第=page11頁，共=sectionpages11頁江西省九江市2025年高考數學二模試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.“m>2”是“|m|>log23”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.已知復數z滿足(2?i)z=5，則z?的虛部為(

)A.1 B.2 C.?1 D.?23.等差數列{an}中，已知a2+a5+A.36 B.30 C.20 D.184.植物的根是吸收水分和礦物養分的主要器官.已知在一定范圍內，小麥對氮元素的吸收量與它的根長度具有線性相關關系.某盆栽小麥實驗中，在確保土壤肥力及灌溉條件相對穩定的情況下，統計了根長度x(單位：cm)與氮元素吸收量y(單位：mg/天)的相關數據，如下表所示：x9.912.114.818.219.921.825.127.730.432.1y0.300.340.420.50.550.60.710.740.780.86根據表中數據可得x?=21.2，y?=0.58及線性回歸方程為A.a=?0.05

B.變量y與x的相關系數r<0

C.在一定范圍內，小麥的根長度每增加1cm，它一天的氮元素吸收量平均增加0.025mg

D.若對小麥的根長度與鉀元素吸收量的相關數據進行統計，則對應回歸方程不變5.已知點P在橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，點Q在圓O：x2+yA.23 B.12 C.356.已知f(x)是定義在R上周期為2的偶函數，且當x∈[0,1]時，f(x)=1x+1?sinx，設a=f(12)，b=f(π2)，c=f(?11A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.a<c<b7.已知球O與正三棱柱ABC?A1B1C1的各個面均相切，記平面ABC1截球O所得截面的面積為S1A.313 B.913 C.1011178.窗花是中國傳統剪紙藝術的重要分支，主要用于節日或喜慶場合的窗戶裝飾，尤以春節最為常見，它以紅紙為材料，通過剪、刻等技法創作出精美圖案，圖案講究構圖對稱、虛實相生.2025年春節，小明同學利用AI軟件為家里制作了一幅窗花圖案(如圖)，其外輪廓為方程C：x2+y2=1+|xy|所表示的曲線.設圖案的中心為O，P為曲線C上的最高點，則A.2 B.233 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.若函數f(x)=cos2x+msin2x對任意的x∈R，都有f(x)≥f(π3)，則A.m=?3 B.f(x)在[4π3,11π6]上單調遞減

10.若數列{an}滿足a1=2，a2=4，2an+an+2A.{an+1?an}是等比數列 B.{an}是等比數列

11.如圖，三棱錐A?BCD中，AD⊥平面BCD，BD⊥CD，AD=BD=CD=1，P為其表面上一點，P與四個頂點A，B，C，D的距離分別為d1，d2，d3，d4，則下列命題正確的是A.若d1=d2=d3=d4，則點P不存在

B.若d1=d4，d2=d三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(1?2x)8展開式中第13.如圖，已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，A，B為C上兩點，BE=λEF，AE//x軸，△AEF為正三角形，則λ=______．14.已知函數f(x)=ax(ex+1)+ex?1恰好有四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

甲、乙、丙三人各自獨立投籃，甲和乙都投中的概率是19，甲投中而丙未投中的概率是16，乙投中而丙未投中的概率是16．

(1)請問三人中哪一位投籃水平較高？并說明理由；

(2)現將投籃水平較低的兩人組成一組(記為A組)，與投籃水平較高的人(記為B組)進行投籃比賽，甲、乙、丙各自獨立投籃2次，且每次投籃的結果互不影響，投中次數較多的一組獲勝，求B16.(本小題15分)

如圖，在三棱錐P?ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥平面PBC，且AC=2PB．

(1)證明：BC⊥平面PAB；

(2)若三棱錐P?ABC的外接球半徑為1，BC=62，求二面角17.(本小題15分)

如圖，△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，D為BC邊上一點，AB⊥AD，AD=CD，記∠ADC=θ．

(1)若θ=3π4，求證：b2?c2=ac；

18.(本小題17分)

已知函數f(x)=(ax+1)ln(2x?1)(a∈R)．

(1)當a=1時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(2)是否存在常數a，b，使f(x)的圖象關于直線x=b對稱？若存在，求a，b的值；若不存在，請說明理由；

(3)若a∈Z，函數f(1x)在(1,+∞)上單調遞增，求a的取值集合．

(參考數據：ln3≈1.09919.(本小題17分)

在平面直角坐標系xOy中，把一個圖形繞定點G旋轉一個定角θ的圖形變換叫作旋轉變換.定點G叫作旋轉中心，定角θ叫作旋轉角(規定逆時針方向為正).如果圖形上的點P(x,y)經過旋轉變為點P′(x′,y′)，那么這兩個點叫作這個旋轉變換的對應點.現將曲線xy=m(m≠0)繞G順時針旋轉π4后，得到新曲線E，其變換關系為x′=xcosθ?ysinθ,y′=xsinθ+ycosθ，點(2,1)在曲線E上．

(1)求曲線E的方程并確定點G的位置；

(2)點P1的坐標為(1,0)，按照如下方式依次構造點Pn(n=2,3,…)：過點Pn?1作斜率為2的直線交E于另一點Qn?1，設Pn是點Qn?1關于x軸的對稱點.記Pn的坐標為(xn,yn).

(i)求數列{xn+yn}的前n項和S

答案解析1.【答案】A

【解析】解：由|m|>log23得m>log23或m<?log23，

而2=log24，

故“2.【答案】C

【解析】解：復數z滿足(2?i)z=5，

則z=52?i=2+i，

故z?的虛部為?1．

故選：C．3.【答案】B

【解析】解：由等差數列{an}得a2+a5+a8=3a5，

則a2+4.【答案】C

【解析】解：A項．根據線性回歸方程過樣本中心點(x?,y?)知，a=0.58?0.025×21.2=0.05，故A項錯誤；

B項．小麥對氮元素的吸收量與它的根長度具有正相關關系，故相關系數r>0，故B項錯誤；

C項．由線性回歸方程y=0.025x+a可得，在一定范圍內，小麥的根長度每增加1cm，它一天的氮元素吸收量平均增加0.025mg，故C項正確；

D項．若研究小麥的根長度與鉀元素吸收量的相關關系，回歸方程可能發生改變，故D項錯誤．

故選：C．

根據樣本中心在方程上可求解A，進而可判斷5.【答案】D

【解析】解：點P在橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，點Q在圓O：x2+y2=b2上．如圖，

∵|OP|+|OQ|≥|PQ|，

∴|PQ|≤|OP|+b≤a+b，

∴|PQ|max=a+b=2c，b2=(2c?a6.【答案】B

【解析】解：根據題意，f(x)是定義在R上周期為2的偶函數，

則b=f(π2)=f(4?π2),c=f(?114)=f(?34)=f(34)，

當x∈[0,1]時，f(x)=1x+1?sinx，

函數y=1x+1在[0,1]上遞減，y=sinx在[0,1]上遞增，7.【答案】A

【解析】解：已知球O與正三棱柱ABC?A1B1C1的各個面均相切，

記平面ABC1截球O所得截面的面積為S1，球O的表面積為S2，

如圖，設球O的半徑為R，

∵球O與正三棱柱ABC?A1B1C1的各個面均相切，

∴正三棱柱ABC?A1B1C1的高為2R，底面邊長為23R，

設正三棱柱ABC?A1B1C1上，下底面的中心分別是O1，O2，E是AB的中點，

連接EC1交O1O2于F8.【答案】D

【解析】解：如圖，設O為原點，我們可以把x2+y2=1+|xy|放入平面直角坐標系中，

連接OP，再利用曲線的對稱性，我們不妨設P(x,y)(x,y≥0)，

因為x2+y2=1+xy，所以x2?yx+y2?1=0，

我們把x2?yx+y2?1=0視為以x為主元的一元二次方程，

故Δ=(?y)2?4(y2?1)≥0y≥0，解得0≤y≤239.【答案】AD

【解析】解：若函數f(x)=cos2x+msin2x對任意的x∈R，都有f(x)≥f(π3)，

則f(π3)是f(x)的最小值，

∴f(π3)=?12+32m=?1+m2，解得m=?3，故A正確；

∵m=?3，

∴f(x)=cos2x?3sin2x=2cos(2x+π3)，

∵4π3≤x≤11π6，

∴3π≤2x+π3≤4π，

∵y=2cosx在[3π,4π]上單調遞增，10.【答案】ABD

【解析】解：對A：由a1=2，a2=4，2an+an+2=3an+1，得an+2?an+1=2(an+1?an)，且a2?a1=2，

故{an+1?an}是首項和公比均為2的等比數列，故A正確；

對B：由等比數列的通項公式可得an+1?an=2n，

即有a2?a1=2，a3?a2=4，…，an?an?1=2n?1，

上面各式相加可得an?a1=2+4+...+2n?1=2(1?2n?1)1?2=2n?2，可得an=2n，對n=1也成立，

故{an}是等比數列，B正確；

對C：由數列{bn}的前n項積等于數列{a11.【答案】ACD

【解析】解：設△ABC的外心為O，d1=d2=d3，∴P在過O且與平面ABC垂直的直線上，與三棱錐表面交于點D，O，

當P，D重合時，d4=0不滿足題意，

當P，O重合時，d1=d2=d3=63，d4=33，d1=d2=d3≠d4不滿足題意，故點P不存在，故A正確；

d1=d4，d2=d3則P為AD的中垂面與BC的中垂面的交線與表面的交點，如圖有兩個點P1，P2，故B錯誤；

若點P在面BCD上，|PB|+|PC|=52>|BC|=2，

∴P在以B，C為焦點，52為長軸長的橢圓上，即2a=52，2c=2，

而DB|+|DC|=2<2a，故D在橢圓內，

在空間中將該橢圓繞BC旋轉一周得到橢球面，

則橢球面上任一點Q都有|QB|+|QC|=52，

而|AB|+|AC|=22>2a，故A在橢球面外，因此AD與橢球面必有交點，

根據兩點之間線段距離最短，故d1+d4的最小值為1，故C正確；

如圖建立空間直角坐標系，則A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，設P(x,y,z)，

則d12+d22+d32+d42=4x2?2x+1+412.【答案】?448

【解析】解：已知二項式(1?2x)8的展開式的通項為Tr+1=C8r(?2x)r=(?2)rC813.【答案】2

【解析】解：如圖，延長BF交拋物線C于點A′．

由題意得F(p2,0),∠BFx=60°，

則直線lBF：y=3(x?p2)，

聯立方程組y=3(x?p2),y2=2px,整理得12x214.【答案】(?1【解析】解法一：f(x)=ax(ex+1)+ex?1=(ex+1)(ax+ex?1ex+1)．

∵ex+1>0，

∴f(x)的零點等價于函數g(x)=ax+ex?1ex+1的零點．

又∵函數g(x)定義域為R，且g(?x)=a(?x)+e?x?1e?x+1=?(ax+ex?1ex+1)=?g(x)

∴g(x)是R上的奇函數，

∴只需要考慮g(x)在(0,+∞)上有一個零點即可．

又∵函數y=ex在R上單調遞增，函數y=x+1x在(1,+∞)上單調遞增，

當x∈(0,+∞)時，ex∈(1,+∞)，

∴函數y=ex+1ex+2在(0,+∞)上單調遞增，

∴g′(x)=a+2ex+1ex+2在(0,+∞)上單調遞減，∴g′(x)的值域是(a,a+12)．

當a≥0時，g′(x)>0，此時g(x)在(0,+∞)上單調遞增，g(x)>g(0)=0，無零點，不符合題意；

當a≤?12時，g′(x)<0，此時g(x)在(0,+∞)上單調遞減，g(x)<g(0)=0，無零點，不符合題意；

當?12<a<0時，由零點存在性定理知，必存在唯一的正數x0，使g′(x0)=0．

當x∈(0,x0)時，g′(x)>0，此時g(x)在(0,x0)上單調遞增，g(x)>g(0)=0，g(x0)>g(0)=0；

當x∈(x0,+∞)時，g′(x)<0，此時g(x)在(x0,+∞)上單調遞減；

又∵g(?1a)=?1+e?1a?1e?1a+1<0，g(x0)>0，?1a∈(2,+∞)，

?1a>x0，∴g(x)在(x0,?1a)上存在唯一零點，符合題意．

綜上所述，實數a的取值范圍是(?12,0)．

解法二：令f(x)=0，得?ax=ex?1ex+1，設g(x)=?ax.，?(x)=ex?1ex+1．

∵函數g(x)的定義域為R，且g(?x)=ax=?g(x)；

函數?(x)的定義域為R，且?(?x)=e?x?1e?x+1=?ex?1ex+1=??(x)，

∴g(x)與?(x)都是R上的奇函數，

則問題轉化為函數g(x)與?(x)在(0,+∞)上恰有一個交點．

又∵函數?(x)=ex?1ex+1=1?2ex+1在(0,+∞)上單調遞增，∴?(x)∈(0,1)．

又∵?′(x)=2ex(ex+1)2，?″(x)=2ex(1?ex)(e15.【答案】丙投籃水平較高，理由見解析；

2081．【解析】解：甲、乙、丙三人各自獨立投籃，甲和乙都投中的概率是19，

甲投中而丙未投中的概率是16，乙投中而丙未投中的概率是16，

(1)丙投籃水平較高，理由如下：

設甲、乙、丙三人各自獨立投籃投中的概率分別為p1、p2、p3．

依題意，得p1p2=19p1(1?p3)=16p2(1?p3)=16，解得p1=13p2=13p3=12，

因為p1=p2<p3，所以，丙投籃水平較高．

(2)記A組投中次數為X1，B組投中次數為X2，

由(1)知X1～B(4,13)，X2～B(2,12)，

若B組獲勝，則X1=0，X2=1或X1=0，X2=2或X116.【答案】證明見解析；

35．【解析】解：(1)證明：過點P作PO⊥AB，垂足為O，

∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PO⊥AB，

∴PO⊥平面ABC，

又BC?平面ABC，∴PO⊥BC．

∵PA⊥平面PBC，BC?平面PBC，∴PA⊥BC．

又PA∩PO=P，PA，PO?平面PAB，

∴BC⊥平面PAB．

(2)∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥AB，又∵PA⊥平面PBC，∴PA⊥PC，

∴三棱錐P?ABC的外接球球心為AC中點，AC=2,PB=1,AB=102，

如圖，以B為坐標原點，BA為x軸，BC為y軸，建立空間直角坐標系．

∵PA⊥PB，

∴PA=AB2?PB2=62,PO=PA?PBAB=155,OB=PB2?PO2=105，

∴P(105,0,155),C(0,62,0),A(102,0,0)．

設平面APC的一個法向量為m=(x,y,z),AC=(?1017.【答案】證明見解析；

4?26【解析】(1)證明：因為∠ADC=3π4，可得∠ADB=π4，

又AB⊥AD，所以△ABD為等腰直角三角形，

而AD=CD，

可得AB=AD=CD=c,BD=2c，

所以a=BD+CD=(2+1)c，可得ac=(2+1)c2，

在△ADC中，由余弦定理得b2=c2+c2?2c×c×cos3π4=(2+2)c2，

所以b2?c2=(2+1)c2=ac，

即證得b2?c2=ac；

(2)解：因為∠ADC=θ，AB⊥AD，所以18.【答案】4x+y?4=0；

存在，a=?1，b=1；

{?1,0,1,2,3,4,5}．

【解析】解：(1)當a=1時，f(x)=(x+1)ln(2x?1)，得f′(x)=ln(2x?1)?2(x+1)x(2?x)

∵f(1)=0，f′(1)=?4，

∴曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=?4(x?1)，即4x+y?4=0．

(2)∵f(x)的定義域是(0,2)，且f(x)的圖象關于直線x=b對稱，∴b=1，

∴對任意的x∈(0,2)，f(x)=f(2?x)成立，

即(ax+1)ln(2x?1)=(2a?ax+1)ln(22?x?1)，

化簡整理得ax+1=ax?2a?1，

即1=?2a?1，

解得a=?1，

即存在a=?1，b=1，使f(x)的圖象關于直線x=b對稱．

(3)設g(x)=f(1x)=(ax+1)ln(2x?1)，則g′(x)=1x2[2x2+2ax2x?1?aln(2x?1)]．

∵g(x)在(1,+∞)上單調遞增，∴g′(x)≥0對任意的x∈(1,+∞)恒成立，

即t(x)=2x2+2ax2x?1?aln(2x?1)≥0，且t′(x)=4x(x?