北師大版高中數學必修5第一章《數列》全部教案

第一課時數列的概念

一、教學目標

1、知識與技能：（1）理解數列及其有關概念；（2）了解數列的通項公式，并會用通項公式

寫出數列的任意一項；（3）對于比較簡單的數列，會根據其前幾項寫出它的通項公式。

2、過程與方法：（1）采用探究法，按照思考、交流、實驗、觀察、分析、得出結論的方法

進行啟發式教學；（2）發揮學生的主體作用，作好探究性學習；（3）理論聯系實際，激發

學生的學習積極性。

3、情感態度與價值觀：（1）.通過日常生活中的大量實例，鼓勵學生動手試驗.理論聯系實

際，激發學生對科學的探究精神和嚴肅認真的科學態度，培養學生的辯證唯物主義觀點；

（2）.通過本節課的學習，體會數學來源于生活，提高數學學習的興趣

二、教學重點：數列及其有關概念，通項公式及其應用

教學難點根據一些數列的前幾項抽象、歸納數列的通項公式.

三、教學方法：探究、交流、實驗、觀察、分析

四、教學過程

（一）、揭示課題:今天開始我們研究一個新課題.

先舉一個生活中的例子：場地上堆放了一些圓鋼，最底下的一層有100根，在其上一

層（稱作第二層）碼放了99根，第三層碼放了98根，依此類推，問：最多可放多少層第

57層有多少根從第1層到第57層一共有多少根我們不能滿足于一層層的去數，而是要但

求如何去研究，找出一般規律.實際上我們要研究的是這樣的一列數

100,99,98,…,3,2,1,象這樣排好隊的數就是我們的研究對象一一數列.

（二）、推進新課

[合作探究]

折紙問題

師請同學們想一想，一張紙可以重復對折多少次請同學們隨便取一張紙試試（學生們興趣

一定很濃

生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了

師你知道這是為什么嗎我們設紙原來的厚度為1長度單位，面積為1面積單位，隨依次折

的次數，它的厚度和每層紙的面積依次怎樣

生隨著對折數厚度依次為：2,4,8,16,…，256,…；

隨著對折數面積依次為L，5，…，」

24816256

生對折8次以后，紙的厚度為原來的256倍，其面積為原來的分1[]256式，再折下去太

困難了

師說得很好，隨數學水平的提高，我們的思維會更加理性化.請同學們觀察上面我們列出

的這一列一列的數，看它們有何共同特點

生均是一列數

生還有一定次序

師它們的共同特點：都是有一定次序的一列數

［教師精講］

1.數列的定義：按一定順序排列著的一列數叫做數列

注意：（1）數列的數是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數列的數相同而排列次序

不同，那么它們就是不同的數列；（2）定義中并沒有規定數列中的數必須不同，因此，同

一個數在數列中可以重復出現

2.數列的項：數列中的每一個數都叫做這個數列的項.各項依次叫做這個數列的第1項（或

首項），第2項，…，第〃項，….同學們能舉例說明嗎

生例如，上述例子均是數列，其中①中，“2”是這個數列的第1項（或首項），“16”是

這個數列中的第4項

為表述方便給出幾個名稱：項--------數列中的每一個數叫做這個數列的項.

首項------其中數列的第一項也稱首項.通項--------數列的第n項叫數列的通項.

以上述兩個數列為例，讓學生練習指出某一個數列的首項是多少，第二項是多少，指出某

一個數列的一些項的項數.由此可以看出，給定一個數列，應能夠指明第一項是多少，第

二項是多少，……，每一項都是確定的，即指明項數，對應的項就確定.所以數列中的每

一項與其項數有著對應關系，這與我們學過的函數有密切關系.

3.數列的分類：1）根據數列項數的多少分:

有窮數列:項數有限的數列.例如數列L2,3,4,5,6是有窮數列

無窮數列：項數無限的數列.例如數列1,2,3,4,5,6…是無窮數列

2）根據數列項的大小分：遞增數列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數列.遞減

數列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數列.常數數列：各項相等的數列.擺動

數列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列

請同學們觀察：課本的六組數列，哪些是遞增數列、遞減數列、常數數列、擺動數列

生這六組數列分別是⑴遞增數列，（2）遞增數列，（3）常數數列，（4）遞減數列，（5）擺動

數列，（6）1.遞增數列，2.遞減數列

4、通項公式法:如數列012,3,…的通項公式為即=閥+1冊獷）；

LU…的通項公式為外=e獷,1<n<3）；

1,a=—（we2/,）

234的通項公式為附；

數列的通項公式具有雙重身份，它表示了數列的第”項，又是這個數列中所有各項的

一般表示.通項公式反映了一個數列項與項數的函數關系，給了數列的通項公式，這個數

列便確定了，代入項數就可求出數列的每一項.

例如，數列的通項公式樂=2萬N）,則限=2x100-1=199.

值得注意的是，正如一個函數未必能用解析式表示一樣，不是所有的數列都有通項公

式，即便有通項公式，通項公式也未必唯一.

［知識拓展］

師你能說出上述數列①中的256是這數列的第多少項能否寫出它的第〃項

生256是這數列的第8項，我能寫出它的第〃項，應為4=2"

［例題剖析］

例1.根據下面數列｛a｝的通項公式，寫出前5項：

(l)a?=—;(2)&=(一1)"?n

〃+1

師由通項公式定義可知，只要將通項公式中〃依次取1,2,3,4,5,即可得到數列的前

5項

生解：(1)ZFI,2,3,4,="—;a-2=—;&=—；&=—;a$=一

23456

(2)/7=1,2,3,4,=-1;a2=2;a3=~3;a=4;a5=~

師好！就這樣解

例2.根據下面數列的前幾項的值，寫出數列的一個通項公式：

(1)3,5,7,9,11,???；(2)-,—,—,—,—,???；

315356399

(3)0,1,0,1,0,1,…；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…；

(5)2,-6,12,-20,30,-42,

師這里只給出數列的前幾項的值，哪位同學能寫出這些數列的一個通項公式(給學生一定

的思考時間

生老師，我寫好了!

2n

解：(l)a?=2z;+l；(2)a?=⑶一

(2H-1)(2H+1)

(4)將數列變形為1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,…，a=n+1+；

2

(5)將數列變形為1X2,-2X3,3X4,-4X5,5X6,…，

師完全正確！這是由“數”給出數列的“式”的例子，解決的關鍵是要找出這列數呈現出

的規律性的東西，然后再通過歸納寫出這個數列的通項公式

(三)、學生課堂練習：課本本節練習1、2、3、4

補充題：已知數列｛4｝的通項公式是4=24-〃，那么(

是數列｛&,｝的一項是數列｛a“｝的一項

是數列｛&｝的一項是數列｛4｝的一項

分析：注意到30,44,66,90均比較小，可以寫出這個數列的前幾項，如果這前幾項中出

現了這四個數中的某一個，則問題就可以解決了.若出現的數比較大，還可以用解方程求正

整數解的方法加以解決答案：

點評：看一個數A是不是數列｛&｝中的某一項，實質上就是看能不能找出一個非零自然數n,

使得a=A

（四）、課堂小結：對于本節內容應著重掌握數列及有關定義，會根據通項公式求其任意一

項，并會根據數列的前A項求一些簡單數列的通項公式。

（五）、布置作業課本習題1TA組1、2、3、4o

五、教后反思：

一、教學目標

1、知識與技能：了解數列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式）；理解

數列是一種特殊的函數；2、過程與方法：通過類比函數的思想了解數列的幾種簡單的表示

方法（列表、圖象、通項公式）；3、情態與價值：體會數列是一種特殊的函數；借助函數

的背景和研究方法來研究有關數列的問題，可以進一步讓學生體會數學知識間的聯系，培

養用已知去研究未知的能力。

二、教學重點：理解數列的概念，探索并掌握數列的幾種間單的表示法（列表、圖象、通

項公式）。

難點：了解數列是一種特殊的函數；發現數列規律找出可能的通項公式。

三、教學方法：講授法為主

四、教學過程

（一）、導入新課

師同學們，昨天我們學習了數列的定義，數列的通項公式的意義等內容，哪位同學能談一

談什么叫數列的通項公式

生如果數列｛4｝的第〃項與序號之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做

這個數列的通項公式

師你能舉例說明嗎

生如數列0,1,2,3,…的通項公式為晶=療1(〃￡“

1,1,1的通項公式為a〃=l1

1,-，…的通項公式為a尸，a

234n

教師進一步啟發上面數列a尸上1、沖上與函數/(x)=x-lj(x)=’有什么關系你能用圖象

nx

直觀表示這個數列嗎由此展開本節新課。

(二)新知探究

1、數列與函數的關系：數列可以看作特殊的函數，項數是其自變量，項是項數所對應的函

數值，數列的定義域是正整數集,或是正整數集的有限子集｛123,

于是我們研究數列就可借用函數的研究方法，用函數的觀點看待數列.

［合作探究］同學們看數列2,4,8,16,…，256,…①中項與項之間的對應關系，

項24816

序號你能從中得到什么啟示

生數列可以看作是一個定義域為正整數集M(或它的有限子集｛1,2,3,…，〃｝)的函數

4=￡(〃)，當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數值.反過來，對于函數尸/1(x),如

果/U)(i=l、2、3、4…)有意義，那么我們可以得到一個數列

f⑴，f(2),f(3),…,

師說的很好.如果數列｛品｝的第〃項4與〃之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個

公式就叫做這個數列的通項公式

［合作探究］師函數與數列的比較(由學生完成此表)：

函數數列(特殊的函數)

定義域R或R的子集A'或它的有限子集｛1,2,

n\

解析式尸f(x)a?=Az?)

圖象點的集合一些離散的點的集合

師對于函數，我們可以根據其函數解析式畫出其對應圖象，看來，數列也可根據其通項公

式來畫出其對應圖象，下面同學們練習畫數列

4,5,6,7,8,9,10-;@1,-,-,-，…③的圖象

234

生根據這數列的通項公式畫出數列②、③的圖象為

師數列4,5,6,7,8,9,10,…②的圖象與我們學過的什么函數的圖象有關

生與我們學過的一次函數產x+3的圖象有關.

師數列1,工，…③的圖象與我們學過的什么函數的圖象有關

234

生與我們學過的反比例函數y=L的圖象有關.

X

師這兩數列的圖象有什么特點

生其特點為：它們都是一群孤立的點.

生它們都位于y軸的右側，即特點為：它們都是一群孤立的，都位于y軸的右側的點.

2、數列的表示法

數列可看作特殊的函數，其表示也應與函數的表示法有聯系，首先請學生回憶函數的

表示法：列表法，圖象法，解析式法.相對于列表法表示一個函數，數列有這樣的表示法:

用力表示第一項，用“2表示第一項，……，用即表示第然項，依次寫出成為

(1)列舉法：%,。2，的，…，即，….簡記為｛怎｝.

一個函數的直觀形式是其圖象，我們也可用圖形表示一個數列，把它稱作圖示法.

(2)圖示法:啟發學生仿照函數圖象的畫法畫數列的圖形.具體方法是以項數正為橫坐標,

相應的項即為縱坐標，即以(乩%)為坐標在平面直角坐標系中做出點(以前面提到的數

].—11—1???

列’2'3'4'為例，做出一個數列的圖象)，所得的數列的圖形是一群孤立的點，因為橫

坐標為正整數，所以這些點都在丁軸的右側，而點的個數取決于數列的項數.從圖象中可

以直觀地看到數列的項隨項數由小到大變化而變化的趨勢.有些函數可以用解析式來表示,

解析式反映了一個函數的函數值與自變量之間的數量關系，類似地有一些數列的項能用其

項數的函數式表示出來，即aS這個函數式叫做數列的通項公式.

（3）通項公式法:如數列0J23,…的通項公式為外="156獷）；

LU…的通項公式為許=15W，1?"也

1,a=—（weiV,）

234的通項公式為?；

數列的通項公式具有雙重身份，它表示了數列的第北項，又是這個數列中所有各項的

一般表示.通項公式反映了一個數列項與項數的函數關系，給了數列的通項公式，這個數

列便確定了，代入項數就可求出數列的每一項.

例如，數列的通項公式外=2"1伽已獷），則限=2x100-1=199.

值得注意的是，正如一個函數未必能用解析式表示一樣，不是所有的數列都有通項公

式，即便有通項公式，通項公式也未必唯一.

除了以上三種表示法，某些數列相鄰的兩項（或幾項）有關系，這個關系用一個公式

來表示，叫做遞推公式.

（4）遞推公式法:如前面所舉的鋼管的例子，第花+1層鋼管數即+1與第〃層鋼管數怎的

關系是即+1=%-1,再給定陽=1。0,便可依次求出各項.再如數列中，

陽=L怎+1=2即伽6獷），這個數列就是1,2,4,8,16,32,64,….

像這樣，如果已知數列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前幾項）間的

關系用一個公式來表示，這個公式叫做這個數列的遞推公式.遞推公式是數列所特有的表

示法，它包含兩個部分，一是遞推關系，一是初始條件，二者缺一不可.可由學生舉例,

以檢驗學生是否理解.

（三）、例題探析

例1、判斷下列無窮數列的增減性。⑴2,1,0,-1,…,3-n,???；,o

234n+1

學生探究交流，教師準對問題講評并引導學生歸納方法。【答案：（1）遞減數列；（2）遞增

數列】

例2、作出數列」」,」一,KK,（」）"，…的圖像，并分析數列的增減性。

248162

-——1——Y.......

2

----------------------------------------------------------?

012345

X

解析：如圖是這個數列的圖象，數列各項的值正負相司，表示數列的各點相對于橫軸上下

擺動，它既不是遞增的，也不是遞減的。

（四）、學生練習：課本本節練習1、2

（五）、課堂小結：1、探究結論；2、數列與函數有什么關系

（六）、作業布置：習題ITA組第5、6、7題

五、教后反思：

第三課時數列的概念

一、教學目標

1、知識與技能：了解數列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同；會根據數列的遞

推公式寫出數列的前幾項；理解數列的前n項和與明的關系

2、過程與方法：經歷數列知識的感受及理解運用的過程。

3、情感態度與價值觀：通過本節課的學習，體會數學來源于生活，提高數學學習的興趣。

二、教學重點：根據數列的遞推公式寫出數列的前幾項

教學難點理解遞推公式與通項公式的關系

三、教學過程

I.課題導入

［復習引入］數列及有關定義

n.講授新課

數列的表示方法

1、通項公式法

如果數列｛%｝的第n項與序號之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這

個數列的通項公式。

如數列0,123,…的通項公式為%="1（"e獷）；

LU…的通項公式為獷，1"屋明

1,a.=—(?e27,)

234的通項公式為h公

2、圖象法

啟發學生仿照函數圖象的畫法畫數列的圖形.具體方法是以項數閥為橫坐標，相應的

項即為縱坐標，即以（冬%）為坐標在平面直角坐標系中做出點（以前面提到的數列

‘5'號4'為例，做出一個數列的圖象），所得的數列的圖形是一群孤立的點，因為橫坐

標為正整數，所以這些點都在丁軸的右側，而點的個數取決于數列的項數.從圖象中可以

直觀地看到數列的項隨項數由小到大變化而變化的趨勢.

3、遞推公式法

知識都來源于實踐，最后還要應用于生活用其來解決一些實際問題.

觀察鋼管堆放示意圖，尋其規律，建立數學模型.

模型一：自上而下：蠹

第1層鋼管數為4；即：1-4=1+3

第2層鋼管數為5；即：2-5=2+3

第3層鋼管數為6；即：3-6=3+3

第4層鋼管數為7；即：4?7=4+3

第5層鋼管數為8；即：5―8=5+3

第6層鋼管數為9；即：6。9=6+3

第7層鋼管數為10；即：7c10=7+3

若用%表示鋼管數，n表示層數，則可得出每一層的鋼管數為一數列，且4=〃+3（lWnW

7）運用每一層的鋼筋數與其層數之間的對應規律建立了數列模型，運用這一關系，會很快

捷地求出每一層的鋼管數.這會給我們的統計與計算帶來很多方便。

讓同學們繼續看此圖片，是否還有其他規律可循（啟發學生尋找規律）

模型二：上下層之間的關系

自上而下每一層的鋼管數都比上一層鋼管數多lo

即以］=4；a2=5=4+1=tz,+1；%=6=5+1=々+1

依此類推：a,,=an_t+1（2WnW7）

對于上述所求關系，若知其第1項，即可求出其他項，看來，這一關系也較為重要。

定義：

遞推公式：如果已知數列｛%｝的第1項（或前幾項），且任一項凡與它的前一項a,-（或前

n項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式

遞推公式也是給出數列的一種方法。

如下數字排列的一個數列：3,5,8,13,21,34,55,89

遞推公式為：卬=3,4=5,4”=a,i+a?_2(3<n<8)

數列可看作特殊的函數，其表示也應與函數的表示法有聯系，首先請學生回憶函數的表示

法：列表法，圖象法，解析式法.相對于列表法表示一個函數，數列有這樣的表示法：用

的表示第一項，用%表示第一項，……,用即表示第％項，依次寫出成為

4、列表法

旬,町,。3,…，即，….簡記為｛%｝.

［范例講解］

q=1

例3設數列｛/｝滿足,I,八寫出這個數列的前五項。

解：分析：題中已給出｛凡｝的第1項即/=1,遞推公式：+—

11o15X

解：據題意可知：a1=l,a,=lH=2,a3=1H——,a4=14=—,a5—

?,"a23tz335

［補充例題］

例4已知q=2,all+］=2an寫出前5項，并猜想明.

223

法一：卬=2〃2=2X2=2=2x2=2,觀察可得an-2"

法二：由a.+|=即巴」=2

an—q?2"T=2"

HL課堂練習：課本P36練習2

[補充練習]

1.根據各個數列的首項和遞推公式，寫出它的前五項，并歸納出通項公式

(1)a]=0,an+l=an+(2n—1)(n￡N)；

(2)a}=1,an+l=-(neN)；

a,,+2

(3)a{=3,an+[=3a?—2(nGN).

2

解：(1)4=0,a2=1,%=4,a4=9,a5=16,an=(n—1);

2

(3)a1=3=l+2x3°,a2=7=l+2x3',a3=19=l+2x3,

4=55=1+2x3、%=163=1+2x3。，%=1+2?3”、

W.課時小結：本節課學習了以下內容：1.遞推公式及其用法；2.通項公式反映的是項與

項數之間的關系，而遞推公式反映的是相鄰兩項(或n項)之間的關系.3.an的定義

及與n之間的關系

V.課后作業：習題組的第4、6題作業：P9第4題

四、教后反思:

第四課時§等差數列（一）

一、教學目標

1.知識與技能:通過實例，理解等差數列的概念；探索并掌握等差數列的通項公式；能在

具體的問題情境中，發現數列的等差關系并能用有關知識解決相應的問題；體會等差數列

與一次函數的關系。

2.過程與方法:讓學生對日常生活中實際問題分析，引導學生通過觀察，推導，歸納抽象

出等差數列的概念；由學生建立等差數列模型用相關知識解決一些簡單的問題，進行等差

數列通項公式應用的實踐操作并在操作過程中，通過類比函數概念、性質、表達式得到對

等差數列相應問題的研究。

3.情態與價值:培養學生觀察、歸納的能力，培養學生的應用意識。

二、教學重點：理解等差數列的概念及其性質，探索并掌握等差數列的通項公式；會用公

式解決一些簡單的問題，體會等差數列與一次函數之間的聯系。

教學難點：概括通項公式推導過程中體現出的數學思想方法。

三、學法：引導學生首先從四個現實問題（數數問題、座位問題、鞋號問題、儲蓄問題）

概括出數組特點并抽象出等差數列的概念；接著就等差數列的特點，推導出等差數列的通

項公式；可以用多種方法對等差數列的通項公式進行推導。

四、教學過程

（一）、創設情景

上節課我們學習了數列。在日常生活中，人口增長、鞋號問題、教育貸款、存款利息

等等這些大家以后會接觸得比較多的實際計算問題，都需要用到有關數列的知識來解決。

今天我們就先學習一類特殊的數列。

（二）新知探究

（I）、引導觀察數列：0,5,10,15,20,……①；48,53,58,63②

18,,13,,8,③；10072,10144,10216,10288,10360④

看這些數列有什么共同特點呢（由學生討論、分析）

引導學生觀察相鄰兩項間的關系，得到：對于數列①，從第2項起，每一項與前一項的差

都等于5；對于數列②，從第2項起，每一項與前一項的差都等于5；對于數列③,

從第2項起，每一項與前一項的差都等于；對于數列④，從第2項起，每一項與前一

項的差都等于72；

由學生歸納和概括出，以上四個數列從第2項起，每一項與前一項的差都等于同一個常

數（即：每個都具有相鄰兩項差為同一個常數的特點）。

等差數列的概念:對于以上幾組數列我們稱它們為等差數列。請同學們根據我們剛才分析等

差數列的特征，嘗試著給等差數列下個定義：

等差數列：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數,

那么這個數列就叫做等差數列。

這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示。那么對于以上四組等差數列，它

們的公差依次是5,5,,72o

（II）、得出等差數列的定義：注意：從第二項起，后一項減去前一項的差等于同一個常數。

1.名稱：等差數列，首項（4）,公差（”）；2.若d=°則該數列為常數列；

3.尋求等差數列的通項公式：

由此歸納為%=4+（”1）”當〃=1時卬=卬（成立）

注意：1等差數列的通項公式是關于〃的一次函數；2如果通項公式是關于〃的一次函

數，則該數列成等差數列；

證明：若％=A〃+B=A（"-1）+A+B=（A+B）+（〃_1）A它是以A+8為首項，A為公

差的AP。

3公式中若4>0則數列遞增，d<0則數列遞減；

4圖象：一條直線上的一群孤立點得出通項公式：

以％為首項，d為公差的等差數列必"｝的通項公式為：=a,+（〃—D"；知等差數列

的首項為和公差d,那么這個等差數列的通項《，就可以表示。

選講：除此之外，還可以用迭加法和迭代法推導等差數列的通項公式：

（迭加法）：⑸｝是等差數列，所以4—h=乙

兩邊分別相加得所以an=al+（n-l）d

（迭代法）：伍"是等差數列，則有:

4=一］cl—。“_2+d+d=-2+2d—3+。+2d—。“_3+3d...=q+(〃—V)d

所以a〃=q+（〃-l）d

（三）、例題講解：注意在4=%+（"-1〃中〃，“"，卬，d四數中已知三個可以求出另

一個。

例1、（課本）判斷下面數列是否為等差數列.例2、已知數列首項與公差,求通項公式.

例3、（此題可以看成應用題）已知數列的其中幾項，求其余各項

例4、已知數列其中兩項,求通項公式.

a—+_b___

關于等差中項：如果兄4力成AP則—2

證明：設公差為〃，則人=。+4b=a+2d

a+b。+。+2d,

------=--------------=a+d=A

22

例5、在1與7之間順次插入三個數必40使這五個數成等差數列，求此數列。

解一：?--l,a,b,c,7hXAP二6是-1與7的等差中項

什士Z=3

2“又是-1與3的等差中項2

c*=5

c又是1與7的等差中項2

解二：設4=-1%=7...7=-1+(5-1)1=1=2

，所求的數列為T,1,3,5,7

例6、已知是等差數列圖像上的兩點.求這個數列的通項公式；

畫出這個數列的圖像;判斷這個數列的單調性.（解略）

例7、一個木制梯形架的上、下兩底邊分別為33,75,把梯形的兩腰各6等分，用平行木

條連接各對應分點，構成梯形架的各級，試計算梯形架中間各級的寬度。

分析：記梯形架自上而下各級寬度所構成的數列為，則由梯形中位線的性質，易知每相鄰

三項均成等差數列，從而成等差數列。解略

（五）、小結：等差數列的定義、通項公式、等差中項

（六）、練習：P13練習1、2、3

（七）、作業：習題1——2A組5、6、7

五、教后反思：

第五課時§

一、教學目標

1、知識與技能：（1）明確等差中項的概念；（2）進一步熟練掌握等差數列的通項公式及推

導公式，能通過通項公式與圖象認識等差數列的性質；（3）能用圖象與通項公式的關系解

決某些問題。

2、過程與方法：（1）通過等差數列的圖象的應用，進一步滲透數形結合思想、函數思想；

通過等差數列通項公式的運用，滲透方程思想；（2）發揮學生的主體作用，講練相結合，

作好探究性學習；（3）理論聯系實際，激發學生的學習積極性。

3、情感態度與價值觀（1）通過對等差數列的研究，使學生明確等差數列與一般數列的內

在聯系，從而滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點；（2）通過體驗等差數列的性質的奧秘,

激發學生的學習興趣。

二、教學重點等差數列的定義、通項公式、性質的理解與應用。

教學難點等差數列的性質的應用、靈活應用等差數列的定義及性質解決一些相關問

題。

三、教學方法：探究歸納，講練結合

四、教學過程

（一）、導入新課

師同學們，上一節課我們學習了等差數列的定義，等差數列的通項公式，哪位同學能回憶

一下什么樣的數列叫等差數列

生我回答，一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數，

即a“-a,T=d（〃22,nGN*）,這個數列就叫做等差數列，這個常數就叫做等差數列的公差（通

常用字母“d”表示

師對，我再找同學說一說等差數列｛4｝的通項公式的內容是什么

生1等差數列｛4｝的通項公式應是a尸&+（止1）d

生2等差數列｛4｝還有兩種通項公式：&=&,+（/r-ffl）d或amp/qlp、q是常數

師好！剛才兩位同學說得很好，由上面的兩個公式我們還可以得到下面幾種計算公差d的

公式：①畫agg；②幺；③d=&二%.你能理解與記憶它們嗎

n-\n-m

生3公式②d=4二色與③］：組二以記憶規律是項的值的差比上項數之間的差（下標之

n—1n—m

差

［合作探究］探究內容：如果我們在數a與數8中間插入一個數兒使三個數a,b成

等差數列，那么數/應滿足什么樣的條件呢

師本題在這里要求的是什么

生當然是要用a,8來表示數4

師對，但你能根據什么知識求如何求誰能回答

生由定義可得力-年64即4=3幼

2

反之，若A=3把，則力-于64

2

由此可以得A=色吆。a,46成等差數列

2

（二）、推進新課

我們來給出等差中項的概念：若a,A,，成等差數列，那么/叫做a與6的等差中項

根據我們前面的探究不難發現，在一個等差數列中，從第2項起，每一項（有窮數列的末項

除外）都是它的前一項與后一項的等差中項

如數列：1,3,5,7,9,11,13…中5是3與7的等差中項，也是1和9的等差中項

9是7和11的等差中項，也是5和13的等差中項

［方法引導］等差中項及其應用問題的解法關鍵在于抓住a,A,6成等差數列2A=a+b,

以促成將等差數列轉化為目標量間的等量關系或直接由a,A,8間的關系證得a,A,8成

等差數列

［合作探究］

師在等差數列｛4｝中，d為公差，若以n,p,qGN且方產Fq，那么這些項與項之間有何種

等量關系呢

生我得到了一種關系為+a尸a〃+a“

師能把你的發現過程說一下嗎

生受等差中項的啟發，我發現a2+&=a+a5,ai+a6=a：；+a7

從而可得在一等差數列中，若研ZF/7+q,則&+a=%+/

師你所得的這關系是歸納出來的，歸納有利于發現，這很好，但歸納不能算是證明！我們

是否可以對這歸納的結論加以證明呢

生我能給出證明，只要運用通項公式加以轉化即可.設首項為a，則

a計aka計(nr1)cha\+(/7-1)d=2a、+(/n-公d

{

ap+a1,=ai+(/?-l)o=2a1+(/rt-?-2)d

因為我們有研爐加q,所以上面兩式的右邊相等，所以為,+4=%+/

師好極了！由此我們的一個重要結論得到了證明：在等差數列｛a｝的各項中，與首末兩項

等距離的兩項的和等于首末兩項的和.另外，在等差數列中，若研爐加q,則上面兩式的右

邊相等，所以%+%

同樣地，我們還有：若研爐2口則a/a〃=2az，這也是等差中項的內容

師注意：由a+a,尸劣+為推不出研小加q,同學們可舉例說明嗎

生我舉常數列就可以說明了

師舉得好!這說明在等差數列中，a+a產品+%是研小W成立的必要不充分條件.

［例題剖析］

【例1】在等差數列｛4｝中，若&+a=9,&=7,求其”國

師在等差數列中通常如何求一個數列的某項

生1在通常情況下是先求其通項公式，再根據通項公式來求這一項

生2而要求通項公式，必須知道這個數列中的至少一項和公差，或者知道這個數列的任意

兩項（知道任意兩項就知道公差，這在前面已研究過了

生3本題中，只已知一項和另一個雙項關系式，想到從這雙項關系式入手

師好，我們下面來解，請一個同學來解一解，誰來解

生4因為｛4｝是等差數列，所以旬+備=國+@333=9-^=9-

所以可得d=a-ai=7-

又因為a=國+（9-4）0fc7+5X5=32,所以我們求出了&=2,西

【例2］（課本例2）某市出租車的計價標準為元/煬,起步價為10元，即最初的4千米（不

含4千米）計費10元.如果某人乘坐該市的出租車去往14癡處的目的地，且一路暢通，等

候時間為0,需要支付多少元的車費

師本題是一道實際應用題，它所涉及到的是什么知識方面的數學問題

生這個實際應用題可化歸為等差數列問題來解決

師為什么

生根據題意，當該市出租車的行程大于或等于4版時，每增加1km,乘客需要支付元.

所以，我們可以建立一個等差數列來進行計算車費

師這個等差數列的首項和公差分別是多少

生分別是，

師好，大家計算一下本題的結果是多少

生需要支付車費元

（教師按課本例題的解答示范格式

評述：本例是等差數列用于解決實際問題的一個簡單應用，做此題的目的是讓大家學會從

實際問題中抽象出等差數列的模型，用等差數列知識解決實際問題

(三)、課堂練習

1.在等差數列｛aj中，⑴若a5=a,aio=6,求45

解：由等差數列EJ知2&()=&+&5,即2爐a+&5,所以aiS=2b-a

(2)若ai+a^/n,求a5+a6

解：等差數列｛2｝中，懸+a=a+。8=卬

⑶若25=6,續=15,求al4

解：由等差數列⑸得如a+(8-5)d即15=6+34所以d從而

ai4=a5+(14-5)d

(4)已知al+a2+---+a5=30,桀+且7+…+&()=80,求au+a^…+且屹的值

解：等差數列｛2｝中，因為

所以2a6=ai+a“，2a7=az+ai2從而(a“+ai2+*“+ai5)+(ai+a?+???+a5)=2(a+a7+???+aio

因此有(a“+&2+…+&5)=2(a+a:+…+句0)-3+必+…+。5)=2X80-

2.讓學生完成課本練習2、3、4。教師對學生的完成情況作出小結與評價。

［方法引導］此類問題的解題的關鍵在于靈活地運用等差數列的性質，因此，首先要熟練

掌握等差數列的性質，其次要注意各基本量之間的關系及其它們的取值范圍

(四)、課堂小結

師通過今天的學習，你學到了什么知識有何體會

生通過今天的學習，明確等差中項的概念;進一步熟練掌握等差數列的通項公式及其性質.

（讓學生自己來總結，將所學的知識，結合獲取知識的過程與方法，進行回顧與反思，從而

達到三維目標的整合，培養學生的概括能力和語言表達能力

（五）、布置作業課本習題1-2A組9,B組1

預習內容：課本下節內容；預習提綱：①等差數列的前〃項和公式；②等差數列前〃項和

的簡單應用。

五、教后反思：

第六課時§等差數列的前n項和（一）

一、教學目標：1、知識與技能：掌握等差數列前〃項和公式及其獲取思路；會用等差數列

的前〃項和公式解決一些簡單的與前〃項和有關的問題。2、過程與方法：通過公式的推導

和公式的運用，使學生體會從特殊到一般，再從一般到特殊的思維規律，初步形成認識問

題、解決問題的一般思路和方法；通過公式推導的過程教學，對學生進行思維靈活性與廣

闊性的訓練，發展學生的思維水平。3、情感態度與價值觀：通過公式的推導過程，展現數

學中的對稱美，通過生動具體的現實問題，令人著迷的數學史，激發學生探究的興趣，樹

立學生求真的勇氣和自信心，增強學生學好數學的心理體驗，產生熱愛數學的情感。

二、教學重點等差數列的前〃項和公式的理解、推導及應用。

教學難點靈活應用等差數列前n項和公式解決一些簡單的有關問題。

三、教學方法：探究歸納，講練結合

四、教學過程

導入新課

教師出示投影膠片1:

印度泰姬陵ajMahal）是世界七大建筑奇跡之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印

度古代建筑史上的經典之作，這個古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑風格，是

印度伊斯蘭教文化的象征陵寢以寶石鑲飾，圖案之細致令人叫絕.傳說當時陵寢中有一

個等邊三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層（如下圖），奢華之程度，

可見一斑.你知道這個圖案中一共有多少顆寶石嗎（這問題賦予了課堂人文歷史的氣息，縮

短了數學與現實之間的距離，引領學生步入探討高斯算法的階段）

生只要計算出1+2+3+-+100的結果就是這些寶石的總數

師對，問題轉化為求這100個數的和.怎樣求這100個數的和呢這里還有一段故事

教師出示投影膠片2：

高斯是偉大的數學家、天文學家，高斯十歲時，有一次老師出了一道題目，老師說：

“現在給大家出道題目：過了兩分鐘，正當大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…

算得不亦樂乎時，高斯站起來回答說：

教師問：“你是如何算出答案的

高斯回答說：因為1+100=101；2+99=101；…；50+51=101,所以101X50=5050.

師這個故事告訴我們什么信息高斯是采用了什么方法來巧妙地計算出來的呢

生高斯用的是首尾配對相加的方法.也就是：1+100=2+99=3+98=“=50+51=101,有50個

101,所以

師對，高斯算法的高明之處在于他發現這100個數可以分為50組，第一個數與最后一個

數一組，第二個數與倒數第二個數一組，第三個數與倒數第三個數一組，…，每組數的和

均相等，都等于101,50個101就等于5050了高斯算法將加法問題轉化為乘法運算，

迅速準確得到了結果。作為數學王子的高斯從小就善于觀察，敢于思考，所以他能從一些

簡單的事物中發現和尋找出某些規律性的東西

師問：數列1,2,3,…，100是什么數列而求這一百個數的和1+2+3+…+100相當于什么

生這個數列是等差數列，1+2+3+…+100這個式子實質上是求這數列的前100項的和.

師對，這節課我們就來研究等差數列的前〃項的和的問題

（二”推進新課［合作探究］

師我們再回到前面的印度泰姬陵的陵寢中的等邊三角形圖案中，在圖中我們取下第1層到

第21層，得到右圖，則圖中第1層到第21層一共有多少顆寶石呢

生這是求“1+2+3+…+21”奇數個項的和的問題，高斯的方法不能用了.要是偶數項的數求

和就好首尾配成對了

師高斯的這種“首尾配對”的算法還得分奇、偶個項的情況求和，適用于偶數個項，我們

是否有簡單的方法來解決這個問題呢

生有!我用幾何的方法，將這個全等三角形倒置，與原圖補成平行四邊形.平行四邊形中的

每行寶石的個數均為22個，共21行.則三角形中的寶石個數就是色21-21

2

師妙得很!這種方法不需分奇、偶個項的情況就可以求和，真是太好了！我將他的幾何法寫

成式子就是：1+2+3+…+21,21+20+19+…+1,對齊相加（其中下第二行的式子與

第一行的式子恰好是倒序這實質上就是我們數學中一種求和的重要方法一一“倒序相

加法

現在我將求和問題一般化：（1）求1到n的正整數之和，即求1+2+3+…+（廳1）+〃.（注：這

問題在前面思路的引導下可由學生輕松解決如何求等差數列｛a｝的前〃項的和S?

生1對于問題（2）,我這樣來求：因為S尸5?=3?+3?-1+-+a2+a）,再將兩

式相加，因為有等差數列的通項的性質：若研爐。則&,+a=%+&,所以

S/（.+?〃）（（

"-2

生2對于問題（2）,我是這樣來求的：因為S尸ai+（a[+4+3+2由+3+3中+…+

[a+（zrl）Xd],

所以S〃=z?a+[1+2+3+…+（/rT）]d=nat+^^—―d即S“=z?a+M^—―d.（II

22

[教師精講]兩位同學的推導過程都很精彩，一位同學是用“倒序相加法”，后一位同

學用的是基本量來轉化為用我們前面求得的結論，并且我們得到了等差數列前〃項求和的

兩種不同的公式.這兩種求和公式都很重要,都稱為等差數列的前n項和公式.其中公式（I）

是基本的，我們可以發現，它可與梯形面積公式（上底+下底）X高+2相類比，這里的上底

是等差數列的首項4，下底是第n項2,高是項數n,有利于我們的記憶

［方法引導］師如果已知等差數列的首項國，項數為〃，第A項為4,則求這數列的前〃

項和用公式(I)來進行，若已知首項a,項數為〃，公差"，則求這數列的前〃項和用公式

(H)來進行

引導學生總結：這些公式中出現了幾個量

生每個公式中都是5個量

師如果我們用方程思想去看這兩個求和公式，你會有何種想法

生已知其中的三個變量，可利用構造方程或方程組求另外兩個變量(知三求二

師當公差扶。時，等差數列｛%｝的前〃項和S“可表示為n的不含常數項的二次函數，且

這二次函數的二次項系數的2倍就是公差

［知識應用］【例1】(直接代公式)計算：

(D1+2+3+…+〃；(2)1+3+5+…+(2/7-1)；(3)2+4+6+…+2〃；

(4)1-2+3-4+5-6+-+(2/r-l)-2/2

(讓學生迅速熟悉公式，即用基本量觀點認識公式)請同學們先完成⑴?(3),并請一位同

學回答

生(1)1+2+3+…+爐?+1)；(2)1+3+5+…+(2個1)=+=n；

22

⑶2+4+6+…+2小〃⑵"2)

2

師第(4)小題數列共有幾項是否為等差數列能否直接運用S“公式求解若不能，那應如何解

答(小組討論后，讓學生發言解答

生(4)中的數列共有2〃項，不是等差數列，但把正項和負項分開，可看成兩個等差數列，

所以原式=[1+3+5+…+(2zrl)]-(2+4+6+…+2〃)=//-〃(Z;+1)=-A

生上題雖然不是等差數列，但有一個規律，兩項結合都為T,故可得另一解法：原式

=(-1)+(-1)+(-1)+…+(T)=-77

師很好！在解題時我們應仔細觀察，尋找規律，往往會尋找到好的方法.注意在運用求和

公式時，要看清等差數列的項數，否則會引起錯解

【例2】(課本例分析：這是一道實際應用題目，同學們先認真閱讀此題，理解題意.

你能發現其中的一些有用信息嗎

生由題意我發現了等差數列的模型，這個等差數列的首項是500,記為公差為50,記

為d,而從2001年到2010年應為十年，所以這個等差數列的項數為10.再用公式就可以算

出來了

師這位同學說得很對，下面我們來完成此題的解答.(按課本解答示范格式

【例3】(課本例2)已知一個等差數列的前10項的和是310,前20項的和是1220,由此

可以確定求其前〃項和的公式嗎分析：若要確定其前〃項求和公式，則必須確定什么

生必須要確定首項a與公差d

師首項與公差現在都未知，那么應如何來確定

生由已知條件，我們已知了這個等差數列中的S?,與于是可從中獲得兩個關于國和d

的關系式，組成方程組便可從中求得解答見課本

師通過上面例題3我們發現了在以上兩個公式中，有5個變量.已知三個變量，可利用構

造方程或方程組求另外兩個變量(知三求二).運用方程思想來解決問題

［合作探究］師請同學們閱讀課本例3,閱讀后我們來互相進行交流給出一定的時間

讓學生對本題加以理解

師本題是給出了一個數列的前〃項和的式子，來判斷它是否是等差數列.解題的出發點是

什么

生從所給的和的公式出發去求出通項

師對的，通項與前〃項的和公式有何種關系生當爐1時,a尸S”而當〃>1時，a〃=S〃-Sg

師回答的真好！由S”的定義可知，當爐1時,S尸a；當心2時，A=S“-SE即a“=SG

S?-S小(〃22).這種已知數列的S,,來確定數列通項的方法對任意數列都是可行的.本題用這

方法求出的通項4=2廳1，我們從中知它是等差數列，這時當小1也是滿足的，但是不是

2

所有已知S.求為的問題都能使爐1時，a戶S.-Sz滿足呢請同學們再來探究一下課本第51

頁的探究問題

生1這題中當n=\時，Si=a產加如r；當時，a,=S?-S,rl=2pn-p^-q,由nrl代入的結果

為p^q,要使n=l時也適合，必須有r

生2當尸0時，這個數列是等差數列，當r#0時，這個數列不是等差數列

生3這里的0工0也是必要的，若葉0,則當〃22時，a=S?-S柿=如八則變為常數列了，

rWO也還是等差數列

師如果一個數列的前〃項和公式是常數項為0,且是關于〃的二次型函數，則這個數列一

定是等差數列，從而使我們能從數列的前A項和公式的結構特征上來認識等差數列.實質上

等差數列的兩個求和公式中皆無常數項

(三)、課堂練習：等差數列-10,-6,-2,2,…前多少項的和是54

(學生板演解：設題中的等差數列為{4},前〃項和為S,,則

^1=-10,(1=■(~6)~(-10)=4,S〃

由公式可得TO加迎二2解之,得外=9,色=-3(舍去所以等差數列TO,-6,-2,

2

2…前9項的和是教師對學生的解答給出評價

(四)、課堂小結：師同學們，本節課我們學習了哪些數學內容

生①等差數列的前n項和公式1：$出*2②等差數列的前n項和公式2：

2

cn(n-i)d

S“=叫+--

師通過等差數列的前〃項和公式內容的學習，我們從中體會到哪些數學的思想方法

生①通過等差數列的前n項和公式的推導我們了解了數學中一種求和的重要方法

-“倒序相加法”。②“知三求二”的方程思想，即已知其中的三個變量，可利用構造

方程或方程組求另外兩個變量

師本節課我們通過探究還得到了等差數列的性質中的什么內容

生如果一個數列的前〃項和公式中的常數項為0,且是關于A的二次型函數，則這個數列

一定是等差數列，否則這個數列就不是等差數列，從而使我們能從數列的前〃項和公式的

結構特征上來認識等差數列

（五）、布置作業：課本習題廠2A組11、12、13B組3

五、教學反思：

第七課時§

一、教學目標

1、知識與技能：（1）進一步熟練掌握等差數列的通項公式和前〃項和公式；（2）了解等差

數列的一些性質，并會用它們解決一些相關問題；（3）會利用等差數列通項公式與前〃項

和的公式研究S”的最值。2、過程與方法：（1）經歷公式應用的過程，形成認識問題、解決

問題的一般思路和方法；（2）學會其常用的數學方法和體現出的數學思想，促進學生的思

維水平的發展。3、情感態度與價值觀：通過有關內容在實際生活中的應用，使學生再一次

感受數學源于生活，又服務于生活的實用性，引導學生要善于觀察生活，從生活中發現問

題，并數學地解決問題。

二、教學重點熟練掌握等差數列的求和公式教學難點靈活應用求和公式解決問題

三、教學方法：探究歸納，講練結合

四、教學過