第1章數(shù)列

1、1、1數(shù)列得概念與簡單表示法（一）

教學(xué)要求：理解數(shù)列及其有關(guān)概念；了解數(shù)列與函數(shù)之間得關(guān)系；了解數(shù)

列得通項公式，并會用通項公式寫出數(shù)列得任意一項；對于比較簡單得數(shù)

歹！I,會根據(jù)其前幾項得特征寫出它得一個通項公式、

教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列及其有關(guān)概念，通項公式及其應(yīng)用、

教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)一些數(shù)列得前幾項，抽象、歸納出數(shù)列得通項公式、

教學(xué)過程：

［合作探究］

折紙問題

師請同學(xué)們想一想，一張紙可以重復(fù)對折多少次？請同學(xué)們隨便取一張紙試

試（學(xué)生們興趣一定很濃）、

生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了、

師您知道這就是為什么嗎？我們設(shè)紙原來得厚度為1長度單位，面積為1面

積單位，隨依次折得次數(shù)，它得厚度與每層紙得面積依次怎樣？

生隨著對折數(shù)厚度依次為：2,4,8,16,…，256,...；

隨著對折數(shù)面積依次為上,工,...,」一，...、

24816256

生對折8次以后，紙得厚度為原來得256倍，其面積為原來得「一，再折下

256

去太困難了、

師說得很好，隨數(shù)學(xué)水平得提高，我們得思維會更加理性化、請同學(xué)們觀察

上面我們列出得這一列一列得數(shù)，瞧它們有何共同特點(diǎn)？

生均就是一列數(shù)、

生還有一定次序、

師它們得共同特點(diǎn)：都就是有一定次序得一列數(shù)、

［教師精講］

1、數(shù)列得定義：按一定順序排列著得一列數(shù)叫做數(shù)列、

注意：

（1）數(shù)列得數(shù)就是按一定次序排列得，因此，如果組成兩個數(shù)列得數(shù)相同而排

列次序不同，那么它們就就是不同得數(shù)列；

（2）定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中得數(shù)必須不同，因此，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重

復(fù)出現(xiàn)、

2、數(shù)列得項：數(shù)列中得每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列得項、各項依次叫做這個數(shù)列

得第1項（或首項），第2項，…，第"項，…、同學(xué)們能舉例說明嗎？

生例如，上述例子均就是數(shù)列，其中①中，“2”就是這個數(shù)列得第1項（或首項），

“16”就是這個數(shù)列中得第4項、

3、數(shù)列得分類：

1）根據(jù)數(shù)列項數(shù)得多少分：

有窮數(shù)列：項數(shù)有限得數(shù)列、例如數(shù)列I，2,3,4,5,6就是有窮數(shù)列、

無窮數(shù)列：項數(shù)無限得數(shù)列、例如數(shù)列1,2,3,4,5,6…就是無窮數(shù)列、

2）根據(jù)數(shù)列項得大小分：

遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都不小于它得前一項得數(shù)列、

遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都不大于它得前一項得數(shù)列、

常數(shù)數(shù)列：各項相等得數(shù)列、

擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它得前一項，有些項小于它得前一項得數(shù)

列、

請同學(xué)們觀察：課本P33得六組數(shù)列，哪些就是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)

列、擺動數(shù)列？

生這六組數(shù)列分別就是⑴遞增數(shù)列，（2）遞增數(shù)列，（3）常數(shù)數(shù)列，（4）遞減數(shù)列，

（5）擺動數(shù)列，（6）1、遞增數(shù)列，2、遞減數(shù)列、

［知識拓展］

師您能說出上述數(shù)列①中得256就是這數(shù)列得第多少項？能否寫出它得第n

項？

生256就是這數(shù)列得第8項，我能寫出它得第w項，應(yīng)為。*2"、

［合作探究］

同學(xué)們瞧數(shù)列2,4,8,16,....256,…①中項與項之間得對應(yīng)關(guān)系，

項2481632

序號12345

您能從中得到什么啟示？

生數(shù)列可以瞧作就是一個定義域?yàn)檎麛?shù)集N*（或它得有限子集｛1,2,3,....

”｝）得函數(shù)a.=f（”），當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)得一列函數(shù)值、反過來，

對于函數(shù)y=f（x）,如果f（i）（i=l、2、3、4...）有意義，那么我們可以得到一個數(shù)

列f⑴,f（2）,f（3）,…,

師說得很好、如果數(shù)列｛“■｝得第〃項。■與n之間得關(guān)系可以用一個公式來表

示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列得通項公式、

3、例題講解：

例1根據(jù)下面數(shù)列｛"J得通項公式，寫出前5項：

n

%=--；（2x=（-ir.H

（1）M+1

變式訓(xùn)練1根據(jù)下面數(shù)列得通項公式，寫出前5項:

In

⑴4=2"+1⑵4

(In-l)(2n+1)

例2寫出下面數(shù)列得一個通項公式,使它得前4項分別就是下列各數(shù):

1111

(1)1,3,5,7；(2)-1x22733x44x5

變式訓(xùn)練2：根據(jù)下面數(shù)列得前幾項得值,寫出數(shù)列得一個通項公式:

246810

(1)3,5,9,17,33,(2)15'35'63'99''：

(3)0,1,0,1,0,1,……；(4)2,-6,12,-20,30,一42,……、

2

例3數(shù)列｛a”｝中，an=n-5n+4.

⑴18就是數(shù)列中得第幾項？

⑵〃為何值時，凡有最小值？并求最小值.

變式訓(xùn)練3：已知數(shù)列｛呢｝得通項公式斯=--—(〃GN*),那么」一就是

n(n+2)120

這個數(shù)列得第幾項？

思考：就是不就是所有得數(shù)列都存在通項公式？根據(jù)數(shù)列得前幾項寫出得

通項公式就是唯一得嗎？

4、小結(jié)：數(shù)列及其基本概念，數(shù)列通項公式及其應(yīng)用、

1、1、2數(shù)列得函數(shù)特性

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

理解數(shù)列得概念與幾種簡要得表示方法，了解數(shù)列就是一種特殊函數(shù)，并

能以函數(shù)角度給數(shù)列分類。

學(xué)習(xí)過程：

一、課前準(zhǔn)備

自主學(xué)習(xí)：數(shù)列概念及相關(guān)知識，通項公式

閱讀P-通過用圖像形象直觀地刻畫數(shù)列，結(jié)合圖象認(rèn)真思考、分析數(shù)列

得特性。

、新課導(dǎo)入

①遞增數(shù)列：_______________________________________

②遞減數(shù)列：_______________________________________

③常數(shù)數(shù)列：_______________________________________

自主測評

1、下列結(jié)論中正確得就是（）

①在直角坐標(biāo)系中表示數(shù)列得圖像都就是一群孤立得點(diǎn)

②任何一個數(shù)列都有無數(shù)次

③數(shù)得通項公式存在且唯一

A、①②B、②③C、①②③D、①

1112

2、己知數(shù)列一,一,一,一得一個通項公式為（）

6323

1nn

A、一B、一C、一

n63

3、判斷下列數(shù)列得增減性（）

②-3,-1,1,3,5,7

③-3,2,-4,-5,1,6,-2④-2,-2,-2,-2...

⑤0,1,0,1,0,1

探究：就是不就是所有得數(shù)列都有增減性

三、鞏固應(yīng)用

例3：判斷下列無窮數(shù)列得增減性

（1）2,1,0,-1,3-n,-⑵—二,KK,」-,KK

234n+1

例4：作出數(shù)列一!」,—』,L,KK,（—3",…得圖像，并分析數(shù)列得增

248162

減性。

2、已知數(shù)列｛%｝中；a=3,g=6,且。“+2=-an,則數(shù)列得第100項

為

2

3、已知數(shù)列｛%｝中，an=n-2/7+3,則數(shù)列4就是增還就是減數(shù)列

4、已知數(shù)列｛a“｝中，an=vr-7?+6,求數(shù)列｛。“｝得最小項

四、總結(jié)提升

1、探究結(jié)論

2、數(shù)列與函數(shù)有什么關(guān)系？

五、能力拓展

填空題

1、數(shù)列1,—1,卜1,1,得通項公式得就是o

212

2、1,―,…得一個通項公式就是。

325

3、在某報《自測健康狀況》得報道中，自測血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡得統(tǒng)計數(shù)據(jù)如

下表、觀察表中數(shù)據(jù)得特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)脭?shù)填入表中空白（—）內(nèi)、

年齡（歲）3035404550556065

收縮壓（水銀柱毫米）110115120125130135(.____)145

舒張壓（水銀柱毫米）707375788083(____)88

4已知數(shù)列｛4｝,%,=——（〃eN+）,那么一二就是這個數(shù)列得第______項、

〃（川+2）120

5、已知數(shù)列｛aj得圖像就是函數(shù)丫=工圖像上，當(dāng)x取正整數(shù)時得點(diǎn)列，則其

x

通項公式為O

6、已知數(shù)列｛4｝,4=21_1072+3,它得最小項就是0

7、已知數(shù)列｛an｝滿足q=—2,〃1=2+^，則

1一4

8、如圖，圖（1）、（2）、（3）、（4）分別包含1個、5個、13個、25個第二十

九屆北京奧運(yùn)會吉祥物“福娃迎迎”，按同樣得方式構(gòu)造圖形，設(shè)第〃個圖形包

含個“福娃迎迎”，貝UF5+1）—，（〃）=.（答案用“得解

析式表示）

賽

京京陣

獸

cn（2）

二.解答題

9、已知｛%｝滿足巧=3,an+i=2an+\,試寫出該數(shù)列得前5項，并用觀察法

寫出這個數(shù)列得一個通項公式、

10、已知數(shù)列｛4｝中，q=3,4=21,通項a“就是項數(shù)”得一次函數(shù)，

①求｛4｝得通項公式，并求生005；

②若｛包｝就是由4,%，4，/，，組成，試歸納他“｝得一個通項公式、

11、如果一個數(shù)列從第2項開始，每一項與它得前一項得與等于同一個常數(shù)，

那么這個數(shù)列就叫做等與數(shù)列。已知等與數(shù)列｛%｝得第一項為2,公與為7,

求這個數(shù)列得通項公式a?o

1、2、1等差數(shù)列(一)

教學(xué)要求：了解公差得概念，明確一個數(shù)列就是等差數(shù)列得限定條件，能

根據(jù)定義判斷一個數(shù)列就是等差數(shù)列；正確認(rèn)識使用等差數(shù)列得各種表示

法，能靈活運(yùn)用通項公式求等差數(shù)列得首項、公差、項數(shù)、指定得項、

教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列得概念，等差數(shù)列得通項公式、

教學(xué)難點(diǎn)：等差數(shù)列得性質(zhì)、

教學(xué)過程：

由學(xué)生觀察分析：

4,5,6,7,8,9,10(1)

3,0,-3,-6,-9,????(2)

1/10,2/10,3/10,4/10,...(3)

1,1,1,1,......(4)

瞧這些數(shù)列有什么共同特點(diǎn)呢？引導(dǎo)學(xué)生觀察相鄰兩項間得關(guān)系，

由學(xué)生歸納與概括出，以上四個數(shù)列從第2項起，每一項與前一項得差都

等于同一個常數(shù)(即：每個都具有相鄰兩項差為同一個常數(shù)得特點(diǎn))。

［等差數(shù)列得概念］

等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它得前一項得差等

于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。

這個常數(shù)叫做等差數(shù)列得公差，公差通常用字母d表示。那么對于以上四組

等差數(shù)列，它們得公差依次就是1,-3,-0、1,0。

注意：⑴公差d一定就是由后項減前項所得，而不能用前項減后項來求；

⑵對于數(shù)列｛｝，若4一。,一="(4就是與〃無關(guān)得數(shù)或字母)，

nGN,則此數(shù)列就是等差數(shù)列，，為公差；

(3)若公0,則該數(shù)列為常數(shù)列.

［等差數(shù)列得通項公式］

提問：對于以上得等差數(shù)列，我們能不能用通項公式將它們表示出來呢？

⑴、我們就是通過研究數(shù)列｛4｝得第n項與序號n之間得關(guān)系去寫出數(shù)列得通

項公式得。下面由同學(xué)們根據(jù)通項公式得定義，寫出這四組等差數(shù)列得通項公

式。

由學(xué)生經(jīng)過分析寫出通項公式：

①猜想得到這個數(shù)列得通項公式就是+3

②猜想得到這個數(shù)列得通項公式就是%=3+(-3)(n-l)

③猜想得到這個數(shù)列得通項公式就是4=0.1"

④猜想得到這個數(shù)列得通項公式就是凡=1

⑵、那么，如果任意給了一個等差數(shù)列得首項為與公差d,它得通項公式就是

什么呢？

引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)等差數(shù)列得定義進(jìn)行歸納：

CL?一=d,

(n-1)個等式1生一%=%

一=d,

I...

所以的=%+2，

=〃2+d,a?~a?+d=(a1+d)+d=a+2d,

[4—a?+d,%=(I3+d=(a1+2d)+d=a+3d,

思考：那么通項公式到底如何表達(dá)呢？

得出通項公式：以。1為首項，d為公差得等差數(shù)列｛2｝得通項公式為：

an=ax+(“_l)d或an=am+(n-nt)d

也就就是說，只要我們知道了等差數(shù)列得首項%與公差d,那么這個等差數(shù)

列得通項a,就可以表示出來了。

選講：除此之外，還可以用迭加法與迭代法推導(dǎo)等差數(shù)列得通項公式：

(迭代法)：｛an｝就是等差數(shù)列，則有

an—an_x+d—an_2+d+d=an_2+2d=an_3+d+2d=an_3+3d=.......

=+(〃_l)d

(迭加法)：｛2｝就是等差數(shù)列，

an~2一1=d,

an-i~~an-2=d,

an-2—an-3=/

—=d,

兩邊分別相加得可—/—l）d,

所以a“=%+（〃—l）d

2、教學(xué)等差數(shù)列得通項公式：an=%+（〃—l）d【或凡=0”,+（〃一機(jī)）d（變

式：—"「冊）】

m-n

3、例題講解：

例1、求等差數(shù)列0,-3---7,……得通項公式，并判斷一20就是不就

2

是這個等差數(shù)列得項？如果就是，就是第幾項？如果不就是，說明理由、（教

師引導(dǎo)f學(xué)生練―教師點(diǎn)評）

練：100就是不就是等差數(shù)列2,9,16,……得項？如果就是，就是第幾

項？如果不就是，說明理由、

例2、已知數(shù)列｛*｝得通項公式=〃〃+q,其中p、q就是常數(shù)，那么

這個數(shù)列就是否一定就是等差數(shù)列？若就是，首項與公差分別就是什么？

注：數(shù)列｛。“｝為等差數(shù)列得充要條件就是它得通項公式為a”=〃/+q,此

式又稱為等差數(shù)列得第3通項公式、

例3、在等差數(shù)列｛："｝中，若。］+。6=9,。4=7,求生，。9、

結(jié)論：（性質(zhì)）在等差數(shù)列中，若m+n=p+q,則，am+an=ap+aq

4、小結(jié)：等差數(shù)列得概念、通項公式，等差數(shù)列得性質(zhì)及其應(yīng)用、

三、鞏固練習(xí)：

1、在等差數(shù)列｛4｝中，已知。5=10,。12=31，求首項生、公差d及q5、

2、作業(yè)：教材P46頁A組第1題③④

1、2、2等差數(shù)列（二）

教學(xué)要求：明確等差中項得概念；進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列得通項公式及

推導(dǎo)公式；并能運(yùn)用所學(xué)知識解決一些生活中得等差數(shù)列、

教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列得定義、通項公式、性質(zhì)得理解與應(yīng)用、

教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用等差數(shù)列得定義及性質(zhì)解決一些相關(guān)問題、

教學(xué)過程：

一'復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1、練習(xí)：在等差數(shù)列｛q｝中，若%=24=—13,求公差d及％「

2、提問：如果三角形得三個內(nèi)角得度數(shù)成等差數(shù)列，那么中間得角就是

多少度？

二、講授新課：

1、教學(xué)等差中項得概念:

如果在。與匕中間插入一個數(shù)A,使a,A,6成等差數(shù)列數(shù)列，那么A應(yīng)

滿足什么條件？

由定義得A-a=b-A,即：4反之，若4貝UA-OH-A、

22

由此可可得：4=生心。。,仇成等差數(shù)列、

2

例1：求下列兩個數(shù)得等差中項①5+項,5—應(yīng)；②a+2b,3a-4b、

2、生活中得等差數(shù)列：

例2、某市居民生活用水得計費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：若居民在某月用水量不超過5噸，

則統(tǒng)一收取水費(fèi)6元，否則超過部分則按1、35元/噸得標(biāo)準(zhǔn)收取水費(fèi)、如

果己知某戶居民該月用水量為18噸，問她此月需支付多少水費(fèi)？（學(xué)生自

練一學(xué)生演板一教師點(diǎn)評）

例3、某地區(qū)1997年底沙漠面積為9x105〃加2、地質(zhì)工作者為了解這個地

區(qū)沙漠面積得變化情況，從1998年開始進(jìn)行了連續(xù)5年得觀測，并在年底

將觀測結(jié)果記錄如下表：

觀測該地區(qū)沙漠面積比原有面積增加

年份數(shù)

hm2

2000

1998

4000

1999

6001

2000

7999

2001

10001

2002

請根據(jù)上表所給得信息進(jìn)行預(yù)測、

（1）如果不采取任何措施，到2010年底，這個地區(qū)得沙漠面積將大約變

為多少hm2?

(2)如果從2003年初開始，采取植樹造林等措施，每年改造8000歷川沙

漠，但沙漠面積仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，這個地區(qū)得沙漠

面積將小于9xlO2Am2?

3、小結(jié)：等差中項得概念，等差數(shù)列得公差、首項、項數(shù)及通項公式間

得關(guān)系，等差數(shù)列得性質(zhì)及其應(yīng)用、

三、鞏固練習(xí)：

1、有30根水泥電線桿，要運(yùn)往1000m遠(yuǎn)得地方開始安裝，在1000m處

放一根，以后每50m放一根，一輛汽車每次只能運(yùn)三根，如果用一輛汽車

完成這項任務(wù)，這輛汽車得行程共有多少km?

2、作業(yè)：教材P46第4、5題

等差數(shù)列性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：掌握等差數(shù)列概念、通項公式、性質(zhì)

過程與方法:梳理知識點(diǎn)，以填空得形式復(fù)習(xí)，習(xí)題鞏固

情感、態(tài)度與價值觀:培養(yǎng)與提高轉(zhuǎn)化、分析問題與解決問題得能力、

教學(xué)重點(diǎn)掌握等差數(shù)列得通項公式靈活運(yùn)用性質(zhì)解決相關(guān)問題、

教學(xué)難點(diǎn)選擇合適得方法，解決問題、

教學(xué)方法“三學(xué)一教”四步教學(xué)法

教學(xué)課時一課時

教學(xué)手段多媒體輔助教學(xué)

教學(xué)過程

一、明標(biāo)自學(xué)

知識梳理

1、等差數(shù)列得定義：an-an_x=d(d為常數(shù))(九22)；

2、等差數(shù)列通項公式：

4=%+(n-l)d=dn+%-N*)，首項：％,公差：d,末項：a”

a—a

推廣：a=a+｛n-m)d.從而d一j

nmn-m

3、等差中項

(1)如果。，A,8成等差數(shù)列，那么A叫做a與匕得等差中項.即：A=—

2

或2A=a+Z?

⑵等差中項：數(shù)列｛an｝就是等差數(shù)列

o2。”=4一1+an+l(〃N2)o2a?+1=an+an+2

4、等差數(shù)列得判定方法

(1)定義法：若4—4_]=d或a“+i=d(常數(shù)"eN*)。｛q｝就是等

差數(shù)列.

⑵等差中項：數(shù)列｛aj就是等差數(shù)列

=2a“=a“一]+an+1(〃N2)o2an+l=an+atl+2.

(3)數(shù)列｛aj就是等差數(shù)列oan=5+6(其中左/就是常數(shù))。

5、等差數(shù)列得證明方法

定義法：若=d或a“+i—4=d(常數(shù)〃eN*)。｛a“｝就是等差數(shù)列.

6、提醒：

(1)等差數(shù)列得通項公式及前〃與公式中，涉及到5個元素：％、d、n、

風(fēng)及S“，其中％、?稱作為基本元素。只要已知這5個元素中得任意3個，

便可求出其余2個，即知3求2。

(2)設(shè)項技巧：

①一般可設(shè)通項a”=a1+(n-l)t/

②奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為…，a-2d,a-d,a,a+d,a+2d…(公差為d)；

③偶數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為…，a—3d,a—d,a+d,a+3d,…(注意；公

差為2d)

7、等差數(shù)列得性質(zhì)：

(1)當(dāng)公差dwO時，

等差數(shù)列得通項公式%=%+(〃-l)d=威+q-d就是關(guān)于〃得一次函數(shù)，且斜

率為公差?；(2)若公差d〉0,則為遞增等差數(shù)列，若公差d<0,則為遞減

等差數(shù)列，若公差d=0,則為常數(shù)列、

(3)當(dāng)機(jī)+九=p+4時，則有a,”+a“=a?+4,特別地，當(dāng)m+〃=2。時，則有

am+an=2ap,

注：4+a”=4+=q+4Zn2=…，

⑷若｛叫、也｝為等差數(shù)列，則｛現(xiàn),+耳,｛4%+4〃｝都為等差數(shù)列

(5)數(shù)列｛。"｝為等差數(shù)歹!],每隔k(keN*)項取出一項(金,4+xam+2k,am+3k,???)

仍為等差數(shù)列、

二、合作釋疑

例1.(1)已知數(shù)列8,a,2,b,c,—7就是等差數(shù)列，求未知項a,6,c得值、

解：由等差中項公式得2a=2+8=10,a=5,d=—3,b——l,c=—4

(2)已知等差數(shù)列｛-｝得前3項依次為a—l,a+1,2a+3,求此數(shù)列得通項服

解：由等差中項公式得2(a+l)=a—1+2。+3,得a=0,所以等差數(shù)列｛為｝

得前3項依次為-1,1,3,所以d=2,通項公式為

x

61n——1+(〃—1)2=2n—3

(3)等差數(shù)列｛4｝中，4與&,得等差中項為5，%與%得等差中項為7,

求此數(shù)列得通項an

解：由題知。2+。6=1°，。3+。7=14,則%=5,。5=7,d=2,所以

4+(〃-x

an=。4)2=5+2"—8=2"-3

例2、(1)等差數(shù)列｛斯｝中，已知02+03+410+ail=36,則。5+。8=_18

+aa

⑵在等差數(shù)歹！J｛/｝中，若a4t+0+4o=12q,則

24_

2al丁a亍__

三、點(diǎn)撥拓展

例3、(1)首項為一24得等差數(shù)列，從第10項起開始為正數(shù)，則公差得取值

24

范圍就是d〉——

9

24

解：%=—24,tZjg=tZj+9d=—24+9d>0,d>

(2)如果等差數(shù)列｛a“｝得第5項為5,第10項為一5,那么此數(shù)列得第

一個負(fù)數(shù)項就是第項、

解：a=5,a=—5,d=-------=----=—2,

51l010-55

(3)若xWy,兩個數(shù)列：x,ai，a?，.3，y與x，b\,62，by,64，y都就

是等差數(shù)列，求也二幺

Z?4

~b2

解：設(shè)兩個數(shù)列得公差分別為4,心，貝U4=上二步,4=上口，所以

45

四、當(dāng)堂檢測

(1)等差數(shù)列｛凡｝中，已知外=;，?+。5=4,%=33,求〃得值

(2)在數(shù)列｛q｝中=2,且%+2—%=l+(-l)”,(〃eN+),則

邑00=------

(3)設(shè)八B=號萬，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前〃項與得公式得方法，

可求得

A—5)+人—4)H---\-f(0)H---1~八5)+八6)得值為

(4)若關(guān)于x得方程%2一%+4=。與一一工+5=0,(〃/￡H且awZ?)得四

個根組成首項為｝得等差數(shù)列，則a+8=

(5)已知在正整數(shù)數(shù)列｛6｝中，前〃項與滿足：s“=!(a“+2)2

8

(1)求證：｛為｝就是等差數(shù)列；

(2)若2=；*-30求數(shù)列｛2｝得前〃項與得最小值、

六、課時小結(jié)

本節(jié)課主要復(fù)習(xí)鞏固了等差數(shù)列得通項公式及性質(zhì)，在例題講解得過程

中還就是要留給學(xué)生時間思考，以學(xué)生為主，在練習(xí)中鞏固知識點(diǎn)，不足之

處及時講解、

七、教學(xué)反思

1、2、2等差數(shù)列得前〃項與(共三課時)

教材章節(jié)：§2.3課題：等差數(shù)列的前附項和

教學(xué)目標(biāo)：

1.知識與技能：

掌握等差數(shù)列前囪項和公式及其推到方法；能夠利用等差數(shù)列前?項和公式解

決一些簡單的等差數(shù)列問題；熟練掌握等差數(shù)列中的五個基本量內(nèi),d,M,S”,久之間

的關(guān)系并能罅做到知三求二，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)與方程思想研究問題的能力.

2.過程與方法：

通過現(xiàn)察等差數(shù)列的特征,歸納出等差數(shù)列前附項和公式推導(dǎo)方法，并根據(jù)前附

項和公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)記住公式.

3.情感、態(tài)度與價值觀：

培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納的能力，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)與方程思想研究問題的能力.

重點(diǎn)*等差數(shù)列的前n項和公式.

難點(diǎn)：等差數(shù)列前抬項和的思路.

教學(xué)過程：

一'、導(dǎo)入新課

1.講述高斯求I到100之與得故事.

2.問題：請同學(xué)們回答高斯算法得思路依據(jù).

3.問題：1到100這100個數(shù)恰好就是正整數(shù)這個等差數(shù)列得前100項，

那么這種求與得方法就是否具有普遍性？對一般得等差數(shù)列就是否都可以按此

方法求其前〃項得與呢？

二、講授新課

1.推導(dǎo)等差數(shù)列得前〃項與公式(倒序求與法)：

(1)定義：Sn=01+02++4

(2)公式：S”=/+a,++a.

Sa=a”+c*++%+/

相加，2S“=(q+an)+(tz,+/1升+(4[+q+(tij+q

,q+a.=+a”-i==a0-i+a?=q+an,??2S.=躍4+un)

VI

???S〃=5(Q]+%)知道首項、末項與項數(shù)，即可求s〃.

又an=4+(〃-l)d,

/.知道首項、公差與項數(shù)，即可求

2.公式：

公能一.S/(…)

公式二：Sn="q+.

說明：

(1)注意以上公式就是表示從等差數(shù)列第一項起至第〃項得連續(xù)有限項得

與，其實(shí)對于等差數(shù)列得任意項起得連續(xù)有限項得與都可以用以上公式求，只

就是注意首項與項數(shù)得變化.

(2)公式一反映得就是等差數(shù)列中項與項得關(guān)系；公式二反映得就是等差

數(shù)列中項數(shù)與項得函數(shù)關(guān)系，顯然前〃項與就是項數(shù)〃得沒有常數(shù)項得二次函

數(shù)，即

Sn+(。1—g)”?

(3)公式中各含有4個元素：Sn,n,%,a“VSn，Ti,a[,d,已知其中3個量,

即可求出另外1個；綜合通項公式及前〃項與公式，已知其中3個量即可求出

另外2個量.

2

(4)利用函數(shù)觀點(diǎn)研究=|?+(?1-1>

①當(dāng)dHO時，S”為二次函數(shù)，且無常數(shù)項.

②當(dāng)d〉0時，S”有最小值；題型：求S“得最值.

③當(dāng)d<0時，S”有最大值.

3.等差數(shù)列得前〃項與得性質(zhì)：

(1)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,仍成等差，且公差為川d；

(2)若.項數(shù)為2%則

①S奇與品中項數(shù)相等，且品—5奇=加/；

二奇=a十%)=.

品|(?2+?2?)“向

若項數(shù)為2〃-1,則

①S奇一5偶=(〃_1)(—2)+〃2八一1二—l)d=an；

②5奇=加/S偶=(九一1)%；

③S2M=(2〃一1)%；

n.、

"1’,\n-1

—/(。2+a2n-2)

練習(xí)：已知項數(shù)為奇數(shù)得等差數(shù)列，S偶=33,S奇=44,求。中=11.

q

(3)｛j｝等差(須證明)應(yīng)用見例7練習(xí).

n

4.應(yīng)用舉例：

(1)五個量知三求二

例1.課本P43例1.

例2.課本P44例2.

例3.等差數(shù)列｛q｝中，4=1,4=—5125〃=—102,求公差d與項數(shù)〃.

解：選擇公式S“=Q(q+a“).

-1022=|(l-512)=>n=A；.a4=-512；.d=匕一：-=-L71.

例4.課本P44例3.

例5.課本P45例4.

說明：由例5可以知道等差數(shù)列前〃項與就是項數(shù)〃得沒有常數(shù)項得二次

函數(shù)，即=3"+〃.進(jìn)一步可以讓學(xué)生研究如果一個數(shù)列得前〃項與公式就

是Sn=3/+〃+l,那么這個數(shù)列就是不就是等差數(shù)列？如果不就是，那么在

什么情況下才就是等差數(shù)列？

例6.(1)已知在等差數(shù)列｛。“｝中，a6+a9+tz12+a15=20,求：S2。得值.

解：.+弓5=為+%,=4+a,。，又.4+包+%2+%5=2。，

a.+a,n=10.：.5,°=2。(%+。20);⑼

1zuzu2

(2)已知在等差數(shù)列｛a,J中，Slo=lOO,Sloo=1G求：Su。得值.

解：,**Sm—百0=45(4+々100)=—90，4+400=—2.

又+a110=Ojj+aloo=—2,/.=llCXa；%［。)=一］］。.

(3)已知數(shù)列｛2〃—23｝,求其前〃項與S“得最小值.

解：由已知知此數(shù)列就是等差數(shù)列，且q=—21,d=2,

S“=〃2_227?=S—11)2—121,；.(5").=—⑵.

(2)證明等差數(shù)列問題

例7.求證：｛q｝為等差數(shù)列O其前n項與S〃=A廿+3九

證明：(U)已知S?=Ari+Bn(AwO),

當(dāng)〃=1時，q=，=A+jB

當(dāng)且時，an=Sn—S4=2An-A+且〃=1符合

上式.

an—2An—A+B,nwN*

%M—%=2A（〃+1）—A+5—2An+A—5=2A（非零常數(shù)）

｛q,｝為公差非零得等差數(shù)列.

（n）已知｛4｝為公差非零得等差數(shù)列，不妨設(shè)首項為％,公差為d.

mi0幾（幾一l）dd2/d、人人d門

則Sn—H-----------——n+（q——）n,令A(yù)——0,

Bn=%—d—）

2

Sn=An+Bn（Aw0）.

綜上可知，結(jié)論成立.

練習(xí)：證明：若數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列=｛彳｝成等差.

證明：：數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列

.。n｛n-V）dd2.d.

..Sn=a｛n+---------=-?+（。1一萬）”

.S_dd

??'n+--）>

n22

??存—=工”+（%—彳）-彳（"_1）一（/-彳）=彳（常數(shù)），得證.

nn-122222

（3）綜合問題

例8.等差數(shù)列｛叫中，S”為前〃項與，q=13應(yīng)=，1，問此數(shù)列前多

少項得與最大？

方法一：由邑=S]]即q+a2+生=q+/+/++4]

得&+%++%]=0=4(%+,),

2

且d=-q——2,二.%+%=0,

又?:d=-2<0數(shù)列為減數(shù)列???%>0,/<0

???當(dāng)〃=7時，S?最大，且S7=49.

方法二：(由S”為二次函數(shù)，對S”進(jìn)行配方n取最接近對稱軸得正整數(shù)時,

S”最大.)

由S3=S]]得3%+3(3=nq+；1"8q+52d=o

又I=13,得d=-2.

22

：.Sn=13n+"("；)"=-n+14n=—(〃-7)+49

當(dāng)"=7時，S,最大，且S7=49.

方法三：同方法二，得d=-2

a>01315

，4=13+("—1)(—2)=15—2“令4"=>一<〃4—

4+1<022

n6N*〃=7時，S7最大,且S7=49.

方法四：圖象法由S3=Su，知對稱軸為“=7.所以S7最大.

小結(jié)：

(I)等差數(shù)列得單調(diào)性得應(yīng)用：

a>0

(1)當(dāng)q>0,d<0時，S.有最大值，n就是不等式1"得正整數(shù)解

&+i<。

時取得；

a<0

(2)當(dāng)q<0,d>0時，S,有最大值，n就是不等式1"n得正整數(shù)解

口+1>0

時取得.

(II)當(dāng)數(shù)列中有某項值為0時，〃應(yīng)有兩解.Sm=Sm+1^am+1=O.

例9.在等差數(shù)列｛叫中，a3=12,S12>0,513<C

(1)求公差d得范圍;

(2)問S「S2，S3，，兒中哪個值最大？

解：

S12=H--------->0

(1)由題意得<幾=13q+<0

13(l；Dd解之得，----<d<—3.

7

%=%+2d=12

(2)???d<0：.S〃為開口向下得二次函數(shù).

方案1：利用函數(shù)求最值

n(n-l)d/c八n(n-V)dd5人

Sc—nd.H------------—一2d)H-------------——ri2+(12----

2222

51224