2024年高考數學第一次模擬考試高三數學（理科）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．測試范圍：高考全部內容5．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知復數z滿足，則（

）A． B．C． D．2．已知集合，則（

）A． B． C． D．3．下列條件中，為“關于x的不等式對恒成立”的充分不必要條件的有（

）A． B． C． D．4．已知函數，則下列說法錯誤的是（

）A．函數的圖象關于原點對稱 B．是函數的一個周期C．函數的圖象關于直線對稱 D．當時，的最小值為15．如圖，在矩形中，已知為邊的中點．將沿翻折成，若為線段的中點，給出下列說法：①翻折到某個位置，可以使得平面；②無論怎樣翻折，點總在某個球面上運動．則（

）．A．①和②都正確 B．①和②都錯誤C．①正確，②錯誤 D．①錯誤，②正確6．如圖，在某城市中，?兩地之間有整齊的方格形道路網，其中???是道路網中位于一條對角線上的個交匯處．今在道路網?處的甲?乙兩人分別要到?處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發，直到到達?處為止．則下列說法正確的是（

）A．甲從到達處的方法有種B．甲從必須經過到達處的方法有種C．甲?乙兩人在處相遇的概率為D．甲?乙兩人相遇的概率為7．已知函數．若，，且在上恰有1個零點，則實數ω的取值范圍為（

）A．(0，] B．(，] C．(，] D．(，]8．已知實數滿足，其中，則實數的最小值為（

）A． B． C． D．9．如圖，某城市有一條公路從正西方通過市中心后轉向東北方，為了緩解城市交通壓力，現準備修建一條繞城高速公路，并在上分別設置兩個出口，若部分為直線段，且要求市中心與AB的距離為20千米，則AB的最短距離為（

）A．千米 B．千米C．千米 D．千米10．若函數既有極大值也有極小值，則錯誤的是（

）A． B．C． D．11．已知橢圓的左、右焦點分別為、，若橢圓上恰好有個不同的點，使得為等腰三角形，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．12．已知，且，則的大小關系為（

）A． B．C． D．第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13．已知雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為.14．在中，過重心的直線交邊于點，交邊于點（、為不同兩點），且，，則的取值范圍為.15．在中，，，當取最大值時，．16．已知四棱錐的各個頂點都在同一個球面上.若該四棱錐體積的最大值為，則該球的體積為.三、解答題：本大題共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）當前，新一輪科技革命和產業變革蓬勃興起，以區塊鏈為代表的新一代信息技術迅猛發展，現收集某地近6年區塊鏈企業總數量相關數據，如下表：年份201720182019202020212022編號123456企業總數量（單位：百個）5078124121137352(1)若用模型擬合與的關系，根據提供的數據，求出與的經驗回歸方程；(2)為了促進公司間的合作與發展，區塊鏈聯合總部決定進行一次信息化技術比賽，邀請甲、乙、丙三家區塊鏈公司參賽．比賽規則如下：①每場比賽有兩個公司參加，并決出勝負；②每場比賽獲勝的公司與未參加此場比賽的公司進行下一場的比賽；③在比賽中，若有一個公司首先獲勝兩場，則本次比賽結束，該公司獲得此次信息化比賽的“優勝公司”．已知在每場比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為，若首場由甲乙比賽，求甲公司獲得“優勝公司”的概率．參考數據：，其中，參考公式：對于一組數據，其經驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為18（12分）．如圖，已知四邊形是矩形，平面，，，點M，N分別在線段上．

(1)求證：直線平面．(2)是否存在M，N，使得？若存在，求出直線與平面所成角的正弦值．若不存在，請說明理由．19．（12分）數列中，，對任意正整數n都有.(1)求的通項公式；(2)設的前項和為，證明：①；②.20．（12分）已知函數．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若0是函數的極小值點，求實數的取值范圍．21．（12分）已知點在拋物線上，為拋物線上兩個動點，不垂直軸，為焦點，且滿足.(1)求的值，并證明：線段的垂直平分線過定點；(2)設（1）中定點為，當的面積最大時，求直線的斜率.（二）選考題：共10分．請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．選修4-4：坐標系與參數方程22．（