠化(如圖陰影部分)，中間部分將修建一仿古小景點(如圖中間

的正方形)，則綠化的面積是多少平方米？并求出當。=3,6=2時的綠化面積.

解析：根據長方形的面積公式，可得內壩、景點的面積，根據面積的差，可得答案.

解：由題意，得(3a+b)(2a+6)—(a+i>)2=6a2-\-5ab-\~b2—a2—2ab—/=5°2+3°6(平方

米).當。=3,6=2時，5/+3ab=5X32+3X3X2=63(平方米)，故綠化的面積是63平方

米.

方法總結：掌握長方形的面積公式和多項式乘多項式法則是解題的關鍵.

［類型四］根據多項式乘以多項式求待定系數的值

(SB已知a尤2+6尤+l(aWO)與3無一2的積不含f項，也不含x項，求系數a、b的值.

解析：首先利用多項式乘法法則計算出m?+/zr+l)(3x—2),再根據積不含f項，也不

含尤項，可得含f項和含x項的系數等于零，即可求出。與b的值.

解：2)=3。尤3—2"2+3加？一2Zzx+3x—2」.,積不含f項，也不含尤項，

3993

/.~2a+3b=Q,—26+3=0,解得6=］,a=Q系數a、6的值分別是不］

方法總結：解決此類問題首先要利用多項式乘法法則計算出展開式，合并同類項后，再

根據不含某一項，可得這一項系數等于零，再列出方程解答.

三、板書設計

1.多項式與多項式的乘法法則：

多項式和多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所

得的積相加.

2.多項式與多項式乘法的應用

殿簪溟

本節知識的綜合性較強，要求學生熟練掌握前面所學的單項式與單項式相乘及單項式與

多項式相乘的知識，同時為了讓學生理解并掌握多項式與多項式相乘的法則，教學中一定要

精講精練，讓學生從練習中再次體會法則的內容，為以后的學習奠定基礎

1.5平方差公式

善司國梅

i.掌握平方差公式的推導和運用，以及對平方差公式的幾何背景的理解；(重點)

2.掌握平方差公式的應用.(重點)

鰭婕

一、情境導入

1.教師引導學生回憶多項式與多項式相乘的法則.

學生積極舉手回答.

多項式與多項式相乘的法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘以

另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.

2.教師肯定學生的表現，并講解一種特殊形式的多項式與多項式相乘——平方差公式.

二、合作探究

探究點：平方差公式

［類型—］直接運用平方差公式進行計算

(SD利用平方差公式計算：

(1)(3尤一5)(3x+5)；

(2)(—2a~b)(b—2a)；

(3)(-7m+8n)(-8n—7m)；

(4)(x—2)(x+2)(x2+4).

解析：直接利用平方差公式進行計算即可.

解：(1)(3%—5)(3/+5)=(3x)2—52=9X2—25；

(2)(~2a—b)(b~2a)=(12a)1~b2=4tz2—b2；

(3)(-7m+8n)(一8〃一7根)=(一7m)2一(8n)2=49m2—64j；

(4)(X-2)(X+2)(X2+4)=(X2-4)(X2+4)=X4-16.

方法總結：應用平方差公式計算時，應注意以下幾個問題：(1)左邊是兩個二項式相乘,

并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數；(2)右邊是相同項的平方減去相

反項的平方；(3)公式中的a和b可以是具體的數，也可以是單項式或多項式.

［類型二］利用平方差公式進行簡便運算

(SB利用平方差公式計算：

(l)2o|xi9|；(2)13.2X12.8.

1?11

解析：⑴把20§義19W寫成(20+§)X(20—q),然后利用平方差公式進行計算；⑵把

13.2X12.8寫成(13+02)X(13—0.2),然后利用平方差公式進行計算.

解：(l)2o1x191=(20+1)X(20—=202—(1)2=400—3991；

(2)13.2X12.8=(13+0.2)X(13-0.2)=132-0.22=169-0.04=168.96.

方法總結：熟記平方差公式的結構是解題的關鍵.

［類型三］化簡求值

陶?先化簡，再求值：(2x—y)(y+2x)—(2y+x)(2y—x),其中x=l,y=2.

解析：利用平方差公式展開并合并同類項，然后把無、y的值代入進行計算即可得解.

解：C2x—y)(y+2x)—(2y+x)(2y—x)—4x2—y2~(4y2—x2)=4x2—y2-4y2+x2—5x2—5y2.

當x=l,y=2時，原式=5X『一5X2?=-15.

方法總結：利用平方差公式先化簡再求值，切忌代入數值直接計算.

［類型四］平方差公式的幾何背景

(SD如圖①，在邊長為a的正方形中剪去一個邊長為b的小正方形(a>6),把剩下部

分拼成一個梯形(如圖②)，利用這兩幅圖形的面積，可以驗證的乘法公式是.

解析：:,圖①中陰影部分的面積是d—b2,圖②中梯形的面積是］(2a+2b)(a—6)=(a+

b)(a—b),o2—Z?2=(a+/?)(<?—&),即可驗證的乘法公式為(a+6)(a—6)=q2—b?.

方法總結：通過幾何圖形面積之間的數量關系可對平方差公式做出幾何解釋.

［類型五］平方差公式的實際應用

(SB王大伯家把一塊邊長為a米的正方形土地租給了鄰居李大媽.今年王大伯對李大

媽說：“我把這塊地一邊減少4米，另外一邊增加4米，繼續原價租給你，你看如何？”李

大媽一聽，就答應了.你認為李大媽吃虧了嗎？為什么？

解析：根據題意先求出原正方形的面積，再求出改變邊長后的面積，然后比較二者的大

小即可.

解：李大媽吃虧了.理由如下：原正方形的面積為a2,改變邊長后面積為(a+4)(a—4)

.?.李大媽吃虧了.

方法總結：解決實際問題的關鍵是根據題意列出算式，然后根據公式化簡解決問題.

三、板書設計

1.平方差公式：

兩數和與這兩數差的積等于它們的平方差.即(。+33—6)=/一/.

2.平方差公式的應用

煞翰西

學生通過“做一做”發現平方差公式，同時通過“試一試”用幾何方法證明公式的正確

性.通過這兩種方式的演算，讓學生理解平方差公式.本節教學內容較多，因此教材中的練

習可以讓學生在課后完成

1.6完全平方公式

尊凰國糠

i.會推導完全平方公式，并能運用公式進行簡單的運算；(重點)

2.靈活運用完全平方公式進行計算.(難點)

敷整褐

一、情境導入

計算：

⑴(彳+1產⑵(I)?;

(3)3+6/(4)(q—6)2.

由上述計算，你發現了什么結論？

二、合作探究

探究點：完全平方公式

［類型—］直接運用完全平方公式進行計算

(SD利用完全平方公式計算：

⑴(5—)2;

(2)(一3相一4")2；

(3)(—3a~\-b)2.

解析：直接運用完全平方公式進行計算即可.

解：(1)(5—4)2=25—100+/；

(2)(—3m—4〃)2=9rH2+24mn+16n2；

(3)(—3a-\-b)2—9a2—6ab~\-b2.

方法總結：完全平方公式：(4±6)2=。2±2詔+/.可巧記為“首平方，末平方，首末兩倍

中間放”.

［類型二］利用完全平方公式求字母的值

(SB如果36尤2+(〃z+l)xy+25y2是一個完全平方式，求相的值.

解析：先根據兩平方項確定出這兩個數，再根據完全平方公式確定根的值.

解：?.,36彳2+(加+1)孫+25y2=(6x)2+(根+1)孫+(5y)2,(m+l)xy-±2-6x-5y,m-\-l

=±60,.,.〃z=59或一61.

方法總結：兩數的平方和加上或減去它們積的2倍，就構成了一個完全平方式.注意積

的2倍的符號，避免漏解.

［類型三］靈活運用完全平方公式的變式求代數式的值

00若(x+y)2=9,且(無一y)2=l.

(1)求5+3的值；

xy

⑵求(d+i)(/+i)的值.

解析：(1)先去括號，再整體代入即可求出答案；(2)先變形，再整體代入，即可求出答

案.

解：⑴,(尤+y)2=9,(x—y)2=l,.,.x2+2xy+y2—9,x2—2Ay+y2=l,.*.4xy=9—1=8,

11x2+y2(x+y)2—2xy9—2X25

,孫=2,?,??+y=-^-==—心—=4：

⑵(x+y)2=9,xy—2,(x2+l)(y2+1)=x2j2+j2+x2+1=x2j2+(x+y)2—2xy+1=22

+9-2X2+1=10.

方法總結：所求的展開式中都含有xy或x+y時，我們可以把它們看作一個整體代入到

需要求值的代數式中，整體求解.

［類型四］完全平方公式的幾何背景

OD我們已經接觸了很多代數恒等式，知道可以用一些硬紙片拼成的圖形面積來解釋

一些代數恒等式.例如圖甲可以用來解釋(“+b)2—(“一b)2=4H.那么通過圖乙面積的計算，

驗證了一個恒等式，此恒等式是()

A.o2—b~—(a~\~b)(a—b)

B.(a—b)(a+2b)—cr~\-ab—2b2

C.(a—%)2=。2—2ab+/

D.(cz+Z>)2=a2+2oZ?+Z22

解析：空白部分的面積為(“一32,還可以表示為cr-2ab+b2,所以此等式是(a—bK=

4—2"+。2.故選C.

方法總結：通過幾何圖形面積之間的數量關系對完全平方公式做出幾何解釋.

［類型五］與完全平方公式有關的探究問題

(SB下表為楊輝三角系數表，它的作用是指導讀者按規律寫出形如(。+加"("為正整數)

展開式的系數，請你仔細觀察下表中的規律，填出(a+b)6展開式中所缺的系數.

1

(a+by—a+b,

(a~\~b)2-a2'~\~2ab-\-b2,

(a+b)3—cz3+3a1b+3ab~+b，,

則(a+Z?)6=*+6a%+15a%2+a3b3+15a:2i>4+6ab5+b6.

解析：由(a+bp=a+b,(a+Z>)2=a:2+2ab+b~,(a+i>)3=a3+3a1b+3ab~+Z>3,可得(a

+3”的各項展開式的系數除首尾兩項都是1夕卜，其余各項系數都等于(。+力”一1的相鄰兩個

系數的和，由此可得(a+b)4的各項系數依次為1、4、6、4、1;3+6)5的各項系數依次為］、

5、10、10、5、1,因此(。+力6的各項系數分別為1、6、15、20、15、6、1.故填20.

方法總結：對于規律探究題，讀懂題意并根據所給的式子尋找規律，是快速解題的關鍵.

三、板書設計

1.完全平方公式：

兩個數的和（或差）的平方，等于這兩個數的平方和加（或減）這兩個數乘積的2倍.

（6?+Z?）2=a+/lab+Z?2；（a—b）2—a—lab+b2.

2.完全平方公式的應用

本節課通過多項式乘法推導出完全平方公式，讓學生自己總結出完全平方公式的特征，

注意不要出現如下錯誤：（“十份2=/+”,團一匕猿二川一/.為幫助學生記憶完全平方公式，

可采用如下口訣：首平方，尾平方，乘積兩倍在中央.教學中，教師可通過判斷正誤等習題

強化學生對完全平方公式的理解記憶

1.7整式的除法

第1課時單項式除以單項式

i.復習單項式乘以單項式的運算，探究單項式除以單項式的運算規律；

2.能運用單項式除以單項式進行計算并解決問題.（重點，難點）

鰭婕

一、情境導入

填空：

⑴""?/=；⑵（/￥=；

/o\m+n?n_/八、mn?n_

（j）a~a-；（4）〃~a-.

我們已經學習了單項式乘以單項式的運算，今天我們將要學習它的逆運算.

二、合作探究

探究點：單項式除以單項式

［類型—］直接用單項式除以單項式進行計算

（SB計算：

⑴—x5y”小（一孫8）；

（2）-48a6b5c4-（24a辦（一|辦）2.

解析：（1）可直接運用單項式除以單項式的運算法則進行計算；（2）運算順序與有理數的

運算順序相同.

解：（1）_丁,3+（一孫）8=/7..3—8=fy5；

⑵一48a6氏+（24a辦（一I辦2）=［（-48）+24*（-焉）］尸+5.廣4+2.°=|3063c.

方法總結：計算單項式除以單項式時應注意商的系數等于被除式的系數除以除式的系

數，同時還要注意系數的符號；整式的運算順序與有理數的運算順序相同.

【類型二】已知整式除法的恒等式，求字母的值

囪?若°(；廣/)3+(3%2)")2=4尤2y2,求a、"Z、72的值.

解析：利用積的乘方的計算法則以及整式的除法運算得出即可.

解：cz(xV)3(3%y)2=4%y,.?.ax3,y124-9xy,1=4xy,；.a+9=4,3租一4=2,12

—2力=2,解得a=36,m—2,n—5.

方法總結：熟練掌握積的乘方的計算法則以及整式的除法運算是解題關鍵.

[類型三]整式除法的實際應用

陶?光的速度約為3X1()8米/秒，一顆人造地球衛星的速度是8X103米/秒，則光的速

度是這顆人造地球衛星速度的多少倍？

解析：要求光速是人造地球衛星的速度的倍數，用光速除以人造地球衛星的速度，可轉

化為單項式相除問題.

解：(3X1。8)+(8X103)=(3^8)-(1084-103)=3.75X104.

答：光速是這顆人造地球衛星速度的3.75X104倍.

方法總結：解整式除法的實際應用題時，應分清何為除式，何為被除式，然后應當單項

式除以單項式法則計算.

三、板書設計

1.單項式除以單項式的運算法則：

單項式相除，把系數、同底數累分別相除，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字

母，則連同它的指數作為商的一個因式.

2.單項式除以單項式的應用

敷簪鰥

在教學過程中，通過生活中的情景導入，引導學生根據單項式乘以單項式的乘法運算推

導出其逆運算的規律，在探究的過程中經歷數學概念的生成過程，從而加深