第8講分數與循環小數

內容概述

掌握分數與小數互相轉化酌方法，并在分數與循環個數混合運算中進行合理應用：學會

通過分數的形式判斷相應的小數類型；注意利用圄期性分析循環小數的小數部分.

典型問題

興趣篇

1.把下列分數化為小數：

小31313加234川557...234

叱三石；⑵靖TT喘⑶不金后⑷于運彳

2.把下列循環小數轉化為分數：

(1)0.i,0.4;(2)0.0i,0.35;(3)0.08,0.38.

3.把下列循環小數轉化為分數：0.7,0.12,0.123,0.123

4.計算：(1)0.1+0.2+03;(2)0.2+03+0.4;(3)03+0.5+0.7;

(4)0.1+0.12+0.123;(5)0.12+0.23.

5.o.i2345+0.2345i+0.34512+0.45123+0.51234.

6.計算下列各式，并用小數表示計算結果：⑴l.A6xO35i;(2)0.38-0.518.

7.將算式0.3+0.6-0.3><0.6+0.$+0.6的計算結果用循環小數表示是多少？

8.將算式二十二+二十二的計算結果用循環小數表示是多少？

91()1112

9.冬冬將1.23乘以一個數口時，把1.23誤看成1.23,使乘積比正確結果減少0.3.則正確

結果應該是多少？

10.真分數色化成小數后，如果從小數點后第一位起連續若干個數字之和是2000.a應該

是多少?

拓展篇

3544210

1.將下列分數化為小數:

869713

2.把下列循環小數轉化為分數：0.48,o.i358,3.16.3653846i.

3.(I)把下面這些分數化為小數后，哪些是有限小數，哪些是純循環小數，哪些是混循環小

數：

33121517188413511

了而‘花‘荻‘而’777?

4.計算：(1)0.02+0.31+0.45;(2)0.i+0.12+0.1234;

(3.)0.i2+0.53+0.69;(4)0.67+0.212+0.i11020.

5計算：

(1)0.0i+0.i2+0.23+034+…+0.78+0.89;(2)0.0i+0.12+0.23+0.34+0.78+0.89.

6.計算:(1X4.2-0.48)2.05;(2)0.i32x(0.135+0.135).

7.計算：(1.2169+0.i*)+2.698i.(將結果表示為分數和小數兩種形式)

8.計算：1-I--1---1---1--I-----(結果用循環小數表示)

357911

9.將最簡真分數9化成個數后，從小數點后第一位開始的連續n位數之和為9006,a與n

7

分別為多少？

10.冬冬寫了一個錯誤的不等式：0.2008>0.2008>0.2008>0.2008.請給式子中每個小

數都添加循環點，使不等號成立.請問：添加循環點后這四個數中最大數與最小數的和等于

多少？

1QQQ

11.(1)——和——化成小數后，兩個循環小數的小數點后第2008位數字的和是多少？

101101

(2)把上堂和空?化成小數后，兩個循環小數的小數點后第2008位數字的和是多少？

20082008

12.冬冬將().3勤乘以-一個數a時，看丟了一個循環點，使得乘積比正確結果減少了().通正

確結果應該是多少？

超越篇

第5講分數與循環小數

內容概述

掌握分數與小數互相轉化的方法，并在分數與循環個數混合運算中進行合理應用；學會

通過分數的形式判斷相應的小數類型：注意利用周期性性分析循環小數的小數部分。

典型問題

興趣篇

1.把下列分數化為小數：

小31313小、2345734

⑴二，二-，力；(2)—,—,—；(3)~,—,—；(4)—?

4825911336229071337

答案：(1)0.751.6250.52⑵0.2().270J2(3)0.830.2270.07

(4)0.2857140.2307600J08

3

解析：(1)-=34-4=0.75—=134-8=1.625一=134-25=0.52

4825

2.34.

(2)-=24-9=0.2—=34-11=0.27—=44-33=0.12

91133

55..7

(3)-=54-6=0.83二=5+22=0.227—=0.07

62290

234??

(4)-=24-7=0.2857143=3+13=0.230演—=0.108

71337

2.把下列循環小數轉化為分數：

(1)0.i,0.4;(2)0.di,0.35;(3)0.08,0.38.

14357

答案(1)上-⑶不

9999

14

解析1)0.1=-0.4=-

99

35

(2)0.01=—0.35=——

9999

84c38-335=2_

(3)0.08=——=——0.38=------

9045909018

3.把下列循環小數轉化為分數:0.7,0.12,O.i23,0.123

效案.2紅衛

933333495

7…124123_41123-112261

解析:0.7=一0.12=—=—0.123=0.123=

99933999~333990990~495

4.計算：(1)0.1+0.2+03;(2)0.2+03+0.4;(3)0.3+0.5+0.7;

(4)0.1+0.12+0.123;(5)0.12+0.23.

答案：0.611.60.3560.354.

1236-

+6

解析：(1)0.1+0.2+0.39-9-9-9-0.

,234

(2)0.2+03+0.4=-+-+-=1

999

?.3576.

(3)0.3+0.5+0.7=-+-+-=l-=1.6

9999

0.i+0.12+0.123

=0.23+0.123

=0.356

0.12+0.23=0.354.

5.O.i2345+0.2345i+0.34512+0.45123+0.51234.

答案：1.6

解析：

O.i2345+0.2345i+0.34512+0.45123+0.51234

1234523451345124512351234

=-----1------F-----1------1-----

9999999999999999999999999

166665

-99999

二］66666

―99999

二公

3

=1.6

6.計算下列各式，并用小數表示計算結果：(1)1.86x0.351;(2)0.384-0.518.

答案：0.650.75

一、諂小1863511851365門

解析:(1)原式二1一x——=——x一=一=0.65

99999993799

后-7147273…

(2)原式=-4--=—x—=—=0.75

182718144

7.將算式()：+().6-()；xo.G+oG+o.6的計算結果用循環小數表示是多少？

答案：

解析:

0.3+0.6-0.3x0.6+0.3+0.6

,1212

=1-x—|---：—

3333

,21

—1---1—

92

23

=Ti

=1.27

8.將算式的計算結果用循環小數表示是多少？

91()1112

答案：().3853

解析：原式=o.i+o.i+o.的+0.083

=0.3853

9.冬冬將1.23乘以一個數口時，把1.23誤看成1.23,使乘積比正確結果減少0.3.則正確

結果應該是多少？

答案：111

33

解析:由題意得:1.23。一1.23。=0.3,即：0.003。=0.3,所以有：—a=—.解得a=90,

90010

所以1.23。=1.23x90=(1+篇490=111.

10.真分數且化成小數后，如果從小數點后第一位起連續若干個數字之和是2000.a應該

7

是多少？

答案：a=2

a

彳化成小數很神奇，都是有142857這六個數字組成，并循環的，而且六個數字

解析:

從左到右的相對順序位置是不變的

-=0.142857,-=0.285714,-=0.428571,-=0.571428,-=0.714285,-=0.857142.

777777

一個循環節的6位數字之和是1+4+2+8+5+7=27,2000+27=74。＜2,循環節的前

幾位數字之和是2的只有0.285714,此時。就是2.

拓展篇

3544210

1.將下列分數化為小數：

869713

答案：0.375().834.80.2857140.76923()

3544.

解析：±=3+8=0.375r=5-6=0.83—=44+9=4.8

869

2?10

一=2+7=0.285714—=10^13=0.769230

713

2.把下列循環小數轉化為分數；0.4&0.1353,3.1703,6.3653846i.

16413互612

答案：

33303T3552

…4816

解析:0.48=—

9933

0.i353=1353二41

9999~303

3」加=33二3融23

=3—

99904995135

36538^61-36的6538425J9

6.3653846i.=6o-----------o—

999999009999990052

3.(1)把下面這些分數化為小數后，哪些是有限小數，哪些是純循環小數，哪些是混循環小

數：

33121517188413511

4,50,77,77，T50，-192,308,625，TTn

3311R135

答案：能化成有限小數：-——

450192625

2158411

能化成純循環小數：——

17

能化成混循環小數：—

15()

解析：先化簡分數，之后將分母分解質因數。如果分母只含有質因數2和5,那么這個分數

一定能化成有限小數；如果分母中只含有2與5以外的質因數，那么這個分數?定能化成純

循環小數；如果分母中既含有質因數2或5,乂含有2與5以外的質因數，那么這個分數一

定能化成混循環小數。

31412

⑵把下列分數化成循環小數：—

3537143

答案:0.08571420.3780.083916

3

解析：—=0.0X57142

35

14??

——=14+37=0.378

37

12.

—=12+143=0.083916

143

4.計算:(1)0.02+0.31+0.45;(2)0.1+0.12+0.1234;

(3.)0.12+0.53+0.69;(4)0.67+0.212+0.111020.

答案：0.780.35671.351

解析：(1)0.02+0.31+0.45=0.78

(2)0.1+0.12+0.1234=0.1111+0.1222+0.1234=0.3567

(3)0.i2+0.53+0.69=1.35

(4)0.67+0.212+O.i11020=1

5計算

(1)0.61+0.12+0.23+034+???+0.78+0.89;

(2)0.01+0.12+().23+0.34+0.78+0.89

答案：4—2.4

11

解析：

(1)0.6i+0.i2+0.23+0.34+…+0.78+0.89

11223347889

=------1-------1--------1-------1-…+------1-------

999999999999

二(1+89)x9

99x2

=4—

(2)0.0i+0.124-0.23+0.34+0.78+0.89

11121317181

=----+-------F----+------H---------1------

909090909090

1+11+21+31+71+81

90

216

二防

=2.4

6.計算：(1X4.2-0.48)2.05;(2)0.132x(0.135+0.135).

答案：(1)1.8…1(2)士2928

8325

解析:

(1)(4.2-0.48)4-2.05

=(/.史3

(2)0.i32x(0.135+0.135)

99990

735=0.i32x0.2709

=3-4-2—

99901322682

37090'9999900

=氨、詬二298

-8325

—_2_0

11

=i.8i

7.計算：（1.2169+0.怡）+2.698i.（將結果表示為分數和小數兩種形式）

2

答案：一0.6

3

(1.21694-0.18)-2.0981

呼+當.2%

(999999)9999

助近1398620979

解析：=------+-------

99999999

2

=—

3

=0.6

8.計算：1'（結果用循環小數表示）

357911

答案：0.65063492

解析：原式=1+04+0.2+0.i42857+0.i+009

=1.2+0.3+0.i42857+0.i+0.09

=1.8782106

9.將最簡真分數@化成個數后，從小數點后第一位開始的連續n位數之和為9006,a與n

7

分別為多少？

答案：a=ln=2002或a=2n=2001

解析：7化成的小數都是有142857這六個數字組成，并循環的，而且六個數字從左到右的

相對順序位置是不變的

-=0.142857,-=0.285714,-=0.428571,-=0.571428,-=0.714285,-=0.857142.

777777

一個循環節的6位數字之和是1+4+2+8+5+7=27,9(X)6+27=333……15,循環節的前幾位

數字之和是15,在;=0.142857中，1+4+2+8=15,那么a就是1,此時n=333X6+4=2002,

2..

在—=0.285714中，2+8+5=15,那么a就是2,此時n=333X6+3=2001.所以，a=ln=20G2或

7

a=2n=2001。

10.冬冬寫了一個錯誤的不等式：0.2008>0.2008>0.2008>0.2008.請給式子中每個小

數都添加循環點，使不等號成立.請問：添加循環點后這四個數中最大數與最小數的和等于

多少？

解析：把0.2008添加循環點，可以變成4個循環小數：62008,0.2008,0.2008,0.2008.

0.2008=0.2(X)82008....,0.2008=0.2008008…，0.2008=0.200808…,

0.2008=0.200888

比較小數點后第5、6、7位，可知0.2008>0.2008>0.2008>0.2008

0.2008+0.2008=0.401689

13QQ

H.(1)」_和一化成小數后，兩個循環小數的小數點后第2008位數字的和是多少？

101101

(2)把和蝮化成小數后，兩個循環小數的小數點后第2008位數字的和是多少？

20082008

答案(1)9(2)9

13?.

—=0.1287

101

88?

(1)解析：一=0.8712

101

2008+4=502

2+7=9

⑵解析：正竺+始~=1而1=0.9,所以這兩個數小數點對應數字之和都為9.

20082008

12.冬冬將O.32i乘以一個數a時，看丟了一個循環點，使得乘積比正確結果減少了0.值正

確結果應該是多少？

4

答案：96—

11

八3…；3182891,乘數少了—,乘積少了0.03=」-說明

解析：0.321-0.321=--------=-----

9909009900990033

4

a=300,0.321x300=—x300==96—

9991111

超越篇

I.將循環小數0.027與0」7967。相乘，取近似值，要求保留一百位小數.該近似值的最

后一位小數是多少？

答案：9

解析：先化成分數，相乘，分子分母約分，再化成小數。

2717967211796724856

0.027X0.179672=——X--------=——X--------=--------=0.004856。

99999999937999999999999

004856六個數字循環，100+6=16…4,第100位是8,后面的5四舍五入進1,進位

后第10()位(近似值的最后一位)是9.

2.有一個算式口+口+口R1.37,算式左邊的方格中都是整數，右邊的結果為四舍五入

2511

到百分位后的近似值，那么方格中填入的三個數分別是多少？

答案：133

解析：分母為2和5的分數都是一位小數，因此百分位的7是分母是11的分數產生的，只

3□□13133

有二=0.27,—+—=1.1,只有一+3=1.1,因此一+?+匚a1.37

1125252511

3.劃去0.5738367981的小數點后的六個數字，再添上表示循環節的兩個圓點，可以得到一

個循環小數.這樣的小數中最大的數為多少？最小的數為多少？

答案：最大0.898i最小0：36i

解析：要使9為小數點后第一位，須劃去七個數字，因此小數點后第一位最大是8,劃去573

和367這六個數字后小數點后第二位是9,最大，為使循環小數最大，須把9設為循環節的

第位,從而最大的數是O.898i。顯然不是小數點后前三位數字，因此小數點后第位最

小是3,第二位最小是3,第三位最小是6,為使循環小數最小，須把第一個圓點添在第一

個3上，即最小的數是0.?36「

4.給小數0.2138045976添加表示循環節的兩個圓點，得到一個循環小數，要使得這個循環

小數的小數點后第100位數字是7,應該怎么添加？

答案：0.2138045976

解析：第100位是7,那么第101位是6,由于前面已經占用了10位，所以后面的完整循

環節有101-10=91位，則每個循環節的數字個數是91的約數，顯然在2到10的范圍內只有

7才是91的約數，所以循環節數字的個數是7,因此，應該標在數字8和6上

5.有兩個循環小數a和b,a的循環節有3位，b的循環節有6位.這兩個數之和的循環節

最多有多少位？最少有多少位？

答案：最多有6位，最少有2位

解析：兩個循環小數的和或差的循環節的位數最多是這兩個循環節位數的最小公倍數。

B

a的小數部分化為分數后為——--,b的小數部分化為分數后為由于

99900...099999900...0

A___________B_____C

999999=999X1001,a+b的小數部分即99900...0+99999900...0-99999900...0循環節

最多有6位，最少有2位，此時c為10101的倍數

6.只用數字I、2、3各一次可以組成很多不含重復數字的循環小數（循環點和小數點可以

任意添加，例如1.幻，12.3,3.12）.這些小數的總和是多少？

答案：160

解析：1.勿+1.切+2.門+2.分+3.i2+3.2i=13-

3

12.3+13.2+21.3+23.1+31.2+32.i=133-

3

1.23+1.32+2.13+2.3i+3.12+3.21=13-

3

111

133-+13-+13-=160

333

7.寫出一個