數學選修2-2知識點總結

一、導數

1,函數的平均變化率為包="=/(々)7(項)=心+醺)7區)

AxAxx2-%1Ax

注1：其中Ax是自變量的改變量，可正，可負，可零。

注2：函數的平均變化率可以看作是物體運動的壬均速度。

2、導函數的概念：函數y=/(x)在x=x。處的瞬時變化率是lim包=lim?仝匕&2,那

Av->oAXAX->OAx

么稱函數y=/(x)在點x。處可導，并把這個極限叫做y=/(x)在/處的導數，記作/(x0)或

即/'(x0)=lim絲=lim/。+3一〃%).

y|*=而

&；TOAXAXTOAX

3.函數的平均變化率的幾何意義是割線的斜率;

函數的導數的幾何意義是切線的斜率。

4導數的背景(1)切線的斜率；(2)瞬時速度;

5、常見的函數導數

函數導函數

y=cy=0

n

y=xN*)y=nxrl~l

y-ax(a>O,awl)y=axIna

y=exy

1

y=log“x(a>O,awl,x>O)y

x\na

__1_

y=\nxy

X

y=sinxy=cosx

y=cosxy=-sinx

6、常見的導數和定積分運算公式:假設“X),g(x)均可導(可積)，那么有:

和差的導數運算[/(X)±g(x)]=/(X)±g(X)

[/(x)-g(x)]=/(x)g(x)±/(x)g(X)

積的導數運算

特別地：\Cf(x)]=Cf'(x)

3=/'(x)g(x)一“x)g(x)(g(x)00)

商的導數運算

特別地：一二’=用斗

I_g(x)」g-(x)

復合函數的導數=城?%'

f/(加=

微積分根本定理

(其中尸(X)=/(%))

fbe>b(*b

J,"(x)土&(%)心=(x)dx±

和差的積分運算

蛀叫的fgXx)公=M"/(x)公/為常數)

特別地：J"J"

積分的區間可加性ff(x)dx=[f(x)dx+f/(x)公(其中a<c<b)

JaJaJc

用導數求函數單調區間的步驟:

①求函數./U)的導數/'(X)

②令廣(幻>0,解不等式，得x的范圍就是遞增區間.

③令/(x)<0,解不等式，得x的范圍，就是遞減區間；

［注］:求單調區間之前一定要先看原函數的定義域。

7.求可導函數?r)的極值的步驟：

(1)確定函數的定義域。

(2)求函數/U)的導數/(x)

(3)求方程1(x)=0的根

(4)用函數的導數為0的點，順次將函數的定義區間分成假設干小開區間，并列成表格,

檢查/”(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么./U)在這個根處取得極大值；如

果左負右正，那么/U)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么*x)在這個根處

無極值

8.利用導數求函數的最值的步驟:求/(x)在［a,"上的最大值與最小值的步驟如下：

⑴求/(x)在［a,句上的極值；

⑵將/(幻的各極值與/(a),/S)比擬，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。

［注］:實際問題的開區間唯一極值點就是所求的最值點；

9.求曲邊梯形的思想和步驟:伊副f|近似代替麗.I取極限|［"以直代曲”的思想)

10.定積分的性質

根據定積分的定義，不難得出定積分的如下性質：

性質1['ldx=b-a

Jci

性質5假設/(x)NO,x&\a,b\,那么J/(x)dxNO

①推廣：J："(x)土人(x)±…±(x)M=￡ft(x)dx±J：6(x)公±…±J：/?(%)

②推廣：I*f{x}dx=f'f(x)dx+f2f{x}dx-\---F(f{x)dx

JaJaJc\Jck

11定積分的取值情況:定積分的值可能取正值，也可能取

負值，還可能是0.

(1)當對應的曲邊梯形位于X軸上方時，定積分的

值取正值,且等于X軸上方的圖形面積;

(2)當對應的曲邊梯形位于x軸下方時，定積分的

值取負值,且等于x軸上方圖形面積的相反數;

(3)當位于x軸上方的曲邊梯形面積等于位于x

軸下方的曲邊梯形面積時，定積分的值為。，且等于x軸

上方圖形的面積減去下方的圖形的面積.

12.物理中常用的微積分知識(1)位移的導數為速度,

速度的導數為加速度。(2)力的積分為功。

二、推理與證明知識點

13.歸納推理的定義：

從個別事實中推演出二然性的結論，像這樣的推理通常稱為歸

納推理。

歸納推理是由局部到整體，由個別到一般的推理。

14.歸納推理的思維過程大致如圖：

實驗、觀察-------*概括、推廣-------A猜測一般性結論

15.歸納推理的特點：

①歸納推理的前提是幾個的特殊現象，歸納所得的結論是尚屬未知的一般現象。

②由歸納推理得到的結論具有猜測的性質，結論是否真實，還需經過邏輯證明和實驗檢驗,

因此，它不能作為數學證明的工具。

③歸納推理是一種具有創造性的推理，通過歸納推理的猜測，可以作為進一步研究的起點，

幫助人們發現問題和提出問題。

16.類比推理的定義：

根據兩個(或兩類〕對象之間在某些方面的相似或一樣，推演出它們在其他方面也相似或

一樣，這樣的推理稱為類比推理。類比推理是由特?穌?到特?殊?的推理。

17.類比推理的思維過程

觀察、比擬聯想、類推推測新的結論

18.演繹推理的定義:

演繹推理是根據已有的事實和正確的結論(包括定義、公理、定理等)按照嚴格的邏輯法

那么得到新結論的推理過程。演繹推理是由一般到特殊的推理。

????

19.演繹推理的主要形式：三段論

20.“三段論”可以表示為：①大前題：M是P②小前提：S是M③結論：S是P。

其中①是大前提，它提供了一個一般性的原理；②是小前提，它指出了一個特殊對象;

③是結論，它是根據一般性原理，對特殊情況做出的判斷。

21.直接證明是從命題的條件或結論出發，根據的定義、公理、定理，直接推證結論的真實

性。直接證明包括綜合法和分析法。

22.綜合法就是“由因導果”，從條件出發，不斷用必要條件代替前面的條件，直至推出要

證的結論。

23.分析法就是從所要證明的結論出發，不斷地用充分條件替換前面的條件或者一定成立的

式子，可稱為“由果索因〃。

要注意表達的形式：要證A,只要證8應是A成立的充分條件.分析法和綜合法常結合

使用，不要將它們割裂開。

24反證法：是指從否認的結論出發，經過邏輯推理，導出矛盾，證實結論的否認是錯誤的，

從而肯定原結論是正確的證明方法。

25.反證法的一般步驟

(1)假設命題結論不成立，即假設結論的反面成立；

(2)從假設出發，經過推理論證，得出矛盾；

(3)從矛盾判定假設不亞硬，即所求證命題正確。

26常見的“結論詞”與“反義詞”

原結論詞反義詞原結論詞反義詞

至少有一個一個也沒有對所有的X都成立存在X使不成立

至多有一個至少有兩個對任意X不成立存在X使成立

至少有〃個至多有D-1個p或夕―P且—\(J

至多有〃個至少有n+1個p且q-\p或~

27.反證法的思維方法:正難那么反

28.歸繆矛盾

U)與條件矛盾:

(2)與已有公理、定理、定義矛盾:

(3)目相矛盾.

29.數學歸納法(只能證明與無顰數有關的數學命題)的步驟

⑴證明：當“取生全值名(/eN*)時命題成立；

⑵假設當n=k(攵CN*,且后〃0)時命題成立，證明當n=k+l時命題也成立.

由(1),(2)可知，命題對于從處開場的所有正整數〃都正確

.［注］:常用于證明不完全歸納法推測所得命題的正確性的證明。

三、數系的擴大和復數的概念知識點

30.復數的概念：形如里?區的數叫做復數，其中i叫虛數單位，〃叫實部，b叫虛部，數集

C={a+bi|a,beR}叫做復數集。

規定：a+bi=c+di<c?a=cb=d.

強調：兩復數不能比擬大小，只有相等或不相等。

實數S=O)

31.數集的關系：復數Z,一般虛數(aw0)

虛數(匕片0〉

純虛數(“=())

32.復數的幾何意義：復數與平面內的點或有序實數對一一對應。

33.復平面：根據復數相等的定義，任何一個復數2=。+初，都可以由一個有序實數對(。