人教A版2019選擇性必修第三冊第六章計數原理6.1分類加法計數原理與分步乘法計數原理汽車號牌的序號一般是從26個英文字母、10個阿拉伯數字中選出若干個，并按適當順序排列而成．隨著人們生活水平的提高，家庭汽車擁有量迅速增長，汽車號牌序號需要擴容．那么，交通管理部門應如何確定序號的組成方法，才能滿足民眾的需求呢?這就需要“數(shǔ)出”某種汽車號牌序號的組成方案下所有可能的序號數，這就是計數．日常生活、生產中類似的問題大量存在．例如，幼兒會通過一個一個地數的方法，計算自己擁有玩具的數量；學校要舉行班際籃球比賽，在確定賽制后，體育組的老師需要知道共需要舉行多少場比賽；用紅、黃、綠三面旗幟組成航海信號，顏色的不同排列表示不同的信號，需要知道共可以組成多少種不同的信號……如果問題中數量很少，一個一個地數也不失為一種計數的好方法．但如果問題中數量很多，我們還一個一個地去數嗎?在小學我們學了加法和乘法，這是將若干個“小”的數結合成“較大”的數最基本的方法．這兩種方法經過推廣就成了本章將要學習的分類加法計數原理和分步乘法計數原理．這兩個原理是解決計數問題的最基本、最重要的方法，利用兩個計算原理還可以得到兩類特殊計數問題的計數公式一排列數公式和組合數公式，應用公式就可以方便地解決一些計數問題．作為計數原理與計數公式的一個應用，本章我們還將學習在數學上有廣泛應用的二項式定理．計數問題是我們從小就經常遇到的，通過列舉一個一個地數是計數的基本方法．但當問題中的數量很大時，列舉的方法效率不高．能否設計巧妙的“數法”，以提高效率呢?下面先分析一個簡單的問題，并嘗試從中得出巧妙的計數計數方法．用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數字給教室里的一個座位編號，總共能編出多少種不同的號碼?探究你能說一說這個問題的特征嗎?首先，這里要完成的事情是“給一個座位編號”；其次是“或”字的出現：一個座位編號用一個英文字母或一個阿拉伯數字表示．因為英文字母與阿拉伯數字互不相同，所以用英文字母編出的號碼與用阿拉伯數字編出的號碼也互不相同．這兩類號碼數相加就得到號碼的總數．上述計數過程的基本環節是：（1）確定分類標準，根據問題條件分為字母號碼和數字號碼兩類；（2）分別計算各類號碼的個數；（3）各類號碼的個數相加，得出所有號碼的個數．你能舉一些生活中類似的例子嗎？一般地，有如下分類加法計數原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，兩類不同方案中的方法互不相同．例1

在填寫高考志愿表時，一名高中畢業生了解到，A，B兩所大學各有一些自己感興趣的強項專業，如表6.1-1．表6.1-1A大學B大學生物學數學化學會計學醫學信息技術學管理學法學工程學如果這名同學只能選一個專業，那么他共有多少種選擇?分析：要完成的事情是“選一個專業”．因為這名同學在A，B兩所大學中只能選擇一所，而且只能選擇一個專業，又因為這兩所大學沒有共同的強項專業，所以符合分類加法計數原理的條件．解：這名同學可以選擇A，B兩所大學中的一所．在A大學中有5種專業選擇方法，在B大學中有4種專業選擇方法．因為沒有一個強項專業是兩所大學共有的，所以根據分類加法計數原理，這名同學可能的專業選擇種數為探究如果完成一件事情有n類不同方案，在每一類中都有若干種不同的方法，那么應當如何計數呢?這里要完成的事情仍然是“給一個座位編號”，但與前一問題的要求不同．在前一問題中，用26個英文字母中的任意一個或10個阿拉伯數字中的任意一個，都可以給出一個座位號碼．但在這個問題中，號碼必須由一個英文字母和一個作為下標的阿拉伯數字組成，即得到一個號碼要經過先確定一個英文字母，后確定一個阿拉伯數字這樣兩個步驟．用圖6.1-1所示的方法可以列出所有可能的號碼．圖6.1-1是解決計數問題常用的“樹狀圖”．你能用樹狀圖列出所有可能的號碼嗎？探究你能說一說這個問題的特征嗎?上述問題要完成的一件事情仍然是“給一個座位編號”，其中最重要的特征是“和”字的出現：一個座位編號由一個英文字母和一個阿拉伯數字構成．因此得到一個座位號要經過先確定一個英文字母，后確定一個阿拉伯數字這兩個步驟，每一個英文字母與不同的數字組成的號碼是互不相同的．一般地，有如下分步乘法計數原理：無論第1步采用哪種方法，與之對應的第2步都有相同的方法數．例2

某班有男生30名、女生24名，從中任選男生和女生各1名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法?分析：要完成的一件事是“選男生和女生各1名”，可以分兩個步驟：第1步，選男生；第2步，選女生．解：第1步，從30名男生中選出1人，有30種不同選法；第2步，從24名女生中選出1人，有24種不同選法．探究如果完成一件事需要三個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法?如果完成一件事情需要n個步驟，做每一步都有若于種不同的方法，那么應當如何計數呢?例3

書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書．（1）從書架上任取1本書，有多少種不同取法?（2）從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，有多少種不同取法?分析：（1）要完成的一件事是“從書架上取1本書”，可以分從第1層、第2層和第3層中取三類方案；（2）要完成的一件事是“從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書”，可以分三個步驟完成．解：（1）從書架上任取1本書，有三類方案：第1類方案是從第1層取1本計算機書，有4種方法；第2類方案是從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3類方案是從第3層取1本體育書，有2種方法．根據分類加法計數原理，不同取法的種數為例3

書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書．（1）從書架上任取1本書，有多少種不同取法?（2）從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，有多少種不同取法?分析：（1）要完成的一件事是“從書架上取1本書”，可以分從第1層、第2層和第3層中取三類方案；（2）要完成的一件事是“從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書”，可以分三個步驟完成．（2）從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，可以分三個步驟完成：第1步，從第1層取1本計算機書，有4種方法；第2步，從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3步，從第3層取1本體育書，有2種方法．根據分步乘法計數原理，不同取法的種數為例4

要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，共有多少種不同的掛法?分析：要完成的一件事是“從3幅畫中選出2幅，并分別掛在左、右兩邊墻上”，可以分步完成．解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成：第1步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法；第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法．分類加法計數原理和分步乘法計數原理，回答的都是有關做一件事的不同方法種數的問題．區別在于：分類加法計數原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法互相依存，只有每一個步驟都完成才算做完這件事．例5

給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后兩個字符要求用數字1~9，最多可以給多少個程序模塊命名?分析：要完成的一件事是“給一個程序模塊命名”，可以分三個步驟完成：第1步，選首字符；第2步，選中間字符；第3步，選最后一個字符．而首字符又可以分為兩類．后兩個字符從1~9中選，因為數字可以重復，所以不同選法的種數都為9．例6電子元件很容易實現電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態，而這也是最容易控制的兩種狀態．因此計算機內部就采用了每一位只有0或1兩種數字的記數法，即二進制．為了使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編碼，每個字符可以用1個或多個字節來表示，其中字節是計算機中數據存儲的最小計量單位，每個字節由8個二進制位構成．（1）1個字節(8位)最多可以表示多少個不同的字符?（2）計算機漢字國標碼包含了6763個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用多少個字節表示?分析：（1）要完成的一件事是“確定1個字節各二進制位上的數字”．由于每個字節有8個二進制位，每一位上的值都有0，1兩種選擇，而且不同的順序代表不同的字符，因此可以用分步乘法計數原理求解；（2）只要計算出多少個字節所能表示的不同字符不少于6763個即可．解：（1）用圖6.1-3表示1個字節．（2）由（1）知，1個字節所能表示的不同字符不夠6763個，我們考慮2個字節能夠表示多少個字符．前1個字節有256種不同的表示方法，后1個字節也有256種表示方法．根據分步乘法計數原理，2個字節可以表示不同字符的個數是這已經大于漢字國標碼包含的漢字個數6763．因此要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用2個字節表示．例7

計算機編程人員在編寫好程序以后需要對程序進行測試．程序員需要知道到底有多少條執行路徑(程序從開始到結束的路線)，以便知道需要提供多少個測試數據．一般地，一個程序模塊由許多子模塊組成．圖6.1-4是一個具有許多執行路徑的程序模塊，它有多少條執行路徑?另外，為了減少測試時間，程序員需要設法減少測試次數．你能幫助程序員設計一個測試方法，以減少測試次數嗎?分析：整個模塊的任意一條執行路徑都分兩步完成：第1步是從開始執行到A點；第2步是從A點執行到結束．而第1步可由子模塊1、子模塊2、子模塊3中任何一個來完成；第2步可由子模塊4、子模塊5中任何一個來完成．因此，分析一條指令在整個模塊的執行路徑需要用到兩個計數原理．顯然，178與7371的差距是非常大的．你看出了程序員是如何實現減少測試次數的嗎？例8

通常，我國民用汽車號牌的編號由兩部分組成：第一部分為用漢字表示的省、自治區、直轄市簡稱和用英文字母表示的發牌機關代號，第二部分為由阿拉伯數字和英文字母組成的序號，如圖6.1-5所示．其中，序號的編碼規則為：（1）由10個阿拉伯數字和除O，I之外的24個英文字母組成；（2）最多只能有2個英文字母．分析：由號牌編號的組成可知，序號的個數決定了這個發牌機關所能發放的最多號牌數．按序號編碼規則可知，每個序號中的數字、字母都是可重復的，并且可將序號分為三類：沒有字母，有1個字母，有2個字母．以字母所在位置為分類標準，可將有1個字母的序號分為五個子類，將有2個字母的序號分為十個子類．解：由號牌編號的組成可知，這個發牌機關所能發放的最多號牌數就是序號的個數．根據序號編碼規則，5位序號可以分為三類：沒有字母，有1個字母，有2個字母．（1）當沒有字母時，序號的每一位都是數字．確定一個序號可以分5個步驟，每一步都可以從10個數字中選1個，各有10種選法．根據分步乘法計數原理，這類號牌張數為（2）當有1個字母時，這個字母可以分別在序號的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，這類序號可以分為五個子類．當第1位是字母時，分5個步驟確定個序號中的字母和數字：第1步，從24個字母中選1個放在第1位，有24種選法；第2~5步都是從10個數字中選1個放在相應的位置，各有10種選法．根據分步乘法計數原理，號牌張數為同樣，其余四個子類號牌也各有240000張．根據分類加法計數原理，這類號牌張數一共為（3）當有2個字母時，根據這2個字母在序號中的位置，可以將這類序號分