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文檔簡介
穩派教育2025年高中畢業班1月模擬考試數學試題試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內,不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內,第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,在正四棱柱中,,分別為的中點,異面直線與所成角的余弦值為,則()A.直線與直線異面,且 B.直線與直線共面,且C.直線與直線異面,且 D.直線與直線共面,且2.已知,則下列關系正確的是()A. B. C. D.3.如圖所示是某年第一季度五省GDP情況圖,則下列說法中不正確的是()A.該年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山東省B.與去年同期相比,該年第一季度的GDP總量實現了增長C.該年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2個D.去年同期浙江省的GDP總量超過了4500億元4.對于函數,若滿足,則稱為函數的一對“線性對稱點”.若實數與和與為函數的兩對“線性對稱點”,則的最大值為()A. B. C. D.5.運行如圖所示的程序框圖,若輸出的值為300,則判斷框中可以填()A. B. C. D.6.一個算法的程序框圖如圖所示,若該程序輸出的結果是,則判斷框中應填入的條件是()A. B. C. D.7.三棱錐中,側棱底面,,,,,則該三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.8.向量,,且,則()A. B. C. D.9.若,滿足約束條件,則的最大值是()A. B. C.13 D.10.已知復數滿足:(為虛數單位),則()A. B. C. D.11.函數的圖象大致為()A. B.C. D.12.已知,則,不可能滿足的關系是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知復數(為虛數單位),則的共軛復數是_____,_____.14.已知橢圓:的左、右焦點分別為,,如圖是過且垂直于長軸的弦,則的內切圓方程是________.15.若實數滿足約束條件,設的最大值與最小值分別為,則_____.16.已知,,分別為內角,,的對邊,,,,則的面積為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的長軸長為,離心率(1)求橢圓的方程;(2)設分別為橢圓與軸正半軸和軸正半軸的交點,是橢圓上在第一象限的一點,直線與軸交于點,直線與軸交于點,問與面積之差是否為定值?說明理由.18.(12分)已知函數.(Ⅰ)當時,求不等式的解集;(Ⅱ)若存在滿足不等式,求實數的取值范圍.19.(12分)設首項為1的正項數列{an}的前n項和為Sn,數列的前n項和為Tn,且,其中p為常數.(1)求p的值;(2)求證:數列{an}為等比數列;(3)證明:“數列an,2xan+1,2yan+2成等差數列,其中x、y均為整數”的充要條件是“x=1,且y=2”.20.(12分)甲、乙、丙三名射擊運動員射中目標的概率分別為,三人各射擊一次,擊中目標的次數記為.(1)求的分布列及數學期望;(2)在概率(=0,1,2,3)中,若的值最大,求實數的取值范圍.21.(12分)設函數.(1)求的值;(2)若,求函數的單調遞減區間.22.(10分)在直角坐標系中,曲線的參數方程為(為參數),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程;(2)若點在曲線上,點在曲線上,求的最小值及此時點的坐標.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】
連接,,,,由正四棱柱的特征可知,再由平面的基本性質可知,直線與直線共面.,同理易得,由異面直線所成的角的定義可知,異面直線與所成角為,然后再利用余弦定理求解.【詳解】如圖所示:連接,,,,由正方體的特征得,所以直線與直線共面.由正四棱柱的特征得,所以異面直線與所成角為.設,則,則,,,由余弦定理,得.故選:B【點睛】本題主要考查異面直線的定義及所成的角和平面的基本性質,還考查了推理論證和運算求解的能力,屬于中檔題.2.A【解析】
首先判斷和1的大小關系,再由換底公式和對數函數的單調性判斷的大小即可.【詳解】因為,,,所以,綜上可得.故選:A【點睛】本題考查了換底公式和對數函數的單調性,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎題.3.D【解析】
根據折線圖、柱形圖的性質,對選項逐一判斷即可.【詳解】由折線圖可知A、B項均正確,該年第一季度總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江蘇均第一.河南均第四.共2個.故C項正確;.故D項不正確.故選:D.【點睛】本題考查折線圖、柱形圖的識別,考查學生的閱讀能力、數據處理能力,屬于中檔題.4.D【解析】
根據已知有,可得,只需求出的最小值,根據,利用基本不等式,得到的最小值,即可得出結論.【詳解】依題意知,與為函數的“線性對稱點”,所以,故(當且僅當時取等號).又與為函數的“線性對稱點,所以,所以,從而的最大值為.故選:D.【點睛】本題以新定義為背景,考查指數函數的運算和圖像性質、基本不等式,理解新定義含義,正確求出的表達式是解題的關鍵,屬于中檔題.5.B【解析】
由,則輸出為300,即可得出判斷框的答案【詳解】由,則輸出的值為300,,故判斷框中應填?故選:.【點睛】本題考查了程序框圖的應用問題,解題時應模擬程序框圖的運行過程,以便得出正確的結論,是基礎題.6.D【解析】
首先判斷循環結構類型,得到判斷框內的語句性質,然后對循環體進行分析,找出循環規律,判斷輸出結果與循環次數以及的關系,最終得出選項.【詳解】經判斷此循環為“直到型”結構,判斷框為跳出循環的語句,第一次循環:;第二次循環:;第三次循環:,此時退出循環,根據判斷框內為跳出循環的語句,,故選D.【點睛】題主要考查程序框圖的循環結構流程圖,屬于中檔題.解決程序框圖問題時一定注意以下幾點:(1)不要混淆處理框和輸入框;(2)注意區分程序框圖是條件分支結構還是循環結構;(3)注意區分當型循環結構和直到型循環結構;(4)處理循環結構的問題時一定要正確控制循環次數;(5)要注意各個框的順序,(6)在給出程序框圖求解輸出結果的試題中只要按照程序框圖規定的運算方法逐次計算,直到達到輸出條件即可.7.B【解析】由題,側棱底面,,,,則根據余弦定理可得,的外接圓圓心三棱錐的外接球的球心到面的距離則外接球的半徑,則該三棱錐的外接球的表面積為點睛:本題考查的知識點是球內接多面體,熟練掌握球的半徑公式是解答的關鍵.8.D【解析】
根據向量平行的坐標運算以及誘導公式,即可得出答案.【詳解】故選:D【點睛】本題主要考查了由向量平行求參數以及誘導公式的應用,屬于中檔題.9.C【解析】
由已知畫出可行域,利用目標函數的幾何意義求最大值.【詳解】解:表示可行域內的點到坐標原點的距離的平方,畫出不等式組表示的可行域,如圖,由解得即點到坐標原點的距離最大,即.故選:.【點睛】本題考查線性規劃問題,考查數形結合的數學思想以及運算求解能力,屬于基礎題.10.A【解析】
利用復數的乘法、除法運算求出,再根據共軛復數的概念即可求解.【詳解】由,則,所以.故選:A【點睛】本題考查了復數的四則運算、共軛復數的概念,屬于基礎題.11.A【解析】
確定函數在定義域內的單調性,計算時的函數值可排除三個選項.【詳解】時,函數為減函數,排除B,時,函數也是減函數,排除D,又時,,排除C,只有A可滿足.故選:A.【點睛】本題考查由函數解析式選擇函數圖象,可通過解析式研究函數的性質,如奇偶性、單調性、對稱性等等排除,可通過特殊的函數值,函數值的正負,函數值的變化趨勢排除,最后剩下的一個即為正確選項.12.C【解析】
根據即可得出,,根據,,即可判斷出結果.【詳解】∵;∴,;∴,,故正確;,故C錯誤;∵,故D正確故C.【點睛】本題主要考查指數式和對數式的互化,對數的運算,以及基本不等式:和不等式的應用,屬于中檔題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
直接利用復數的乘法運算化簡,從而得到復數的共軛復數和的模.【詳解】,則復數的共軛復數為,且.故答案為:;.【點睛】本題考查了復數代數形式的乘除運算,考查了復數的基本概念,是基礎的計算題.14.【解析】
利用公式計算出,其中為的周長,為內切圓半徑,再利用圓心到直線AB的距離等于半徑可得到圓心坐標.【詳解】由已知,,,,設內切圓的圓心為,半徑為,則,故有,解得,由,或(舍),所以的內切圓方程為.故答案為:.【點睛】本題考查橢圓中三角形內切圓的方程問題,涉及到橢圓焦點三角形、橢圓的定義等知識,考查學生的運算能力,是一道中檔題.15.【解析】
畫出可行域,平移基準直線到可行域邊界位置,由此求得最大值以及最小值,進而求得的比值.【詳解】畫出可行域如下圖所示,由圖可知,當直線過點時,取得最大值7;過點時,取得最小值2,所以.【點睛】本小題主要考查利用線性規劃求線性目標函數的最值.這種類型題目的主要思路是:首先根據題目所給的約束條件,畫出可行域;其次是求得線性目標函數的基準函數;接著畫出基準函數對應的基準直線;然后通過平移基準直線到可行域邊界的位置;最后求出所求的最值.屬于基礎題.16.【解析】
根據題意,利用余弦定理求得,再運用三角形的面積公式即可求得結果.【詳解】解:由于,,,∵,∴,,由余弦定理得,解得,∴的面積.故答案為:.【點睛】本題考查余弦定理的應用和三角形的面積公式,考查計算能力.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)是定值,詳見解析【解析】
(1)根據長軸長為,離心率,則有求解.(2)設,則,直線,令得,,則,直線,令,得,則,再根據求解.【詳解】(1)依題意得,解得,則橢圓的方程.(2)設,則,直線,令得,,則,直線,令,得,則,.【點睛】本題主要考查橢圓的方程及直線與橢圓的位置關系,還考查了平面幾何知識和運算求解的能力,屬于中檔題.18.(Ⅰ)或.(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)分類討論解絕對值不等式得到答案.(Ⅱ)討論和兩種情況,得到函數單調性,得到只需,代入計算得到答案.【詳解】(Ⅰ)當時,不等式為,變形為或或,解集為或.(Ⅱ)當時,,由此可知在單調遞減,在單調遞增,當時,同樣得到在單調遞減,在單調遞增,所以,存在滿足不等式,只需,即,解得.【點睛】本題考查了解絕對值不等式,不等式存在性問題,意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.19.(1)p=2;(2)見解析(3)見解析【解析】
(1)取n=1時,由得p=0或2,計算排除p=0的情況得到答案.(2),則,相減得到3an+1=4﹣Sn+1﹣Sn,再化簡得到,得到證明.(3)分別證明充分性和必要性,假設an,2xan+1,2yan+2成等差數列,其中x、y均為整數,計算化簡得2x﹣2y﹣2=1,設k=x﹣(y﹣2),計算得到k=1,得到答案.【詳解】(1)n=1時,由得p=0或2,若p=0時,,當n=2時,,解得a2=0或,而an>0,所以p=0不符合題意,故p=2;(2)當p=2時,①,則②,②﹣①并化簡得3an+1=4﹣Sn+1﹣Sn③,則3an+2=4﹣Sn+2﹣Sn+1④,④﹣③得(n∈N*),又因為,所以數列{an}是等比數列,且;(3)充分性:若x=1,y=2,由知an,2xan+1,2yan+2依次為,,,滿足,即an,2xan+1,2yan+2成等差數列;必要性:假設an,2xan+1,2yan+2成等差數列,其中x、y均為整數,又,所以,化簡得2x﹣2y﹣2=1,顯然x>y﹣2,設k=x﹣(y﹣2),因為x、y均為整數,所以當k≥2時,2x﹣2y﹣2>1或2x﹣2y﹣2<1,故當k=1,且當x=1,且y﹣2=0時上式成立,即證.【點睛】本題考查了根據數列求參數,證明等比數列,充要條件,意在考查學生的綜合應用能力.20.(1),ξ的分布列為ξ
0
1
2
3
P
(1-a)2
(1-a2)
(2a-a2)
(2)【解析】(1)P(ξ)是“ξ個人命中,3-ξ個人未命中”的概率.其中ξ的可能取值為0、1、2、3.P(ξ=0)=(1-a)2=(1-a)2;P(ξ=1)=·(1-a)2+a(1-a)=(1-a2);P(ξ=2)=·a(1-a)+a2=(2a-a2);P(ξ=3)=·a2=.所以ξ的分布列為ξ
0
1
2
3
P
(1-a)2
(1-a2)
(2a-a2)
ξ的數學期望為E(ξ)=0×(1-a)2+1×(1-a2)+2×(2a-a2)+3×=.(2)P(ξ=1)-P(ξ=0)=[(1-a2)-(1-a)2]=a(1-a);P(ξ=1)-P(ξ=2)=[(1-a2)-(2a-a2)]=;P(ξ=1)-P(ξ=3)=[(1-a2)-a2]=.由和0<a<1,得0<a≤,即a的取值范圍是.21.(1)(2)的遞減區間為和【解析】
(1)化簡函數,代入,計算即可;(2)先利用正弦函數的圖象與性質求出函數的單調遞減區間,再結合即可求出.【詳解】(1),從而.(2)令.解得.即函數的所有減區間為,考慮到,取,可得,,故的遞減區間為和.【點睛】本題主
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