2024-2025學年湖南省長沙市高二下學期階段檢測數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合M={x|1≤x<5}，N={x|x2?x<2}，則M∩N=A.{x|?1<x<2}B.{x|?1<x<5}C.{x|1≤x<2}D.{x|1≤x<5}2.已知復數z=1?i(i為虛數單位)，z是z的共軛復數，則|1z|的值為A.1 B.22 C.123.直線a+1x+3y+3=0與直線x+a?1y+1=0平行，則實數a的值為A.2 B.12 C.?2 D.2或4.已知向量a，b=(1,?1)滿足a⊥b，(a?A.3 B.2 C.2 5.在一次籃球比賽中，某支球隊共進行了8場比賽，得分分別為：29，30，38，25，37，40，42，32，那么這組數據的第75百分位數為(

)A.37.5 B.38 C.39 D.406.已知甲盒中有3個大小和質地相同的小球，標號為1,3,4，乙盒中有3個大小和質地相同的小球，標號為3,4,6，現從甲?乙兩盒中分別隨機摸出1個小球，記事件A=“摸到的兩個小球標號相同”，事件B=“摸到的兩個小球標號之和為奇數”，則(

)A.事件A和B相等B.事件A和B互相對立C.事件A和B相互獨立D.事件A和B互斥7.當動點P在正方體ABCD?A1B1C1D1的體對角線AA.π6,π4 B.π6,8.已知點P在橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，F1A.2 B.22 C.2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知a=(1,?1,1)是直線l1的一個方向向量，b=(2,2,?2)是直線l2A.a?b=(2,?2,?2)B.l1/?/l2C.l110.下列說法正確的是(

)A.若ac2≥bc2，則a≥bB.若a>b>c，則1b?c>1a?c

C.“a+2023是無理數”是“a是無理數”的充要條件11.下列各組函數中，是相同函數的是(

)A.f(x)=x2，x∈{?1,0,1}與g(x)=0,x=0,1,x=±1

B.f(x)=x?|x|與g(x)=x2,x≥0,?x2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知直線l:kx?y+4?4k=0與曲線y=?x2+2x有一個公共點，則實數k13.點A(1,2,1)，B(3,3,2)，C(λ+1,4,3)，若AB,AC的夾角為銳角，則λ的取值范圍為

．14.已知F1,F2為橢圓C：x216+y24=1的兩個焦點，P，四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知直線l:a?1y=(1)求證：直線l過定點；(2)若直線l不經過第二象限，求實數a的取值范圍；(3)若直線l與兩坐標軸的正半軸圍成的三角形面積最小，求l的方程．16.(本小題15分)已知函數f(x)=Asin(ωx+π3)(A>0,ω>0)最小值為(1)求實數A，ω的值；(2)當x∈[0,π2]時，求函數17.(本小題15分)如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形，側棱PA⊥底面ABCD，點E是PD的中點，AB=1，AD=PA=2．(1)求PC與AE所成角的大小；(2)求PC與平而ACE所成角的正弦值．18.(本小題17分)在?ABC中，內角A，B，C

所對的邊分別為a，b，c，且b1+cos(1)求角C；(2)若c=23，且1sinA19.(本小題17分)杭州第19屆亞運會是亞洲最高規格的國際綜合性體育賽事.本屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州舉辦.某款亞運會周邊產品深受大家喜愛，供不應求，某工廠日夜加班生產該款產品.生產該款產品的固定成本為4萬元，每生產x萬件，需另投入成本p(x)萬元.當產量不足6萬件時，p(x)=12x2+x;當產量不小于6萬件時，p(x)=7x+(1)求該款產品銷售利潤y(萬元)關于產量x(萬件)的函數關系式;(2)當產量為多少萬件時，該工廠在生產中所獲得利潤最大?

答案和解析1.【正確答案】C

解：集合M={x|1≤x<5}，

N={x|x2?x<2}={x|?1<x<2}，

所以M∩N={x|1≤x<2}．

2.【正確答案】B

解：

復數z=1?i，則z=1+i，

則1z=11+i=1?i1+i1?i3.【正確答案】C

解：當直線

a+1x+3y+3=0

與直線

x+a?1y+1=0

平行時，

(a+1)(a?1)=3

，解得

當

a=2

時，直線

3x+3y+3=0

與直線

x+y+1=0

重合，不符合題意，舍去；當

a=?2

時，直線

?x+3y+3=0

，即

x?3y?3=0

與直線

x?3y+1=0

平行，所以實數

a

的值為

?2

．故選：C4.【正確答案】C

解：由題設可知|b|=2，a?b=0，

故(a?5.【正確答案】C

解：將8場比賽得分從小到大排列為：

25，29，30，32，37，38，40，42，

75%×8=6，

故這組數據的第75百分位數為38+402=39．

故選：6.【正確答案】D

解：用a,b每次取球的結果，a,b分別表示甲?乙兩盒中分別隨機摸出1個小球的標號，由題意可知：樣本空間Ω=1,3事件A=3,3,4,4對于選項A：因為A≠B，所以事件A和B不相等，故A錯誤；對于選項B、D：因為事件AB=?,A∪B=1,4所以事件A和B互斥，事件A和B不互相對立，故B錯誤，D正確；對于選項C：因為nΩ則PA顯然PAB≠PAPB，所以事件A故選：D．7.【正確答案】B

解：設BP與AD1所成的角為θ，

以B為坐標原點，BC為x軸，BA為y軸，BB1為z軸建立空間直角坐標系，

則B(0,0,0)，C(1,0,0)，A1(0,1,1)，C∴AD1=BC1設CP=λCA則BP=BC+λ∴cosθ=|BC1→∴θ∈[π故選B．8.【正確答案】B

解：如圖所示：

不妨設m=P則PF1?P兩式相除可得12tanθ又θ∈0,π所以mn=2由橢圓的定義，得2a=m+n≥2mn，

(當且僅當m=n=2時等號成立)，

所以所以a2故選：B．9.【正確答案】ABC

解：由向量a=(1,?1,1)是直線l1的一個方向向量，b=(2,2,?2)是直線l2的一個方向向量，

可知a?b=(1,?1,1)?(2,2,?2)=1×2+(?1)×2+1×(?2)=?2，所以A不正確;

設a=λb，可得(1,?1,1)=λ(2,2,?2)，此時1=2λ,?1=2λ,1=?2λ,方程組無解，所以B不正確;

由a?b=?2，可知l1與l210.【正確答案】BC

解：對于A，當c=0，a=?1，b=2時，滿足ac2≥bc2，但a<b，故A錯誤;

對于B，因為a>b>c，所以a?c>0，b?c>0，a?b>0，

所以1b?c?1a?c=a?b(b?c)(a?c)>0，所以1b?c>1a?c，故B正確;

對于C，充分性：若a+2023是無理數，則a是無理數，充分性成立;

必要性：若a是無理數，則a+2023是無理數，必要性成立，

故“a+2023是無理數”是“a是無理數”的充要條件，故C正確11.【正確答案】ABD

解：對于A，f(x)的定義域、值域、對應關系都與g(x)相同，是同一函數；

對于B，f(x)=x?|x|=x2,x≥0,?x2,x<0,與g(x)是同一函數；

對于C，g(x)=x2=|x|，與f(x)=x的值域不同，不是同一函數；

12.【正確答案】1<k≤2或k=6?

解：∵曲線y=?x2+2x，

∴x?12+y2=1y?0，即曲線y=?x2+2x表示圓x?12+y2=1的上半圓，

直線kx?y+4?4k=0變形可得y=k(x?4)+4，

該直線過定點P(4,4)，且斜率為k，如圖所示，

當直線kx?y+4?4k=0與半圓x?12+y2=1y?0相切時，

則有|k?0+4?4k|k2+1=1，即8k2?24k+15=0，

解得k=6±64，由圖得k=13.【正確答案】(?2,4)∪(4,+∞)

解：由題意知AB=(2,1,1)，AC=(λ,2,2)，

∵AB,AC的夾角為銳角，

∴AB?AC=2λ+2+2>0，且不能同向共線，

解得λ>?2，λ≠4．

14.【正確答案】4

解：因為P，Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，且|PQ|=|F1F2|，

所以四邊形PF1QF2為矩形，

設|PF1|=m，|PF2|=n，

由橢圓的定義可得|PF1|+|PF2|=m+n=2a=8，

所以m2+2mn+n2=64，

因為|P15.【正確答案】解：(1)由直線方程(a?1)y=(2a?3)x+1，

變形可得a(y?2x)+3x?y?1=0，

則有y?2x=03x?y?1=0，解得x=1y=2，

故直線l過定點(1,2)．

(2)易得當直線l斜率不存在時，即a=1時，直線l:x=1符合題意;

當直線l斜率存在時，2a?3a?1≥2?01?0，解得a<1;

綜上可得，實數a的取值范圍為a≤1.

(3)已知直線l:(a?1)y=(2a?3)x+1，

令x=0，得y=1a?1>0，得a>1，

令y=0，得x=13?2a>0，得a<32．

則S16.【正確答案】解：(1)因為函數f(x)=Asin(ωx+π3)(A>0,ω>0)所以A=2,2π所以A=2，ω=2；(2)由(1)可得f(x)=2sin因為x∈[0,π所以2x+π于是sin(2x+所以2sin所以函數f(x)的值域為[?

17.【正確答案】解：(1)AB⊥AD，又PA⊥底面ABCD，AD、AB?底面ABCD，PA⊥AD，PA⊥AB，故以A為坐標原點，AB，AD，AP所在的直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A0,0,0，B1,0,0，C1,2,0，P所以PC=1,2,?2，AE=所以PC⊥AE，即PC與AE所成角的大小為(2)由(1)知PC=1,2,?2，AC=設平面ACE的一個法向量為n=x,y,z取y=1，則x=?2，z=?1，所以n=?2,1,?1是平面設PC與平面ACE所成角為θ，則sin?θ=|所以PC與平面ACE所成角的正弦值為6

18.【正確答案】解：(1)因為b1+cosC所以由正弦定理得，sin=sin又B為三角形的內角，所以sin