3.1.3函數的奇偶性（第二課時）注：若函數

f(x)

不具有上述性質,則稱

f(x)

不具有奇偶性;若函數同時具有上述兩條性質,則

f(x)

既是奇函數,又是偶函數.例:函數

f(x)=0(x∈D,D關于原點對稱)是既奇又偶函數.相同相反奇函數偶函數奇函數（3）奇函數:f(0)=0(0

在定義域中)

偶函數:f(x)=f(|x|)3、函數奇偶性的判定方法（1）.根據定義判定:首先看函數的定義域是否關于原點對稱,若不對稱,則函數是非奇非偶函數;若對稱,再判定

f(-x)=f(x)

或

f(-x)=-f(x).

（2）.利用定理,借助函數的圖象判定:

（3）.性質法判定:

在公共定義域內,兩奇函數之積(商)為偶函數;兩偶函數之積(商)也為偶函數;

一奇一偶函數之積(商)為奇函數.

(注意取商時分母不為零!)有時判定

f(-x)=±f(x)

比較困難,可考慮判定

f(-x)

f(x)=0或判定

=

1.f(x)f(-x)B題型二函數奇偶性的性質及其應用2.設函數f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函數，則實數a＝______.[思路]利用奇偶函數的性質，得到參數a滿足的方程．－1[解析]本題考查函數的基本性質中的奇偶性，該知識點在高考考綱中為B級要求．設g(x)＝ex＋ae－x，x∈R，由題意分析g(x)應為奇函數(奇函數×奇函數＝偶函數)，∵x∈R，∴g(0)＝0，則1＋a＝0，所以a＝－1.題型三抽象函數的奇偶性與單調性例3、已知奇函數f(x)是定義在[－1,1]上的增函數，且f(x－1)＋f(1－2x)<0，求實數x的取值范圍．【思路點撥】f(x－1)＋f(1－2x)<0―→f(x－1)<f(2x－1)―→根據單調性列不等式組―→解得實數x的取值范圍例4、若偶函數f(x)的定義域為[－1,1]，且在[0,1]上單調遞減，若f(1－m)<f(m)成立，求m的取值范圍．函數的周期性(1)周期函數對于函數y＝f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有____________，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期.(2)最小正周期如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個____________，那么這個__________就叫作f(x)的最小正周期.f(x＋T)＝f(x)最小的正數最小正數拓展延伸教材拓展2.對稱性的三個常用結論(1)若函數y＝f(x＋a)是偶函數，即f(a－x)＝f(a＋x)，則函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.(2)若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.(3)若函數y＝f(x＋b)是奇函數，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，則函數y＝f(x)的圖象關于點(b，0)中心對稱.

題型四：奇偶性與周期性綜合應用2．已知f(x)在R上是奇函數，且滿足f(x＋4)＝f(x)，當x∈(0,2)時，f(x)＝2x2，則f(7)＝()A．－2 B．2C．－98 D．98解析：

∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f[4＋(－1)]＝f(－1)．又∵f(－x)＝－