湖北省宜昌市西陵區葛洲壩中學2025年高三下學期期末質量調研（一模）數學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則集合的真子集的個數是（）A．8 B．7 C．4 D．32．如圖，在三棱錐中，平面，，，，，分別是棱，，的中點，則異面直線與所成角的余弦值為A．0 B． C． D．13．若θ是第二象限角且sinθ=，則=A． B． C． D．4．某三棱錐的三視圖如圖所示，網格紙上小正方形的邊長為，則該三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．5．設為拋物線的焦點，，，為拋物線上三點，若，則（）.A．9 B．6 C． D．6．設雙曲線（a＞0，b＞0）的一個焦點為F（c,0）（c＞0），且離心率等于，若該雙曲線的一條漸近線被圓x2+y2﹣2cx＝0截得的弦長為2，則該雙曲線的標準方程為（）A． B．C． D．7．已知公差不為0的等差數列的前項的和為，，且成等比數列，則（）A．56 B．72 C．88 D．408．的展開式中各項系數的和為2，則該展開式中常數項為A．-40 B．-20 C．20 D．409．已知實數x，y滿足，則的最小值等于（）A． B． C． D．10．設過拋物線上任意一點(異于原點)的直線與拋物線交于兩點，直線與拋物線的另一個交點為，則（）A． B． C． D．11．已知復數，則（）A． B． C． D．212．寧波古圣王陽明的《傳習錄》專門講過易經八卦圖，下圖是易經八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（“—”表示一根陽線，“——”表示一根陰線）．從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓C：1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，橢圓的焦距為2c，過C外一點P(c,2c)作線段PF1，PF2分別交橢圓C于點A、B，若|PA|＝|AF1|，則_____.14．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積是_____；最長棱的長度是_____．15．已知函數，則曲線在處的切線斜率為________.16．中，角的對邊分別為，且成等差數列，若，，則的面積為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）等差數列中，，，分別是下表第一、二、三行中的某一個數，且其中的任何兩個數不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669（1）請選擇一個可能的組合，并求數列的通項公式；（2）記（1）中您選擇的的前項和為，判斷是否存在正整數，使得，，成等比數列，若有，請求出的值；若沒有，請說明理由.18．（12分）已知函數，若的解集為．（1）求的值；（2）若正實數，，滿足，求證：．19．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（為參數）.以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位，建立極坐標系.（1）設直線l的極坐標方程為，若直線l與曲線C交于兩點A．B，求AB的長；（2）設M、N是曲線C上的兩點，若，求面積的最大值.20．（12分）已知橢圓的右焦點為,過點且斜率為的直線與橢圓交于兩點,線段的中點為為坐標原點.（1）證明:點在軸的右側;（2）設線段的垂直平分線與軸、軸分別相交于點.若與的面積相等,求直線的斜率21．（12分）已知函數．（Ⅰ）求在點處的切線方程；（Ⅱ）求證：在上存在唯一的極大值；（Ⅲ）直接寫出函數在上的零點個數．22．（10分）數列滿足，，其前n項和為，數列的前n項積為.（1）求和數列的通項公式；（2）設，求的前n項和，并證明：對任意的正整數m、k，均有.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

轉化條件得，利用元素個數為n的集合真子集個數為個即可得解.【詳解】由題意得，，集合的真子集的個數為個.故選：D.【點睛】本題考查了集合的化簡和運算，考查了集合真子集個數問題，屬于基礎題.2、B【解析】

根據題意可得平面，，則即異面直線與所成的角，連接CG，在中，，易得，所以，所以，故選B．3、B【解析】由θ是第二象限角且sinθ=知：，．所以．4、C【解析】

作出三棱錐的實物圖，然后補成直四棱錐，且底面為矩形，可得知三棱錐的外接球和直四棱錐的外接球為同一個球，然后計算出矩形的外接圓直徑，利用公式可計算出外接球的直徑，再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.【詳解】三棱錐的實物圖如下圖所示：將其補成直四棱錐，底面，可知四邊形為矩形，且，.矩形的外接圓直徑，且.所以，三棱錐外接球的直徑為，因此，該三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.【點睛】本題考查三棱錐外接球的表面積，解題時要結合三視圖作出三棱錐的實物圖，并分析三棱錐的結構，選擇合適的模型進行計算，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.5、C【解析】

設，，，由可得，利用定義將用表示即可.【詳解】設，，，由及，得，故，所以.故選：C.【點睛】本題考查利用拋物線定義求焦半徑的問題，考查學生等價轉化的能力，是一道容易題.6、C【解析】

由題得，，又，聯立解方程組即可得，，進而得出雙曲線方程.【詳解】由題得①又該雙曲線的一條漸近線方程為，且被圓x2+y2﹣2cx＝0截得的弦長為2，所以②又③由①②③可得：，，所以雙曲線的標準方程為.故選：C【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質，圓的方程的有關計算，考查了學生的計算能力.7、B【解析】

，將代入，求得公差d，再利用等差數列的前n項和公式計算即可.【詳解】由已知，，，故，解得或（舍），故，.故選：B.【點睛】本題考查等差數列的前n項和公式，考查等差數列基本量的計算，是一道容易題.8、D【解析】令x=1得a=1.故原式=．的通項，由5-2r=1得r=2,對應的常數項=80，由5-2r=-1得r=3,對應的常數項=-40，故所求的常數項為40，選D解析2.用組合提取法,把原式看做6個因式相乘，若第1個括號提出x,從余下的5個括號中選2個提出x，選3個提出；若第1個括號提出，從余下的括號中選2個提出，選3個提出x.故常數項==-40+80=409、D【解析】

設，，去絕對值，根據余弦函數的性質即可求出．【詳解】因為實數，滿足，設，，，恒成立，，故則的最小值等于.故選：．【點睛】本題考查了橢圓的參數方程、三角函數的圖象和性質，考查了運算能力和轉化能力，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．10、C【解析】

畫出圖形，將三角形面積比轉為線段長度比，進而轉為坐標的表達式。寫出直線方程，再聯立方程組，求得交點坐標，最后代入坐標，求得三角形面積比.【詳解】作圖，設與的夾角為，則中邊上的高與中邊上的高之比為，，設，則直線，即，與聯立，解得，從而得到面積比為.故選：【點睛】解決本題主要在于將面積比轉化為線段長的比例關系，進而聯立方程組求解，是一道不錯的綜合題.11、C【解析】

根據復數模的性質即可求解.【詳解】,,故選：C【點睛】本題主要考查了復數模的性質，屬于容易題.12、B【解析】

根據古典概型的概率求法，先得到從八卦中任取兩卦基本事件的總數，再找出這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數，代入公式求解.【詳解】從八卦中任取兩卦基本事件的總數種，這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數有6種，分別是（巽，坤），（兌，坤），（離，坤），（震，艮），（震，坎），（坎，艮），所以這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率是.故選：B【點睛】本題主要考查古典概型的概率，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據條件可得判斷OA∥PF2，且|PF2|＝2|OA|，從而得到點A為橢圓上頂點，則有b＝c，解出B的坐標即可得到比值.【詳解】因為|PA|＝|AF1|，所以點A是線段PF1的中點，又因為點O為線段F1F2的中點，所以OA∥PF2，且|PF2|＝2|OA|，因為點P（c，2c），所以PF2⊥x軸，則|PF2|＝2c，所以OA⊥x軸，則點A為橢圓上頂點，所以|OA|＝b，則2b＝2c，所以b＝c，ac，設B（c，m）（m＞0），則，解得mc，所以|BF2|c，則.故答案為：2.【點睛】本題考查橢圓的基本性質，考查直線位置關系的判斷，方程思想，屬于中檔題.14、【解析】

由三視圖還原原幾何體，該幾何體為四棱錐，底面為直角梯形，，，側棱底面，由棱錐體積公式求棱錐體積，由勾股定理求最長棱的長度．【詳解】由三視圖還原原幾何體如下圖所示：該幾何體為四棱錐，底面為直角梯形，，，側棱底面，則該幾何體的體積為，，，因此，該棱錐的最長棱的長度為.故答案為：；.【點睛】本題考查由三視圖求體積、棱長，關鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題．15、【解析】

求導后代入可構造方程求得，即為所求斜率.【詳解】，，解得：，即在處的切線斜率為.故答案為：.【點睛】本題考查切線斜率的求解問題，考查導數的幾何意義，屬于基礎題.16、.【解析】

由A，B，C成等差數列得出B＝60°，利用正弦定理得進而得代入三角形的面積公式即可得出．【詳解】∵A，B，C成等差數列，∴A+C＝2B，又A+B+C＝180°，∴3B＝180°，B＝60°．故由正弦定理，故所以S△ABC，故答案為：【點睛】本題考查了等差數列的性質，三角形的面積公式，考查正弦定理的應用，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析，或；（2）存在，.【解析】

（1）滿足題意有兩種組合：①，，，②，，，分別計算即可；（2）由（1）分別討論兩種情況，假設存在正整數，使得，，成等比數列，即，解方程是否存在正整數解即可.【詳解】（1）由題意可知：有兩種組合滿足條件：①，，，此時等差數列，，，所以其通項公式為.②，，，此時等差數列，，，所以其通項公式為.（2）若選擇①，.則.若，，成等比數列，則，即，整理，得，即，此方程無正整數解，故不存在正整數，使，，成等比數列.若選則②，，則，若，，成等比數列，則，即，整理得，因為為正整數，所以.故存在正整數，使，，成等比數列.【點睛】本題考查等差數列的通項公式及前n項和，涉及到等比數列的性質，是一道中檔題.18、（1）；（2）證明見詳解.【解析】

（1）將不等式的解集用表示出來，結合題中的解集，求出的值；（2）利用柯西不等式證明.【詳解】解：（1），，，因為的解集為，所以，；（2）由（1）由柯西不等式，當且僅當，，，等號成立．【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法，利用柯西不等式證明不等式的問題，屬于中檔題.19、（1）；（2）1.【解析】

（1）利用參數方程、普通方程、極坐標方程間的互化公式即可；（2），，由（1）通過計算得到，即最大值為1.【詳解】（1）將曲線C的參數方程化為普通方程為，即；再將，，代入上式，得，故曲線C的極坐標方程為，顯然直線l與曲線C相交的兩點中，必有一個為原點O，不妨設O與A重合，即.（2）不妨設，，則面積為當，即取時，.【點睛】本題考查參數方程、普通方程、極坐標方程間的互化，三角形面積的最值問題，是一道容易題.20、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）設出直線的方程，與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系求出點的橫坐標即可證出；（2）根據線段的垂直平分線求出點的坐標，即可求出的面積，再表示出的面積，由與的面積相等列式，即可解出直線的斜率．【詳解】（1）由題意，得，直線（）設，，聯立消去，得，顯然，，則點的橫坐標，因為，所以點在軸的右側．（2）由（1）得點的縱坐標．即．所以線段的垂直平分線方程為：．令，得；令，得．所以的面積，的面積．因為與的面積相等，所以，解得．所以當與的面積相等時，直線的斜率．【點睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關系的應用、根與系數的關系應用，以及三角形的面積的計算，意在考查學生的數學運算能力，屬于中檔題．21、（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）函數在有3個零點．【解析】

（Ⅰ）求出導數，寫出切線方程；（Ⅱ）二次求導，判斷單調遞減，結合零點存在性定理，判斷即可；（Ⅲ），數形結合得出結論．【詳解】解：（Ⅰ），，，故在點，處的切線方程為，即；（Ⅱ）證明：，，，故在遞減，又，，由零點存在性定理，存在唯一一個零點，，當時，遞增；當時，遞減，故在只有唯一的一個極大值；（Ⅲ）函數在有3個零點