期中填選精選50題（壓軸版）

一、單選題

1.（2019?海門中南東洲國際學校）如圖，在等腰△山?仲，44。=90',AC=8,F是AB

邊上的中點，點〃、￡分別在月C比邊上運動，且保持AO=CE：連接〃區DF、EF在此運動變

化的過程中，下列結論；（D△。即是等腰直角三角形；（2）四邊形麗不可能為正方形，（3）

。七長度的最小值為4：（4）連接陰。恰好把四邊形CDFE的面積分成1：2兩部分，則CE=

;或與其中正確的結論個數是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【分析】連接CF,證明△ADFgZXCEF,根據全等三角形的性質判斷①，根據正方形的判定

定理判斷②，根據勾股定理判斷③，根據面積判斷④.

【詳解】

連接C3

?「△ABC是等腰直角三角形，

AZFCB=ZA=45,CF=AF=FE；

VAD=CE,

/.△ADF^ACEF(SAS)；

???EF=DF,ZCFE=ZAFD；

VZAED+ZCED=90°,

，NCFE*NCFD=NEFD=90c,

XVEF=DF

???△EDF是等腰直角三角形（故（1）正確）.

當D.E分別為AC、BC中點時，四邊形CDFE是正方形（故（2）錯誤）.

由于4DEF是等腰直角三角形，因此當DE最小時，DF也最小；

即當DF_LAC時,DE最小，此時OF=；BC=4.

DE=五DF=4x/2（故⑶錯誤）.

VAADF^ACEF,

SAI/SA呼

S樹邊租6F=SAAFC,

???O恰好把四邊形CDFE的面積分成1：2兩部分

*e?SAOF：SAO^I：2或S&CFF：S△OF=2:1

即SAATF：SAOF=I:2或SdMF：SA（?F=2:1

當SAMF：SAOF=1：2時，工SAMk［乂3乂8乂4=7

又SAU<=-x/ADx4-2AD

2

.,.2AD=^

3

???AD】（故⑷錯誤）.

故選：A.

【點睛】本題考查了全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理，掌握全等三角形，等

腰直角三角形，以及勾股定理是解題的關鍵.

2.（2019?連云港市新海實驗中學八年級期中）如圖，在“"8和AOC。中，

OA=OB,OC=OD,OA>OC./LAOB=ZCOD=40°,連接AC8。交于點例，連接0W.下列

結論：①AC=M>：②ZAA仍=40°：③0W平分4OC：④M。平分"MC.其中正確的

個數為（）.

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】根據題意逐個證明即可，①只要證明△AOC%8OZ)(S4S),即可證明人。

②利用三角形的外角性質即可證明：④作OGJLMC丁G,再證明

^OCG^ODH(AAS)即可證明MO平分/BMC.

【詳解】解：VZAOB=ZCOD=40Q,

，ZAOB+ZAOD=ZCOD+ZAOD,

即ZAOC=/BOD,

OA=OB

在△AOC和/OD中，NAOC=NBOD,

OC=OD

：.AAOC與BOD(SAS),

:"OCA=4)DB,AC=BD,①正確；

:.ZOAC=ZORD,

由三角形的外角性質得：乙曲出+ZOAC=AAOB+/OBD,

：,ZAMB=ZAOB=40,②正確：

作OG_LMC于G,0HlMB干H,如圖所示：

則NOGC=NO〃Z)=900,

"0CA=20DB

在AOCG和AODH中，＜Z.OGC=々OHD,

OC=OD

：.△OCGAODH(AAS),

：.OG=OH.

.??何0平分N8WC,④正確；

正確的個數有3個：

故選B.

【點睛】本題是一道幾何的綜合型題目，難度系數偏上，關鍵在于利用二角形的全等證明

來證明線段相等，角相等.

3.（2018?江蘇蘇州工業園區?八年級期中）如圖，點P、0分見是邊長為6cm的等邊

邊AB、BC上的動點,點尸從頂點A,點。從頂點8同時出發，且它們的速度都為lcm/s,下

面四個結論：①5Q=AW②△ABQ四△6"③"MQ的度數不變，始終等于60。④當第2秒或第

4秒時，△PAQ為直角三角形，正確的有（）個.

A

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】???點/＞、。速度相同，

.?.AP=BQ.

在△AC?和△A8。中，

AP=BQ

?ZCAP=ABQ=6OQ,

AC=BA

.??△ACP/ABAQ,故②止確.

則ZAQC=ZCPB.

即NB+ZBAQ=Z.BAQ+ZAMP.

ZWP=N4=6(F.

則NCMQ=4MP=6O°,故③正確.

ZAPM不一定等于60°.

:.AP^AM.

：.BQ^AM.故①錯誤.

設時間為&貝b儼=留=￡,PB=4-t

①當N”價90。時，

???/伍60°，

:.PFZBQ,得6一尸2L尸2；

②當N8〃09O°時，

???/廬60°,

:.BgBP,得Z=2（6-/）,b4：

.??當第2秒或第4秒時，△外。為直角三角形.

???④正確.

故選C.

點睛：本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質等知

識點，綜合性強，難度較大.

4.（2019?啟東市百杏中學八年級期中）如圖，己知點以C、贓同一條直線上，

C比都是等邊三角形.屈咬〃于凡/I竣療于則下列結論中錯誤的是（）

C.2X0名為等邊三角形D.FG//BC

【答案】B

試題解析：A.v△"（?和△CDE均為等邊三角形，

/.AC=BC,EC=DC,ZACB=4ECD=&T,

在ZMCD與小CE中，

AC=RC

{NACD=NBCE

CD=CF,

“ACD^ABCE,

.?.4）=8E，正確.

B.據已知不能推出廠是AC中點，即4c和A尸不垂直，所以AC_L8石錯誤，故本選項符合題

意.

CACFG是等邊三角形，理由如下：

ZACG=180°-60°-60°=60°=ZAJC4,

?;.ACgaBCE,

:.乙CBE=4CAD,

/CAG=/CBF

在AACG^IIABCF中，｛AC=BC

/BCF=NACG,

..△ACGABCF,

:.CG=CH,又???/ACG=60°

.?.△CF、G是等邊三角形，正確.

D.-.ACAG是等邊二角形，

ZCFG=60°=Z4Cfi,

.?/G|18c.正確.

故選B.

5.(2020?江蘇興化市?昭陽湖初中八年級期中)如圖，在&A6C中，點D是BC邊上一點，

已知/DAC=a,NDAB=9()。-],CE平分/ACB交AB于點E,連接DE,則/DEC的度數為

()

A.vB.C.30。-=D.450-a

322

【答案】B

【分析】過點E作EMIACFV,EN_LAD『N,EHIBCT-H，如圖，先計兜出NEAM,則

AE平分/MAD,根據角平分線的性質得EM=EN,再由CE平分/ACB得到EM=EH,則

EN=EH,于是根據角平分線定理的逆定理可判斷DE平分NADB,再根據三角形外角性質

解答即可.

【詳解】解：過點E作EM_LACfUENlADfN,EH_LBCfH,如圖，

?.?/DAC=a,^DAB=9O0--,

J0

NEAM=9O。，，

2

/.AE平分NMAD，

EM=EN,

?;CE平分NACB,

.?.EM=EH,

.?.EN=EH,

..DE平分NADB,

2

?.?由三角形外角可得：/l=ZDEC+/2,

N2」/ACB,

2

.?./1=/DEC+L/ACB,

2

而NADB="AC+/ACB,

z/DEC=-ZDAC=-a,

22

【點睛】本題考查了角平分線的性質和判定定理，三角形的外角性質定理，解決本題的關

鍵是運用角平分線定理的逆定理證明DE平分NADB.

6.（2020?江蘇省無錫市僑誼教育集團八年級期中）一次數學課.匕老師請同學們在一張

長為18厘米，寬為16厘米的矩形紙板上，剪下一個腰長為10厘米的等腰三角形，且要求等

腰三角形的一個頂點與矩形的一個頂點重合，其它兩個頂點在矩形的邊上，則剪下的等腰

三角形的面積為多少平方厘米（）

A.50B.50或40或20C.50或30或20D.50或40或30

【答案】D

【分析】分三種情況進行討論求解，①如圖（1），②如圖（2）,③如圖（3）,分別求得

三角形的面積.

【詳解】解：如圖四邊形A5C。是矩形，AO=l&m,4?=&加：

本題可分三種情況：

①如圖（1）:△/1￡/中，4?=八尸=10（7〃；

SMEF=]?4￡"。尸=5()cm2；

②如圖(2):A4G"中，AG=G，=iOa”；

在RtABGH中，HG=Afi-AG=i6-]0=6(7>I；

根據勾股定理有：*&初;

?.%a，=；AG.8H=?8xl0=40<*

③如圖(3)：AAMN中，AM=MV=10cm；

在RtADMN中，,MD=4D-AA/=18-10=Scm；

根據勾股定理有。\，=&7〃：

/.5MWV=；AM?DN=1x10x6=30cm'.

故選：D.

【點睛】本題主要考杳了等腰三角形的性質、矩形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵

在于能夠進行正確的討論.

7.（2020?南通市新橋中學）如圖，過邊長為1的等邊△ABC的邊AB上一點P,作PE

±AC于E,Q為BC延長線上一點，當PA=CQ時，連PQ交AC邊于D,則DE的長為（）

C.0.25D.2

【答案】A

【分析】過P作PM〃BC,交AC于M,則4APM也是等邊三角形,在等邊三角形△APM中,PE是

AM上的島，根據等邊三角形三線合一的性質知AE=EM：易讓得△PMDg△QCD,則DM=CD；此

時發現DE的長正好是AC的一半，由此得解.

【詳解】

過P作PM〃BC,交AC于M：

:△ABC是等邊三角形，且PM/BC,

.??△APM是等邊三角形，

又???PE_LAM,

/.AE=EM(等邊三角形三線合一)

VPM^CQ,

AZPMD=ZQCD,ZMPD=ZQ；

XVPA=PM=CQ,

在APMD和△QCD中

NPDM=/CDQ

/PMD=NDCQ,

PM=CQ

.,.APMD^AQCD(AAS),

：.CD=DM=-CM,

2

故選A.

【點睛】此題考查了平行線的性質、等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質：能夠

正確的構建出等邊三角形△AFM是解答此題的關鍵.

8.（2019?南通市啟秀中學八年級期中）如圖，ZAO4=12（r,OP平分NAO8,且OP=2,

若點M、N分別在。4、。&匕且APMN為等邊三角形，則滿足上述條件的”/壞7有（

o

A.1個B.2個C.3個D.無數個

【答案】D

【分析】根據題意在OA、0B上截取0E=0F=0P,作NMPN=60°,只要證明△PEMgZkPON即可

反推出△PMN是等邊三角形滿足條件，以此進行分析即可得出結論.

【詳解】解:如圖在OA、0B上截取OE=OF=OP,作NMPN=60°.

；0P平分NAOB,Z40B=I20°,

AZE0P=ZP0F=60o,

V0E=0F=0P,

.??△OPE,ZkOPF是等邊三角形，

.??EP=OP,ZEP0=Z0EP=ZP0N=ZMPN=60°,

...ZEPM=Z0PN,

在△PEM和△PON中，

4PEM=/P0N

PE=PO

/EPM=/OPN

.,.△PEM^APON(ASA).

???PM=PN,

VZMPN=60°，

.??△PNM是等邊三角形，

,只要NMPN=60°,APyN就是等邊三角形,

故這樣的三角形有無數個.

故選：D.

【點睛】本題考查等邊三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、角平分線的定義

等知識，解題的關鍵是正確添加輔助線并構造全等三角形.

9.（2020?南京市金陵匯文學校八年級期中）如圖,在銳角AABC中,AB=8,ZBAC=45°,

NBAC的平分線交BC于點D,M、N分另ij是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是（）

A.8B.6C.4及D.3

【答案】C

【分析】求兩段折線的最小值，往往需要將折線轉化到一條直線上，變為求點到直線的距

離.本題可過作則即為所求，再根據等腰直角三角形的三邊關系求出其長度

即可.

【詳解】解:如圖，作B〃_LAC,垂足為交A。于“點，過W點作垂足

為V,則BM*,為所求的最小值.

?.?AD是NBAC的平分線，

：.BH是點B到直線AC的最短距離（垂線段最短），

???A8=8,"AC=45’,

BH=AB?sin45i=8x變=4&?

2

?.?4M+MN的最小值是.BM'+M'N'=BM'+M'H=BH=4y/2

故選：C.

NATB

【點睛】本題考查了折線之和的最值問題，觀察圖形，進行適當變形，轉化為求點到直線

的距離是解答關鍵.

10.（2020?江蘇南通市?南通第一初中）如圖，等腰418c口，AB=AC,N8AC=120,

4）_L8C于點。，點，是陰延長線上一點，點。是線段A。上一點，OP=OC.下列結論：

①4PO+NDCO=30。；②ZAPO=/DCO：③△OPC是等邊三角形；④人BMO+AP.其中正

確結論的個數是（）

【答案】D

【分析】①②連接0B,根據垂直平分線性質即可求得OB-OOOP,即可解題：

③根據周角等于360°和三角形內角和為180°即可求得NP0C=2/ABD=60°,即可解題;

④AB上找到Q點使得AQ=0A,易證△BQO經△PAO,可得PA=BQ,即可解題.

【詳解】連接06.

*：AB=AC,AD±BC,

???A。是8。垂直平分線，

：,OB=OC=OP,

：.ZAPO=^ABO,4DBO=￡DCO,

VAB=AC,ZBAC=120°

:.ZABC=ZACB=30P

:.ZABO+/DBO=30。,

:、ZXPO+/OCO=30.

故①@正確；

'：\OBP中，ZBOP=1800-ZOPB-/LOBP,

M3OC中，RBOC-1800-ZOUC-2QCB,

:.Z1POC=360°-乙BOP—乙BOC=乙OPB+乙OBP+NQ3C+/OC4.

?；NOPB=NOBP,NOBC=ZOCB，

:.NPOC=2ZA3D=60°,

PO=OCt

AOPC是等邊三角形，

故③正確：

在AB上找到Q點使得AQ=OA,

則A4OQ為等邊三角形，

則N8QO=NE4O=120。，

在A8QO和AE4O中，

/BQO=NPAO

乙QBO=4APO

OB=()P

ABQ誕△PAO(AAS),

：.PA=BQ,

'：A13=13Q+AQ,

AAB=AO+AP,故④正確.

故選：D.

【點晴】本題主要考告全等三角形的判定與性質、線段垂白.平分線的性質，本題中求證

ABQO合八小。是解題的關鍵.

11.(2019?江蘇如東縣?八年級期中)如圖，已知aABE與4CDE都是等腰直角三角形，

ZAEB=ZDEC=90°,連接ALAC,BC,BD,若AD=AC=AB,則下列結論：①AE垂直平分

CD,②AC平分NBAD,③△ABD是等邊三角形，④NBCD的度數為150°,其中正確的個數是

()

B

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】首先證明△AEC0ZXEED,得到AC=BD=AB=AD,得到△ABD是等邊三角形，③正確：根

據AABE與ACDE都是等腰直角三角形，得到NCAB=NCAD=3C°ZCAE=ZEAD=15°得到

①②正確：△ABC,竺AD為等腰三角形，頂角都為30°,得到/ACB=NABC=75°,ZACD

=/ADC=75°,得出NBCD的度數為150°④正確

【詳解】解：:△ABE與ACDE都是等腰直角三角形

.??AE=BE,[)E=CE

???ZAEB=ZDEC=90°

工ZAEC=ZDEB

.,.△AEC^ABED

.,.AC=BD

VAD=AC=AB

,-.AD=BD=AB

:.②&ABD是等邊三角形正確

JNABD=ZBAD=ZAl)B=60°

???AABE與ACDE都是等腰直角三角形

AZEAB=ZABE=45O

AZCAB=30°,ZCAE=ZEAD=15°

.??AE為NCAD的角平分線

〈AABD為等腰三角形

...①AE垂直平分CD正確

ZCAD=30"

.??②AC平分/BAD正確

???△ABC為等腰三角形，頂角/BAC=30°

/.ZACB=ZABC=75n

同理NACD=NADC=75°

，④/BCD的度數為150°正確.

故選D

【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性質及判定定理，內角和定理，

細心計算角度是關鍵.

12.（2019?江蘇海安市?八年級期中）如圖，在AABC中，BC的垂直平分線分別交AC,BC

于點D.E,若的周長為24.CE=4.則△ABD的周長為（）

【答案】A

【分析】根據線段的垂直平分線的性質和三角形的周長公式進行解答即可.

【詳解】解：TDE是BC的垂直平分線，

???DB=DC,BC=2CE=8

又〈AABC的周長為24,

AAB+BC+AO24

.\AB+AC=24-BC=24-8=16

△ABD的周長=AD+BD+AB=AD+CD+AB=AB+AC=16,故答案為A

【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，理解并應用線段的垂直平分線上的點到

線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵.

13.（2019?江蘇蘇州市?八年級期中）如圖，平面直角坐標系中存在點A（3,2）,點B

（1,0）,以線段AB為邊作等腰三角形ABP,使得點P在坐標軸二則這樣的P點有（）

A.4個B.5個C.6個D.7個

【答案】D

【分析】本題是開放性試題，由題意知A、B是定點，P是動點，所以要分情況討論：以AP、

AB為腰、以AP、BP為腰或以BF、AB為腰.則滿足條件的點P可求.

【詳解】由題意可知：以AP、AB為腰的三角形有《個；

以AP、BP為腰的三角形有2個；

以BP、AB為腰的三角形有2個.

所以.這樣的點P共有7個.

故選D.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定及坐標與圖形的性質：分類別尋找是正確解答本題

的關鍵.

14.（2018?江蘇南通田家炳中學）如圖，AABC,AB=AC,ZfiAC=56\4AC的平分

線與力加勺垂直平分線交于將NC沿哥'（琳戈上，琳/仕）折疊，點占。點恰好重合，

則/。時勺度數為（）

A.132°B.130°C.11/D.110°

【答案】C

【分析】連接OB、0C,根據角平分線的定義求出NBA0,根據筆腰三角形兩底角相等求出N

ABC,再根據線段垂自平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得0A=0B,根據等邊對等角

可得NABONBAO,再求出N0BC,然后判斷出點0是AABC的外心，根據三角形外心的性質

可得0B=0C,再根據等邊對等角求出N0CB=/0BC,根據翻折的性質可得0E=CE,然后根據等

邊對等角求出NC0E,再利用三角形內角和定理列式計算即可得出答案.

【詳解】如圖，連接如、0C,

VABAC=56，力媯/用ic的平分線

，NBAO=-NBAC=1x56'=28"

22

XVAB=AC,

ZABC=g（180。-ZBAC）=i（18（y-56°）=62。

???戈魔力加勺垂直平分線，

：.OA^OB.

:.NA8O=/BAO=28"

:.4OBC=^\BC-^ABO=62-28'=34°

???"?是力血I勺垂直平分線，也為“AC的平分線

.,?點。是八48。的外心，

AOB=OC,

:.NOC8=NO8C=34°,

???將NC沿及；（￡在以上，/在〃上）折疊，點。與點。恰好重合

：.OE=CE,

:.NCOE=NOCB=34"

在^OCEq?,/OEC=180-/COE-4）CB=180-34'-34°=112°

【點睛】本題主要考杳了線段垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等的性質，等腰三角

形三線合一的性質，等邊對等角的性質，以及翻折變換的性質，綜合性較強，難度較大，

做輔助線構造出等腰三角形是解決本題的關鍵.

15.（2018?江蘇南通田家炳中學）如圖，是等邊三角形，△ABO是等腰直角三角

形，N創介90°,AE_LBD于點￡：連〃＞分別交4；仍于點"G,過點4做力〃J_5交破丁點〃，

則下列結論：①/力麻15°；②/I廣力G：③A*DF；④⑤D內2EH.其中正確結

論的個數為（）

【答案】B

【分析】①根據△ABC為等邊二角形，△ABD為等腰直角二角形，可以得出各角的度數以及

DA=AC,即可作出判斷；②分別求出NAFG和NAGD的度數，即可作出判斷；④根據三角形內

角和定理求出NHAB的度數，求證NEHG=NDE4,利用AAS即可證出兩個三角形全等；③根

據④證出的全等即可作出判斷:⑤證明NEAH=30°,即可得到AI=2EH,又由③可知4/=/才'，

即可作出判斷.

【詳解】①正確：:"AC是等邊三角形，

/BAC=60：，/.CA=AB.

???△A3。是等腰直角三角形，=AB.

乂ZBAD=90",/.ZC4D=/BAD+ABAC=150°,

DA=CA,：.^ADC=ZACD=-^(180-150)=15；

②錯誤：?.?NEDF=NADB-NAK：=30°

AZDFE=900-ZEDF=90°-30°=60°=ZAFG

VZAGD=900-ZADG=90°-15°=75°

NAFGWNAGD

/.AF^AG

③，④正確，由題意可得/D"=NA8〃=45°,DA=AB,

:AELBD,AHLCD.；,NEHG+/EFG=M'.

乂，:ZDFA+ZEFG=180?,:./EHG=ZDFA,

在△ZMf和△八8〃中

/AFD=NBHA

NDAF=NABH(A4S)

DA=AB

:?△DA-AABH.：.DF=AH.

⑤正確：VZCAD=150,AHLCD,

:.ZDAH=75°，又ZDAF=45",/.ZEAH=75'一45°=30°

又,：AELDB，：.AH=2EH,又?：AH=DF,:.DF=2EH

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，三角形的內角和定理，三角

形外角的性質，全等三角形的判定與性質，綜合性較強，屬于較難題目.

16.（2017?江蘇建湖縣-）如圖，圖中的陰影部分是由5個小正方形組成的一個圖形，若在

圖中的方格里涂黑兩個正方形，使整個陰影部分成為軸對稱圖形，涂法有O

C.7種D.9種

【答案】I）

【解析】根據軸對稱圖形的有關概念沿某江線折疊后直.線兩旁的部分互相重合，如圖所示:

方法5方法6方法7

方法8方法9

故選：D.

點睛：本題考查了利用軸對稱設計圖案，解答此題要明確軸對稱的性質，并據此構造出軸

對稱圖形，然后將對稱部分涂黑，即為所求.

17.（2017?江蘇宜興市?八年級期中）如圖，NM0N=30°,點MA?、Ar??在射線ON上,

點R、B/、Ba…在射線0M上,AABA2、△&BA、△ABA…均為等邊三角形，從左起第1個等

邊三角形的邊長記為a“第2個等邊三角形的邊長記為a2,以此類推.若OAK,則即方（）

A.Zb.Z

【答案】B

【詳解】解：???△ABA?是等邊三角形,

???AB=AB,Z3=Z4=Z12=6C°,

AZ2=120°,

VZM0N=30°,

AZ1=180°-120°-30°=30°,

又?.?N3=60°,

AZ5=180°-60°-30°=90°,

VZMON=Z1=30°,

，0Ai=AB=l,

△ABA是等邊三角形，

.,.Zll=Z10=60°,Z13=60°,

VZ4=Z12=60°,

???AB/ZAB/ZAsBj,B也〃82A3,

.,.Zl=Z6=Z7=30°,Z5=Z8=90°,

.*.32=23),a3=4ai=4,

ai=8aj=8.a^=16a>.

以此類推：a刈5=2'"".

故選B.

【點睛】根據己知得出a,=4al=4,a(=8ai=8,as=16ai…進而發現解題規律

18.(2016?江蘇宜興市?八年級期中)如下圖，已知NA0B=u,在射線0A、0B上分別取點

OA尸OB”連結AB，在BA、B】B上分別取點A〉、B2,使BBz=B也,連結%%按此規律下去,記/

OiB2=0?NABB產心,,NA"RBn“=0"則。刈6—。21n6的值為()

180+a180-a180+a180-a

八，~22016~-^206~J-2刈5-92015-

【答案】B

【解析】VOAFOBi,ZAOB=a,

.?./ABO,(180°-a),

2

工!(180°-a)+0,=180,

2

整理得，9產史等烏，

&B尸;(1800-0,),

A-(180°-0.)+0=180o,

22

180。+73xl8O°+a

整理得,

24

3xl800+crl800+al800-a

，92-0產

4222

180。+，_7xl800+a

同理可求03=

28

7xl800+a3x180'+。180°-a

???O3-O*

8423

180。-a

依此類推，。如6—。如5

故選B.

19.（2016?江蘇江都區?八年級期中）圖①是一塊邊長為1,周長記為巧的正三角形（三邊

相等的三角形）紙板，沿圖①的底邊剪去一塊邊長為5的正三角形紙板后得到圖②，然后沿同

一底邊依次剪去一塊更小的正三角形紙板（即其邊長為前一塊被剪如圖掉正三角形紙板邊長的

7）后，得圖③，④，，記第n（n>3）塊紙板的周長為匕，則P「凡t的值為（）

C.

A(C

【答案】C

【詳解】P（=1+1+1=3,

15

P2=1+1+=

2~2

P3*T

一+一+

P22*2+2嚕

H2

??P3-P

42

P.-Pa

則PH*QJ,.

故選C.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質；解題的關鍵是通過觀察圖形，分析、歸納發現其

中的規律，并應用規律解決問題.

20.（2017?江蘇鹽城市?）如圖，點P是NAOB內任意一點，0P=5cm,點M和點N分別是射

線OA和射線OB上的動點，APyN周長的最小值是5cm,則NA0B的度數是（）

A.250B.30vC.35"D.40u

【答案】B

試題解析：分別作點P關于OA、OB的對稱點C、D,連接CD,

分別交OA、OB于點M、N,連接OC、OD、PM、PN、MN,如圖所示：

V點P關于OA的對稱點為D,關于OB的對稱點為C,

???PM=DM,OP=OD,ZD0A=ZPGA；

???點P關于OB的對稱點為C,

.\PN=CN,OP=OC,ZCOB=ZPOB,

/.OC=OP=OD,ZA0B=iZCOD,

7

???△PMN周長的最小值是5cm,

PM+PN+MN=5,

，DM+CN+MN=5,

BPCD=5=0P,

.\OC=OD=CD,

即△OCD是等邊三角形,

AZC0D=60°,

/.ZA0B=30°；

故選B.

考點：1.軸對稱的性質：2.最短路線問題：3.等邊三角形的判定與性質.

21.（2016?江蘇江陰市?八年級期中）如圖所示，已知NA0B=a,在射線OA、0B上分別

取點OALOBI,連結AB,在BA、BB上分別取點％、B2,使連結A2B2…按此規律下去,

記NA凡B2=0“NABB尸ZA....E.B,...=9n,則。皿6■。切$的值為（）

【答案】D

試題分析：根據等腰三角形兩底角相等用a表示出NAB0,再根據平角等于180°列式用a

表示出0“再用口表示出。2,并求出。2-0”依此類推求出03-…，0Q3-。刈2,

即可得解.

解：??,OALOB”ZAOB=a,

.,?NAB0二±（180°-a）,

2

：A(180°-a)+0產180,

2

整理得，oNJ.,

???B的BMNABBk"，

尸金（180°-0（）,

2

.?.3（180°-0.）+e2=180°,

2

整理得。空二

24

.n_e_3X1800+a_1800+a[800-a1800-a

42422

e甲m上。180°+827X1800+a

同理可求（）=----------邑=------------，

28

.nn7X1800+a3X1800+a180°-a180°-m

84823

???，

1800-a

依此類推，Lx。如5二—mk.

考點：等腰三角形的性質.

22.（2020?南通市八一中學八年級期中）如圖，在△仍沖，/仍=〃；Z/1=120°,BC=

6cm,力相勺垂直平分線交員于點M交四丁點色〃的垂直平分線交應于點M交”T點"則

給的長為（）

A.4cmB.3cmC.2cmD.\cm

【答案】c

【分析】連接AW、AN過AfEAO_L8C于。，先求出/18、AC:值，再求*BE、C產值，求

出SM、CN值，代入MN=6C-3M-CN求出即可.

【詳解】

連接AW、AN,過A作/1O_L8C手。

二?在A4AC中，AB=AC.ZA=120°,BC=6cm

Z5=ZC=30°,BD=CD=3cm

，在肋AABQ中，AB=2AD

.,?在自zMBO中，

\lBD2+AD2=AB

：.AD=辰m,AB=2j3cm=AC

：AH的垂直平分線EM

:.BE=—AB=6cm

2

同理Cr=J5cm

：Zfi=ZC=30°

BM=2ME

.??在MME1中，

《ME：+RE?=BM

:.BM=2cm

同理CN=2cm

MN=BC-BM-CN=2cm

故選：C.

【點睛】本題考查垂克平分線的性質、含3小直角三角形的性質，利用特殊角、垂直平分線

的性質添加輔助線是解題關鍵，通過添加的輔助線將復雜問題簡單化，更容易轉化邊.

23.（2019?江蘇金壇區?）如圖，已知NMON=45、點A、B在邊0V上，。4=3,點C是

邊QM上一個動點，若A43C周長的最小值是6,則48的長是（）

M

135

A.-B,-C.%D.1

【答案】D

【分析】作點A關于OM的對稱點E,AE交0M于點D,連接BE、OE,BE交OM于點C,此時△ABC周

長最小，根據題意及作圖可得出AOAD是等腰直角三角形，OA=OE=3,,所以/0AE=N

OEA=45°,從而證明ABOE是直角三角形，然后設AB=x,則OB=3+x,根據周長最小值可表示

出BE=6-x,最后在RtZXOBE中，利用勾股定理建立方程求解即可.

【詳解】解：作點A關于0M的對稱點E,AE交0M于點D,連接BE、OE,BE交0M于點C,

此時AABC周長最小，最小值=AB+AC+BC=AB+EC+BC=AB+BE,

???△ABC周長的最小值是6,

??.AB+BE=6,

VZM0N=45°,AD_LOM,

.??△OAD是等腰直角三角形，Z0AD=45°,

由作圖可知0M垂直平分AE,

.*.OA=OE=3,

Z0AE=Z0EA=45°,

AZA0E=90o,

.??△BOE是直角三角形，

設AB=x,則OB=3+x,BE=6-x,

在【"△OBE中，32+(3+X)2=(6-X)2,

解得：x=l,

故選D.

M

【點睛】本題考查了利用軸對稱求最值，等腰直角三角形的判定與性質，勾股定理，熟練

掌握作圖技巧，正確利用勾股定理建立出方程是解題的關鍵.

24.（2019?江蘇無錫市-八年級期中）如圖所示，用四個全等的直角三角形和一個小正

方形拼成一個大正方形已知大正方形的面積為49,小正方形的面積為4.用心y表示直角三

角形的兩直角邊（x>y）,請仔細觀察圖案.下列關系式中不正確的是（）

A.x2+y2=49B.x-y=2

C.2盯+4=49I).x+y=13

【答案】D

【分析】利用勾股定理和正方形的面積公式，對公式進行合適的變形即可判斷各個選項是

否爭取.

【詳解】A中，根據勾股定理一+y2等于大正方形邊長的平方，它就是正方形的而積，故

正確；

B中，根據小正方形的邊長是2它等于三角形較長的直角邊減較短的直角邊即可得到，正確:

C中，根據四個直角二角形的面積和加上小正方形的面積即可得到，正確；

D中，根據,4可得/+,2=49,C可得2孫=45,結合完全平方公式可以求得％+y=.，

錯誤.

故選D.

【點睛】本題考查勾股定理.在A、B、C選項的等式中需理解等式的各個部分表示的幾何意

義，對于D選項是由A、C選項聯立得出的.

25.（20194工蘇和江區?八年級期中）如圖，0ABeD中，對角線AC與BD相交于點E,ZAEB=45°,

BD=2,將△ABC沿AC所在直線翻折180。到其原來所在的同一平面內，若點B的落點記為B',

則DB'的長為（)

3

A.1B.x/2C.1D.石

【答案】B

【分析】如圖，連接BB'.根據折疊的性質知aBB'E是等腰直角三角形，則BB'=&BE.又

B'E是BD的中垂線,則DB'=BBZ.

【詳解】???四邊形ABCD是平行四邊形,BD=2,

.,.BE=^BD=1.

2

如圖2,連接BB'.

根據折疊的性質知,ZAEB=ZAEB,=45°,BE=B'E.

AZDED*=90°,

???△BB'E是等腰直角三角形,則BB，=及BE=及,

又???BE=DE,B'E_LBD,

=BB/=&.

故選B.

【點睛】考查了平行四邊形的性質以及等腰直角三角形性質.此即難度適中，注意掌握輔

助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用.

26.（2019?揚州市梅嶺中學八年級期中）如圖，四邊形ABCD中,ZABC=90°,AC=BD,AC

1BD,若AB=4,AD=5,則DC的長（）.

A'

A.7B.>/58C.>/65D.2后

【答案】B

【解析】解：過Pf乍外二力交力的延長線于？*；BELAC,；.NEBCNZ76層90°，丁N月8>90°,

:./AB訃NEB09Q°,:./AB拄NBCA.在ABFD和4CBA中,'：NAB拄NBCA,N尸N

力吐90°,BD=CA,:.4BF哈4CBA,:.DF=AB=4,BF=BC.在中，\?力氏5,D戶4,

???/1后3,,??陷3+4=7.*：NDEU90",:.DC二DE+ECnBD~EC=(AC~EC

"C-2AOBE+B以EC

=AC-2Af>BaBC

=42+72-2X4X7+72

=58

.?.旌底.

點睛：解答本題的關鍵是構造全等三角形.在計算時要巧用轉換，使計算簡單.

二、填空題

27.（2020?江蘇贛榆區?）如圖，在銳角中，AC=10,§“謝.=25,NBAC的平分線

交BC于點D,點M,N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是

c

【答案】5

【分析】如圖（見解析），先根據三角形全等的判定定理與性質可得=再根據兩

點之間線段最短可得""的最小值為BE,然后根據垂線段最短可得當8E_LAC時，BE

取得最小值，最后利用三角形的面積公式即可得.

【詳解】如圖，在AC上取一點E,使A￡=4V,連接ME,

?.?4）是N助C的平分線，

;.^EAM=ANAM,

AE=AN

在J^AEM和△AMW中，■/.EAM=4NAM,

AM=AM

MEM三SNM（SAS）,

；.ME=MN,

;.BM+MN=BM+ME,

由兩點之間線段最短得：當點B，M，E共線時，4M+ME取最小值，最小值為BE,

乂由垂線段最短得：當BE1AC時，BE取得最小值，

AC=10.S^8c=25,

：.-ACBE=-x\0BE=25,

22

解得8E=5,

即AM+MN的最小值為5,

故答案為：5.

A4NB

【點睛】本題考查了角平分線的定義、三角形全等的判定定理與性質、兩點之間線段最短、

垂線段最短等知識點，正確找出BM+MN取得最小值時BE的位置是解題關鍵.

28.（2019?蘇州市蘇州高新區第一中學）如圖，△力的4J,NU90°,點媯〃±一點，

/ABD=2/BAC=A5°,若4A12,則△/1助的面枳為___.

【分析】作〃￡1?〃夕交4行反EF垂直AC于F,則/弧上90°-//既45°,證出4后膜〃氏通

過證明得出於=AF=gAD=6,由二角形面積公式即可得出答案.

【詳解】作〃￡1〃姣/份F￡,EF垂直AC于F,如圖所示：

則NZO=90°-N4吐45°,

.??△8應是等腰直角三角形，

:.DFDE,

???//!盼2N醫心45°,

AZBAC=22.5°,

：?4AD松/DEB~4BAO22.5°=ZBAC,

AE-Df^DB,

VZAFE=90°,

???F是AD中點，AF=FD,

又???NC=90°,

ZCBD=90°-45°-22.50=22.5°,

在R3AEF和R3BCD中

/A=NCBD

NAFE=NBCD

AE=BD

.,.KtAAEE^RtABCD(AAS),

.'.AF=BC=1AD=6,

.??△,仍加勺而積$=；月〃乂叱3X12X6=36：

故答案為：36.

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，三角形面

積公式的的計算，熟記特殊三角形的判定和性質定理是解題關鍵.

29.（2019?江蘇南通市?八年級期中）如圖，己知點/是△力陽的角平分線的交點.若/仍

+31=AC,設N為C=%則/月〃?=（用含。的式子表示）

【答案】120-芻

【分析】在AC上截取AD=AB,易證△AB￡A\DI,所以BI=DI,由4B+B/=/1C,可得DI=DC,

設NDCI=B,則NADI=NAB[=28,然后用三角形內角和可推出8與a的關系，進而求得N

AIB.

【詳解】解：如圖所示，在AC上截取AD=AB,連接DI,

A

點/是△/a的角平分線的交點

所以有NBAI=NDAI,ZABI=ZCB1,ZAC1=ZBCI,

在△AB1和AADI中，

AB=AD

ZBAI=ZDAI

AI=AI

.'.△ABI絲△ADI(SAS)

ADI=BI

又?.?AB+BI=AC,AB+DC=AC

.,.[)I=DC

.,.ZDC1=ZD1C

設NDCI=NDIC=B

則NABI=NADI=2NDCI=2B

在△ABC中，

ZBAC+2ZABI+2ZDCI=180°,即a+4?+26=180’,

在△ABI中，ZA/B=1800-Z.BM-AAB1

=180-；。一2A

=180:去一210。一看)

=120--

6

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，以及三角形角度計算，利用截長補短構造全

等三角形是解題的關鍵.

30.（2018?江蘇南通田家炳中學）如圖，等邊△/!比中，履力劭上中線，點〃為加上一

動點，連接力〃，在/I誠右側作等邊連接￡尸，當△/明司長最小時，則的大小是

【答案】90,

【分析】首先證明點E在射線CE上運動，ZACE=30°,作點A關于直線CE的對稱點M,連接FM

交CE于EL此時AE-FE的值最小，然后判斷出△KM是等邊三角形，根據等邊三角形三線合

一得出FM_LAC,即可得出答案.

【詳解】如圖，連接CE,?「△48C,是等邊三角形，

AAfi=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=ZABC=6()°,

:.ZBAD=ZCAE,

:.ABA噲4AE,

：.ZABD^ZACE.

VAF=CF,

:.AABD=ZCBD=ZACE=30'，

?二點碓射線小上運動(NAC￡=30').

作點/關于直線渤對?稱點M連接用及陽此時AE+FE的值最小.

VCA=CM,NACM=6()”,

/.A4CM是等邊三角形，

VAF=CF,

:.FM±AC,

:.ZCFE*=90,?

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定和性質以及最短路

徑問題，綜合性較強.

31.（2020?江蘇新北區?八年級期中）如圖,在ZSABC中,AB的中垂線交BC于D,AC的中

垂線交BC于E,若NBAC=126°,則NEAD=°.

【答案】720

【分析】根據AB的中垂線可得再根據AC的中垂線可得/E4C,再結合/BAC=126°

即可計算出NEAD.

【詳解】根據AB的中垂線可行/B4Z）=D4

根據AC的中垂線可得ZEAC=ZC

ZZ?+ZC=180°-126°=54&

又ZBAD+ZDAE+ZEAC=ZBAC=1

：.N8+NC+ND4E=126”

/.ZD4E=72

【點睛】本題主要考查中垂線的性質，重點在于等量替換表示角度.

32.（2020?無錫惠山金橋實驗學校八年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD=4,CD=3,

ZABC=ZACB=ZADC=45°