專題10坐標平面上的直線

閱讀與思考

我們知道，任意一個一次函數的圖象都是平面上的一條直線，那么，是不是平面上的任意一條直線

都是某個一次函數的圖象呢？請讀者思考.

一次函數、二元一次方程、直線三者有著緊密的聯系，我們既可以用函數的方法來處理方程的問題，

也可以從方程的觀點來討論函數；既可以用坐標平面上的直線來表示一次函數與二元一次方程，也可以

用方程和函數的思想來研究直線的性質，以及直線與直線之間的關系.

數形結合是解函數問題的重要思想方法，它包括兩方面內容：

（1）由數定形

即通過函數解析式的系數符號，確定圖象的大致位置.

（2）由形導數

即從給定的函數圖象上獲得解的信息，如圖象的大致位置；確定解析式中系數符號；圖象上的點的

坐標等.

一次函數的圖象是一條直線，對于實際問題，由于自變量的取值范圍受實際意義的限制，因此，作

出的函數圖象是常見直線的一部分，相應函數值就有最大值或最小值.

一次函數是表示日常生活中勻速變化的兩個變量之間關系的數學模型，是最基本的函數，有著廣泛

的應用價值.運用一次函數解題時應注意：

1.一次函數的圖象是一條直線.

2.函數解析式ykxb中的系數符號，確定圖象的大致位置及y隨x變化的性質.

(k0,b0)(k0,b0)(k0,b0)(k0,b0)

3.確定一次函數解析式，通常需要兩個獨立的條件.

4.一次函數與二元一次方程有著密切的聯系，任意一個一次函數ykxb都可以看做是一個關于

x，y的二元一次方程kxyb0；反過來，任意一個二元一次方程axbyc0，當b0時，可化

ac

為形如yx的函數形式.

bb

例題與求解

【例1】（1）如圖，已知A點坐標為(5,0)，直線yxb(b0)與y軸交于點B，連接AB，75，

則b.

（蘇州市中考試題）

（2）一次函數yaxb的圖象l1關于直線yx軸對稱的圖象l2的函數解析式是.

（太原市競賽試題）

b

解題思路：對于（1），先求出相應函數解析式；對于（2），l1與x軸、y軸交點的坐標分別為A(,0)，

a

B(0,b)，求出A，B兩點分別關于直線yx對稱點的坐標，這是解題的關鍵.

abbcca

【例2】已知abc0，并且p，則直線ypxp一定通過（）

cab

A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限

（全國初中數學競賽試題）

解題思路：求出p的值，大致畫出函數圖象位置，從而作出判斷.

【例3】如圖，△AOB為正三角形，點B的坐標為(2,0)，過點C(2,0)作直線l交AO于D，交AB

于E，且使△ADE和△DCO的面積相等，求直線l的函數解析式.

（太原市競賽試題）

解題思路：

由S△ADES△DCO得S△AOBS△CBE，設法求出E點的坐標.

【例4】某科技公司在甲地、乙地分別生產了17臺、15臺同一種型號的檢測設備，全部運往大運會

賽場A，B兩館，其中運往A館18臺、運往B館14臺.運往A，B兩館的運費如下表：

出發地

甲地乙地

目的地

A館800元/臺700元/臺

B館500元/臺600元/臺

（1）設甲地運往的設備有x臺，請填寫下表，并求出總運費y（元）與x（臺）的函數關系式；

出發地

甲地乙地

目的地

A館x（臺）（臺）

B館（臺）（臺）

（2）要使總運費不高于20200元，請你幫助該公司設計調配方案，并寫出有哪幾種方案；

（3）當x為多少時，總運費最小，最小值是多少？

（深圳市中考試題）

解題思路：將設計方案轉化為求不等式組的整數解，為此需求出自變量的取值范圍.

當一次函數圖象與兩坐標軸有交點時，就與直角三角形聯系在一起.求兩交點坐標并能發掘隱含條

件是解相關綜合題的基礎.

當自變量受限制時，一次函數圖象可能是射線、線段、折線或點.當一次函數自變量取值受限制時，

存在最大值與最小值，根據圖象求最值直觀明了.

【例5】已知長方形ABCO，O為坐標原點，B的坐標為(8,6)，A，C分別在坐標軸上，P是線段BC

上的動點，設PCm，已知點D在第一象限且是直線y2x6上的一點，若△APD是等腰直角三角

形.

（1）求點D的坐標；

（2）直線y2x6向右平移6個單位后，在該直線上是否存在點D，使△APD是等腰直角三角形？

若存在，請求出這些點的坐標；若不存在，請說明理由.

（浙江省中考試題）

解題思路：構造全等三角形，注重坐標與線段的轉化，并由動點討論，這是解本題的關鍵.

例5顛覆了傳統意義上的動點問題與存在性問題，探索過程是嘗試畫圖，找到可能存在的點，再計

算驗證.綜合了坐標、方程、函數、矩形、特殊三角形、全等三角形等豐富的知識，滲透了分類討論、

數形結合等思想方法.

【例6】如圖1是甲、乙兩個圓柱形水槽的軸截面示意圖，乙槽中有一圓柱體鐵塊立放其中（圓柱形

鐵塊的下底面完全落在乙槽底面上）.現將甲槽中的水勻速注人乙槽，甲、乙兩個水槽中水的深度y（厘

米）與注水時間x（分鐘）之間的關系如圖2所示．根據圖象提供的信息，解答下列問題：

（1）圖2中折線ABC表示槽中水的深度與注水時間之間的關系，線段DE表示

槽中水的深度與注水時間之間的關系（以上兩空選塡“甲”或“乙”），點B的縱坐標表示的實際意義

是；

（2）注水多長時間時，甲、乙兩個水槽中水的深度相同？

（3）若乙槽底面積為36平方厘米（壁厚不計），求乙槽中鐵塊的體積；

（4）若乙槽中鐵塊的體積為112立方厘米，求甲槽底面積（壁厚不計）．（直接寫出結果）

（揚州市中考試題）

解題思路：觀察乙槽的特征可知，水面上升速度應是先快后慢，圖象的“轉折點”即對應容器的“水

面剛好漫過鐵塊”這個時刻，由此確定，圖象與器具的對應關系.對于（3）、（4），根據注水時間與注水

速度求解，而解題的關鍵是挖掘出隱含信息.

例6是圖象信息題.函數圖象以直觀、形象的特征融合了顯性與隱性的信息，解題的關鍵是獲取數

據、數量關系信息，并能整合信息，還原到問題的情境之中.

能力訓練

A級

abcabcabc

1.已知k，且m5n296n，則關于自變量x的一次函數

cba

ykxmn的圖象一定經過第象限.

（湖北省黃岡市競賽試題）

2.某地長途汽車客運公司規定旅客可隨身攜帶一定重量的行李，如果超過規定，則需要購買行李票，

其圖象如圖所示，旅客最多可免費攜帶行李千克.

（南京市中考試題）

3.如圖，一次函數ykxb的圖象經過A，B兩點，則△AOC的面積為.

（第2題）（第3題）（第4題）

1

4.如圖，直線yx2與兩坐標軸分別交于A，B兩點，直線BC與直線AB垂直，垂足為B，則

2

直線BC所對應的函數解析式為.

5.某市為了鼓勵節約用水，按以下規定收取水費：（1）每戶每月用水量不超過20m3，則每立方米

水費1.2元；（2）每戶每月用水量超過20m3，則超過的部分每立方米水費2元.設某戶一個月所交水費

為y（元），用水量為x（m3），則y與x的函數關系用圖象表示為（）

ABCD

（荊州市中考試題）

6.下列圖象中，不可能是關于x的一次函數ymx(m3)的圖象是（）

（北京市中考試題）

7.如圖，點A，B，C在一次函數y2xm的圖象上，它們的橫坐標依次為1、1、2，分別過

這些點作x軸與y軸的垂線，則圖中陰影部分的面積之和是（）

3

A.1B.3C.3(m1)D.(m2)

2

（寧波市中考試題）

1

8.點A(4,0)，B(2,0)是坐標平面上兩定點，C是yx2的圖象上的動點，則滿足上述條件

2

的直角△ABC可以畫出（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

（北京市競賽試題）

9.隨著我國人口增長速度的減慢，小學入學兒童數量有所減少，下表中的數據近似地呈現了某地

區入學兒童人數的變化趨勢.試用你學過的函數知識解決下列問題：

x（年）200020012002…

入學兒童人數y（人）252023302140…

（1）求入學兒童人數y（人）與年份x（年）的函數關系式；

（2）利用所求函數關系式，預測該地區從哪一年起入學兒童的人數不超過1000人.

（沈陽市中考試題）

10.已知直線x2yk6和x3y4k1，若它們的交點在第四象限.

（1）求k的取值范圍；

（2）若k為非整數，點A的坐標為(2,0)，點P在直線x2yk6上，求使△PAO為等腰三角

形的點P的坐標.

（大連市中考試題）

11.如圖，已知直線yx2與x軸，y軸分別交于點A和點B，另一直線ykxb(k0)經過點

C(1,0)，且把△AOB分成兩部分.

（1）若△AOB被分成的兩部分面積相等，求k和b的值；

（2）若△AOB被分成的兩部分的面積比為1:5，求k和b的值.

（廈門市中考試題）

12.某車站客流量大，旅客往往需長時間排隊等候購票.經調查統計發現，每天開始售票時，約有

300名旅客排隊等候購票，同時有新的旅客不斷進入售票廳排隊等候購票，新增購票人數y（人）與售

票時間x（分）的函數關系如圖1所示；每個售票窗口票數y（人）與售票時間x（分）的函數關系如圖

2所示.某天售票廳排隊等候購票的人數y（人）與售票時間x（分）的函數關系如圖3所示.已知售票

的前a分鐘開放了兩個售票窗口，求：

圖1圖2圖3

（1）a的值；

（2）售票到第60分鐘時，售票廳排隊等候購票的旅客人數；

（3）該車站在學習實踐科學發展觀的活動中，本著“以人為本，方便旅客”的宗旨，決定增設售票窗

口.若要在開始售票后半小時內讓所有排隊購票的旅客都能購到票，以便后來到站的旅客能隨到隨購，

請你幫助計算，至少需同時開放幾個售票窗口？

（咸寧市中考試題）

13.2011年4月28日，以“天人長安，創意自然——城市與自然和諧共生”為主題的世界園藝博覽

會在西安隆重開園.這次園藝會的門票分為個人票、團體票兩大類，其中個人票設置有三種：

票的種類夜票（A）平日普通票（B）指定日普通票（C）

單價（元/張）60100150

某社區居委會為獎勵“和諧家庭”，欲購買個人票100張，其中B種票的張數是A種票張數的3倍還

多8張，設需購A種票張數為x，C種票張數為y.

（1）寫出y與x之間的函數關系式；

（2）設購票總費用為w元，求出w（元）與x（張）之間的函數關系式；

（3）若每種票至少購買1張，其中購買A種票不少于20張，則有幾種購票方案？并求出購票總費

用最少時，購買A，B，C三種票的張數.

（陜西省中考試題）

B級

1.如圖，在直角坐標系中，直角梯形OABC的頂點A(3,0)，B(2,7)，P為線段OC上一點，若過B，

兩點的直線為，過，兩點的直線為，且⊥，則

Py1k1xb1APy2k2xb2BPAP

k1k2(k1k2).

（紹興市競賽試題）

2.設直線kx(k1)y1（k是自然數）與兩坐標軸圍成的圖形的面積為S1，S2，…，S2000，則

S1S2S2000.（湖北省選拔賽試題）

（第1題）（第3題）（第4題）

3.如圖，直線y2x10與x軸，y軸分別交于A、B兩點，把△AOB沿AB翻折，點O落在C

處，則點C的坐標是.（黃岡市競賽試題）

1

4.如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點B的坐標為(15,6)，直線yxb恰好將矩形OABC

3

分成面積相等的兩部分，那么b.（全國初中數學競賽試題）

5.在直角坐標系中，有兩點P(1,1)和Q(3,3)，M是x軸上任意點，則PMQM的長度的最小值

是（）

A.25B.4C.42D.3

6.某航空公司規定，旅客乘機所攜帶行李的質量x（kg）與其運費y（元）由如圖所示的一次函數

圖象確定，那么旅客可攜帶的免費行李的最大質量為（）

A.20kgB.25kgC.28kgD.30kg

（成都市中考試題）

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7.一個一次函數的圖象與直線yx平行，與x軸、y軸的交點分別為A、B，并且過點

44

(1,25)，則在線段AB上（包括端點A、B），橫、縱坐標都是整數的點有（）

A.4個B.5個C.6個D.7個

（全國初中數學競賽試題）

8.設ba，將一次函數ybxa與yaxb的圖象畫在同一平面直角坐標系內，則有一組a，b

的取值，使得下列